第9章 直线相关与回归

第九章双变量回归与相关环境与公共卫生学院叶晓蕾20名糖尿病人血糖（mmol/L）与胰岛素（mU/L）测定值病例号血糖胰岛素i Y I X i 病例号血糖胰岛素i Y i X i1 12.21 15.22 14.54 16.73 12.27 11.94 12.04 14.05 7.88 19.86 11.10 16.27 10.43 17.08 13.32 10.39 19.59 5.910 9.05 18.7 11 6.44 25.112 9.49 16.413 10.16 22.014 8.38 23.115 8.49 23.216 7.71 25.017 11.38 16.818 10.82 11.219 12.49 13.720 9.21 24.4资料特点：每个观察对象有两个变量。

概念类似上例的问题：年龄-身高；肺活量-体重；药物剂量-动物死亡率双变量资料统计资料单变量资料：X双变量资料：X，Y多变量资料：X1，X2，…，XK，Y相关与回归是研究两个或多个变量之间相互关系的一种分析方法。

数据结构编号Y X1 (X)K1 2n概念：回归：是研究变量之间在数量上依存关系的一种方法。

相关：是研究随机变量之间相互联系密切程度和方向的方法。

直线相关与回归：只涉及两个变量，而且分析是否呈直线关系，是回归和相关分析中最简单的一种。

又称简单相关和回归。

直线相关与回归的一般步骤：绘制散点图直线相关分析直线回归分析求相关系数相关系数假设检验结论求回归系数和截距列出回归方程回归系数假设检验一、直线回归（linear regression ）1. 直线回归方程：应变量Y 的平均估计值a ：截距（intercept ）b ：回归系数（regression coefficient ）bXa Y +=ˆY ˆbXa Y +=注意直线回归方程与函数方程的不同应用条件线性（l inear）、独立性（i ndependent）、正态性（n ormal）、等方差（e qual variance）——“LINE”。

线性——自变量与应变量的关系是线性的。

用散点图判断。

独立性——任意两个观察值互相独立。

正态性——在任意的自变量X的取值处，应变量y均服从正态分布。

等方差——在任意的自变量X的取值处，应变量y的20名糖尿病人血糖（mmol/L）与胰岛素（mU/L）测定值病例号血糖胰岛素i Y I X i 病例号血糖胰岛素i Y i X i1 12.21 15.22 14.54 16.73 12.27 11.94 12.04 14.05 7.88 19.86 11.10 16.27 10.43 17.08 13.32 10.39 19.59 5.910 9.05 18.7 11 6.44 25.112 9.49 16.413 10.16 22.014 8.38 23.115 8.49 23.216 7.71 25.017 11.38 16.818 10.82 11.219 12.49 13.720 9.21 24.4例1SPSS 20名糖尿病人的血糖水平与胰岛素水平的散点图回归直线的求法原理（最小二乘法）()∑为最小即 Y ˆ-Y2各散点距离回归直线的纵向距离（残差）平方和为最小而得到直线。

计算：()()()()()()XXXY l l n X X n Y X XY X X Y Y X X b =--=---=∑∑∑∑∑∑∑222()()()()()()()()∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=--=-=-=-=-=nY X XY Y Y X X l nY Y Y Y l n X X X X l XYYY XX222222回归直线必通过点()Y, X Xb Y a -=Coefficients a18.796 1.26514.862.000-.459.070-.840-6.562.000(Constant)xModel 1B Std. ErrorUnstandardized CoefficientsBetaStandardized Coefficientst Sig.Dependent Variable: ya. XY 459.0796.18ˆ-=3. 直线回归的假设检验即推断总体回归系数（β）是否为零即：SS =SS +SS 222)ˆ()ˆ()(∑∑∑-+-=-Y Y Y Y Y Y )ˆ()ˆ()(Y Y Y YY Y -+-=-——剩余或残差（residual)YˆY -（1）方差分析查附表3，F 0.01（1，18）=8.28P< 0.01(2)ｔ检验ｔ= （b －0）/ ｓb ν=n -2211 2-=-===-==n SS SS SS l lSS n l SS xx xyyy 剩余回归总剩余回归回归总总ννν06.43189482.4717032.114====剩回剩剩回回MS MS SS SS F νν0699.0582.5456638.2===XXb l MS S 剩余ｔ＝（-0.4585 -0）/0.0699 = - 6.56 = 18，t0.01（18）= 2.878P < 0.01F = t2=（-6.56）2= 43.03ANOVA b114.7031114.70343.060.000a47.94818 2.664162.65119Regression Residual TotalModel 1Sum of SquaresdfMean SquareF Sig.Predictors: (Constant), x a. Dependent Variable: yb. Coefficients a18.796 1.26514.862.000-.459.070-.840-6.562.000(Constant)xModel 1B Std. ErrorUnstandardized CoefficientsBetaStandardized Coefficientst Sig.Dependent Variable: ya.4. 直线回归中的区间估计（1）总体回归系数β的区间估计：bn S t b )2(,-±α例：上例中，b=-0.4585，S b =0.0699，t 0.05,18=2.101∴β的95%可信区间：6054.0~3116.00699.0101.24585.0--=⨯±-Coefficients a18.796 1.26514.862.00016.13921.453-.459.070-.840-6.562.000-.605-.312(Constant)xModel 1B Std.Error Unstandardized CoefficientsBetaStandardized Coefficients t Sig.Lower Bound Upper Bound 95% Confidence Intervalfor B Dependent Variable: ya.（2）的估计：XYμ即总体中当X 为某定值X 0的条件下Y 的均数。

⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+=±ναXX XX XY Y Y l X X n MS l X X n S S S t Y 2020.ˆˆ,)(1)(1ˆ剩余Y ˆμ())/(3996.058.54533.17152016638.2101.2)/(9182.11154585.07957.18ˆ2ˆ18,05.0L mmol S t L mmol Y Y =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+===⨯-=Y S t Y ˆ18,05.0ˆ±即：11.918±2.101×0.3396= ( 11.08, 12.76 )例：用例1所求直线回归方程，试计算当X 0= 15 mU/L时，的95%可信区间。

X Y μ的（1－α）可信区间图XYμYS t Y ˆ,ˆνα±（3）个体Y 值的预测区间（容许区间）：即总体中当X 为某定值X 0时，个体Y 值的波动范围。

⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=-++=±XX XX xy Y Y l X X n MS l X X n S S S t Y 22.,)(11)(11ˆ剩余να注意：S Y 并非是样本观察值Y 的标准差个体Y值的（1－α）容许区间图例：例1中，当X=15，求个体Y 值的预测区间（α=0.05）。

()15.448), 388.8(6803.1101.2918.116803.158.54533.171520116638.22=⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=Y S5. 直线回归方程的应用（1）预测：即把预报因子（自变量X）代入回归方程对预报量（应变量Y）进行估计。

1）点预测：2）区间预测：区间预测：当X 是已知时，按一定概率估计应变量所在范围。

可按求个体Y 值预测区间方法计算。

⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=±ναXX Y Yl X X n MS S S t Y 2,)(11ˆ剩余例：例1资料中，当胰岛素浓度X=15mU/L 时，试估计血糖浓度（α=0.05）。

()15.448), 388.8(6803.1101.2918.116803.158.54533.171520116638.2S 2Y =⨯±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=（2）控制：指当要求应变量Y在一定范围内波动时，如何控制自变量X的取值。

例：已知血糖正常范围为（4.44~6.66 mmol/L），在前例资料的基础上，问欲将血糖水平控制在正常范围内时，血中胰岛素应维持在什么范围内（ =0.05）？解得：X （33.95，38.79）mU/L6638.2101.2)4585.07961.18(ˆ66.66638.2101.2)4585.07961.18(ˆ44.418,05.018,05.0⨯+-=+>⨯--=-<X S t Y X S t Y Y Y二、直线相关(linear correlation)1. 相关系数（ρ, r)表示两变量直线相关的密切程度和方向。

相关系数波动范围：-1 ≤r ≤1（1）密切程度：|r| →1，相关越密切；|r| →0，相关越弱。

r=1或-1，称完全相关；r=0，称零相关，表示不存在直线相关关系，但不排除存在某种曲线关系的可能性。

（2）方向：2. 相关分析的步骤（1）绘制散点图观察两变量间是否呈直线趋势20名糖尿病人的血糖水平与胰岛素水平的散点（2）计算相关系数计算例1资料的相关系数YYXX XY l l l r ⋅=8398.06514.16258.54516.250-=⨯-=r Pearson 相关系数积差法相关系数3. 相关系数的假设检验例1 资料：H 0：ρ= 0 ；H 1：ρ≠0；α=0.05查表得：P< 0.01 (结果同回归系数检验)2-n 122122=--=---=νρr n r n r r t ()56.68398.012208398.01222-=----=--=r n r t t 检验查表法：P.719 r 界值表。