2016全国2卷高考文科数学试卷及答案

2016年普通高等学校招生全统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 已知集合{}3,2,1=A ，{}92<=x x B ，则=B A （A ）{}3,2,1,0,1,2-- （B ）{}2,1,0,1- （C ）{}3,2,1 （D ）{}2,1（2） 设复数z 满足i i z -=+3，则=z（A ）i 21+- （B ）i 21- （C ）i 23+ （D ）i 23- （3） 函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图像如图所示，则（A ）)62sin(2π-=x y （B ）)32sin(2π-=x y （C ）)62sin(2π+=x y （D ）)32sin(2π+=x y （4） 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（A ）π12 （B ）π332（C ）π8 （D ）π4 （5） 设F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，曲线)0(>=k xky 与C 交于点P ，x PF ⊥轴，则=k （A ）21 （B ）1 （C ）23（D ）2 （6） 圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a（A ）3 （B ）43-（C ）3 （D ）2 （7） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π （C ）28π （D ）32π（8） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（A ）107 （B ）85 （C ）83 （D ）103（9） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ,依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数xy lg 10=的定义域和值域相同的是（A ）x y = （B ）x y lg = （C ）xy 2= （D ）xy 1=（11）函数）（x x x f -+=2cos6 2 cos )(π的最大值为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（12）已知函数)( )(R x x f ∈满足)2()(x f x f -=，若函数322--=x x y 与)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ⋯，则∑=mi ix1（A ）0 （B ）m （C ）m 2 （D ）m 4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。

第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量a )4,(m =，b )2,3(-=，且a ∥b ，则=m ．（14）若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥+-,03,03,01x y x y x 则y x z 2-=的最小值为 ．（15）ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若1,135cos ,54cos ===a C A ，则=b ． （16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，且443=+a a ，675=+a a ．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．（18）（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：随机调查了设该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（Ⅰ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求)(A P 的估计值；（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求)(B P 的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值．（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点F E ,分别在CD AD ,上，CF AE =，EF 交BD 于点H .将DEF △沿EF 折到EF D '△的位置.（Ⅰ）证明：D H AC '⊥； （Ⅱ）若5=AB ，6=AC ，45=AE ，22='OD ，求五棱锥ABCFE D -'的体积．（20）（本小题满分12分）已知函数)1( ln )1()(--+=x a x x x f ．（Ⅰ）当4=a 时，求曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）若当),1(+∞∈x 时，0)(>x f ，求a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知A 是椭圆E ：13422=+y x 的左顶点，斜率为)0(>k k 的直线交E 于M A ,两点，点N 在E 上，NA MA ⊥.（Ⅰ）当AN AM =时，求AMN △的面积；（Ⅱ）当AN AM =2时，证明：23<<k .请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，G E ,分别在边DC DA ,上（不与端点重合），且DG DE =,过D 点作CE DF ⊥,垂足为F .（Ⅰ）证明：F G C B ,,,四点共圆；（Ⅱ）若1=AB ，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为25)6(22=++y x . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是⎩⎨⎧==,sin ,cos ααt y t x （t 为参数），l 与C 交于B A ,两点，10=AB ，求l 的斜率.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数2121)(++-=x x x f ，M 为不等式2)(<x f 的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当M b a ∈,时，ab b a +<+1.2016年全国卷Ⅱ高考数学（文科）答案一. 选择题（1）D （2）C （3） A （4）A （5） D （6）A（7）C （8）B （9） C （10）D （11） B （12）B 二．填空题(13)6-(14)5-（15）2113（16）1和3三、解答题（17）(本小题满分12分)(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==， 所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=； 当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=； 当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=， 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=. （18）(本小题满分12分)(Ⅰ)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60500.55200+=， 故P(A)的估计值为0.55.（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30300.3200+=， 故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为：调查200名续保人的平均保费为0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.3020.10 1.1925a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. （19）（本小题满分12分）（I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD又由=AE CF 得=AE CFAD CD，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD .（II ）由//EF AC 得1.4==OH AE DO AD 由5,6==AB AC得 4.===DO BO所以1, 3.'===OH D H DH于是2222219,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BDHD H ，所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD 又由,'⊥=OD OH ACOH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC又由=EF DH AC DO 得9.2=EF 五边形ABCFE 的面积11969683.2224=⨯⨯-⨯⨯=S 所以五棱锥体积169342=⨯⨯=V （20）（本小题满分12分）（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，'ABCEF D -1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x 令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得1211=-=-+x a x a由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()0<g x .综上，a 的取值范围是(],2.-∞ （21）（本小题满分12分）（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （II ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故2212121||1|2|34k AM k x k +=++=+. 由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k=-+，故同理可得22121||43k k AN k +=+. 由2||||AM AN =得2223443k k k=++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥， 所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又(3)153260,(2)60f f =-<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<.（22）（本小题满分10分）（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ∆~∆则有,,DF DE DG GDF DEF FCB CF CD CB∠=∠=∠== 所以,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠由此0180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆. （II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯= （23）（本小题满分10分）（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==，所以l 或 （24）（本小题满分10分）（I ）先去掉绝对值，再分12x <-，1122x -≤≤和12x >三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时，()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+成功就是先制定一个有价值的目标，然后逐步把它转化成现实的过程。