第二章 8.二次函数与一元二次方程 配套课件
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《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT(第2课时)教学课件
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
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情境引入
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？ 当b2－4ac≥0时，
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
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2 . 求出下列一元二次方程的根： （1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0 . 解：（1）x1=0, x2=-2.
平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.
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(3)由
y=2x+n, y=-x2-4x-2,
消去y得到x2+6x+n+2=0,
由题意Δ≥0,
∴36-4n-8≥0,∴n≤7,
∵n≥m,m=1,
∴1≤n≤7,
令y′=n2-4n=(n-2)2-4,
∴当n=2时,y′的值最小,最小值为-4,
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3.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0）， (-3m,0)(m≠0). （1）证明:4c=3b2. （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
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解 :（1）证明：依题意知m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两个根． 根据一元二次方程根与系数的关系， 得m+(-3m)=-b , m·(-3m)=-c , b=2m , c=3m2 , ∴4c=12m2=3b2 .
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【跟踪训练】 1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( C )
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情境引入
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？ 当b2－4ac≥0时，
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
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2 . 求出下列一元二次方程的根： （1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0 . 解：（1）x1=0, x2=-2.
平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.
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(3)由
y=2x+n, y=-x2-4x-2,
消去y得到x2+6x+n+2=0,
由题意Δ≥0,
∴36-4n-8≥0,∴n≤7,
∵n≥m,m=1,
∴1≤n≤7,
令y′=n2-4n=(n-2)2-4,
∴当n=2时,y′的值最小,最小值为-4,
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3.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0）， (-3m,0)(m≠0). （1）证明:4c=3b2. （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
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解 :（1）证明：依题意知m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两个根． 根据一元二次方程根与系数的关系， 得m+(-3m)=-b , m·(-3m)=-c , b=2m , c=3m2 , ∴4c=12m2=3b2 .
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【跟踪训练】 1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( C )
二次函数与一元二次方程(第1课时)PPT课件
(1) h和t的关系式是什么？
解 :1 .h 5 t24t.0
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议 二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1)2.个,1个,0个程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验 证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x
轴下方的条件是（ D ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
小结 拓展 我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
我 方程根的关系:
们
函数
方程
的 收
y=ax2+bx+c(a≠0)
9
想一想 二次函数与一元二次方程
思考在本节一开始的小球上抛问题中,
何时小球离地面的高度是60m?你是如 何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。
解 :1 .h 5 t24t.0
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议 二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1)2.个,1个,0个程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验 证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x
轴下方的条件是（ D ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
小结 拓展 我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
我 方程根的关系:
们
函数
方程
的 收
y=ax2+bx+c(a≠0)
9
想一想 二次函数与一元二次方程
思考在本节一开始的小球上抛问题中,
何时小球离地面的高度是60m?你是如 何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。
《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT教学课件
情境引入
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共的
横坐标是多少？当x轴取公共点的横坐标，函数值是多少？
由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2
（2）y=x2-6x+9
（3）y=x2-x+1
两
（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有___个公共点，
-2,1
它们的横坐标是_____。当x取公共点的横坐
第二十二章 二次函数
二次函数与一元二次方程
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
解：（2）解方程20=20t-5t2。t2-4t+4=0。
t1=t2=2。当球飞行2s时，它的高度为20m。
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
解：（1）解方程0=20t-5t2。t2-4t=0。t1=0，
t2=4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
《二次函数与一元二次方程》精品教学课件
再见
（1）yx2x2
2，1
（2）yx26x9
3
（3）yx2x1
没有实数根
y＝x2－x+1 y 4
y＝x2＋x－2
3 2 1
y＝x2－6x＋9
–3 –2 –1 O –1 –2 –3
1234 x
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例：利用函数图象求方程x22x2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）．
yax²bxc(a0)
ax²bxcm(a0)
形
yax²bxc(a0) 与x轴的位置关系 没有公共点 有一个公共点 有两个公共点
数
ax²bxc0 (a≠0) 根的情况
没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
教科书第47页 习题22.2 第1、2、3、5题
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
回顾与思考
一次函数 ykxb 的图象如图所示，则关于x的 一元一次方程 kxb0 的解为 x3 ．
关于x的一元一次方程 kxb0 的解
y
4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4
1 2 3 4x
函数解析式
数
数形结合
函数图象 形
解：画出函数y＝x22x2的图象， 如图所示，它与x轴的公共点的横坐标 大约是0.7，2.7．
所以方程x22x2＝0的实数根为 x1≈0.7，x2≈2.7．
图片是【数学探究】《探究二次函数与x轴 交点》的动画缩略图，可以通过改变参数值， 改变函数图象位置,观察图象与x轴的交点情况.
2.8二次函数与一元二次方程上课课件
1.小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m?
解 : 当h 60时, 得 5t 2 40t 60. 解得 : x1 2, x2 6.
2.二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关 系如何?
一般地,当y取定值时, 二次函数即为一元二次方程.
5
6
1.已知竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关 系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的 高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以 40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动 时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？ 解 : 1.h 5t 2 40t. (2).小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴 进行交流.
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
当堂训练
九年级数学(下)第二章 二次函数
8. 二次函数与一元二次方程
学习目标：
1.会根据二次函数的图象和 横轴交点的个数判别一元二 次方程的根的情况 2.理解一元二次方程的根就 是二次函数与x轴交点的横坐 标。
自学指导：
1.完成课本70页的两个问题。 2.完成课本71页的议一议。 3.二次函数的图象与x轴的交点有几种 情况？即y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有 什么关系？
解 : 当h 60时, 得 5t 2 40t 60. 解得 : x1 2, x2 6.
2.二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关 系如何?
一般地,当y取定值时, 二次函数即为一元二次方程.
5
6
1.已知竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关 系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的 高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以 40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动 时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？ 解 : 1.h 5t 2 40t. (2).小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴 进行交流.
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
当堂训练
九年级数学(下)第二章 二次函数
8. 二次函数与一元二次方程
学习目标：
1.会根据二次函数的图象和 横轴交点的个数判别一元二 次方程的根的情况 2.理解一元二次方程的根就 是二次函数与x轴交点的横坐 标。
自学指导：
1.完成课本70页的两个问题。 2.完成课本71页的议一议。 3.二次函数的图象与x轴的交点有几种 情况？即y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有 什么关系？
二次函数与一元二次方程-用PPT课件
点的是（ D ）
(A)yx2 2
(B)yx2 x
(C)yx26x9 (D . )yx2x+c（a≠0）的图象全部 在x轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0 （B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0
(D）a＜0 b2-4ac＜0
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1 . △＞0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
x1 x2
x
OA B
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点横坐标与一元二次方 程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别 式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
B（x2，0
），
a
a
随堂练习
1、方程 x24x50的根是 -5，1 ； 则函数 yx24x5的图象与x轴的交点 有 2 个，其坐标是 （-5，0）、（1．，0）
2、方程 x21x0 2 50的根是 x1 x2 5；
则函数 yx210x25的图象与x轴的交点
《二次函数与一元二次方程》参考PPT课件
有两个不相 等的实数根
b2 – 4ac > 0
只有一个交点 有两个相等的 实数根
b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0 16
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ， x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐
标是＿＿(＿-2＿，＿0)＿(＿5/＿3，. 0)
19
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
20.5 m
6
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
7
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图
象与x轴交点情况是（ C ）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
17
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=＿1＿＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.
《二次函数与一元二次方程》数学PPT课件
虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
判别式(△)
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）
（x2，0）
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有唯一个
交点(- ，0)
图象
y
x
有两个不同的解
x=x1，x=x2
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
化简得t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点
符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代
x1=-2，
x2=1
x1=x2=3
无实根
思考探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么
关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
判别式(△)
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）
（x2，0）
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有唯一个
交点(- ，0)
图象
y
x
有两个不同的解
x=x1，x=x2
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
化简得t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点
符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代
x1=-2，
x2=1
x1=x2=3
无实根
思考探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么
关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
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4．已知二次函数 y＝－x2＋2x＋m 的部分图象如图 1，则关 于 x 的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0 的解为________________ x＝3 或 x＝－1 ．
图1
在利用b2－4ac判定二次函数的图象与x轴交点个数时， 一定要注意二次项系数不为零．
8．二次函数与一元二次方程
1．二次函数图象与一元一次方程的关系 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点有三种情况： 有______ 两 个交点、有一个交点、______ 没有 交点，当二次函数 y ＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y ＝0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根． 2．利用二次函数的图象估计一元二次方程的根 一般步骤： (1)作二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象； (2)确定抛物线与 x 轴交点的个数在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根， 近似根在对应 y 值的正负交换的地方，当 x 由 x1 取到 x2 时，对 应的 y 值出现 y1>0，y2<0 时，则 x1、x2 中必有一个是方程的近 似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|____| ＜ y2|，则 x1 是方程的近似根； 当|y1|____| ＞ y2|时，x2 是方程的近似根．
二次函数图象与一元二次方程的关系(重点) 1 ． 抛物线 y ＝ a(x － 2)(x ＋ 5) 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，(－5,0) ________________ ． 2．若抛物线 y＝x2＋2x＋m－1 与 x 轴只有一个交点，则 m ＝________. 2
利用二次函数的图象估计一元二次方程的根 3.已知所给表格是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与
函数值 y 的对应值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c
为常数)的一个解 x 的范围是( x 6.17 －0.03 C ) 6.18 －0.01 6.19 0.02 6.20 0.04
y＝ax2＋bx＋c
A ． 6＜x＜6.17 B ． 6.17＜x＜6.18 C ． 6.18＜x＜6.19 D ． 6.19＜x＜6.20