高中物理竞赛《磁场》内容讲解

磁 场一、恒定电流的磁场1、直线电流的磁场通有电流强度为I 的无限长直导线，距导线为R 处的磁感应强度为：RIB πμ20=；如下图距通有电流强度为I 的有限长直导线为R 处的P 点的磁感应强度为：)cos (cos 40βαπμ+=RIB ----------------------------------①若P 点在通电直导线的延长线上，则R=0 α=0 β=π 无法直接应用上述式子计算，可进行如下变换lR d d 21)sin(2121=+βα 上式中1d 、2d 分别为P 点到A 、B 的距离，l 为直导线的长度所以：ld d R )sin(21βα+=代入①式得：)sin(cos cos 4210βαβαπμ++=d d Il B令2sin2cos2cos 2sin 22cos2cos2)sin(cos cos βαβαβαβαβαβαβαβα+-=++-+=++=y将α=0 β=π代入上式得0=y所以：在通电直导线的延长线上任意一点的磁感应强度为0=B2、微小电流元产生的磁场微小电流元的磁场，根据直线电流的磁场公式)cos (cos 40βαπμ+=rIB得：Ⅰ若α、β都是锐角，如左图，有：)cos (cos 40βαπμ+=r I B =)sin (sin 4210θθπμ∆+∆rI因1θ∆、2θ∆0→，所以≈∆+∆=)sin (sin 4210θθπμr I B )(4210θθπμ∆+∆rI所以：θπμ∆=rIB 40Ⅱ若α、β中有一个是钝角，如β（右图），则：]sin )[sin(cos 4)cos (cos 400000θθθθπμβαπμ-+∆=+=r Id I B -------------①00000sin sin cos cos sin sin )sin(θθθθθθθθ-∆+∆=-+∆因0→∆θ，所以：0000cos cos sin sin )sin(θθθθθθθ∆≈∆≈-+∆--------------------------------②②式代入①式得：θπμ∆=rIB40总上所述，电流元I 在空间某点产生的磁场为：θπμ∆=rIB 40，式中r 为电流元到该点的距离，θ∆为电流元端点与该点连线张开的角度。

3、环形电流的磁场半径为R 的圆环通有电流I ，则 Ⅰ、环心处的磁场：∑∑=∆=∆=RIR I R I B244000μθπμθπμⅡ、在垂直于环面的轴线上，距环心为x 处的磁场：∑∑∑∆=∆==θπαμαθπμαrI r I B B i 4sin sin 4sin 00------------①22x R r +=----------------------------------------------------------------②22sin xR R+=α----------------------------------------------------------③∑+==∆2222xR R rRππθ-----------------------------------------------④将②③④代入①得：232220)(2x R IR B +=μ结论：半径为R 的金属园环，其内通有电流I ，则在过环心垂直于园环面的直线上与环心距离为x 的一点，磁感应强度为：232220)(2R x IR B+=μ若0=x ，即环心处的磁感应强度为：RIB 20μ=4、磁极子在轴线上距其中心为x 的点产生的磁场为：302x p B mπμ=磁极子在平行与其平面距中心为x 的点产生的磁场，以边长为L 、通电电流为I 的磁极子为例：=+∆--∆=)5.05.0(40L x L x I B θθπμ22025.04L x L I -∆θπμ因L x>>，所以，xL ≈∆θ，代入上式，并略去二级无穷小量，得：304x p B mπμ=以上结论可推广到其它磁极子。

有一磁极子，磁矩为m p ， p 点距磁极子距离为x ，p 点与磁极子中心连线与磁极子轴线成θ角，求p 点的磁场根据磁极子在轴线上和在平行与其平面的某点产生的磁场公式可得p 点磁场的两个分量分别为：=x B 302cos x p m ⋅πθμ=y B 304sin x p m ⋅πθμ=+=22y x B B B θθπμ2230cos 4sin 4+⋅xp m5、无限长直螺线管的电流的磁场若无限长直螺线管单位长度的匝数为n ，通有电流I ，则螺线管内部的磁感应强度B 1、螺线管端口的磁感应强度B 2分别为：nI B 01μ= nI B 0221μ=例1、水平放置的边长为L 的正三角形导线框内通有恒定电流I ，求以该正三角形为底面的正四面体的顶点的磁感应强度例2、边长为L 的正方形线圈通有电流I ，求 （1）正方形中心处的磁感应强度为多少?（2）过正方形中心垂直于线圈平面的轴线上一点P 距正方形中心为x ，P 点的磁感应强度为多少？若x>>L ，求P 点的磁感应强度的近似值。

例3、对磁现象的成功解释最早是由安培提出来的，按照安培的计算，长直细导线通过恒定电流I ，并被弯成“V ”形，半张角为α，如图所示。

在“V ”形导线包围面以外对称轴上的P 点（OP=d ）的磁感应强度B 的大小正比于2tanα。

安培的研究后来被总结到麦克斯韦电磁理论中而被普遍接受。

求（1） P 点的磁感应强度B 的方向（2） 按照安培的研究，P 点的磁感应强度B 的大小为：2tanαk B =，?=k（3） p /点是对称轴上与P 点关于顶点O 对称的点，P /点的磁感应强度的大小为多少？例4、有一无限长的金属圆筒，今在圆筒中沿轴线方向通入均匀电流，试证明在筒内任意一点的磁感应强度都为零。

例5、在半径为R 的木球上紧密的绕有细导线，相邻线圈可认为相互平行，以单层盖住半个球面，如图所示。

导线中通有电流I ，线圈总匝数为N ，试按以下两种情况求球心处的磁感应强度。

（1） 线圈沿球的半径方向均匀分布 （2） 线圈沿球的弧面方向均匀分布例6、一根很长的直长铜导线，载有电流I ，导线的横截面半径为R ，在导线内以轴线为边界，沿半径方向做一个平面S，如图所示。

求通过每米导线内S平面的磁通量。

例7、（1）电流均匀地通过宽为2d的无限长平面导体薄板，电流强度为I。

通过板的中心并与板面垂直的直线上有一点P，P到板的距离为x，不计板的厚度，求P点的磁感应强度。

（2）无限大的导体平面，以面电流密度i均匀通有电流，求空间一点的磁感应强度。

（3）厚度为2d的无限大导体平板，电流密度为j，求空间一点的磁感应强度。

例8、如图所示，一半径为R的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值同向，电流强度为I，均匀分布。

求（1）轴线上直导线单位长度所受的力（2）若用另一无限长直导线（通有与半圆柱面导体相同的电流）代替半圆柱面导体，产生同样的作用力，该导线应放在何处？例9、将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，平面中电流方向垂直于纸面向里。

已知平面两侧的磁感应强度分别为B1、B2，如图所示。

求该载流平面上单位面积所受的磁场力的大小和方向。

例10、在半径为R的无限长均匀金属圆柱体内平行于轴线挖去一半径为r的无限长圆柱体，两圆柱体轴线间距离为a，今在此空心导体中沿轴线通一均匀电流I，求空心部分的轴线上任意一点的磁感应强度。

例11、真空中有一个无限长的薄壁导体圆筒，截面半径为R，通以均匀恒定的电流I，将其沿轴线切成两半，分开一极小距离，设电流分布不变，试求其中一部分上L长度的电流受到的安培力。

例12、半径为R载有电流I1的导体圆环与载有电流I2的无限长直导线AB共面。

AB通过圆环的铅直直径且与圆环彼此绝缘。

求圆环所受的力。

例13、（1）如图所示，两个完全相同的导体环A、B的中心都在Z轴（竖直方向）上，两环面平行且水平，分别位于Z=±h的平面，为使两环相互排斥，它们通的电流方向相同还是相反？（2）一个通有电流的导体园环，能够不用任何机械的情况下飘浮在水平的超导平面之上。

假设平面Z=0就是一个水平的超导平面，A是一个通有电流的导体园环，它的质量为m，半径为r（r>>h），求A平衡时距离超导平面的距离。

（3）如果A环在竖直方向上微振动，求其振动周期。

例14、长同为L、质量同为m的两根细长匀质导体棒，与两根自由长度同为l0（l0<<L）、劲度系数同为k的轻质金属弹簧连接成如图所示的系统，并将该系统放在光滑绝缘的水平面上，设法使系统内通有稳恒电流I,在两棒达平衡状态后将它们各自左右对称的稍稍偏离平衡位置，而后两棒将对称的在各自平衡位置两侧附近振动，试求其振动周期。

例15、将截面半径为r=9.85cm的铜管插进另一个截面半径为R=10cm的等长的铜管中，两管之间留有均匀的d=1.5mm的缝隙，在缝隙中充满变压器油，油的相对介电常数为ε=5。

两管的轴水平，并垂直于磁子午线，细铜管内有一小磁针，它可以在水平面内自由旋转。

两铜管构成的电容器用静电机充电至30kV ，外管开始以f=50r/s 的转速匀速转动，求磁针偏离磁子午面的角度。

已知地磁场的水平分量为B z =2×10-5T ，真空中的磁导率与介电常数之积满足：201c =με，c 为光速，该问题中认为铜管长度远大于其半径，两铜管构成的电容器可近似使用平行板电容器公式。

二、带电粒子在磁场中的运动（一）用运动分解法解决带电粒子在磁场中的运动问题例1、如图所示，光滑绝缘水平面上，有一质量m ，带电量为+q 的小球，该空间有场强为E 水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B.现将小球由静止释放，求小球运动中的最大速率。

例2、如图所示，磁感强度为B 的水平匀强磁场的上边界为水平线MN ，边界线MN 以下磁场分布范围较宽，今有一质量为m 、带电量为q 的正电粒子以速度υ0竖直向下射入磁场中，粒子重力不可忽略，求粒子向下运动的最大距离及粒子从磁场中飞出点与入射点之间的距离。

例3、如图所示，在真空中建立一坐标系xoy -z ，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向下，z 轴正方向垂直于纸面向里，在L y ≤≤0的区域内有沿z轴正方向的匀强磁场，m L 8.0=，T B 1.0=。

今把一何质比kg C mqk /50==的带正电质点在0=x 、m y 20.0-=、0=z 处由静止释放，将带电质点经过原点的时刻定为0=t 的时刻，求带电质点在磁场中任一时刻t 的位置坐标，并求它刚离开磁场时的位置和速度。

取2/10s m g=例4、如图所示，磁感强度为B 的匀强磁场有一水平的上边界，质量为m 、带电量为+q 的微粒（重力不能忽略）从边界上O 点以与边界成θ角方向，大小为υ0的速度斜向上射出，微粒运动一段时间后恰好经过边界上的P 点，已知OP=L ，试讨论物理量m 、q 、B 、υ0应满足的条件。