年上海市浦东新区中考数学二模试卷 解析版
上海市浦东新区2019年中考数学二模试卷含答案解析+【精选五套中考模拟卷】
上海市浦东新区2019年中考数学二模试卷含答案解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2019的相反数是（）A．B．﹣2019 C．﹣D．20192．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣14．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，156．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|= ．8．不等式x﹣1＜2的解集是．9．分解因式：8﹣2x2= ．10．计算：3（）+2（﹣2）= ．11．方程的根是．12．已知函数f（x）=，那么f（）= ．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A 到B所经过的路程为米．14．正八边形的中心角等于度．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2= ．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2sin45°﹣20190++（）﹣1．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（12分）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D （1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．24．（12分）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2019的相反数是（）A．B．﹣2019 C．﹣D．2019【考点】相反数．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：2019的相反数是﹣2019．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=3，c=2代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=3，c=2，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选C．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣1【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质．【分析】分析四个选项中得函数解析式，根据系数的正负结合各函数的性质即可得出其增减性，由此即可得出结论．【解答】解：A 、y=﹣中k=﹣1＜0，∴函数y=﹣的图象在第二、四象限内y 随着x 的增大而增大；B 、y=x 2﹣1中a=1＞0，∴函数y=x 2﹣1的图象在第二、三象限内y 随着x 的增大而减小，在第一、四象限内y 随着x 的增大而增大；C 、y=﹣中k=1＞0，∴函数y=的图象在第一、三象限内y 随着x 的增大而减小；D 、y=﹣x ﹣1中k=﹣1＜0，b=﹣1＜0，∴函数y=﹣x ﹣1的图象在第二、三、四象限内y 随着x 的增大而减小．故选A ．【点评】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是逐项分析四个选项的增减性．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各函数的性质及各函数的图象是解题的关键．4．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况，∴这个两位数是素数的概率为： =．故选A ．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，15【考点】众数；折线统计图；中位数．【分析】根据中位数和众数的概念求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数；17℃出现的次最多，为众数．【解答】解：17℃出现了2次，最多，故众数为17℃；共7个数据，从小到大排列为8，9，11，14，15，17，第4个数为14，故中位数为14℃．故选C．【点评】本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数．6．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形的重心．【分析】延长AM交BC于点D，根据△ABC是等边三角形可知AD⊥BC，设AM=2x，则DM=x，利用锐角三角函数的定义用x表示出AB的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：延长AM交BC于点D，∵△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC．设AM=2x，则DM=x，∴AD=3x，∴AB===2x．∵△ABC和△AMN都是等边三角形，∴△ABC∽△AMN，∴=（）2=（）2=．故选B．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|= ．【考点】有理数的减法；绝对值．【分析】首先根据有理数的减法法则，求出﹣1的值是多少；然后根据一个负数的绝对值等于它的相反数，求出|﹣1|的值是多少即可．【解答】解：|﹣1|=|﹣|=．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．8．不等式x﹣1＜2的解集是x＜3 ．【考点】解一元一次不等式．【分析】解不等式x﹣1＜2，即可得到不等式x﹣1＜2的解集，本题得以解决．【解答】解：x﹣1＜2两边同时加1，得x﹣1+1＜2+1x＜3，故答案为：x＜3．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是会解一元一次不等式的方法．9．分解因式：8﹣2x2= 2（2+x）（2﹣x）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可．【解答】解：原式=2（4﹣x2）=2（2+x）（2﹣x）．故答案为：2（2+x）（2﹣x）．【点评】本题考查的是提取公因式法与公式法的综合运用，熟记平方差公式是解答此题的关键．10．计算：3（）+2（﹣2）= ﹣﹣．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：3（）+2（﹣2）=3﹣3+2﹣4=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号法则是解此题的关键．11．方程的根是x=﹣4 ．【考点】无理方程．【分析】9的算术平方根是3，故5﹣x=9，x=﹣4．【解答】解：因为算术平方根的被开方数是非负数，根据题意可得，5﹣x=9，解得：x=﹣4．故本题答案为：x=﹣4．【点评】记准算术平方根的被开方数是非负数这一要求，是解决这类问题的关键．12．已知函数f（x）=，那么f（）= 3 ．【考点】函数值．【分析】将x=代入计算即可．【解答】解：f（）====3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是求函数值，掌握二次根式的性质是解题的关键．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A 到B所经过的路程为18 米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】直接利用坡角的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：∵传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，∴可得：BC=9m，则=，解得：AC=9，则AB===18（m）．故答案为：18．【点评】此题主要考查了坡角的定义，根据题意得出AC的长是解题关键．14．正八边形的中心角等于45 度．【考点】正多边形和圆．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是720 ．【考点】条形统计图；用样本估计总体．【分析】用所有学生数乘以样本中课外阅读时间不少于6小时的人数所占的百分比即可．【解答】解：估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是：1200×=720（人），故答案为：720．【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中不少于6小时的人数所占的百分比．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为1或5 ．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由于⊙O1与⊙O2相切，则分两圆内切和外切讨论得到R+2=3或R﹣2=3，然后解两个一次方程即可．【解答】解：∵⊙O1与⊙O2相切，∴R+2=3或R﹣2=3，∴R=1或R=5．故答案为1或5．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2= 4 ．【考点】解二元一次方程组；有理数的混合运算．【分析】已知等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出所求式子的值．【解答】解：根据题中的新定义得：，解得：，则1﹡2=1×2+2×1=2+2=4，故答案为：4【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AD=x，再根据折叠的性质得∠PDE=∠ADE=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，于是可判断点P在边AC上，所以PC=20﹣2x，然后利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则∠A=∠3，则可判断Rt△BCP∽Rt△ABC，利用相似比可计算出x．【解答】解：如图，设AD=x，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，∴AB=25，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠ACB=90°，∵△ADE沿DE翻折得到△PDE，∴∠PED=∠AED=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，∴CD=20﹣x，∵∠CPD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠A+∠B=90°，∴∠2=∠B，∴PC=BC=15，∵CD2=CP2+PD2，即（20﹣x）2=152+x2，∴x=，∴AD=．故答案为：．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2019•浦东新区二模）计算：2sin45°﹣20190++（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣1+2+2=1+3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2019•浦东新区二模）解方程：．【考点】解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．【分析】本题的最简公分母是（x+2）（x﹣2）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+（x+2）2=8，x2﹣2x+x2+4x+4=8，整理得x2+x﹣2=0．解得x1=﹣2，x2=1．经检验，x2=1为原方程的根，x1=﹣2是增根（舍去）．∴原方程的根是x=1．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．21．（10分）（2019•浦东新区二模）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．【考点】垂径定理．【分析】首先过点O作OD⊥AB于D，应用直角三角形的性质和三角函数的求法，求出AD的长度是多少；然后应用垂径定理，求出弦AB的长是多少即可．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于D，，∵OA2+OC2=AC2，∴AC2=42+32=25，∴AC=5．在Rt△AOC中，cos∠OAC==，在Rt△ADO中，cos∠OAD=，∴==，∴AD=×4=．∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2×=．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，直角三角形的性质和三角函数的求法，要熟练掌握．22．（10分）（2019•浦东新区二模）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【考点】一次函数的应用．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）直接利用每吨的成本×生产吨数=总成本为210万元，进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）设函数解析式为：y=kx+b，将（0，10），（40，6）分别代入y=kx+b得：，解得：，所以y=﹣x+10（0≤x≤40）；（2）由（﹣x+10）x=210，解得：x1=30，x2=70，由于0≤x≤40，所以x=30，答：该产品的生产数量是30吨．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确利用待定系数法求出一次函数解析式是解题关键．23．（12分）（2019•浦东新区二模）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形、∠ECA=∠D可得∠ECA=∠B，∠E为公共角可得△EAC∽△ECB；（2）由CD∥AE、DF=AF可得CD=AE，进而有BE=2AE，根据△EAC∽△ECB得，即： =，可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠ECA=∠D，∴∠ECA=∠B，∵∠E=∠E，∴△EAC∽△ECB；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，即：CD∥AE∴，∵DF=AF∴CD=AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AE=AB，∴BE=2AE，∵△EAC∽△ECB，∴，∴，即： =，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似形的对应边成比例和平行四边形的性质是关键．24．（12分）（2019•浦东新区二模）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）把B（3，6）代入y=ax2﹣4ax+2，求出a的值，得到二次函数的解析式，进而求出点A的坐标；（2）先求出抛物线的对称轴，根据对称性得出C点坐标，求出BC=2，AB=5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，再求出CH=，AH=，根据正切函数定义即可求出∠CAB的正切值；（3）由AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7），设P（x，0）根据PB=PB1，分B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）两种情况利用勾股定理求得x值．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象过点B（3，6），∴6=9a﹣12a+2，解得a=﹣，所以二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2，∵二次函数y=﹣x2+x+2的图象与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）；（2）∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣2）2+，∴对称轴为直线x=2，∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），∴BC=2，AB==5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=，BH=，AH=，∴tan∠CAB==；（3）由题意，AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）．设P（x，0）．①如果点B1（0，7），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+72，解得x=﹣，即P（﹣，0）；②如果点B1′（0，﹣3），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+32，解得x=6，即P（6，0）；综上所述，所求点P的坐标为（﹣，0）或（6，0）．【点评】本题主要考查待定系数求二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理等，求二次函数解析式是基础，构建直角三角形求三角函数值是基本做法，通过勾股定理得出点坐标间联系是关键．25．（14分）（2019•浦东新区二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质求出DE和BG，求出EF；（2）作DH⊥AC于H，根据相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式；（3）根据点G在边BC上和点G在边AB上两种情况，根据相似三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD=5，∵DEFG为矩形，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=，即=，解得，DE=，∵△ADE∽△FGB，∴=，则BG=，∴EF=DG=AB﹣AD﹣BG=；（2）如图2，作DH⊥AC于H，∴DH∥BC，又AD=DB，∴DH=BC=3，∵DH⊥AC，∠C=90°，∠DEF=90°，∴△DHE∽△ECF，∴==，∴EC=2DH=6，EH=x﹣6，∴DE2=32+（x﹣6）2=x2﹣6x+45，∴y=DE•EF=2DE2=x2﹣12x+90，（3）如图3，当点G在边BC上时，∵，DE=3，∴EF=，∴AC=9，如图4，当点G在边AB上时，设AD=DB=a，DE=2b，EF=3b，∵△ADE∽△FGB，∴=，即=，整理得，a2﹣3ab﹣4b2=0，解得，a=4b，a=﹣b（舍去），∴AD=2DE，∵△ADE∽△ACB，∴AC=2BC=12，综上所述，点G恰好落在Rt△ABC的边上，AC的长为9或12．【点评】本题的是矩形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的求法以及三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上）1. 计算(－4)＋6的结果为A．－2 B．2 C．－10 D．22．我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为A．3.5×106B．3.5×107C．35×105D．0.35×1083．下列图形中，是中心对称图形的是A． B． C． D．21·cn·jy·com4．如图，数轴上有四个点M，P，N，Q，若点M，N表示的数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数对应的点是A．点M B．点N C．点P D．点Q5．如图是某个几何体的三视图，该几何体是A．三棱柱B．三棱锥C．圆锥D．圆柱6．已知方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1＋x2的值为A．4 B．23C．43D．－437．八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是A.1010202x x-= B.1010202x x-=C.1010123x x-= D.1010123x x-=8．若圆锥的母线长是12，侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的半径为A. 2B. 4C. 6D. 89．如图，点A为反比例函数y＝8x(x﹥0)图象上一点，点B为反比例函数y＝kx(x﹤0)图象上一点，直线AB 过原点O，且OA＝2OB，则k的值为QP NM左视图主视图俯视图（第5题）A ．2B ．4C ．－2D ．－410＝4，BC ＝6，E 为BC 的中点.将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则△CDF的面积为 A.3.6B. 4.32C. 5.4D. 5.76二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置．上） 11．9的算术平方根为 ▲ ．12．如图，若AB ∥CD ，∠1＝65°，则∠2的度数为 ▲°． 13．分解因式：12a 2－3b 2＝ ▲ ．14．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BOD ＝100°，则∠BCD ＝ ▲ °． 15．如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．若标杆BE 的高为1.2m ，测得AB ＝1.6m ，BC ＝12.4m ，则楼高CD 为 ▲ m ．16．小洪根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：平均数 中位数 众数 方差 8.58.38.10.15如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是 ▲ ． 17．将正六边形ABCDEF 放入平面直角坐标系xOy 后，若点A ，B ，E 的坐标分别为（a ，b ），（－3，－1），（－a ，b ），则点D 18. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 是直线y ＝33x ＋433上一动点，将点A 向右 平移1个单位得到点B ，点C （1，0），则 OB ＋CB 的最小值为 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （本小题满分10分）（1）计算(x ＋y)2－y(2x ＋y)；（第10题）8xy （第9题）（第18题）DCEBA（第15题）（第14题）DCB A 1（第12题）2（2）先化简，再求代数式的值：2221()244a a a a a a +----+÷4a a-，其中a＝2．20．（本小题满分9分）近年来，我国很多地区持续出现雾霾天气．某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”， 随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m ＝ ▲ ，n ＝ ▲ ，扇形统计图中E 组所占的百分比为 ▲ % ； （2）若该市人口约有400万人，请你计算其中持D 组“观点”的市民人数； （3）对于“雾霾”这个环境问题，请用简短的语言发出倡议．21．（本小题满分8分）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．从袋中随机摸出一只小球，再从剩下的小球中随机摸出一只小球，请用列表法或画树形图的方法，求两次摸出的小球上所标数字之和大于4的概率．22．（本小题满分8分）如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路AD 的距离，在点A 处测得∠BA D ＝37°，沿AD 方向前进150米到达点C ，测得∠BCD＝45°. 求小岛B 到河边公路AD 的距离. （参考数据：sin37°≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈0.75）23．（本小题满分8分）如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点E.求DE 的长.C 10%B A20%DE调查结果扇形统计图BCA(第22题)D24．（本小题满分9分）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.（1）若不等式组122136xx x⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩，的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是▲（写出一个即可）；（2）若方程3－x＝2x，3＋x＝2(x＋12)都是关于x的不等式组22x x mx m<-⎧⎨-⎩，≤的关联方程，试求m的取值范围.25．（本小题满分8分）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45º.△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到，连接BE，CF相交于点D.（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ABDF是菱形时，求CD的长.26．（本小题满分10分）请用学过的方法研究一类新函数kyx=（k为常数，k≠0）的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数6yx=的图象（可以不列表）；（2）对于函数kyx=，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？（3）函数kyx=的图象可以经过怎样的变化得到函数2kyx=+的图象？（第25题）FEDCBA27．（本小题满分13分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，点P 在AB 上，点Q 在DC 的延长线上，连接DP ，QP ，且∠APD ＝∠QPD ，PQ 交BC 于点G. （1）求证：DQ ＝PQ ； （2）求AP ·DQ 的最大值；（3）若P 为AB 的中点，求PG 的长.28.（本小题满分13分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （c ≠4a ），其图象L 经过点A （－2，0）. （1）求证：b 2－4ac ＞0；（2）若点B （－c2a，b ＋3）在图象L 上，求b 的值；（3）在（2）的条件下，若图象L 的对称轴为直线x ＝3，且经过点C （6，－8），点D （0，n ）在y 轴负半轴上，直线BD 与OC 相交于点E ，当△ODE 为等腰三角形时，求n 的值.（第27题）数学试题参考答案与评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）11． 3 12．6513．3(2a ＋b)(2a －b)14．13015．10.516．中位数17．（3，－1）18三、解答题（本大题共10小题，共96分．） 19．（本小题满分10分）（1）解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy －y 2················· 4分 ＝x 2 ························· 5分 （2）解：原式＝221[](2)(2)4a a aa a a a －－－－－ ··············· 6分 ＝2(2)(2)(1)(2)4a a a a aa a a ＋－－－－－ ··················· 7分＝24(2)4a aa a a －－－ ························ 8分＝21(2)a － ··························· 9分当a ＝2时，21(2)a －15＝ ············ 10分 20．（本小题满分9分）（1）80， 100，15； ························· 3分 （2）400×120400＝120（万）， 答：其中持D 组“观点”的市民人数约为120万人； ········· 6分 （3）根据所抽取样本中持C 、D 两种观点的人数占总人数的比例较大，所以倡议今后的环境改善中严格控制工厂的污染排放，同时市民多乘坐公共汽车， 减少私家车出行的次数． ······················· 9分 21．（本小题满分8分）· 5分 因为所有等可能的结果数共有12种，其中所标数字之和大于4的占8种，·································· 6分所以 P（数字之和大于4）＝812＝23. ················· 8分22．（本小题满分8分）解：过B作BE⊥CD垂足为E，设BE＝x米，·············· 1分在Rt△ABE中，tanA＝BEAE，········· 2分AE＝BEtanA＝BEtan37°＝43x，······· 3分在Rt△ABE中，tan∠BCD＝BECE，······· 4分CE＝BEtan∠BCD＝xtan45°＝x，······ 5分∵AC＝AE－CE，∴43x－x＝150解得x＝450 ················ 7分答：小岛B到河边公路AD的距离为450米. ·············· 8分23．（本小题满分8分）解：连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H．··············· 1分由垂径定理得AH=12AC=3．在Rt△A OH中，OH＝52－32＝4．········· 2分∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE，∠ODE＝90°．············ 3分∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC．·········· 5分∴∠E＝180°－90°＝90°．又OH⊥AC，∴∠OHE＝90°，∴四边形ODEH为矩形．·············· 7分∴DE＝OH＝4．·················· 8分24．（本小题满分9分）（1）x－2＝0；（答案不唯一）····················· 3分（2）解方程3－x＝2x得x＝1，解方程3＋x＝2(x＋12)得x＝2，······ 5分解不等式组22x x mx m<-⎧⎨-⎩，≤得m＜x≤m＋2，·············· 7分∵1，2都是该不等式组的解，（第23题）EBCA(第22题)D。
2019年沪教版中考模拟上海市浦东新区中考数学二模试卷 含解析
2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题1．下列各数不是4的因数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．如果分式x y x y+-有意义，则x 与y 必须满足( ) A ．x y =- B ．x y ≠- C ．x y = D ．x y ≠3．直线27y x =-不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AO CO =，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是( )A ．BO DO =B ．AB BC = C ．AB CD = D ．//AB CD二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．52的相反数是 ． 8．分解因式：2224a ab b -+-= ．9．已知函数()f x =，那么(2)f -= ．10．如果关于x 的方程220x x m ++=有两个实数根，那么m 的取值范围是 ．11．已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x 厘米(0)x >，周长为y 厘米，那么y 关于x 的函数解析式为 ．12．从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是 ．13．在四边形ABCD 中，向量AB u u u r 、CD u u u r 满足4AB CD =-u u u r u u u r ，那么线段AB 与CD 的位置关系是 ．14．某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为名．15．已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于 ．16．已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米．17．如图，已知在ABC ∆中，3AB =，2AC =，45o A ∠=，将这个三角形绕点B 旋转，使点A 落在射线AC 上的点1A 处，点C 落在点1C 处，那么1AC = ．18．定义：如果P 是圆O 所在平面内的一点，Q 是射线OP 上一点，且线段OP 、OQ 的比例中项等于圆O 的半径，那么我们称点P 与点Q 为这个圆的一对反演点．已知点M 、N 为圆O 的一对反演点，且点M 、N 到圆心O 的距离分别为4和9，那么圆O 上任意一点到点M 、N 的距离之比AM AN= ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：102(3)9|2331--+．20．解不等式组：25351263x x x +⎧⎪⎨-<⎪⎩…，并写出这个不等式组的自然数解． 21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线6y x=经过第一象限内的点A ，延长OA 到点B ，使得2BA AO =，过点B 作BH x ⊥轴，垂足为点H ，交双曲线于点C ，点B 的横坐标为6．求：（1）点A 的坐标；（2）将直线AB 平移，使其经过点C ，求平移后直线的表达式．22．如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB 最长为20米，吊臂与水平线的夹角ABC ∠最大为70︒，旋转中心点B 离地面的距离BD 为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A 离地面的最大距离AH （参考数据：sin 700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan 70 2.75)︒≈；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．23．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，AB AD =，AM BD ⊥，垂足为点M ，连接CM 并延长，交线段AB 于点N ．求证：（1）ABD BCM ∠=∠；（2）BC BN CN DM =g g ．24．已知抛物线213y x bx c =++经过点(3,4)M -，与x 轴相交于点(3,0)A -和点B ，与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果P是这条抛物线对称轴上一点，PC BC=，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，当点P在x轴上方时，求PCB∠的正弦值．25．已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN AP⊥，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，8AB=．（1）当P是优弧¶AB的中点时（如图），求弦AP的长；（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，32为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；（3）当BNO BON∠=∠，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各数不是4的因数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：4Q 的因数有：1、2、4，∴各数不是4的因数是3．故选：C ．2．如果分式x y x y+-有意义，则x 与y 必须满足( ) A ．x y =- B ．x y ≠- C ．x y = D ．x y ≠【解答】解：由题意得：0x y -≠，即：x y ≠，故选：D ．3．直线27y x =-不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：Q 直线21y x =-，20k =>，1b =-，∴该直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B ．4．某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解答】解：由题意知甲的方差最小，成绩最稳定，故选：A ．5．在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①线段是轴对称图形，②等边三角形是轴对称图形，③等腰梯形是轴对称图形，④平行四边形不是轴对称图形，综上所述，一定是轴对称图形的是①②③共3个．故选：C ．6．已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AO CO =，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是( )A ．BO DO =B ．AB BC = C ．AB CD =D ．//AB CD 【解答】解：//AD BC Q ，ADB CBD ∴∠=∠，在ADO ∆与CBO ∆中，ADB CBDAOD COB OA CO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADO CBO AAS ∴∆≅∆，AD CB ∴=，∴四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =Q∴四边形ABCD 是菱形；故B 正确；故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．52的相反数是 2 ．【解答】解：52的相反数是52-，故答案为：52-．8．分解因式：2224a ab b -+-= (2)(2)a b a b -+-- ．【解答】解：2224a ab b -+-2()4a b =--(2)(2)a b a b =-+--．故答案为：(2)(2)a b a b -+--．9．已知函数()6f x x =+，那么(2)f -= 2 ．【解答】解：()6f x x =+Q ，(2)262f ∴-=-+=．故答案为：2．10．如果关于x 的方程220x x m ++=有两个实数根，那么m 的取值范围是 1m … ．【解答】解：Q 方程有两个实数根，∴△22424440b ac m m =-=-⨯=-…， 解得：1m …．故答案为：1m …．11．已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x 厘米(0)x >，周长为y 厘米，那么y 关于x 的函数解析式为 12y x = ．【解答】解：Q 正多边形的中心角为30度，∴3601230︒=︒， ∴正多边形为正十二边形，设边长为x 厘米(0)x >，周长为y 厘米，则y 关于x 的函数解析式为：12y x =； 故答案为：12y x =．12．从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是 13． 【解答】解：共有6种情况，是偶数的有2种情况，所以组成的两位数是偶数的概率为13， 故答案为：13．13．在四边形ABCD 中，向量AB u u u r 、CD u u u r 满足4AB CD =-u u u r u u u r ，那么线段AB 与CD 的位置关系是 平行 ．【解答】解：Q 4AB CD =-u u u r u u u r ，∴AB u u u r 与CD u u u r 是共线向量，由于AB u u u r 与CD u u u r 没有公共点，//AB CD ∴，故答案为：平行．14．某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为 160 名．【解答】解：根据题意结合统计图知：估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为1056016052010⨯=++人， 故答案为：160．15．已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于 130︒ ．【解答】解：18050130︒-︒=︒．故这个角的补角等于130︒．故答案为：130︒．16．已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 7 厘米．【解答】解：梯形的中位线长1(59)72=⨯+=（厘米） 故答案为：7．17．如图，已知在ABC ∆中，3AB =，2AC =，45o A ∠=，将这个三角形绕点B 旋转，使点A 落在射线AC 上的点1A 处，点C 落在点1C 处，那么1AC = 22 ．【解答】解：如图，连接1AC ，由旋转知，ABC ∆≅△11A BC ，13AB A B ∴==，112AC A C ==，1145CAB C A B ∠=∠=︒，145CAB CA B ∴∠=∠=︒，1ABA ∴∆为等腰直角三角形，1111190AA C CA B C A B ∠=∠+∠=︒，在等腰直角三角形1ABA 中，1232AA AB ==，在Rt △11AA C 中，22221111(32)222AC AA A C =+=+=，故答案为：22．18．定义：如果P 是圆O 所在平面内的一点，Q 是射线OP 上一点，且线段OP 、OQ 的比例中项等于圆O 的半径，那么我们称点P 与点Q 为这个圆的一对反演点．已知点M 、N 为圆O 的一对反演点，且点M 、N 到圆心O 的距离分别为4和9，那么圆O 上任意一点到点M 、N 的距离之比AM AN 3．【解答】解：由题意Oe的半径24936r=⨯=，r>Q，6r∴=，当点A在NO的延长线上时，6410AM=+=，6915AN=+=，∴102153 AMAN==，当点A''是ON与Oe的交点时，2A M''=，3A N''=，∴23A MA N''=''，当点A'是Oe上异与A，A''两点时，易证△OA M ONA'∆'∽，∴6293A M OAA N ON''==='，综上所述，23AMAN=．故答案为：23．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：102(3)9|2331--+．【解答】解：原式1331231=--+=-．20．解不等式组：25351263xx x+⎧⎪⎨-<⎪⎩…，并写出这个不等式组的自然数解．【解答】解：25351263xx x+⎧⎪⎨-<⎪⎩①②…，由①得：1x-…，由②得：4x<．故不等式组的解集是：14x-<…．故这个不等式组的自然数解是：0，1，2，3．21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线6yx=经过第一象限内的点A，延长OA到点B，使得2BA AO=，过点B作BH x⊥轴，垂足为点H，交双曲线于点C，点B的横坐标为6．求：（1）点A的坐标；（2）将直线AB平移，使其经过点C，求平移后直线的表达式．【解答】解：（1）作AD x⊥轴，垂足为D，BH x⊥Q轴，AD x⊥轴，90BHO ADO∴∠=∠=︒，//AD BH∴，2BA AO=Q，∴12 OD OADH AB==，Q点B的横坐标为6，6OH∴=，2OD∴=，Q双曲线6yx=经过第一象限内的点A，可得点A的纵坐标为3，∴点A的坐标为(2,3)；（2）Q双曲线6yx=上点C的横坐标为6，∴点C的坐标为(6,1)，由题意得，直线AB的表达式为32y x =，∴设平移后直线的表达式为32y x b =+，Q平移后直线32y x b=+经过点(6,1)C，3162b∴=⨯+，解得8b=-，∴平移后直线的表达式382y x =-． 22．如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB 最长为20米，吊臂与水平线的夹角ABC ∠最大为70︒，旋转中心点B 离地面的距离BD 为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A 离地面的最大距离AH （参考数据：sin 700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan 70 2.75)︒≈；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．【解答】解：（1）根据题意，得20AB =，70ABC ∠=︒，2CH BD ==，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒Q ，sin 70200.9418.8AC AB ∴=︒=⨯=g ，20.8AH ∴=．答：这辆吊车工作时点A 离地面的最大距离AH 为20.8米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x 千米，由题意，得40401203x x -=-， 解得，160x =，240x =-，经检验：160x =，240x =-都是原方程的解，但240x =-符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．23．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，AB AD =，AM BD ⊥，垂足为点M ，连接CM 并延长，交线段AB 于点N ．求证：（1）ABD BCM ∠=∠；（2）BC BN CN DM =g g ．【解答】证明：（1）AB AD =Q ，ABD ADB ∴∠=∠，//AD BC Q ，ADB MBC ∴∠=∠，ABD MBC ∴∠=∠，AB AD =Q ，AM BD ⊥，BM DM ∴=，DC BC ⊥Q ，90BCD ∴∠=︒，CM BM DM ∴==，MBC BCM ∴∠=∠，ABD BCM ∴∠=∠；（2）BNM CNB ∠=∠Q ，NBM NCB ∠=∠，NBM NCB ∴∆∆∽，::BN CN BM BC ∴=，而BM DM =，::BN CN DM BC ∴=，BC BN CN DM ∴=g g ．24．已知抛物线213y x bx c =++经过点(3,4)M -，与x 轴相交于点(3,0)A -和点B ，与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果P 是这条抛物线对称轴上一点，PC BC =，求点P 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，当点P 在x 轴上方时，求PCB ∠的正弦值．【解答】解：（1）Q 抛物线213y x bx c ==++经过点(3,4)M -，( 3.0)A -， 433033b c b c -=++⎧⎨=-+⎩， 解得：235b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴这条抛物线的表达式为212533y x x =--； （2）(3,0)A -Q ，(5,0)B ，∴这条抛物线的对称轴为直线x l =．设点P 的坐标为(,)l y ．PC BC =Q ，点B 的坐标为(5,0)，点C 的坐标为(0,5)． 22PC BC ∴=．22221(5)55y ++=+．解得2y =或12y =-．∴点P 的坐标为(1,2)或(,12)l -；（3）作PH BC ⊥，垂足为点H ．Q 点(5.0)B ，点(0,5)C ，点(1,2)P ，52PC BC ∴==设直线BC 的解析式为5y kx =-，代入(5,0)B 解得1k =，∴直线BC 的解析式为5y x =-，把1x =代入得，4y =-，∴直线BC 与对称轴相交于点(1,4)D -，6PD ∴=，PBC PCD PBD S S S ∆∆∆=+Q ， ∴111526164222PH ⨯=⨯⨯+⨯⨯g ． 解得32PH =．323sin 552PCB ∴∠==．25．已知AB 是圆O 的一条弦，P 是圆O 上一点，过点O 作MN AP ⊥，垂足为点M ，并交射线AB 于点N ，圆O 的半径为5，8AB =．（1）当P 是优弧¶AB 的中点时（如图），求弦AP 的长； （2）当点N 与点B 重合时，试判断：以圆O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 的位置关系，并说明理由；（3）当BNO BON ∠=∠，且圆N 与圆O 相切时，求圆N 半径的长．【解答】解：（1）连接PO 并延长交弦AB 于点H ，如图1所示： P Q 是优弧¶AB 的中点，PH 经过圆心O ，PH AB ∴⊥，AH BH =，在AOH ∆中，90AHO ∠=︒，142AH AB ==，5AO =，3OH ∴===，在APH ∆中，90AHP ∠=︒，538PH OP OH =+=+=，AP ∴===；（2）当点N 与点B 重合时，以点O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 相交；理由如下： 作OG AB ⊥于G ，如图2所示：OBG ABM ∠=∠Q ，OGB AMB ∠=∠，OBG ABM ∴∆∆∽， ∴BM BG AB OB =，即485BM =， 解得：325BM =， 327555OM ∴=-=， Q 7352<， ∴当点N 与点B 重合时，以点O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 相交； （3）①当点N 在线段AB 延长线上时，当圆N 与圆O 相外切时，作OD AB ⊥于D ，如图3所示： 5OA OB ==Q ，142AD DB AB ∴===，3OD ∴===，BNO BON ∠=∠Q ，5BN OB ∴==，9DN DB BN ∴=+=，在Rt ODN ∆中，由勾股定理得：ON ===， Q 圆N 与圆O 相切，∴圆N 半径55ON =-=-；当圆N 与圆O 相内切时，圆N 半径55ON =+=+；②当点N 在线段AB 上时，此时点P 在弦AB 的下方，点N 在圆O 内部，如图4所示： 作OE AB ⊥于E ，则4AE BE ==，223OE OB BE =-=， BNO BON ∠=∠Q ，5BN OB ∴==，1EN BN BE ∴===，在Rt OEN ∆中，由勾股定理得：22223110ON OE EN =+=+=， ∴圆N 半径为510-或510+；综上所述，当BNO BON ∠=∠，且圆N 与圆O 相切时，圆N 半径的长为3105-或3105+或510-或510+．。
2012年上海市浦东新区中考数学二模试卷(含解析版)
°．
17．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 上一点，沿 AE 折叠，点 D
恰好落在 BC 边上的 F 点处，若 AB＝3，BC＝5，则 tan∠EFC 的值为
．
18．（4 分）如图，在直角坐标系中，⊙P 的圆心是 P（a，2）（a＞0），半径为 2；
直线 y＝x 被⊙P 截得的弦长为 2 ，则 a 的值是
么平移后的二次函数解析式为
．
14．（4 分）已知一个样本 4，2，7，x，9 的平均数为 5，则这个样本的中位数
为
．
15．（4 分）如图，已知点 D、E 分别为△ABC 的边 AB、AC 的中点，设 ， ，
则向量 ＝
（用向量 、 表示）．
16．（4 分）如图，BE 为正五边形 ABCDE 的一条对角线，则∠ABE＝
B．当 a＜1 时，点 B 在圆 A 内
C．当 a＜﹣1 时，点 B 在圆 A 外
D．当﹣1＜a＜3 时，点 B 在圆 A 内
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）Leabharlann 7．（4 分）4 的平方根是
．
8．（4 分）因式分解：x3﹣9x＝
．
第 1页（共 24页）
9．（4 分）求不等式 2x+3＞7 的解集
．
第 2页（共 24页）
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（10 分）计算：
．
20．（10 分）解方程：
．
21．（10 分）已知：如图，点 D、E 分别在线段 AC、AB 上，AD•AC＝AE•AB． （1）求证：△AEC∽△ADB； （2）AB＝4，DB＝5，sinC＝ ，求 S△ABD．
2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷 解析版
2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)【下列各题得四个选项中,有且只有一个选项就是正确得,选择正确项得代号并填涂在答题纸得相应位置上】1.(4分)下列各数不就是4得因数就是()A.1B.2C.3D.42.(4分)如果分式有意义,则x与y必须满足()A.x＝﹣yB.x≠﹣yC.x＝yD.x≠y3.(4分)直线y＝2x﹣7不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(4分)某运动队在一次队内选拔比赛中,甲、乙、丙、丁四位运动员得平均成绩相等,方差分别为0、85、1、23、5、01、3、46,那么这四位运动员中,发挥较稳定得就是()A.甲B.乙C.丙D.丁5.(4分)在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中,一定就是轴对称图形得个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.(4分)已知在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,AO＝CO,如果添加下列一个条件后,就能判定这个四边形就是菱形得就是()A.BO＝DOB.AB＝BCC.AB＝CDD.AB∥CD二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)7.(4分)得相反数就是.8.(4分)分解因式:a2﹣2ab+b2﹣4＝.9.(4分)已知函数f(x)＝,那么f(﹣2)＝.10.(4分)如果关于x得方程x2+2x+m＝0有两个实数根,那么m得取值范围就是.11.(4分)已知一个正多边形得中心角为30度,边长为x厘米(x＞0),周长为y厘米,那么y关于x得函数解析式为.12.(4分)从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数,在组成得所有两位数中任意抽取一个数,这个数恰好就是偶数得概率就是.13.(4分)在四边形ABCD中,向量、满足,那么线段AB与CD得位置关系就是.14.(4分)某校有560名学生,为了解这些学生每天做作业所用得时间,调查人员在这所学校得全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查,并把结果制成如图得统计图,根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时得人数约为名.15.(4分)已知一个角得度数为50度,那么这个角得补角等于.16.(4分)已知梯形得上底长为5厘米,下底长为9厘米,那么这个梯形得中位线长等于厘米.17.(4分)如图,已知在△ABC中,AB＝3,AC＝2,∠A＝45o,将这个三角形绕点B旋转,使点A落在射线AC上得点A1处,点C落在点C1处,那么AC1＝.18.(4分)定义:如果P就是圆O所在平面内得一点,Q就是射线OP上一点,且线段OP、OQ得比例中项等于圆O得半径,那么我们称点P与点Q为这个圆得一对反演点.已知点M、N 为圆O得一对反演点,且点M、N到圆心O得距离分别为4与9,那么圆O上任意一点到点M、N得距离之比＝.三、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.(10分)计算:(﹣3)0﹣9++|2﹣|.20.(10分)解不等式组:,并写出这个不等式组得自然数解.21.(10分)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y＝经过第一象限内得点A,延长OA到点B,使得BA＝2AO,过点B作BH⊥x轴,垂足为点H,交双曲线于点C,点B得横坐标为6.求:(1)点A得坐标;(2)将直线AB平移,使其经过点C,求平移后直线得表达式.22.(10分)如图1,一辆吊车工作时得吊臂AB最长为20米,吊臂与水平线得夹角∠ABC最大为70°,旋转中心点B离地面得距离BD为2米.(1)如图2,求这辆吊车工作时点A离地面得最大距离AH(参考数据:sin70°≈0、94,cos70°≈0、34,tan70°≈2、75);(2)一天,王师傅接到紧急通知,要求将这辆吊车立即开到40千米远得某工地,因此王师傅以每小时比平时快20千米得速度匀速行驶,结果提前20分钟到达,求这次王师傅所开得吊车速度.23.(12分)已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AB＝AD,AM⊥BD,垂足为点M,连接CM并延长,交线段AB于点N.求证:(1)∠ABD＝∠BCM;(2)BC•BN＝CN•DM.24.(12分)已知抛物线y＝+bx+c经过点M(3,﹣4),与x轴相交于点A(﹣3,0)与点B,与y轴相交于点C.(1)求这条抛物线得表达式;(2)如果P就是这条抛物线对称轴上一点,PC＝BC,求点P得坐标;(3)在第(2)小题得条件下,当点P在x轴上方时,求∠PCB得正弦值.25.(14分)已知AB就是圆O得一条弦,P就是圆O上一点,过点O作MN⊥AP,垂足为点M,并交射线AB于点N,圆O得半径为5,AB＝8.(1)当P就是优弧得中点时(如图),求弦AP得长;(2)当点N与点B重合时,试判断:以圆O为圆心,为半径得圆与直线AP得位置关系,并说明理由;(3)当∠BNO＝∠BON,且圆N与圆O相切时,求圆N半径得长.2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)【下列各题得四个选项中,有且只有一个选项就是正确得,选择正确项得代号并填涂在答题纸得相应位置上】1.(4分)下列各数不就是4得因数就是()A.1B.2C.3D.4【分析】根据求一个数得因数得方法,判断出所给得各数不就是4得因数就是哪些即可.【解答】解:∵4得因数有:1、2、4,∴各数不就是4得因数就是3.故选:C.【点评】此题主要考查了求一个数因数得方法,要熟练掌握,应有顺序得写,做到不重不漏.2.(4分)如果分式有意义,则x与y必须满足()A.x＝﹣yB.x≠﹣yC.x＝yD.x≠y【分析】根据分式有意义得条件就是x﹣y≠0,可得x﹣y≠0,进而可得答案.【解答】解:由题意得:x﹣y≠0,即:x≠y,故选:D.【点评】此题主要考查了分式有意义得条件,关键就是掌握分式分母不为零.3.(4分)直线y＝2x﹣7不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据题目中得函数解析式与一次函数得性质可以解答本题.【解答】解:∵直线y＝2x﹣1,k＝2＞0,b＝﹣1,∴该直线经过第一、三、四象限,不经过第二象限,故选:B.【点评】本题考查一次函数得性质,解答本题得关键就是明确题意,利用一次函数得性质解答.4.(4分)某运动队在一次队内选拔比赛中,甲、乙、丙、丁四位运动员得平均成绩相等,方差分别为0、85、1、23、5、01、3、46,那么这四位运动员中,发挥较稳定得就是()A.甲B.乙C.丙D.丁【分析】根据方差得意义求解可得.【解答】解:由题意知甲得方差最小,成绩最稳定,故选:A.【点评】本题考查方差得意义.方差就是用来衡量一组数据波动大小得量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.5.(4分)在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中,一定就是轴对称图形得个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据轴对称图形得概念对各图形分析判断即可得解.【解答】解:①线段就是轴对称图形,②等边三角形就是轴对称图形,③等腰梯形就是轴对称图形,④平行四边形不就是轴对称图形,综上所述,一定就是轴对称图形得就是①②③共3个.故选:C.【点评】本题考查了轴对称图形得概念.轴对称图形得关键就是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.6.(4分)已知在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,AO＝CO,如果添加下列一个条件后,就能判定这个四边形就是菱形得就是()A.BO＝DOB.AB＝BCC.AB＝CDD.AB∥CD【分析】根据平行线得性质得到∠ADB＝∠CBD,根据全等三角形得性质得到AD＝BC,于就是得到四边形ABCD就是平行四边形,根据菱形得判定定理即可得到即可.【解答】解:∵AD∥BC,∴∠ADB＝∠CBD,在△ADO与△CBO中,,∴△ADO≌△CBO(AAS),∴AD＝CB,∴四边形ABCD就是平行四边形,∵AB＝BC∴四边形ABCD就是菱形;故B正确;故选:B.【点评】本题考查了菱形得判定,全等三角形得判定与性质,熟练掌握菱形得判定定理就是解题得关键,二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)7.(4分)得相反数就是﹣.【分析】根据只有符号不同得两个数叫做互为相反数可得答案.【解答】解:得相反数就是﹣,故答案为:﹣.【点评】此题主要考查了相反数,关键就是掌握相反数定义.8.(4分)分解因式:a2﹣2ab+b2﹣4＝(a﹣b+2)(a﹣b﹣2).【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式与平方差公式分解因式得出即可.【解答】解:a2﹣2ab+b2﹣4＝(a﹣b)2﹣4＝(a﹣b+2)(a﹣b﹣2).故答案为:(a﹣b+2)(a﹣b﹣2).【点评】此题主要考查了分组分解法因式分解,正确分组得出就是解题关键.9.(4分)已知函数f(x)＝,那么f(﹣2)＝2.【分析】根据已知直接将x＝﹣2代入求出答案.【解答】解:∵f(x)＝,∴f(﹣2)＝＝2.故答案为:2.【点评】此题主要考查了函数值,正确将已知数据代入就是解题关键,本题属于基础题. 10.(4分)如果关于x得方程x2+2x+m＝0有两个实数根,那么m得取值范围就是m≤1.【分析】若一元二次方程有两个实数根,则根得判别式△＝b2﹣4ac≥0,建立关于m得不等式,求出m得取值范围.【解答】解:∵方程有两个实数根,∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×m＝4﹣4m≥0,解得:m≤1.故答案为:m≤1.【点评】考查了根得判别式,总结:一元二次方程根得情况与判别式△得关系:(1)△＞0⇔方程有两个不相等得实数根;(2)△＝0⇔方程有两个相等得实数根;(3)△＜0⇔方程没有实数根.11.(4分)已知一个正多边形得中心角为30度,边长为x厘米(x＞0),周长为y厘米,那么y关于x得函数解析式为y＝12x.【分析】由正多边形得中心角得度数,根据圆心角定理求出正多边形得边数,即可得出结果.【解答】解:∵正多边形得中心角为30度,∴＝12,∴正多边形为正十二边形,设边长为x厘米(x＞0),周长为y厘米,则y关于x得函数解析式为:y＝12x;故答案为:y＝12x.【点评】本题考查了正多边形与圆、圆心角定理、函数关系式等知识,熟练掌握由正多边形得中心角求正多边形得边数就是关键.12.(4分)从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数,在组成得所有两位数中任意抽取一个数,这个数恰好就是偶数得概率就是.【分析】列举出所有情况,瞧末位就是2得情况占所有情况得多少即可.【解答】解:共有6种情况,就是偶数得有2种情况,所以组成得两位数就是偶数得概率为,故答案为:.【点评】此题主要考查了树状图法求概率,如果一个事件有n种可能,而且这些事件得可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A得概率P(A)＝,注意本题就是不放回实验.13.(4分)在四边形ABCD中,向量、满足,那么线段AB与CD得位置关系就是平行.【分析】根据共线向量得定义即可求出答案.【解答】解:∵,∴与就是共线向量,由于与没有公共点,∴AB∥CD,故答案为:平行.【点评】本题考查共线向量,解题得关键就是熟练运用共线向量得定义,本题属于基础题型.14.(4分)某校有560名学生,为了解这些学生每天做作业所用得时间,调查人员在这所学校得全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查,并把结果制成如图得统计图,根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时得人数约为160名.【分析】利用总人数560乘以每天做作业时间不少于2小时得同学所占得比例即可求解.【解答】解:根据题意结合统计图知:估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时得人数约为560×＝160人,故答案为:160.【点评】本题考查得就是用样本估计总体得知识.读懂统计图,从统计图中得到必要得信息就是解决问题得关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目得数据.15.(4分)已知一个角得度数为50度,那么这个角得补角等于130°.【分析】根据如果两个角得与等于180°,那么这两个角叫互为补角计算即可.【解答】解:180°﹣50°＝130°.故这个角得补角等于130°.故答案为:130°.【点评】本题考查得就是余角与补角得定义,如果两个角得与就是一个直角,那么称这两个角互为余角.如果两个角得与就是一个平角,那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角得补角.16.(4分)已知梯形得上底长为5厘米,下底长为9厘米,那么这个梯形得中位线长等于7厘米.【分析】根据梯形中位线定理计算,得到答案.【解答】解:梯形得中位线长＝×(5+9)＝7(厘米)故答案为:7.【点评】本题考查得就是梯形中位线得计算,梯形中位线定理:梯形得中位线平行于两底,并且等于两底与得一半.17.(4分)如图,已知在△ABC中,AB＝3,AC＝2,∠A＝45o,将这个三角形绕点B旋转,使点A落在射线AC上得点A1处,点C落在点C1处,那么AC1＝.【分析】连接AC1,由旋转得性质先证△ABA1为等腰直角三角形,再证△AA1C1为直角三角形,利用勾股定理可求AC1得长度.【解答】解:如图,连接AC1,由旋转知,△ABC≌△A1BC1,∴AB＝A1B＝3,AC＝A1C1＝2,∠CAB＝∠C1A1B＝45°,∴∠CAB＝∠CA1B＝45°,∴△ABA1为等腰直角三角形,∠AA1C1＝∠CA1B+∠C1A1B＝90°,在等腰直角三角形ABA1中,AA1＝AB＝3,在Rt△AA1C1中,AC1＝＝＝,故答案为:.【点评】本题考查了旋转得性质,等腰直角三角形得性质,勾股定理等,解题得关键就是能够根据题意画出图形.18.(4分)定义:如果P就是圆O所在平面内得一点,Q就是射线OP上一点,且线段OP、OQ得比例中项等于圆O得半径,那么我们称点P与点Q为这个圆得一对反演点.已知点M、N 为圆O得一对反演点,且点M、N到圆心O得距离分别为4与9,那么圆O上任意一点到点M、N得距离之比＝.【分析】分三种情形分别求解即可解决问题.【解答】解:由题意⊙O得半径r2＝4×9＝36,∵r＞0,∴r＝6,当点A在NO得延长线上时,AM＝6+4＝10,AN＝6+9＝15,∴＝＝,当点A″就是ON与⊙O得交点时,A″M＝2,A″N＝3,∴＝,当点A′就是⊙O上异与A,A″两点时,易证△OA′M∽△ONA′,∴＝＝＝,综上所述,＝.故答案为:.【点评】本题考查相似三角形得判定与性质,解题得关键就是理解题意,学会用分类讨论得思想思考问题,属于中考常考题型.三、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.(10分)计算:(﹣3)0﹣9++|2﹣|.【分析】本题涉及零指数幂、分母有理化、绝对值、二次根式化简4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数得运算法则求得计算结果.【解答】解:原式＝1﹣3+﹣1+2﹣＝﹣1.【点评】本题主要考查了实数得综合运算能力,就是各地中考题中常见得计算题型.解决此类题目得关键就是熟练掌握零指数幂、分母有理化、绝对值、二次根式化简等考点得运算.20.(10分)解不等式组:,并写出这个不等式组得自然数解.【分析】先分别解答不等式组中得两个不等式得解集,然后求其交集即为不等式组得解集,再根据不等式组得解集来取自然数解.【解答】解:,由①得:x≥﹣1,由②得:x＜4.故不等式组得解集就是:﹣1≤x＜4.故这个不等式组得自然数解就是:0,1,2,3.【点评】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组得整数解.求不等式得公共解,要遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.21.(10分)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y＝经过第一象限内得点A,延长OA到点B,使得BA＝2AO,过点B作BH⊥x轴,垂足为点H,交双曲线于点C,点B得横坐标为6.求:(1)点A得坐标;(2)将直线AB平移,使其经过点C,求平移后直线得表达式.【分析】(1)作AD⊥x轴,垂足为D,易得AD∥BH,根据平行线分线段成比例可得点A得横坐标,再根据双曲线y＝经过第一象限内得点A,可得点A得纵坐标;(2)根据点C得坐标求出直线AB得表达式,再运用待定系数法即可求出平移后直线得表达式.【解答】解:(1)作AD⊥x轴,垂足为D,∵BH⊥x轴,AD⊥x轴,∴∠BHO＝∠ADO＝90°,∴AD∥BH,∵BA＝2AO,∴,∵点B得横坐标为6,∴OH＝6,∴OD＝2,∵双曲线y＝经过第一象限内得点A,可得点A得纵坐标为3,∴点A得坐标为(2,3);(2)∵双曲线y＝上点C得横坐标为6,∴点C得坐标为(6,1),由题意得,直线AB得表达式为y＝,∴设平移后直线得表达式为y＝,∵平移后直线y＝经过点C(6,1),∴1＝,解得b＝﹣8,∴平移后直线得表达式y＝.【点评】此题就是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,反比例函数图象上点得坐标特征,解本题得关键就是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.22.(10分)如图1,一辆吊车工作时得吊臂AB最长为20米,吊臂与水平线得夹角∠ABC最大为70°,旋转中心点B离地面得距离BD为2米.(1)如图2,求这辆吊车工作时点A离地面得最大距离AH(参考数据:sin70°≈0、94,cos70°≈0、34,tan70°≈2、75);(2)一天,王师傅接到紧急通知,要求将这辆吊车立即开到40千米远得某工地,因此王师傅以每小时比平时快20千米得速度匀速行驶,结果提前20分钟到达,求这次王师傅所开得吊车速度.【分析】(1)解Rt△ABC求出AC得长度,便可求得AH;(2)设这次王师傅所开得吊车得速度为每小时x千米,根据快速行驶时间比平时行驶时间少20秒,列出分式方程便可.【解答】解:(1)根据题意,得AB＝20,∠ABC＝70°,CH＝BD＝2,在Rt△ACB中,∵∠ACB＝90°,∴AC＝AB•sin70°＝20×0、94＝18、8,∴AH＝20、8.答:这辆吊车工作时点A离地面得最大距离AH为20、8米;(2)设这次王师傅所开得吊车得速度为每小时x千米,由题意,得,解得,x1＝60,x2＝﹣40,经检验:x1＝60,x2＝﹣40都就是原方程得解,但x2＝﹣40符合题意,舍去,答:这次王师傅所开得吊车得速度为每小时60千米.【点评】本题就是解直角三角形与分式方程应用得综合题,主要考查了解直角三角形,列分式方程解应用题,(1)题得关键就是解直角三角形求出AC,(2)小题得关键就是找出等量关系列出分式方程.23.(12分)已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AB＝AD,AM⊥BD,垂足为点M,连接CM并延长,交线段AB于点N.求证:(1)∠ABD＝∠BCM;(2)BC•BN＝CN•DM.【分析】(1)利用等腰三角形得性质得到∠ABD＝∠ADB,BM＝DM,再利用平行线得性质得到∠ABD＝∠MBC,利用直角三角形斜边上得中线性质得到CM＝BM＝DM,则∠MBC＝∠BCM,从而得到∠ABD＝∠BCM;(2)先证明△NBM∽△NCB,则BN:CN＝BM:BC,然后利用BM＝DM与比例性质可得到结论.【解答】证明:(1)∵AB＝AD,∴∠ABD＝∠ADB,∵AD∥BC,∴∠ADB＝∠MBC,∴∠ABD＝∠MBC,∵AB＝AD,AM⊥BD,∴BM＝DM,∵DC⊥BC,∴∠BCD＝90°,∴CM＝BM＝DM,∴∠MBC＝∠BCM,∴∠ABD＝∠BCM;(2)∵∠BNM＝∠CNB,∠NBM＝∠NCB,∴△NBM∽△NCB,∴BN:CN＝BM:BC,而BM＝DM,∴BN:CN＝DM:BC,∴BC•BN＝CN•DM.【点评】本题考查了相似三角形得判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有得公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形得作用,寻找相似三角形得一般方法就是通过作平行线构造相似三角形.灵活运用相似三角形得性质进行几何计算.24.(12分)已知抛物线y＝+bx+c经过点M(3,﹣4),与x轴相交于点A(﹣3,0)与点B,与y轴相交于点C.(1)求这条抛物线得表达式;(2)如果P就是这条抛物线对称轴上一点,PC＝BC,求点P得坐标;(3)在第(2)小题得条件下,当点P在x轴上方时,求∠PCB得正弦值.【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据A、B得坐标求得对称轴为x＝1,设点P得坐标为(l,y).由PC＝BC根据勾股定理列出12+(y+5)2＝52+52.解得即可;(3)作PH⊥BC,垂足为点H,根据勾股定理求得BC,然后求得直线BC得解析式,进而求得D得坐标,然后根据S△PBC ＝S△PCD+S△PBD,列出.求得PH,解正弦函数即可.【解答】解:(1)∵抛物线y═x2+bx+c经过点M(3,﹣4),A(﹣3、0), ,解得:,∴这条抛物线得表达式为y＝x2﹣x﹣5;(2)∵A(﹣3,0),B(5,0),∴这条抛物线得对称轴为直线x＝l.设点P得坐标为(l,y).∵PC＝BC,点B得坐标为(5,0),点C得坐标为(0,5).∴PC2＝BC2.12+(y+5)2＝52+52.解得y＝2或y＝﹣12.∴点P得坐标为(1,2)或(l,﹣12);(3)作PH⊥BC,垂足为点H.∵点B(5、0),点C(0,5),点P(1,2),∴PC＝BC＝5.设直线BC得解析式为y＝kx﹣5,代入B(5,0)解得k＝1,∴直线BC得解析式为y＝x﹣5,把x＝1代入得,y＝﹣4,∴直线BC与对称轴相交于点D(1,﹣4),∴PD＝6,∵S△PBC ＝S△PCD+S△PBD,∴.解得PH＝3.∴sin∠PCB＝＝.【点评】本题主要考查得就是二次函数得综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数得解析式、锐角三角函数得定义,三角形面积等,解题得关键就是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,灵活运用三角形面积公式,属于中考常考题型. 25.(14分)已知AB就是圆O得一条弦,P就是圆O上一点,过点O作MN⊥AP,垂足为点M,并交射线AB于点N,圆O得半径为5,AB＝8.(1)当P就是优弧得中点时(如图),求弦AP得长;(2)当点N与点B重合时,试判断:以圆O为圆心,为半径得圆与直线AP得位置关系,并说明理由;(3)当∠BNO＝∠BON,且圆N与圆O相切时,求圆N半径得长.【分析】(1)连接PO并延长交弦AB于点H,由垂径定理得出PH⊥AB,AH＝BH,由勾股定理得出OH＝＝3,在△APH中,∠AHP＝90°,PH＝OP+OH＝8,由勾股定理求出AP即可;(2)作OG⊥AB于G,先证明△OBG∽△ABM,得出＝,求出BM＝,得出OM＝,由＜,即可得距离;(3)作OD⊥AB于D,由勾股定理求出OD＝＝3,证出BN＝OB＝5,得出DN得长,再由勾股定理求出ON,然后由相切两圆得性质即可得出圆N得半径.【解答】解:(1)连接PO并延长交弦AB于点H,如图1所示:∵P就是优弧得中点,PH经过圆心O,∴PH⊥AB,AH＝BH,在△AOH中,∠AHO＝90°,AH＝AB＝4,AO＝5,∴OH＝＝＝3,在△APH中,∠AHP＝90°,PH＝OP+OH＝5+3＝8,∴AP＝＝＝4;(2)当点N与点B重合时,以点O为圆心,为半径得圆与直线AP相交;理由如下:作OG⊥AB于G,如图2所示:∵∠OBG＝∠ABM,∠OGB＝∠AMB,∴△OBG∽△ABM,∴＝,即＝,解得:BM＝,∴OM＝﹣5＝,∵＜,∴当点N与点B重合时,以点O为圆心,为半径得圆与直线AP相交;(3)作OD⊥AB于D,如图3所示:∵OA＝OB＝5,∴AD＝DB＝AB＝4,∴OD＝＝＝3,∵∠BNO＝∠BON,∴BN＝OB＝5,∴DN＝DB+BN＝9,在Rt△ODN中,由勾股定理得:ON＝＝＝3,∵圆N与圆O相切,∴圆N半径＝3﹣5.【点评】本题就是圆得综合题目,考查了垂径定理、直线与圆得位置关系、相切两圆得性质、相似三角形得判定与性质、等腰三角形得判定、勾股定理等知识;本题综合性强,熟练掌握直线与圆得位置关系、相切两圆得性质就是解题得关键.。
上海市浦东新区2014年中考二模数学试卷及答案解析(WORD版)
2014年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）（2014•浦东新区二模）下列代数式中，属于单项式的是（）A．a+1 B．C．D．考点：单项式．分析：根据单项式的定义逐个判断即可．解答：解：A、不是单项式，故本选项错误；B、不是单项式，故本选项错误；C、不是单项式，故本选项错误；D、是单项式，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了对单项式定义的理解和运用，注意：单项式表示数与字母的积，单独一个数或字母也是单项式．2．（4分）（2014•浦东新区二模）数据1，3，7，1，3，3的平均数和标准差分别为（）A．2，2 B．2，4 C．3，2 D．3，4考点：标准差；加权平均数．分析：根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，从而得出标准差．解答：解：这组数据1，3，7，1，3，3的平均数是：（1+3+7+1+3+3）=3；方差S2=[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（7﹣3）2+（1﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2]=4，则标准差是2．故选C．点评：此题主要考查了平均数，方差和标准差，用到的知识点是平均数、方差和标准差的计算公式，关键是根据题意和公式列出算式．3．（4分）（2014•浦东新区二模）已知抛物线y=﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1D．y2＜y1＜0考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：根据二次函数的性质得到抛物线y=﹣（x+1）2的开口向下，有最大值为0，对称轴为直线x=﹣1，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x1＜x2＜﹣1时，y1＜y2＜0．解答：解：∵y=﹣（x+1）2，∴a=﹣1＜0，有最大值为0，∴抛物线开口向下，∵抛物线y=﹣（x+1）2对称轴为直线x=﹣1，而x1＜x2＜﹣1，∴y1＜y2＜0．故选A．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a＜0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=﹣，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．4．（4分）（2014•浦东新区二模）某粮食公司2013年生产大米总量为a万吨，比2012年大米生产总量增加了10%，那么2012年大米生产总量为（）A．a（1+10%）万吨B．万吨C．a（1﹣10%）万吨D．万吨考点：列代数式．分析：根据2013年生产大米比2012年大米生产总量增加了10%，可知2012年大米生产总量×（1+10%）=2013年大米生产总量，由此列式即可．解答：解：a÷（1+10%）=（万吨）．故选：B．点评：此题考查列代数式，关键是找出题目蕴含的数量关系：2012年大米生产总量×（1+10%）=2013年大米生产总量．5．（4分）（2014•浦东新区二模）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=∠CBD，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABD=∠CDB B．∠DAB=∠BCD C．∠ABC=∠CDA D．∠DAC=∠BCA考点：平行四边形的判定．分析：利用平行四边形的判定定理逐步判定后即可确定答案．解答：解：由∠ADB=∠CBD科研得到AD∥BC，∴A、∠ABD=∠CDB能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；B、利用三角形的内角和定理能进一步得到∠ABD=∠CDB，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；C、能进一步得到∠CDB=∠ABD，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；D、不能进一步得到AB∥CD，所以不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选D．点评：本题考查了平行四边形的判定．（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．6．（4分）（2014•浦东新区二模）如果A、B分别是⊙O1、⊙O2上两个动点，当A、B两点之间距离最大时，那么这个最大距离被称为⊙O1、⊙O2的“远距”．已知，⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2，当两圆相交时，⊙O1、⊙O2的“远距”可能是（）A．3 B．4C．5D．6考点：圆与圆的位置关系．专题：新定义．分析：首先弄清缘聚的定义，然后结合两圆的圆心距的取值范围求解．解答：解：∵⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2，∴圆心距d的取值范围为：1＜d＜3，∴⊙O1、⊙O2的“远距”的取值范围为：4＜远距＜6，故选C．点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是弄清“远距的定义”．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2014•浦东新区二模）计算：|﹣π|=π﹣．考点：实数的性质．分析：根据绝对值是大数减小数，可得答案．解答：解：|﹣π|=，故答案为：．点评：本题考查了实数的性质，绝对值是非负数，可用大数减小数．8．（4分）（2014•浦东新区二模）化简：=．考点：约分．专题：计算题．分析：找出分式分子分母的公因式，约分即可得到结果．解答：解：原式==．故答案为：．点评：此题考查了约分，找出分子分母的公因式是约分的关键．9．（4分）（2014•浦东新区二模）计算：﹣=．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：原式=﹣==．故答案为：．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（4分）（2014•浦东新区二模）正八边形的中心角等于45度．考点：正多边形和圆．分析：根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．解答：解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．点评：本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．11．（4分）（2014•浦东新区二模）如果关于x的方程3x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根，那么m的值为±6．考点：根的判别式．分析：若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．解答：解：∵方程3x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4×3×3=0，解得m=±6，故答案为±6．点评：考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．（4分）（2014•浦东新区二模）请写出一个平面几何图形，使它满足“把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合”这一条件，这个图形可以是圆．考点：轴对称图形．专题：开放型．分析：把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这样的图形为轴对称图形，写出一个轴对称图形即可．解答：解：这个图形可以是圆．故答案为：圆．点评：本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．13．（4分）（2014•浦东新区二模）如果关于x的方程bx=x+1有解，那么b的取值范围为b≠1．考点：一元一次方程的解．分析：移项，合并同类项，当x的系数不等于0时，方程有解，据此即可求解．解答：解：移项，得：bx﹣x=1，即（b﹣1）x=1，当b﹣1≠0时，即b≠1时，方程有解．故答案是：b≠1．点评：此题考查的是一元一次方程的解法，理解方程有解的条件是关键．14．（4分）（2014•浦东新区二模）在▱ABCD中，已知=，=，则用向量、表示向量为+．考点：*平面向量．分析：根据平行四边形的对角线互相平分的性质，可得出==，==，从而可表示出向量．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴==，==，∴=+=+．故答案为：+．点评：本题考查了平面向量的知识，注意掌握向量的加减，平行四边形对角线互相平分的性质．15．（4分）（2014•浦东新区二模）把分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片，字面朝下随意放置在桌面上，从中任意摸出一张卡片数字是素数的概率是．考点：概率公式．分析：由有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片，卡片数字是素数的有：2，3，5；直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片，卡片数字是素数的有：2，3，5；∴从中任意摸出一张卡片数字是素数的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（4分）（2014•浦东新区二模）为了解某校九年级女生1分钟仰卧起坐的次数，从中随机抽查了50名女生参加测试，被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，并绘制成频数分布直方图（如图），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是0.62．考点：频数（率）分布直方图．分析：根据被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，抽查了50名女生，求出次数不小于30次的人数，再根据直方图求出在40～45次之间的频数，然后根据频率公式：频率=频数÷总数，即可求解．解答：解：∵被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，抽查了50名女生，∴次数不小于30次的人数是50×90%=45（人），∴在40～45次之间的频数是：45﹣3﹣5﹣6=31，∴仰卧起坐的次数在40～45的频率是=0.62；故答案是：0.62．点评：本题考查了频数分布直方图，关键是读懂统计图，从图中获得必要的信息，用到的知识点是频率公式：频率=频数÷总数．17．（4分）（2014•浦东新区二模）如图，已知点A在反比例函数y=的图象上，点B在x轴的正半轴上，且△OAB 是面积为的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是y=﹣．考点：等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：首先根据题意得出×|2x•y|=，进而得出xy=﹣，即可得出k的值．解答：解：过点A作AC⊥OB于点C，设A（x，y），∵△OAB是面积为的等边三角形，∴×|2x•y|=，∴|xy|=，∴xy=﹣，∴这个反比例函数的解析式是：y=﹣．故答案为：y=﹣．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法和反比例函数图象上点的坐标特征，得出xy=﹣是解题关键．18．（4分）（2014•浦东新区二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，cosA=，如果将△ABC绕着点C旋转至△A′B′C的位置，使点B′落在∠ACB的角平分线上，A′B′与AC相交于点H，那么线段CH的长等于﹣1．考点：旋转的性质．分析：根据题意画出图形，进而利用旋转的性质以及锐角三角函数关系和等腰直角三角形求出三角形各边长，再利用三角形面积求出即可．解答：解：过点B′作B′F⊥AC于点F，A′D⊥AC于点D，∵∠ACB=90°，点B′落在∠ACB的角平分线上，∴∠BCB′=∠B′CA=ACA′=45°，∴△CB′F，△CDA′都是等腰直角三角形，∵AC=，cosA=，∴==，解得：AB=，∴BC=，∴B′C=，∴B′F=×=，A′D=×CA′=1，∴S△A′CB′=S△CHB′+S△CHA′=××=××CH+×1×CH，解得：CH=﹣1，故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系和三角形面积求法等知识，利用S△A′CB′=S△CHB′+S△CHA′求出是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2014•浦东新区二模）计算：（）2﹣5+（）﹣1﹣．考点：实数的运算；分数指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用指数幂法则变形，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项分母有理化，计算即可得到结果．解答：解：原式=5﹣+﹣=6﹣．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2014•浦东新区二模）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：先求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可．解答：解：由①得2x﹣7＜3﹣3x，化简得5x＜10，解得：x＜2．由②得4x+9≥3﹣2x，化简得6x≥﹣6，解得：x≥﹣1，∴原不等式组的解集为﹣1＜x＜2．在数轴上表示出来为：点评：本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．21．（10分）（2014•浦东新区二模）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；（2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可．解答：解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，∵OH⊥EF，∴∠AHO=90°，在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，∴OH=AO，∵BC=10cm，∴BO=5cm．∵AO=AB+BO，AB=3cm，∴AO=3+5=8cm，∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．（2）连接OE，在Rt△EOH中，∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，∵EO=5cm，OH=4cm，∴EH===3cm，∵OH过圆心O，OH⊥EF，∴EF=2EH=6cm．点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．22．（10分）（2014•浦东新区二模）甲、乙两车都从A地前往B地，如图分别表示甲、乙两车离A地的距离S（千米）与时间t（分钟）的函数关系．已知甲车出发10分钟后乙车才出发，甲车中途因故停止行驶一段时间后按原速继续驶向B地，最终甲、乙两车同时到达B地，根据图中提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两车行驶时的速度分别为多少？（2）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？（3）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？考点：一次函数的应用．分析：（1）分别根据速度=路程÷时间列式计算即可得解；（2）方法一：观察图形可知，第一次相遇时，甲车停止，然后时间=路程÷速度列式计算即可得解；方法二：设甲车离A地的距离S与时间t的函数解析式为s=kt+b（k≠0），利用待定系数法求出乙函数解析式，再令s=20求出相应的t的值，然后求解即可；（3）求出甲继续行驶的时间，然后用总时间减去停止前后的时间，列式计算即可得解．解答：解：（1）v甲==（千米/分钟），所以，甲车的速度是千米/每分钟；v乙==1（千米/分钟），所以，乙车的速度是1千米/每分钟；（2）方法一：∵t乙==20（分钟），∴乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇；方法二：设甲车离A地的距离S与时间t的函数解析式为：s=kt+b（k≠0），将点（10，0）（70，60）代入得：，解得，，所以，s=t﹣10，当s=20时，解得t=30，∵甲车出发10分钟后乙车才出发，∴30﹣10=20分钟，乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇；（3）∵t=（60﹣20）÷=30（分钟），∵70﹣30﹣15=25（分钟），∴甲车中途因故障停止行驶的时间为25分钟．点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，待定系数法求一次函数解析式，读懂题目信息理解甲、乙两车的运动过程是解题的关键．23．（12分）（2014•浦东新区二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，联结BE，过点A作AF⊥BE，分别交BE、CD于点H、F，联结BF．（1）求证：BE=BF；（2）联结BD，交AF于点O，联结OE．求证：∠AEB=∠DEO．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据正方形性质得出AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，求出∠ABH=∠HAE，证△ABE∽△DAF，得出比例式，求出AE=DF，CF=AE，证出Rt△ABE≌Rt△CBF即可；（2）根据正方形性质求出∠ADB=∠CDB，证△DEO≌△DFO，推出∠DEO=∠DFO，根据△ABE∽△DAF推出∠AEB=∠DFA，即可得出答案．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，∴∠BAH+∠HAE=90°，∵AF⊥BE，∴∠AHB=90°，即∠BAH+∠ABH=90°，∴∠ABH=∠HAE，又∵∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴=，∴AE=DF，∵点E是边AD的中点，∴点F是边DC的中点，∴CF=AE，在Rt△ABE与Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴BE=BF．（2）∵四边形ABCD是正方形，∴DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，在△DEO与△DFO中，∴△DEO≌△DFO（SAS），∴∠DEO=∠DFO，∵△ABE∽△DAF，∴∠AEB=∠DFA，∴∠AEB=∠DEO．点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．24．（12分）（2014•浦东新区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA=2OC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD=45°，求点D的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据与y轴的交点C的坐标（0，﹣3）就可以求出OC的值及c的值，进而求出OA的值及A的坐标，由待定系数法就可以求出b的值而求出解析式及定点坐标；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E，垂足为点E．在Rt△AHM 中，HM=AH=4，就可以求出AM的值，再由待定系数法求出直线AC的解析式，就可以求出点N的坐标，进而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，从而求出AE的值就可以得出结论；（3）如图2，分类讨论，当D点在AC上方时，根据角之间的关系就可以求出∠D1AH=∠CAM，当D点在AC下方时，∠MAC=∠AD2M就可以求出点D的坐标．解答：解：（1）∵C（0，﹣3），∴OC=3．y=x2+bx﹣3．∵OA=2OC，∴OA=6．∵a=＞0，点A在点B右侧，抛物线与y轴交点C（0，﹣3）．∴A（6，0）．∴0=36+6b﹣3，∴b=﹣1．∴y=x2﹣x﹣3，∴y=（x﹣2）2﹣4，∴M（2，﹣4）．答：抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3，M的坐标为（2，﹣4）；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E，垂足为点E．∴∠AHM=∠NEM=90°．在Rt△AHM中，HM=AH=4，由勾股定理，得AM=4，∴∠AMH=∠HAM=45°．设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线AC的表达式为y=x﹣3．当x=2时，y=﹣2，∴N（2，﹣2）．∴MN=2．∵∠NEM=90°，∠NME=45°，∴∠MNE=∠NME=45°，∴NE=ME．在Rt△MNE中，∴NE2+ME2=NM2，∴ME=NE=．∴AE=AM﹣ME=3在Rt△AEN中，tan∠MAC=．答：tan∠MAC=；（3）如图2，①当D点在AC上方时，∵∠CAD1=∠D1AH+∠HAC=45°，且∠HAM=∠HAC+∠CAM=45°，∴∠D1AH=∠CAM，∴tan∠D1AH=tan∠MAC=．∵点D1在抛物线的对称轴直线x=2上，∴D1H⊥AH，∴AH=4．在Rt△AHD1中，D1H=AH•tan∠D1AH=4×=．∴D1（2，）；②当D点在AC下方时，∵∠D2AC=∠D2AM+∠MAC=45°，且∠AMH=∠D2AM+∠AD2M=45°，∴∠MAC=∠AD2M．∴tan∠AD2H=tan∠MAC=．在Rt△D2AH中，D2H=．∴D2（2，﹣12）．综上所述：D1（2，）；D2（2，﹣12）．点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键，灵活运用等腰直角三角形的性质求解是难点．25．（14分）（2014•浦东新区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，sinB=，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q．（1）求AG的长；（2）当∠APQ=90°时，直线PG与边BC相交于点M．求的值；（3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．考点：相似形综合题．分析：（1）根据已知条件和重心的性质得出BD=DC=BC，AD⊥BC，再根据sinB==，求出AB、BC、AD的值，从而求出AG的长；（2）根据∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°，得出∠MGD=∠B，再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM=CD﹣DM的值，在△ABC中，根据AA求出△QCM∽△QGA，即可求出的值；（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF，得出=，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根据BD=CD，求出EG=FG，即可得出CE+BE=2GD，从而得出求y关于x的函数解析式并得出它的定义域．解答：解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，点G是△ABC的重心，∴BD=DC=BC，∴AD⊥BC．在Rt△ADB中，∵sinB==，∴=．∵BC﹣AB=3，∴AB=15，BC=18．∴AD=12．∵G是△ABC的重心，∴AG=AD=8．（2）在Rt△MDG，∵∠GMD+∠MGD=90°，同理：在Rt△MPB中，∠GMD+∠B=90°，∴∠MGD=∠B．∴sin∠MGD=sinB=，在Rt△MDG中，∵DG=AD=4，∴DM=，∴CM=CD﹣DM=，在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．∵∠QCM=∠CDA+∠DAC=90°+∠DAC，又∵∠QGA=∠APQ+∠BAD=90°+∠BAD，∴∠QCM=∠QGA，又∵∠CQM=∠GQA，∴△QCM∽△QGA．∴==．（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF．∵BE∥AD，∴=，即=，∴BE=．同理可得：=，即=，∴CF=．∵BE∥AD∥CF，BD=CD，∴EG=FG．∴CE+BE=2GD，即+=8，∴y=，（0≤x≤）．点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是重心、特殊角的三角函数值、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等，关键是根据题意，画出图形，做出辅助线，构造直角三角形是本题的关键．。
2021年上海市浦东新区中考数学二模试卷(含解析)
2021年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题（每题4分）.1．下列实数中，是无理数的是（）A．0.B．3.1415926C．D．2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（）A．B．C．D．3．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（）A．B．C．D．4．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（）A．手可摘星辰B．黄河入海流C．大漠孤烟直D．红豆生南国5．在下列图形中，中心对称图形是（）A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．正五边形6．下列命题中，真命题是（）A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角形都全等C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等腰直角三角形都全等二、填空题（共12小题）.7．据统计，截至2021年4月14日，全国各地累计报告接种疫苗175 623 000剂次，这个数用科学记数法表示为．8．计算：＝．9．在实数范围内分解因式：x2﹣4＝．10．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，那么k的取值范围是．11．方程＝2的解是．12．将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是．13．在数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，那么这组数据的中位数是．14．如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么这两个三角形面积的比是．15．已知两个非零向量、的方向相反，且2||＝3||，那么用表示为．16．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是．17．将联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝4，且两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较短的“中对线”的长度为．18．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，DE＝2AE、BF＝2CF，将四边形ABFE沿BF所在直线翻折，点A落在点A'处，点E落在点E'处，如果EF⊥CE'，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：|3﹣|﹣+2﹣2+．20．解不等式组：并写出这个不等式组的自然数解．21．平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，反比例函数y＝（k ≠0）的图象经过点A且与直线y＝x的另一个交点为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在直线y＝﹣1上且横坐标为3，求∠ACB的正切值．22．如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼△PCA和△QDB 成轴对称，PC和QD均垂直于地面，双翼边缘的端点A与B在同一水平线上，且它们之间的距离为16cm，双翼边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°．（1）求闸机通道宽度，即PC和QD之间的距离；（2）经实践调查，8：00至14：00该公园入园游客较多，图2为该公园8：00至14：00每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为4200人．①求出9：00～10：00时段的入园游客人数；②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过5000人”或“在园内游客总数超过20000人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE ⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．（1）求证：OE＝AC；（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．24．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点为M（﹣3，0），抛物线上三点A、B、C到点M的距离都为5，其中点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴正半轴上，抛物线的顶点为点P．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求这条抛物线的表达式及顶点坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，求点Q的纵坐标的取值范围．25．四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，BC＝，射线BO与对角线AC交于点E．（1）如果AB、CD是⊙O的内接正n边形的边，AD是⊙O的内接正（n+2）边形的边，①求AB的长；②试证明△ABE∽△ACB，并求的值；（2）当△AEO为等腰三角形且点E在BO的延长线上时，求∠ABC的大小．参考答案一、选择题（共6小题）.1．下列实数中，是无理数的是（）A．0.B．3.1415926C．D．解：A、是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；B、3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；C、是无理数，故本选项符合题意；D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：C．2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义判断即可．解：A．x，y的指数分别为2，2．所以此选项错误；B．x2+y2的指数为1，所以此选项正确；C．x+y的指数为2，所以此选项错误；D．x，y的指数分别为1，2．所以此选项错误；故选：B．3．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．解：由题意可得，，故选：D．4．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（）A．手可摘星辰B．黄河入海流C．大漠孤烟直D．红豆生南国【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．解：A、手可摘星辰是不可能事件，故选项正确，符合题意；B、黄河入海流是必然事件，故选项错误，不符合题意；C、大漠孤烟直是随机事件，故选项错误，不符合题意；D、红豆生南国是必然事件，故选项错误，不符合题意．故选：A．5．在下列图形中，中心对称图形是（）A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．正五边形【分析】根据中心对称图形的概念求解．解：A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；C、等腰梯形不是中心对称图形，故本选项错误；D、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．6．下列命题中，真命题是（）A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角形都全等C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等腰直角三角形都全等【分析】全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验．解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1：，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等，真命题．故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．据统计，截至2021年4月14日，全国各地累计报告接种疫苗175 623 000剂次，这个数用科学记数法表示为 1.75623×108．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．解：175 623 000＝1.75623×108．故答案为：1.75623×108．8．计算：＝3b．【分析】分子和分母分别相乘，再约分．解：原式＝＝3b，故答案为3b．9．在实数范围内分解因式：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【分析】把4看成22再利用平方差公式进行因式分解．解：原式＝（x+2）（x﹣2）．故答案是：（x+2）（x﹣2）．10．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，那么k的取值范围是．【分析】根据判别式的意义得到△＝32﹣4×（﹣k）＜0，然后解不等式即可．解：根据题意得△＝32﹣4×（﹣k）＜0，解得．故答案为：．11．方程＝2的解是x＝﹣1．【分析】根据算术平方根的性质得x≤3，然后把方程两平方得x的解，检验即可得到答案．解：∵3﹣x≥0，∴x≤3，∵＝2，∴3﹣x＝4，∴x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解，符合题意，故答案为：x＝﹣1．12．将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是（2，2）．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．解：将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，得y＝（x﹣2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），故答案为（2，2）．13．在数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，那么这组数据的中位数是3．【分析】根据数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，可以得到n的值，然后将数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数．解：∵数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，∴n＝2，∴这组数据按照从小到大排列是：1、2、2、3、4、5、6，∴这组数据的中位数是3，故答案为：3．14．如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么这两个三角形面积的比是1：9．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．解：∵两个相似三角形的相似比是1：3，又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴这两个三角形面积的比是1：9．故答案为：1：9．15．已知两个非零向量、的方向相反，且2||＝3||，那么用表示为．【分析】根据平面向量的定义，以及已知条件即可解决问题．解：∵两个非零向量、的方向相反，且2||＝3||，∴2＝﹣3，∴．故答案是：．16．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是45．【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE＝∠A＝45°，∴旋转角n＝45时，EF∥AB．②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A＝180°，∴∠ACE＝135°∴旋转角n＝360﹣135＝225，∵0＜n＜180，∴此种情形不合题意，故答案为4517．将联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝4，且两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较短的“中对线”的长度为2．【分析】根据三角形中位线定理可得菱形EFGH，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案．解：如图，设两条对角线AC、BD的夹角为60°，取四边的中点并连接起来，设AC与EH交点M．∴EH是三角形ABD的中位线，∴EH＝BD＝2，EH∥BD，同理，FG＝BD＝2，FG∥BD，EF＝AC＝2，EF∥AC，HG＝AC＝2，HG∥AC，∴EH∥HG∥AC，EF＝FG＝HG＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∵EH＝BD＝2，EH∥BD，∴∠AOB＝60°＝∠AME，∵FE∥AC，∴∠FEH＝∠AME＝60°，∴△HEF为等边三角形，∴HF＝EH＝2，∴较短的“中对线”长度为2．故答案为：2．18．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，DE＝2AE、BF＝2CF，将四边形ABFE沿BF所在直线翻折，点A落在点A'处，点E落在点E'处，如果EF⊥CE'，那么的值为．【分析】作EF⊥CE′交于点H，连接EE′，交BC于点Q，设AB长为y，AD长为x，根据相似三角形的判定与性质可得答案．解：如右图，作EF⊥CE′交于点H，连接EE′，交BC于点Q，由题可知，∠EQC＝∠FHC＝90°，∵∠EFQ＝∠CFH，∴△EFQ∽△CFH，设AB长为y，AD长为x，∵DE＝2AE、BF＝2CF，∴x，QF＝FC＝x，∴，∵∠FHC＝∠QEC＝90°，∠C＝∠C，∴△FHC∽△E′QC，∴，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：|3﹣|﹣+2﹣2+．【分析】直接根据实数的运算法则计算即可．解：原式＝＝．20．解不等式组：并写出这个不等式组的自然数解．【分析】先分别解答不等式组中的两个不等式的解集，然后求其交集即为不等式组的解集，再根据不等式组的解集来取自然数解．解：，由①得x＞﹣3．由②得，∴原不等式组的解集是．∴原不等式组的自然数解为0，1，2，3，4．21．平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，反比例函数y＝（k ≠0）的图象经过点A且与直线y＝x的另一个交点为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在直线y＝﹣1上且横坐标为3，求∠ACB的正切值．【分析】（1）先根据直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，可计算出点A的坐标，再把点A的坐标代入y＝中即可得出答案；（2）根据题意标出点C如图，则可知点C的坐标，过点B作x轴垂线与直线y＝﹣1交于点D，根据反比例函数与正比例函数交点性质，可得出点B的坐标，即可得出BD与CD的长度，在Rt△BCD中即可得出答案．解：（1）∵直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，∴，解得x＝﹣2，∴点A（﹣2，﹣1），把A（﹣2，﹣1）代入中，解得k＝2，∴反比例函数解析式为y＝；（2）如图，标出点C，连接BC，过点B作x轴垂线与直线y＝﹣1交于点D，∵点A（﹣2，﹣1），C（3，﹣1）∴点B（2，1），∴CD＝1，BD＝2，∴tan∠ACD＝，∴∠ACB的正切值为2．22．如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼△PCA和△QDB 成轴对称，PC和QD均垂直于地面，双翼边缘的端点A与B在同一水平线上，且它们之间的距离为16cm，双翼边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°．（1）求闸机通道宽度，即PC和QD之间的距离；（2）经实践调查，8：00至14：00该公园入园游客较多，图2为该公园8：00至14：00每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为4200人．①求出9：00～10：00时段的入园游客人数；②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过5000人”或“在园内游客总数超过20000人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因．【分析】（1）过A作AE∥CP于点E，过B作BF⊥QD于点F，根据三角函数即可得到答案；（2）平均数为4200人，设9：00﹣10：00人数为x，然后根据平均数概念列出方程求解即可．解：（1）过A作AE∥CP于点E，过B作BF⊥QD于点F，直角三角形ACE中，AE＝sin30°×AC＝27，同理，BF＝27且AB＝16，27×2+16＝70，∴PC与QD间的距离为70cm．（2）①∵平均数为4200人，设9：00﹣10：00人数为x，∴（3000+x+4800+3800+2500+5100）÷6＝4200，∴x＝6000，∴9：00﹣10：00时段的入园游客人数为6000；②9：00﹣10：00和13：00﹣14：00需要限流，9：00﹣10：00限流原因：入园人数是6000，超过5000；13：00﹣14：00限流原因如下：8：00﹣13：00入园总人数为20100人超过20000人；13：00﹣14：00入园人数为：5100人，超过5000人．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE ⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．（1）求证：OE＝AC；（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）过O作OF⊥CE于F，由等腰三角形的性质得CF＝EF，再证OF是△ACE 的中位线，得OA＝OC，即可得出结论；（2）证△AOB≌△OCD（ASA），得OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，再证BC＝DC，即可得出结论．【解答】证明：（1）过O作OF⊥CE于F，如图所示：∵OC＝OE，∴CF＝EF，∵OF⊥CE，CE⊥CD，∴OF∥CD，∵AB∥DC，OF∥AB，∴OF∥AB，∴OF是△ACE的中位线，∴OA＝OC，∴OE＝AC；（2）∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△OCD中，，∴△AOB≌△OCD（ASA），∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形．24．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点为M（﹣3，0），抛物线上三点A、B、C到点M的距离都为5，其中点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴正半轴上，抛物线的顶点为点P．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求这条抛物线的表达式及顶点坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，求点Q的纵坐标的取值范围．【分析】（1）由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．进而求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）圆Q与直线AP相切的临界点，进而求解．解：（1）∵点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），且到点M（﹣3，0）的距离为5，∴点A坐标为（﹣8，0），点B坐标为（2，0），∵点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y）．由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．∵点C在y轴正半轴上，∴点C的坐标为（0，4）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣8，0）、B（2，0）、C（0，4）．∴，解得，∴抛物线的表达式是，∴抛物线的顶点P的坐标为（﹣3，）；（3）过点A作AQ1⊥AP与抛物线的对称轴相交于点Q1．此时以Q1为圆心，Q1A为半径的圆与线段AP相切于点A．∵∠MPA+∠MAP＝90°，∠MAP+∠MAQ1＝90°．∴∠MPA＝∠MAQ1．∴tan∠MPA＝tan∠MAQ1．∴．∵AM＝5，PM＝，∴Q1M＝4．即点Q1坐标为（0，﹣4）；作AP的中垂线与AP相交于点N，与对称轴x＝﹣3相交于点Q2，则PN＝PA．此时以Q2为圆心，Q2A为半径的圆经过点A、点P．∵AQ1⊥AP，NQ2⊥AP，∴∠Q1AP＝∠Q2NP＝90°．∴AQ1∥NQ2．∴．∵点P的坐标为（﹣3，），点Q1的坐标为（﹣3，﹣4），∴PQ1＝，∴PQ2＝．∴Q2M＝PM﹣PQ2＝﹣＝．即点Q2坐标为（0，），∴当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，点Q纵坐标取值范围是．25．四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，BC＝，射线BO与对角线AC交于点E．（1）如果AB、CD是⊙O的内接正n边形的边，AD是⊙O的内接正（n+2）边形的边，①求AB的长；②试证明△ABE∽△ACB，并求的值；（2）当△AEO为等腰三角形且点E在BO的延长线上时，求∠ABC的大小．解：（1）①如图1，连接OC，过点O作OH⊥BC，垂足为点H．∵OB＝OC，OH⊥BC，∴BH＝BC＝，∠BOC＝2∠BOH．在Rt△BOH中，BO＝2，BH＝，∴．∴∠BOH＝60°，∠OBH＝30°．∴∠BOC＝120°，∠OCB＝30°．∵AB、CD是⊙O内接正n边形的边，AD是⊙O内接正（n+2）边形的边，∴∠AOB＝∠DOC＝，∠AOD＝，∴．解得n＝4，n＝（不符合题意，舍去）．经检验n＝4是原方程的解且符合题意．∴∠AOB＝＝90°．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝BO＝2，∴AB＝．②∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°．∵OA＝OC，∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠ACO＝15°，∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝15°+30°＝45°，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB．如图2，过点B作BG⊥AC，垂足为点G．在Rt△BGC中，∠BGC＝90°，∠ACB＝45°，BC＝，∴BG＝CG＝．在Rt△ABG中，∠BGA＝90°，BG＝，AB＝，∴AG＝．∴AC＝AG+CG＝，∵△ABE∽△ACB，∴AB2＝AE•AC．即．解得，∴．（2）设∠AEB＝x°，由（1）知∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠ECB＝（x﹣30）°，∠ECO＝∠EAO＝（x﹣60）°．①如图3，如果AO＝AE，那么∠AOE＝∠AEB＝x°．根据题意可得x+x+x﹣60＝180．解得x＝80．∴∠ABO＝40°，∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝40°+30°＝70°．②如果AO＝EO，那么∠OAE＝∠OEA．根据题意可得x＝x﹣60．此方程无解．∴此种情况不存在．③如图4，如果AE＝OE，那么∠EAO＝∠EOA＝（x﹣60）°．根据题意可得x+x﹣60+x﹣60＝180．解得x＝100．∴∠ABC＝20°+30°＝50°．综上所述，∠ABC的度数为70°或50°．。
2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷-解析版
2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 下列各数不是4的因数是( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 如果分式x+y x−y 有意义，则x 与y 必须满足( ) A. x =−y B. x ≠−y C. x =y D. x ≠y3. 直线y =2x −7不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5. 在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 已知在四边形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AO =CO ，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是( )A. BO =DOB. AB =BCC. AB =CDD. AB//CD二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.52的相反数是______． 8.分解因式：a 2−2ab +b 2−4=______． 9.已知函数f(x)=√x +6，那么f(−2)=______． 10.如果关于x 的方程x 2+2x +m =0有两个实数根，那么m 的取值范围是______． 11.已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x 厘米(x >0)，周长为y 厘米，那么y 关于x 的函数解析式为______． 12.从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是______． 13.在四边形ABCD 中，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，那么线段AB 与CD 的位置关系是______． 14. 某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为______名．15. 已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于______．16. 已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于______厘米．17. 如图，已知在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠A =45o ，将这个三角形绕点B 旋转，使点A 落在射线AC 上的点A 1处，点C 落在点C 1处，那么AC 1=______．18.定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点．已知点M、N为圆O的一对反演点，且点M、N到圆心O的距离分别为4和9，那么圆O上任意一点到点M、N的距离之比AMAN=______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.计算：(−3)0−912+√3+1+|2−√3|.四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.解不等式组：{2x+5≥356x−2<13x，并写出这个不等式组的自然数解．21.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=6x经过第一象限内的点A，延长OA到点B，使得BA=2AO，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，交双曲线于点C，点B的横坐标为6．求：(1)点A的坐标；(2)将直线AB平移，使其经过点C，求平移后直线的表达式．22.如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．(1)如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)；(2)一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．23.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，AB=AD，AM⊥BD，垂足为点M，连接CM并延长，交线段AB于点N．求证：(1)∠ABD=∠BCM；(2)BC⋅BN=CN⋅DM．x2+bx+c经过点M(3,−4)，与x轴相交于点A(−3,0)和点B，与24.已知抛物线y=13y轴相交于点C．(1)求这条抛物线的表达式；(2)如果P是这条抛物线对称轴上一点，PC=BC，求点P的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，当点P在x轴上方时，求∠PCB的正弦值．25.已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，AB=8．(1)当P是优弧AB⏜的中点时(如图)，求弦AP的长；(2)当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，3为半径的圆与直线AP的位置2关系，并说明理由；(3)当∠BNO=∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了求一个数因数的方法，要熟练掌握，应有顺序的写，做到不重不漏．根据求一个数的因数的方法，判断出所给的各数不是4的因数是哪些即可．【解答】解：∵4的因数有：1、2、4，∴选项中不是4的因数是3．故选：C．2.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式分母不为零．根据分式有意义的条件是x−y≠0，可得x≠y，进而可得答案．【解答】解：由题意得：x−y≠0，即：x≠y，故选：D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象与系数的关系解答．【解答】解：∵直线y=2x−7，k=2>0，b=−7<0，∴该直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义求解可得．【解答】解：由题意知甲的方差最小，成绩最稳定．故选：A．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：①线段是轴对称图形，②等边三角形是轴对称图形，③等腰梯形是轴对称图形，④平行四边形不是轴对称图形，综上所述，一定是轴对称图形的是①②③共3个．故选：C ．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，根据平行线的性质得到∠ADB =∠CBD ，根据全等三角形的性质得到AD =BC ，于是得到四边形ABCD 是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到即可．【解答】解：∵AD//BC ，∴∠ADB =∠CBD ，在△ADO 与△CBO 中，{∠ADB =∠CBD∠AOD =∠COB OA =CO，∴△ADO≌△CBO(AAS)，∴AD =CB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AB =BC∴四边形ABCD 是菱形；故B 正确；故选：B ．7.【答案】−52【解析】【分析】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．【解答】解：52的相反数是−52，故答案为：−52． 8.【答案】(a −b +2)(a −b −2)【分析】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确分组得出是解题关键．首先将前三项分组进而利用完全平方公式，再用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：a2−2ab+b2−4=(a−b)2−4=(a−b+2)(a−b−2)．故答案为：(a−b+2)(a−b−2)．9.【答案】2【解析】【分析】此题主要考查了函数值，正确将已知数据代入是解题关键，本题属于基础题．根据已知直接将x=−2代入求出答案．【解答】解：∵f(x)=√x+6，∴f(−2)=√−2+6=2．故答案为：2．10.【答案】m≤1【解析】【分析】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2−4ac=22−4×m=4−4m≥0，解得：m≤1．故答案为：m≤1．11.【答案】y=12x【解析】【分析】本题考查了正多边形和圆、圆心角定理、函数关系式等知识，熟练掌握由正多边形的中心角求正多边形的边数是关键．由正多边形的中心角的度数，根据圆心角定理求出正多边形的边数，即可得出结果．【解答】解：∵正多边形的中心角为30度，=12，∴360°30∘∴正多边形为正十二边形，设边长为x厘米(x>0)，周长为y厘米，则y关于x的函数解析式为：y=12x；故答案为：y=12x．12.【答案】13【解析】【分析】此题主要考查了树状图法求概率，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=m n ，注意本题是不放回实验． 列举出所有情况，看末位是2的情况占所有情况的多少即可．【解答】解：共有6种情况，是偶数的有2种情况，所以组成的两位数是偶数的概率为13， 故答案为：13． 13.【答案】平行【解析】【分析】本题考查共线向量，解题的关键是熟练运用共线向量的定义，本题属于基础题型． 根据共线向量的定义即可求出答案．【解答】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，由于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 没有公共点，∴AB//CD ，故答案为：平行．14.【答案】160【解析】【分析】本题考查的是用样本估计总体的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．利用总人数560乘以每天做作业时间不少于2小时的同学所占的比例即可求解．【解答】解：根据题意，结合统计图知：估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为560×105+20+10=160人， 故答案为：160．15.【答案】130°【解析】【分析】本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．根据如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫互为补角计算即可．【解答】解：180°−50°=130°．故这个角的补角等于130°．故答案为：130°．16.【答案】7【解析】【分析】本题考查的是梯形中位线的计算，梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．根据梯形中位线定理计算，得到答案．【解答】×(5+9)=7(厘米)．解：梯形的中位线长=12故答案为：7．17.【答案】√22【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是能够根据题意画出图形．连接AC1，由旋转的性质先证△ABA1为等腰直角三角形，再证△AA1C1为直角三角形，利用勾股定理可求AC1的长度．【解答】解：如图，连接AC1，由旋转知，△ABC≌△A1BC1，∴AB=A1B=3，AC=A1C1=2，∠CAB=∠C1A1B=45°，∴∠CAB=∠CA1B=45°，∴△ABA1为等腰直角三角形，∠AA1C1=∠CA1B+∠C1A1B=90°，在等腰直角三角形ABA1中，AA1=√2AB=3√2，在Rt△AA1C1中，AC1=√AA12+A1C12=√(3√2)2+22=√22，故答案为：√22．18.【答案】23【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分三种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：由题意⊙O的半径r2=4×9=36，∵r>0，∴r=6，当点A在NO的延长线上时，AM=6+4=10，AN=6+9=15，∴AMAN =1015=23，当点A″是ON与⊙O的交点时，A″M=2，A″N=3，，当点A′是⊙O上异与A，A″两点时，易证△OA′M∽△ONA′，∴A′MA′N =OA′ON=69=23，综上所述，AMAN =23．故答案为：23．19.【答案】解：原式=1−3+√3−1+2−√3=−1．【解析】本题涉及零指数幂、分数指数幂，分母有理化、绝对值化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、分数指数幂，分母有理化、绝对值化简等考点的运算．20.【答案】解：{2x+5≥3①56x−2<13x②，由①得：x≥−1，由②得：x<4．故不等式组的解集是：−1≤x<4．故这个不等式组的自然数解是：0，1，2，3．【解析】先分别解答不等式组中的两个不等式的解集，然后求其交集即为不等式组的解集，再根据不等式组的解集来取自然数解．本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的自然数解．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．21.【答案】解：(1)作AD⊥x轴，垂足为D，∵BH⊥x轴，AD⊥x轴，∴∠BHO=∠ADO=90°，∴AD//BH，∵BA=2AO，∴ODDH =OAAB=12，∵点B的横坐标为6，∴OH=6，∴OD=2，∵双曲线y=6x经过第一象限内的点A，可得点A的纵坐标为3，∴点A的坐标为(2,3)；(2)∵双曲线y=6x上点C的横坐标为6，∴点C的坐标为(6,1)，由题意得，直线AB的表达式为y=32x，∴设平移后直线的表达式为y=32x+b，∵平移后直线y=32x+b经过点C(6,1)，∴1=32×6+b，解得b=−8，∴平移后直线的表达式y=32x−8．【解析】(1)作AD⊥x轴，垂足为D，易得AD//BH，根据平行线分线段成比例可得点A的横坐标，再根据双曲线y=6x经过第一象限内的点A，可得点A的纵坐标；(2)根据点C的坐标求出直线AB的表达式，再运用待定系数法即可求出平移后直线的表达式．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，反比例函数图象上点的坐标特征，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)根据题意，得AB=20，∠ABC=70°，CH=BD=2，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，∴AC=AB⋅sin70°=20×0.94=18.8，∴AH=20.8，答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；(2)设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得40 x−20−40x=13，解得，x1=60，x2=−40，经检验：x1=60，x2=−40都是原方程的解，但x2=−40不符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．【解析】(1)解Rt△ABC求出AC的长度，便可求得AH；(2)设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，根据快速行驶时间比平时行驶时间少20分钟，列出分式方程便可．本题是解直角三角形与分式方程应用的综合题，主要考查了解直角三角形，列分式方程解应用题，(1)题的关键是解直角三角形求出AC，(2)题的关键是找出等量关系列出分式方程．23.【答案】证明：(1)∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵AD//BC，∴∠ADB=∠MBC，∴∠ABD=∠MBC，∵AB=AD，AM⊥BD，∴BM=DM，∵DC⊥BC，∴∠BCD=90°，∴CM=BM=DM，∴∠MBC=∠BCM，∴∠ABD=∠BCM；(2)∵∠BNM=∠CNB，∠NBM=∠NCB，∴△NBM∽△NCB，∴BN：CN=BM：BC，而BM=DM，∴BN：CN=DM：BC，∴BC⋅BN=CN⋅DM．【解析】(1)利用等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，BM=DM，再利用平行线的性质得到∠ADB=∠MBC，利用直角三角形斜边上的中线性质得到CM=BM=DM，则∠MBC=∠BCM，从而得到∠ABD=∠BCM；(2)先证明△NBM∽△NCB，则BN：CN=BM：BC，然后利用BM=DM和比例性质可得到结论．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．24.【答案】解：(1)∵抛物线y═13x2+bx+c经过点M(3,−4)，A(−3,0)，{−4=3+3b +c 0=3−3b +c， 解得：{b =−23c =−5， ∴这条抛物线的表达式为y =13x 2−23x −5；(2)∵A(−3,0)，B(5,0)，∴这条抛物线的对称轴为直线x =1．设点P 的坐标为(1,y)．∵PC =BC ，点B 的坐标为(5,0)，点C 的坐标为(0,−5)．∴PC 2=BC 2．12+(y +5)2=52+52．解得y =2或y =−12．∴点P 的坐标为(1,2)或(1,−12)； (3)作PH ⊥BC ，垂足为点H ．∵点B(5,0)，点C(0,−5)，点P(1,2)，∴PC =BC =5√2．设直线BC 的解析式为y =kx −5，代入B(5,0)解得k =1，∴直线BC 的解析式为y =x −5，把x =1代入得，y =−4，∴直线BC 与对称轴相交于点D(1,−4)，∴PD =6，∵S △PBC =S △PCD +S △PBD ，∴12×5√2⋅PH =12×6×1+12×6×4．解得PH =3√2．∴sin∠PCB =√25√2=35．【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，三角形面积等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，灵活运用三角形面积公式，属于中考常考题型．(1)根据待定系数法即可求得；(2)根据A 、B 的坐标求得对称轴为x =1，设点P 的坐标为(1,y).由PC =BC 根据勾股定理列出12+(y +5)2=52+52.解得即可；(3)作PH⊥BC，垂足为点H，根据勾股定理求得BC，然后求得直线BC的解析式，进而求得D的坐标，然后根据S△PBC=S△PCD+S△PBD，列出12×5√2⋅PH=12×6×1+12×6×4.求得PH，解正弦函数即可．25.【答案】解：(1)连接PO并延长交弦AB于点H，如图1所示：∵P是优弧AB⏜的中点，PH经过圆心O，∴PH⊥AB，AH=BH，在△AOH中，∠AHO=90°，AH=12AB=4，AO=5，∴OH=√AO2−AH2=√52−42=3，在△APH中，∠AHP=90°，PH=OP+OH=5+3=8，∴AP=√PH2+AH2=√82+42=4√5；(2)当点N与点B重合时，以点O为圆心，32为半径的圆与直线AP相交；理由如下：作OG⊥AB于G，如图2所示：∵∠OBG=∠ABM，∠OGB=∠AMB，∴△OBG∽△ABM，∴BMAB =BGOB，即BM8=45，解得：BM=325，∴OM=325−5=75，∵75<32，∴当点N与点B重合时，以点O为圆心，32为半径的圆与直线AP相交；(3)作OD⊥AB于D，如图3所示：∵OA=OB=5，∴AD=DB=12AB=4，∴OD=√OB2−BD2=√52−42=3，∵∠BNO=∠BON，∴BN=OB=5，∴DN=DB+BN=9，在Rt△ODN中，由勾股定理得：ON=√OD2+DN2=√32+92=3√10，∵圆N与圆O相切，∴圆N半径=3√10−5．【解析】(1)连接PO并延长交弦AB于点H，由垂径定理得出PH⊥AB，AH=BH，由勾股定理得出OH=√AO2−AH2=3，在△APH中，∠AHP=90°，PH=OP+OH=8，由勾股定理求出AP即可；(2)作OG⊥AB于G，先证明△OBG∽△ABM，得出BMAB =BGOB，求出BM=325，得出OM=75，由75<32，即可得距离；(3)作OD⊥AB于D，由勾股定理求出OD=√OB2−BD2=3，证出BN=OB=5，得出DN的长，再由勾股定理求出ON，然后由相切两圆的性质即可得出圆N的半径．本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、直线与圆的位置关系、相切两圆的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系、相切两圆的性质是解题的关键．。
2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷 解析版
2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列各数不是4的因数是（）A．1B．2C．3D．42．（4分）如果分式有意义，则x与y必须满足（）A．x＝﹣y B．x≠﹣y C．x＝y D．x≠y3．（4分）直线y＝2x﹣7不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（4分）某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（4分）在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（4分）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（）A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）的相反数是．8．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝．9．（4分）已知函数f（x）＝，那么f（﹣2）＝．10．（4分）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是．11．（4分）已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，那么y关于x的函数解析式为．12．（4分）从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是．13．（4分）在四边形ABCD中，向量、满足，那么线段AB与CD的位置关系是．14．（4分）某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为名．15．（4分）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于．16．（4分）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于厘米．17．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠A＝45o，将这个三角形绕点B旋转，使点A落在射线AC上的点A1处，点C落在点C1处，那么AC1＝．18．（4分）定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点．已知点M、N为圆O的一对反演点，且点M、N到圆心O的距离分别为4和9，那么圆O上任意一点到点M、N的距离之比＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：（﹣3）0﹣9++|2﹣|．20．（10分）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解．21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝经过第一象限内的点A，延长OA到点B，使得BA＝2AO，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，交双曲线于点C，点B的横坐标为6．求：（1）点A的坐标；（2）将直线AB平移，使其经过点C，求平移后直线的表达式．22．（10分）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC 最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．23．（12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝AD，AM⊥BD，垂足为点M，连接CM并延长，交线段AB于点N．求证：（1）∠ABD＝∠BCM；（2）BC•BN＝CN•DM．24．（12分）已知抛物线y＝+bx+c经过点M（3，﹣4），与x轴相交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果P是这条抛物线对称轴上一点，PC＝BC，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，当点P在x轴上方时，求∠PCB的正弦值．25．（14分）已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，AB＝8．（1）当P是优弧的中点时（如图），求弦AP的长；（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；（3）当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列各数不是4的因数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据求一个数的因数的方法，判断出所给的各数不是4的因数是哪些即可．【解答】解：∵4的因数有：1、2、4，∴各数不是4的因数是3．故选：C．【点评】此题主要考查了求一个数因数的方法，要熟练掌握，应有顺序的写，做到不重不漏．2．（4分）如果分式有意义，则x与y必须满足（）A．x＝﹣y B．x≠﹣y C．x＝y D．x≠y【分析】根据分式有意义的条件是x﹣y≠0，可得x﹣y≠0，进而可得答案．【解答】解：由题意得：x﹣y≠0，即：x≠y，故选：D．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式分母不为零．3．（4分）直线y＝2x﹣7不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．【解答】解：∵直线y＝2x﹣1，k＝2＞0，b＝﹣1，∴该直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．4．（4分）某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差的意义求解可得．【解答】解：由题意知甲的方差最小，成绩最稳定，故选：A．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．（4分）在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：①线段是轴对称图形，②等边三角形是轴对称图形，③等腰梯形是轴对称图形，④平行四边形不是轴对称图形，综上所述，一定是轴对称图形的是①②③共3个．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．（4分）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（）A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD【分析】根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，于是得到四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，在△ADO与△CBO中，，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴AD＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC∴四边形ABCD是菱形；故B正确；故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）的相反数是﹣．【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．【解答】解：的相反数是﹣，故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义．8．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣4＝（a﹣b）2﹣4＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．故答案为：（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．【点评】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确分组得出是解题关键．9．（4分）已知函数f（x）＝，那么f（﹣2）＝2．【分析】根据已知直接将x＝﹣2代入求出答案．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（﹣2）＝＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了函数值，正确将已知数据代入是解题关键，本题属于基础题．10．（4分）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是m≤1．【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程有两个实数根，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×m＝4﹣4m≥0，解得：m≤1．故答案为：m≤1．【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．11．（4分）已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，那么y关于x的函数解析式为y＝12x．【分析】由正多边形的中心角的度数，根据圆心角定理求出正多边形的边数，即可得出结果．【解答】解：∵正多边形的中心角为30度，∴＝12，∴正多边形为正十二边形，设边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，则y关于x的函数解析式为：y＝12x；故答案为：y＝12x．【点评】本题考查了正多边形和圆、圆心角定理、函数关系式等知识，熟练掌握由正多边形的中心角求正多边形的边数是关键．12．（4分）从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是．【分析】列举出所有情况，看末位是2的情况占所有情况的多少即可．【解答】解：共有6种情况，是偶数的有2种情况，所以组成的两位数是偶数的概率为，故答案为：．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，注意本题是不放回实验．13．（4分）在四边形ABCD中，向量、满足，那么线段AB与CD的位置关系是平行．【分析】根据共线向量的定义即可求出答案．【解答】解：∵，∴与是共线向量，由于与没有公共点，∴AB∥CD，故答案为：平行．【点评】本题考查共线向量，解题的关键是熟练运用共线向量的定义，本题属于基础题型．14．（4分）某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为160名．【分析】利用总人数560乘以每天做作业时间不少于2小时的同学所占的比例即可求解．【解答】解：根据题意结合统计图知：估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为560×＝160人，故答案为：160．【点评】本题考查的是用样本估计总体的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．15．（4分）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于130°．【分析】根据如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫互为补角计算即可．【解答】解：180°﹣50°＝130°．故这个角的补角等于130°．故答案为：130°．【点评】本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．16．（4分）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于7厘米．【分析】根据梯形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：梯形的中位线长＝×（5+9）＝7（厘米）故答案为：7．【点评】本题考查的是梯形中位线的计算，梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．17．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠A＝45o，将这个三角形绕点B旋转，使点A落在射线AC上的点A1处，点C落在点C1处，那么AC1＝．【分析】连接AC1，由旋转的性质先证△ABA1为等腰直角三角形，再证△AA1C1为直角三角形，利用勾股定理可求AC1的长度．【解答】解：如图，连接AC1，由旋转知，△ABC≌△A1BC1，∴AB＝A1B＝3，AC＝A1C1＝2，∠CAB＝∠C1A1B＝45°，∴∠CAB＝∠CA1B＝45°，∴△ABA1为等腰直角三角形，∠AA1C1＝∠CA1B+∠C1A1B＝90°，在等腰直角三角形ABA1中，AA1＝AB＝3，在Rt△AA1C1中，AC1＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是能够根据题意画出图形．18．（4分）定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点．已知点M、N为圆O的一对反演点，且点M、N到圆心O的距离分别为4和9，那么圆O上任意一点到点M、N的距离之比＝．【分析】分三种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：由题意⊙O的半径r2＝4×9＝36，∵r＞0，∴r＝6，当点A在NO的延长线上时，AM＝6+4＝10，AN＝6+9＝15，∴＝＝，当点A″是ON与⊙O的交点时，A″M＝2，A″N＝3，∴＝，当点A′是⊙O上异与A，A″两点时，易证△OA′M∽△ONA′，∴＝＝＝，综上所述，＝．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：（﹣3）0﹣9++|2﹣|．【分析】本题涉及零指数幂、分母有理化、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝1﹣3+﹣1+2﹣＝﹣1．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、分母有理化、绝对值、二次根式化简等考点的运算．20．（10分）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解．【分析】先分别解答不等式组中的两个不等式的解集，然后求其交集即为不等式组的解集，再根据不等式组的解集来取自然数解．【解答】解：，由①得：x≥﹣1，由②得：x＜4．故不等式组的解集是：﹣1≤x＜4．故这个不等式组的自然数解是：0，1，2，3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝经过第一象限内的点A，延长OA到点B，使得BA＝2AO，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，交双曲线于点C，点B的横坐标为6．求：（1）点A的坐标；（2）将直线AB平移，使其经过点C，求平移后直线的表达式．【分析】（1）作AD⊥x轴，垂足为D，易得AD∥BH，根据平行线分线段成比例可得点A的横坐标，再根据双曲线y＝经过第一象限内的点A，可得点A的纵坐标；（2）根据点C的坐标求出直线AB的表达式，再运用待定系数法即可求出平移后直线的表达式．【解答】解：（1）作AD⊥x轴，垂足为D，∵BH⊥x轴，AD⊥x轴，∴∠BHO＝∠ADO＝90°，∴AD∥BH，∵BA＝2AO，∴，∵点B的横坐标为6，∴OH＝6，∴OD＝2，∵双曲线y＝经过第一象限内的点A，可得点A的纵坐标为3，∴点A的坐标为（2，3）；（2）∵双曲线y＝上点C的横坐标为6，∴点C的坐标为（6，1），由题意得，直线AB的表达式为y＝，∴设平移后直线的表达式为y＝，∵平移后直线y＝经过点C（6，1），∴1＝，解得b＝﹣8，∴平移后直线的表达式y＝．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，反比例函数图象上点的坐标特征，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC 最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．【分析】（1）解Rt△ABC求出AC的长度，便可求得AH；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，根据快速行驶时间比平时行驶时间少20秒，列出分式方程便可．【解答】解：（1）根据题意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin70°＝20×0.94＝18.8，∴AH＝20.8．答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得，解得，x1＝60，x2＝﹣40，经检验：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．【点评】本题是解直角三角形与分式方程应用的综合题，主要考查了解直角三角形，列分式方程解应用题，（1）题的关键是解直角三角形求出AC，（2）小题的关键是找出等量关系列出分式方程．23．（12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝AD，AM⊥BD，垂足为点M，连接CM并延长，交线段AB于点N．求证：（1）∠ABD＝∠BCM；（2）BC•BN＝CN•DM．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，BM＝DM，再利用平行线的性质得到∠ABD＝∠MBC，利用直角三角形斜边上的中线性质得到CM＝BM＝DM，则∠MBC＝∠BCM，从而得到∠ABD＝∠BCM；（2）先证明△NBM∽△NCB，则BN：CN＝BM：BC，然后利用BM＝DM和比例性质可得到结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠MBC，∴∠ABD＝∠MBC，∵AB＝AD，AM⊥BD，∴BM＝DM，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴CM＝BM＝DM，∴∠MBC＝∠BCM，∴∠ABD＝∠BCM；（2）∵∠BNM＝∠CNB，∠NBM＝∠NCB，∴△NBM∽△NCB，∴BN：CN＝BM：BC，而BM＝DM，∴BN：CN＝DM：BC，∴BC•BN＝CN•DM．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．24．（12分）已知抛物线y＝+bx+c经过点M（3，﹣4），与x轴相交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果P是这条抛物线对称轴上一点，PC＝BC，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，当点P在x轴上方时，求∠PCB的正弦值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据A、B的坐标求得对称轴为x＝1，设点P的坐标为（l，y）．由PC＝BC根据勾股定理列出12+（y+5）2＝52+52．解得即可；（3）作PH⊥BC，垂足为点H，根据勾股定理求得BC，然后求得直线BC的解析式，进而求得D的坐标，然后根据S△PBC ＝S△PCD+S△PBD，列出．求得PH，解正弦函数即可．【解答】解：（1）∵抛物线y═x2+bx+c经过点M（3，﹣4），A（﹣3.0），，解得：，∴这条抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣5；（2）∵A（﹣3，0），B（5，0），∴这条抛物线的对称轴为直线x＝l．设点P的坐标为（l，y）．∵PC＝BC，点B的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，5）．∴PC2＝BC2．12+（y+5）2＝52+52．解得y＝2或y＝﹣12．∴点P的坐标为（1，2）或（l，﹣12）；（3）作PH⊥BC，垂足为点H．∵点B（5.0），点C（0，5），点P（1，2），∴PC＝BC＝5．设直线BC的解析式为y＝kx﹣5，代入B（5，0）解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，把x＝1代入得，y＝﹣4，∴直线BC与对称轴相交于点D（1，﹣4），∴PD＝6，∵S△PBC ＝S△PCD+S△PBD，∴．解得PH＝3．∴sin∠PCB＝＝．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，三角形面积等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，灵活运用三角形面积公式，属于中考常考题型．25．（14分）已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，AB＝8．（1）当P是优弧的中点时（如图），求弦AP的长；（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；（3）当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．【分析】（1）连接PO并延长交弦AB于点H，由垂径定理得出PH⊥AB，AH＝BH，由勾股定理得出OH＝＝3，在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝8，由勾股定理求出AP即可；（2）作OG⊥AB于G，先证明△OBG∽△ABM，得出＝，求出BM＝，得出OM＝，由＜，即可的距离；（3）作OD⊥AB于D，由勾股定理求出OD＝＝3，证出BN＝OB＝5，得出DN的长，再由勾股定理求出ON，然后由相切两圆的性质即可得出圆N的半径．【解答】解：（1）连接PO并延长交弦AB于点H，如图1所示：∵P是优弧的中点，PH经过圆心O，∴PH⊥AB，AH＝BH，在△AOH中，∠AHO＝90°，AH＝AB＝4，AO＝5，∴OH＝＝＝3，在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝5+3＝8，∴AP＝＝＝4；（2）当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交；理由如下：作OG⊥AB于G，如图2所示：∵∠OBG＝∠ABM，∠OGB＝∠AMB，∴△OBG∽△ABM，∴＝，即＝，解得：BM＝，∴OM＝﹣5＝，∵＜，∴当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交；（3）作OD⊥AB于D，如图3所示：∵OA＝OB＝5，∴AD＝DB＝AB＝4，∴OD＝＝＝3，∵∠BNO＝∠BON，∴BN＝OB＝5，∴DN＝DB+BN＝9，在Rt△ODN中，由勾股定理得：ON＝＝＝3，∵圆N与圆O相切，∴圆N半径＝3﹣5．【点评】本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、直线与圆的位置关系、相切两圆的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系、相切两圆的性质是解题的关键．。
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2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）下列各数不是4的因数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（4分）如果分式有意义，则x与y必须满足（ ） A．x＝﹣y B．x≠﹣y C．x＝y D．x≠y 3．（4分）直线y＝2x﹣7不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（4分）某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为、、、，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（4分）在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（4分）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（ ） A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）的相反数是 ． 8．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝ ． 9．（4分）已知函数f（x）＝，那么f（﹣2）＝ ． 10．（4分）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 ． 11．（4分）已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 12．（4分）从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是 ． 13．（4分）在四边形ABCD中，向量、满足，那么线段AB与CD的位置关系是 ． 14．（4分）某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为 名．
15．（4分）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于 ． 16．（4分）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米． 17．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠A＝45o，将这个三角形绕点B旋转，使点A落在射线AC上的点A1处，点C落在点C1处，那么AC1＝ ．
18．（4分）定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点．已知点M、N为圆O的一对反演点，且点M、N到圆心O的距离分别为4和9，那么圆O上任意一点
到点M、N的距离之比＝ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算：（﹣3）0﹣9++|2﹣|． 20．（10分）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解． 21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝经过第一象限内的点A，延长OA到点B，使得BA＝2AO，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，交双曲线于点C，点B的横坐标为6． 求：（1）点A的坐标； （2）将直线AB平移，使其经过点C，求平移后直线的表达式．
22．（10分）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米． （1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）； （2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．
23．（12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝AD，AM⊥BD，垂足为点M，连接CM并延长，交线段AB于点N． 求证：（1）∠ABD＝∠BCM； （2）BC•BN＝CN•DM．
24．（12分）已知抛物线y＝+bx+c经过点M（3，﹣4），与x轴相交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C． （1）求这条抛物线的表达式； （2）如果P是这条抛物线对称轴上一点，PC＝BC，求点P的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，当点P在x轴上方时，求∠PCB的正弦值．
25．（14分）已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，AB＝8． （1）当P是优弧的中点时（如图），求弦AP的长； （2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由； （3）当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长． 2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）下列各数不是4的因数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据求一个数的因数的方法，判断出所给的各数不是4的因数是哪些即可． 【解答】解：∵4的因数有：1、2、4， ∴各数不是4的因数是3． 故选：C． 【点评】此题主要考查了求一个数因数的方法，要熟练掌握，应有顺序的写，做到不重不漏． 2．（4分）如果分式有意义，则x与y必须满足（ ） A．x＝﹣y B．x≠﹣y C．x＝y D．x≠y 【分析】根据分式有意义的条件是x﹣y≠0，可得x﹣y≠0，进而可得答案． 【解答】解：由题意得：x﹣y≠0， 即：x≠y， 故选：D． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式分母不为零． 3．（4分）直线y＝2x﹣7不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题． 【解答】解：∵直线y＝2x﹣1，k＝2＞0，b＝﹣1， ∴该直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 4．（4分）某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为、、、，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据方差的意义求解可得． 【解答】解：由题意知甲的方差最小，成绩最稳定， 故选：A． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 5．（4分）在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 【解答】解：①线段是轴对称图形， ②等边三角形是轴对称图形， ③等腰梯形是轴对称图形， ④平行四边形不是轴对称图形， 综上所述，一定是轴对称图形的是①②③共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 6．（4分）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（ ） A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD 【分析】根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，于是得到四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到即可． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△ADO与△CBO中，， ∴△ADO≌△CBO（AAS）， ∴AD＝CB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC ∴四边形ABCD是菱形；故B正确； 故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键， 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）的相反数是 ﹣ ． 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案． 【解答】解：的相反数是﹣， 故答案为：﹣． 【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义． 8．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝ （a﹣b+2）（a﹣b﹣2） ． 【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣4 ＝（a﹣b）2﹣4 ＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）． 故答案为：（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）． 【点评】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确分组得出是解题关键． 9．（4分）已知函数f（x）＝，那么f（﹣2）＝ 2 ．