高中数学学业分层测评8含解析北师大版选修9.doc

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高中数学学业分层测评2含解析北师大版选修2

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 ∵－2＜x ＜1x ＞1或x ＜－1，且x ＞1或x ＜－1－2＜x ＜1，∴“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的既不充分，也不必要条件．【答案】 C2．a ＜0，b ＜0的一个必要条件为( )A ．a ＋b ＜0B ．a －b ＞0 C.a b ＞1D ．a b ＜－1【解析】 a ＋b ＜0a ＜0，b ＜0，而a ＜0，b ＜0⇒a ＋b ＜0. 【答案】 A3．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.【答案】 C4．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是( )A ．a ≤0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1【解析】 ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴x 1x 2＜0.即1a＜0⇔a ＜0，本题要求的是充分条件．由于{a |a ＜－1}⊆{a |a ＜0}，故答案应为C.【答案】 C5．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( ) A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x ·sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立．【答案】 B二、填空题6．满足sin α＝12的一个充分条件是α＝____(填一角即可)．【解析】 ∵α＝π6⇒sin α＝12， ∴sin α＝12的一个充分条件可以是α＝π6. 【答案】 π67．已知“x ＞k ”是“3x ＋1＜1”的充分条件，则k 的取值范围是________．【导学号：32550004】【解析】解不等式3x ＋1＜1得，x ＜－1或x ＞2， ∵x ＞k ⇒x ＞2或x ＜－1∴k ≥2.【答案】 [2，＋∞)8．已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，∴m ＞5或m ＜－3.【答案】 (－∞，－3)∪(5，＋∞)三、解答题9．分别判断下列“若p ，则q ”命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：sin θ＝0，q ：θ＝0；(2)p ：θ＝π，q ：tan θ＝0；(3)p ：a 是整数，q ：a 是自然数；(4)p ：a 是素数，q ：a 不是偶数．【解】 (1)由于p ：sin θ＝0⇐q ：θ＝0，p ：sin θ＝0q ：θ＝0，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件．(2)由于p ：θ＝π⇒q ：tan θ＝0，p ：θ＝π⇐/ q ：tan θ＝0，所以p 是q 的充分条件，p 是q 的不必要条件．(3)由于p ：a 是整数q ：a 是自然数，p ：a 是整数⇐q ：a 是自然数，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件．(4)由于p ：a 是素数⇔/ q ：a 不是偶数，所以p 是q 的不充分条件，p 是q 的不必要条件．10．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围．【解】由4x ＋k ≤0，得x ≤－k 4；由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2.设A ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－k 4，B ＝{x |－1＜x ＜2}，由p 是q 的必要条件，得A ⊇B .∴－k 4≥2， ∴k ≤－8.即k 的取值范围为(－∞，－8]．[能力提升]1．不等式1－1x＞0成立的充分条件是( ) A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ＜－1或0＜x ＜1D ．x ＜0或x ＞1【解析】 x ＞1⇒1－1x＞0，故选A. 【答案】 A2．设a ，b 为向量，则“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝|a||b|，∴cos 〈a ，b 〉＝1，∴〈a ，b 〉＝0，∴a·b ＝|a||b|⇒a∥b .而∵a∥b 夹角可为π，∴a·b ＝－|a||b|，∴a·b ＝|a||b|⇐/ a∥b ，故选A.【答案】 A3．(2016·长春高二检测)如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．【解析】否命题为真，则逆命题为真．∴“若B ，则A ”为真，∴B ⇒A ，而原命题为假设A B ，∴A 是B 的必要条件．【答案】必要4．已知p ：x 2－2x －3＜0，若－a ＜x －1＜a 是p 的一个必要条件但不是充分条件，求使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围．【解】由于p ：x 2－2x －3＜0⇔－1＜x ＜3，－a ＜x －1＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a (a ＞0)．依题意，得{x |－1＜x ＜x |1－a ＜x ＜1＋a }(a ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a ＞4.解得a ＞2，则使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]．。

高中数学学业分层测评4含解析北师大版选修2_1

——教学资料参考参考范本——高中数学学业分层测评4含解析北师大版选修2_1______年______月______日____________________部门(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．将“a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2”改写成全称命题是( ) A．存在a0，b0∈R，使a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2B．存在a0＜0，b0＞0，使a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2C．存在a0＞0，b0＞0，有a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2D．对所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2【解析】a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2是全称命题，隐藏了“对所有a，b∈R”．【答案】D2．下列命题中的真命题是( )A．存在x0∈N，使4x0<－3B．存在x0∈Z，使2x0－1＝0C．对任意x∈R,2x＞x2D．对任意x∈R，x2＋2＞0【解析】当x∈R时，x2≥0，∴x2＋2≥2＞0【答案】D3．已知命题p：∃x0∈R，sin x0＜x0，则綈p为( )A．∃x0∈R，sin x0＝x0 B．∀x∈R，sin x＜xC．∃x0∈R，sin x0≥x0 D．∀x∈R，sin x≥x【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p：∀x∈R，sin x≥x.【答案】D4．非空集合A、B满足，下面四个命题中正确的个数是( )①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x0∉A，使x0∈B；③存在x0∉B，使x0∈A；④对任意x∉B，都有x∉A.A．1 B．2C．3 D．4【解析】根据知，①②④正确，③错误．【答案】C5．下列命题中的假命题是( )A．对任意x∈R,2x－1＞0B．对任意x∈N*，(x－1)2＞0C．存在x∈R，lg x＜1D．存在x∈R，tan x＝2【解析】A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1＞0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2＞0矛盾；C项，当x＝时，lg＝－1＜1；显然D正确．【答案】B二、填空题6．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．【导学号：32550011】①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【解析】①②③都是省略了全称量词的全称命题．④是特称命题．【答案】①②③④7．“所有的自然数都大于零”的否定是________．【解析】改变量词并否定判断词．【答案】存在一个自然数小于或等于零8．若命题“存在x0∈R，x＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是________．【解析】由题意可知，命题“对任意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.【答案】[2,6]三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)对任意的实数a、b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；(2)存在实数x，使得＝.【解】(1)该命题是全称命题．当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．(2)该命题是特称命题．∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴≤＜.故该命题是假命题．10．写出下列全称命题或特称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)有的三角形是等边三角形．【解】(1)该命题的否定是：至少存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)该命题的否定是：至少存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形．[能力提升]1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A．每一个锐角三角形的内角都是锐角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x0，使＞2【解析】B，D是特称命题，D是假命题，B是真命题．【答案】B2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．对任意x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.【答案】A3．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．【解析】本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．【答案】有些偶函数的图像关于y轴不对称4．已知对任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a2)4x＋2x＋1＞0恒成立．求a的取值范围．【导学号：32550012】【解】令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]，∴a2－a＜.要使上式在t∈(0,2]上恒成立，只需求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可．∵f(t)＝＝2＋＝2－，且∈，∴f(t)min＝f(2)＝.∴a2－a＜.∴－＜a＜.所以a的取值范围是.。

【高中教育】最新高中数学学业分层测评11含解析北师大版选修2

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学学业分层测评11含解析北师大版选修2______年______月______日____________________部门(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1。

如图257，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M ，N 分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM 的夹角为( )图257A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设D1C1＝a ，C1B1＝b ，C1C ＝c 。

则D1(0,0,0)，A(0，b ，c)，D(0,0，c)，C(a,0，c)，M ，N 。

则＝，＝。

∵∠CMN ＝90°，∴·＝0。

即b2－c2＝0，即b2＝c2。

∴·＝(0，－b ，－c)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，－12c＝－b2＋c2＝0。

∴AD1与DM 的夹角为90°。

【答案】 D2。

如图258，在正四面体ABCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )图258A。

B．23C。

D．33【解析】作AO⊥平面BCD于O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，则O(0,0,0)，A，C，E，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝＝。

∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为。

【答案】B3．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为( )A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，从而＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)．设平面ABC与平面PCD的法向量分别为n1，n2，取n1＝＝(0,0,1)．设n2＝(x，y，z)，由n2⊥，n2⊥，可得，可取n2＝(0,1,1)．于是cos 〈n1，n2〉＝＝＝，所以平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为45°。

高中数学学业分层测评10含解析北师大版选修20.doc

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．以下四组向量：①a ＝(1，－2,1)，b ＝(－1,2，－1)； ②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)； ③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)；④a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b ＝(4，－3,3)．其中a ，b 分别为直线l 1，l 2的方向向量，则它们互相平行的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 ①∵a ＝－b ，∴a ∥b . ②∵a ＝4b ，∴a∥b . ③∵b ＝－3a ，∴a ∥b . ④∵b ＝－3a ，∴a ∥b . 【答案】 D2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交【解析】 ∵A (9，－3,4)，B (9,2,1) ∴AB →＝(0,5，－3)∵yOz 平面内的向量的一般形式为a ＝(0，y ，z ) ∴AB →∥a∴AB →∥平面yOz .∴AB ∥平面yOz . 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152【解析】 ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152.【答案】 D4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是( )【导学号：32550041】A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－103.【答案】 A5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，则PA →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B. 【答案】 B 二、填空题6．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________.【解析】 ∵l ∥α，∴l ⊥α的法向量， ∴2×1－8y ＋1×2＝0，∴y ＝12.【答案】 12.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，向量(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】设n ＝(x ，y ，z )则n ·AB →＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0， ∴－x ＋y ＝0，n ·BC →＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0， ∴－y ＋z ＝0， ∴x ∶y ∶z ＝1∶1∶1. 【答案】 1∶1∶18．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1＝________，b 2＝________.【解析】设b 1＝(x ，y ，z )，∵b 1∥a ，∴x ＝y ，z ＝0. 又∵b 2＝b －b 1＝(1－x,1－y,1－z )，b 2⊥a ， ∴b 2·a ＝1－x ＋1－y ＝0，得x ＋y ＝2. ∴x ＝y ＝1.即b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)．【答案】 (1,1,0) (0,0,1) 三、解答题9．用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．【解】已知：如图，α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ. 求证：l ⊥γ证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a ，b ，c ，直线l 的方向向量为e ，则a·e＝0，b·e ＝0.因为a ，b 与e 不共面，故存在实数x ，y ，z 使c ＝x a ＋y b ＋z e . 因为a ⊥c ，b⊥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a x a ＋yb ＋z e ＝0，b x a ＋y b ＋z e ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ·a 2＋y a·b ＝0.x a ·b ＋y b 2＝0，因为α与β相交，所以a 与b 不共线，所以a 2a·b ≠a·b b2，所以方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以c ＝z e ，即c∥e ，从而有l ⊥γ.图24410．如图244所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .证明：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 (1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a2，∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0，且PA →＝(a,0，－a )，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴PA →＝2EG →，即PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )．又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .[能力提升]1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ，y ，z 分别为( )A.337、－157、4 B ．407、－157、4C.407、－2、4 D ．4、407、－15【解析】 AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，可解得x ＝407，y ＝－157.【答案】 B2．如图245，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ：FD 的值为( )图245A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0， P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a . ∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 【答案】 B3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →，其中正确的是________．【导学号：32550042】【解析】 ∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0， ∴AP ⊥AB ，AP ⊥AD 且AP →是平面ABCD 的法向量．【答案】 ①②③4．如图246，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .图246(1)求证：AC ⊥PB ；(2)设O ，D 分别为AC ，AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足OG →＝13(OA →＋OB →)，求证：DG ∥面PBC ；【证明】 (1)因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，且PA ∩AB ＝A ，所以AC ⊥平面PAB . 又因为PB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥PB .(2)法一：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.设AC ＝2a ，AB ＝b ，PA ＝2c ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (2a,0,0)，P (0,0,2c )，D (0,0，c )，O (a,0,0)，又因为OG →＝13(OA →＋OB →)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b3，0. 于是DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b3，－c ， BC →＝(2a ，－b,0)，PB →＝(0，b ，－2c )．设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则有⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0－by 0＝0，by 0－2cz 0＝0.不妨设z 0＝1，则有y 0＝2c b ，x 0＝ca，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1因为n ·DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ＝c a ·a 3＋2c b ·b 3＋1·(－c )＝0，所以n ⊥DG →.又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .法二：取AB 中点E ，连接OE ，则OE →＝12(OA →＋OB →)．由已知OG →＝13(OA →＋OB →)可得OG →＝23OE →，则点G 在OE 上．连接AG 并延长交CB 于点F ，连接PF .因为O ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以OE ∥BC ，即G 为AF 的中点．又因为D 为线段PA 的中点，又所以DG ∥PF ，又DG ⊄平面PBC ，PF ⊂平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .。

【高中教育】最新高中数学学业分层测评13含解析北师大版选修2

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学学业分层测评13含解析北师大版选修2______年______月______日____________________部门(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )A．(5,0)，(－5,0) B．(12,0)，(－12,0)C．(0,12)，(0，－12) D．(13,0)，(－13,0)【解析】∵a2＝169，b2＝25，∴c2＝169－25＝144，∴c＝12，又∵焦点在x轴上，∴焦点为(12,0)，(－12,0)．【答案】B2．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【解析】mn＞0，若m＝n则mx2＋ny2＝1不是椭圆．若方程mx2＋ny2＝1是椭圆则“mn＞0一定成立．”【答案】B3．过点(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是( ) A。

＋＝1 B．＋＝1C。

＋＝1 D．＋＝1【解析】椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝5。

设所求的椭圆方程为＋＝1，将(3，－2)代入方程得＋＝1，解得a2＝15，故所求椭圆方程为＋＝1。

【答案】A4．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )A。

＋＝1(x≠±2)B．＋＝1(y≠±2)C。

＋＝1(x≠0)D．＋＝1(y≠0)【解析】∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1，∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程＋＝1(y≠±2)．【答案】B5．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )【导学号：32550066】A．a＞3 B．a＜－2C．a＞3或a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－2【解析】由于椭圆焦点在x轴上，∴即⇔a＞3或－6＜a＜－2。

高中数学学业分层测评8含解析北师大版选修9

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》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
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4．如图 2-3-12 所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，设 AA 1＝ a， AB＝ b，AD ＝ c，
M， N，P 分别是 AA 1， BC， C1D1 的中点，试用 a， b， c 表示以下各向量：
5
1
A.2，－ 1，－ 2
5
1
B．2， 1， 2
5
1
C．－ 2， 1，－ 2
5
1
D ． 2， 1，－ 2
【解析】 d＝αa＋ βb＋ γc
＝ α(e1＋ e2＋ e3)＋β(e1＋ e2－ e3)＋ γ(e1－ e2＋ e3) ＝ (α＋ β＋γ)e1＋ (α＋β－ γ)e2＋ (α－ β＋ γ)e3
A、B、
M、 N 共面；
④已知向量组 { a，b，c} 是空间的一个基底，若 m＝ a＋ c，则 { a， b，m} 也是空间的一个
基底．
其中正确命题的个数为 ( )
A． 1
B．2
C． 3
D．4
【解析】空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，
a∥ b，
则 a，b 与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量
→
→
AC＝ c，则 A1D＝ ( )
111
A.2a＋
2b＋
c 2
111 B.2a－ 2b＋ 2c
11 1 C.2a＋ 2b－2c
11 1 D．－ 2a＋2b＋2c
图 2-3-9
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2019-2020学年高中数学北师大版必修五学业分层测评：第一章数列 8 Word版含解析

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128【解析】∵a 5＝a 1q 4，∴q ＝±2.∵q ＞0，∴q ＝2，∴S 7＝错误!＝错误!＝127.【答案】C2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13B ．－13 C.19 D ．－19【解析】由S 3＝a 2＋10a 1，得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，即a 1q 2＝9a 1，解得q 2＝9.又a 5＝9，∴a 1q 4＝9，∴81a 1＝9，a 1＝19. 【答案】C3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189【解析】a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21， ∵a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7，q ＝－3(舍)或q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝4×21＝84.【答案】 C4．(2016·吉安高二检测)在数列{a n}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋…＋a n＝2n－1，则a21＋a2＋…＋a2n 等于( )A．(2n－1)2B．13(2n－1)2C．4n－1 D．13(4n－1)【解析】由a1＋a2＋…＋a n－1＋a n＝2n－1，得a1＋a2＋…＋a n－1＝2n－1－1，∴a n＝2n－1，∴a2n＝4n－1，∴a21＋a2＋…＋a2n＝错误!＝错误!(4n－1)．【答案】D5．(2016·南昌高二检测)已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )A．31 B．33C．35 D．37【解析】法一：S5＝错误!＝错误!＝1∴a1＝131，∴S10＝错误!＝错误!＝33，故选B.法二：∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)·q5＝1×25＝32，∴S10＝a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1＋32＝33.【答案】B二、填空题6．若{a n}是等比数列，且前n项和为S n＝3n－1＋t，则t＝________. 【解析】法一：在等比数列{a n}中，若q≠1，则S n＝错误!＝错误!－错误!·q n，令a11－q＝A，则S n＝A－Aq n.。

北师大版高中数学选修1-1学业分层测评8 Word版含解析

学业分层测评(八)(建议用时：分钟)学业达标]一、选择题．以抛物线＝(>)的焦半径为直径的圆与轴位置关系为( )【导学号：】．相交．相离．相切．不确定【解析】设(，)，则以为直径的圆半径＝.又圆心到轴的距离＝，∴该圆与轴相切．【答案】．过点()与抛物线＝只有一个公共点的直线共有( )．．．．【解析】由于()在抛物线上，故满足条件的直线共有条，一条是与轴平行的线，另一条是过的切线，如果点不在抛物线上，则有条直线．【答案】．设抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点(，－)与的距离为，则的值为()．．－．或－．或－【解析】由题意知抛物线方程可设为＝－(>)，则＋＝，∴＝，∴＝－，将(，－)代入得＝±.【答案】．已知抛物线＝(>)，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为( )．＝．＝－．＝．＝－【解析】抛物线的焦点，所以过焦点且斜率为的直线方程为＝－.即＝＋，将其代入＝＝＝＋，所以－－＝.所以＝＝.所以抛物线的方程为＝，准线方程为＝－.【答案】．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，＝，为的准线上一点，则△的面积为( )．．．．【解析】不妨设抛物线的标准方程为＝(>)，由于垂直于对称轴且过焦点，故直线的方程为＝.代入＝得＝±，即＝，又＝，故＝，所以抛物线的准线方程为＝－，故△＝××＝.【答案】二、填空题．抛物线顶点在坐标原点，以轴为对称轴，过焦点且与轴垂直的弦长为，则抛物线方程为．【解析】过焦点且与对称轴垂直的弦是通径，即＝，所以抛物线的方程为＝±.【答案】＝±．设抛物线＝(＞)的焦点为，点()，若线段的中点在抛物线上，则点到该抛物线准线的距离为.【导学号：】【解析】由已知得点的纵坐标为，横坐标为，即将其代入＝得＝，则点到准线的距离为＋＝＝.【答案】．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于；④抛物线的通径的长为；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为()．则使抛物线方程为＝的必要条件是(要求填写合适条件的序号)．【解析】由抛物线方程＝，知它的焦点在轴上，所以②适合．又∵它的焦点坐标为，原点()，设点()，可得·＝－，∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤.【答案】②⑤三、解答题．如图--所示，过抛物线＝(＞)的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若＝，且＝，求此抛物线的方程．图--【解】过，分别作准线的垂线′，，垂足为′，，则＝，又＝.∴在△中，∠＝°，又＝，∴′＝，＝，＝.∴到准线距离＝＝，∴＝.．已知过抛物线＝的焦点的弦长为，求弦所在的直线的方程．【解】∵过焦点，垂直于轴的弦长为<，∴弦所在直线斜率存在，设弦所在的直线的斜率为，且与抛物线交于(，)，(，)两点．。

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学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②已知向量a ∥b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A 、B 、M 、N 是空间四点，若BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底，那么A 、B 、M 、N 共面；④已知向量组{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a ∥b ，则a ，b 与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量BA →，BM →，BN →共面，则A 、B 、M 、N 共面；④中，a 与m ，b 不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．【答案】 D2．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝α a ＋β b ＋γ c ，则α、β、γ分别为( )A.52，－1，－12 B ．52，1，12 C ．－52，1，－12D ．52，1，－12【解析】 d ＝α a ＋β b ＋γ c＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3 ＝e 1＋2e 2＋3e 3.由向量基底表示唯一性得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.【答案】 A3．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为( )A ．1B ．－1 C.14D ．－14【解析】 a·i ＝|a ||i |cos 〈a ，i 〉， ∴|a |cos 〈a ，i 〉＝a·i|i |＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝1. 【答案】 A4．如图239，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，则A 1D →＝()图239A.12a ＋12b ＋12cB.12a －12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c【解析】 A 1D →＝A 1C 1→＋C 1D →＝AC →＋12(C 1C →＋C 1B 1→)＝c ＋12(－AA 1→＋CA →＋AB →)＝c －12a ＋12(－c )＋12b＝－12a ＋12b ＋12c .【答案】 D5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为{8,6,4}，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,10,12)D ．(4,2,3)【解析】 ∵点A 在基底{a ，b ，c }下坐标为(8,6,4)， ∴OA →＝8a ＋6b ＋4c＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i ) ＝12i ＋14j ＋10k ，∴点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．【答案】 A 二、填空题6．e 1，e 2，e 3是空间一组基底，a ＝e 1－2e 2＋e 3，b ＝－2e 1＋4e 2－2e 3，则a 与b 的关系为________．【导学号：32550030】【解析】 ∵b ＝－2a ，∴a ∥b . 【答案】 a ∥b7．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．【解析】由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，∴点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)．【答案】 (8,3,12)8．已知长方体ABCD A ′B ′C ′D ′，点E ，F 分别是上底面A ′B ′C ′D ′和面CC ′D ′D 的中心，且AE →＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→，则2x －4y ＋6z ＝________.【解析】 ∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝12AB →＋12BC →＋CC ′→，又AE →＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.∴2x －4y ＋6z ＝5. 【答案】 5 三、解答题9．已知在正四棱锥P ABCD 中，O 为底面中心，底面边长和高都是2，E ，F 分别是侧棱PA ，PB 的中点，如图2310，以O 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，OP 的指向为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C ，D ，P ，E ，F 的坐标．图2310【解】设i ，j ，k 分别是x 轴，y 轴，z 轴的正方向方向相同的单位向量．(1)因为点B 在坐标平面xOy 内，且底面正方形的中心为O ，边长为2，所以OB →＝i ＋j ，所以向量OB →的坐标为(1,1,0)，即点B 的坐标为(1,1,0)．同理可得A (1，－1,0)，C (－1,1,0)，D (－1，－1,0)．又点P 在z 轴上，所以OP →＝2k .所以向量OP →的坐标为(0,0,2)，即点P 的坐标为(0,0,2)．因为F 为侧棱PB 的中点，所以OF →＝12(OB →＋OP →)＝12(i ＋j ＋2k )＝12i ＋12j ＋k ，所以点F的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.同理点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1.故所求各点的坐标分别为A (1，－1,0)，B (1,1,0)，C (－1，1,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.10．如图2311，在空间四边形OABC 中，|OA |＝8，|AB |＝6，|AC |＝4，|BC |＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA →在BC →上的投影．【导学号：32550031】图2311【解】 ∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162， ∴OA →在BC →上的投影为|OA →|·cos 〈OA →，BC →〉＝24－1625.[能力提升]1．设O ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 【解析】因为OG ＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC → ＝34OA →＋14⎣⎡⎦⎤OB →－OA →＋OC →－OA →＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.【答案】 A2．已知向量{a ，b ，c }是空间的一基底，向量{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，3C.⎝⎛⎭⎪⎫3，－12，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，3 【解析】设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则a ＋2b ＋3c ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝2z ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝－12z ＝3.【答案】 B3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋12OC →，则x ＝________.【解析】由于M ∈平面ABC ，所以x ＋13＋12＝1，解得x ＝16.【答案】 164．如图2312所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：图2312(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 【解】 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .。