生存分布理论寿命与生存分布-银河统计学
合集下载
第一章生存分布理论基础
第一节 寿命与生存分布
一、寿命的概率分布与生存函数 新生儿在x岁之前死亡的概率
F (x) Pr( X x), x 0.
假定寿命极限为w，满足：
(1)F (0) 0;
(2)F(w) 1.
寿命的生存函数 随机变量X 的生存函数
S(x) Pr( X x) 1 F (x), x 0.
e0 0 S(t)dt
例.已知 S (x) (1 x ) 0 x 100 计算： 100
（1）（30）岁的人在60岁内死亡的概率； （2）（40）岁的人至少还能再活10年的概率； （3）（30）岁的寿命在60岁到80岁之间的概率； （4）（30）岁的平均寿命。
三、 整数年龄的概率分布 (x)未来存活的完整年数（整值余寿），简记
假定寿命极限为w，满足：
(1)S(0) 1;
(2)S(w) 0.
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率
Pr(x X z) S(x) S(z)
寿命的密度函数
f (x) F(x) S(x).
概率意义为在x点附近极小区间失效的速率；
满足属性：
(1) f (x) 0;
x
w
二、余命的概念分布与生存函数
x岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称为剩余寿命， 记作T(x) . 剩余寿命分布函数
FT (t) Pr(T (x) t) t qx , t 0.
t qx Pr(T (x) t) Pr( X x t X x)
S(x) S(x t) S(x)
寿命变量和剩余寿
命变量的区别？
前者是无条件概率，后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t); (2)1qx记为qx ; (3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u) Pr(x t X x t u X x)
一、寿命的概率分布与生存函数 新生儿在x岁之前死亡的概率
F (x) Pr( X x), x 0.
假定寿命极限为w，满足：
(1)F (0) 0;
(2)F(w) 1.
寿命的生存函数 随机变量X 的生存函数
S(x) Pr( X x) 1 F (x), x 0.
e0 0 S(t)dt
例.已知 S (x) (1 x ) 0 x 100 计算： 100
（1）（30）岁的人在60岁内死亡的概率； （2）（40）岁的人至少还能再活10年的概率； （3）（30）岁的寿命在60岁到80岁之间的概率； （4）（30）岁的平均寿命。
三、 整数年龄的概率分布 (x)未来存活的完整年数（整值余寿），简记
假定寿命极限为w，满足：
(1)S(0) 1;
(2)S(w) 0.
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率
Pr(x X z) S(x) S(z)
寿命的密度函数
f (x) F(x) S(x).
概率意义为在x点附近极小区间失效的速率；
满足属性：
(1) f (x) 0;
x
w
二、余命的概念分布与生存函数
x岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称为剩余寿命， 记作T(x) . 剩余寿命分布函数
FT (t) Pr(T (x) t) t qx , t 0.
t qx Pr(T (x) t) Pr( X x t X x)
S(x) S(x t) S(x)
寿命变量和剩余寿
命变量的区别？
前者是无条件概率，后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t); (2)1qx记为qx ; (3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u) Pr(x t X x t u X x)
寿险第一章
Prt T 0 z S0t S0z
特性：1、S0 0 1 S0 0
2、 是S0关t于t的递减函数；一般还是
关于t的连续函数
生存函数
定义
Sx (t) Pr[T x f t]
意义：x至少活到 x 岁 t的概率。
与分布函数的关系： Sx (t) 1 Fx (t)
与密度函数的关系： fx (t) Sx (t)
与 S0的t 关系：
Sx t Pr T x f t Pr T 0 f x t T 0 f x
Pr T 0 f x t S0 x t
Pr T 0 f x
S0 x
即 S0 x t S0 xSx t Sx u t Sx tSxt u
精算符号
q 分布函数： t x
7387758 7288785 7190091
73.88 73.82 72.89
整数年龄生命函数的计算
t
px
lxt lx
t qx1lx源自 lxn m qxq mn x
n qx
n
px
mn
px
lxn
lxnm lx
n 1 qx
n
qx
lxn
lxn1 lx
dxn lx
例2.1：
已知
lx
10000(1 x ) 100
t
px y
S0x y t S0x y
S0xSx y t S0xSx y
px yt
pxy
t px
etu
uxt ln( px )
Balducci假定(调和插值)
1
1t
t
S0 x t S0 x S0 x 1
t qx
tqx
1 1 t qx
特性：1、S0 0 1 S0 0
2、 是S0关t于t的递减函数；一般还是
关于t的连续函数
生存函数
定义
Sx (t) Pr[T x f t]
意义：x至少活到 x 岁 t的概率。
与分布函数的关系： Sx (t) 1 Fx (t)
与密度函数的关系： fx (t) Sx (t)
与 S0的t 关系：
Sx t Pr T x f t Pr T 0 f x t T 0 f x
Pr T 0 f x t S0 x t
Pr T 0 f x
S0 x
即 S0 x t S0 xSx t Sx u t Sx tSxt u
精算符号
q 分布函数： t x
7387758 7288785 7190091
73.88 73.82 72.89
整数年龄生命函数的计算
t
px
lxt lx
t qx1lx源自 lxn m qxq mn x
n qx
n
px
mn
px
lxn
lxnm lx
n 1 qx
n
qx
lxn
lxn1 lx
dxn lx
例2.1：
已知
lx
10000(1 x ) 100
t
px y
S0x y t S0x y
S0xSx y t S0xSx y
px yt
pxy
t px
etu
uxt ln( px )
Balducci假定(调和插值)
1
1t
t
S0 x t S0 x S0 x 1
t qx
tqx
1 1 t qx
生存分析统计学
生存分析统计学是一种重要的研究方法，用于评估个体或群体在给定时间内存活或发生某种特定事件的概率。
该方法广泛应用于医学、流行病学、生态学、环境科学和社会科学等领域。
本文将讨论的一些基础知识和常见应用。
基础知识通常用于评估人群或疾病谱的存活时间和风险因素。
该方法涉及多个概念术语，其中最基础的是生存分布函数（SDR）和风险函数（RF）。
SDR 描述了人群中在一定时间内生存的比例，而RF 描述了在给定时间内发生特定事件（例如死亡、复发或某种治疗响应）的概率。
另一个重要的概念是生存曲线。
生存曲线是SDR 的图形表示。
它显示了在给定时间段内生存下来的个体比例，通常用 Kaplan-Meier（KM）方法计算。
应用领域广泛运用于医学领域，用于评估药物疗效、预测疾病进展以及评估手术后的患者生存率。
例如，当新的抗癌药物被开发出来时，生存分析可用于评估该药物对患者生存期的影响。
同样，它也可用于评估某种疾病的患者存活率和死亡率，以便医生能够更好地了解疾病的自然进程和患者生存期。
也应用于流行病学，以评估风险因素对疾病发生和生存期的影响。
例如，一项流行病学研究可能使用生存分析来评估某种化学物质的暴露与罕见疾病的发生之间的关系。
生态学和环境科学也使用生存分析研究生物群落的动态和生物多样性的变化。
还可用于社会学和金融学，用于预测人口或投资组合的预期寿命和风险。
例如，一家保险公司可以通过生存分析计算每个年龄和性别组中的平均寿命和出现意外事故的风险。
金融企业可以使用生存分析将预测到的客户寿命纳入其投资组合的风险因素。
总结可用于评估个体或群体存活时间和风险因素，涉及多个基本概念。
该方法被广泛应用于医学、流行病学、生态学、环境科学和社会科学等领域。
皆可使用不同的方法，例如 KM、Cox 比例风险模型、Parametric 模型等。
研究人员需要根据具体研究问题，选择合适的方法，以获得准确、有用的信息。
生命表理论
解2.4
e • 在常数死亡力下， t px t ，则
e e e t
p25
15
0.04t
p25
, 0 t 15
p t15 40
0.0415
0.06(t 15)
,t 15
.
• 25岁的人在未来25年内的期望存活时间为
0
25
e25:25 0 t p25dt
死亡效力
•
( 定义：
x)
的瞬时死亡率，简记
x
x
S ( x) S ( x)
f (x) S ( x)
ln[S(x)]
• 死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0 xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
lx l0 S (x)
• l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期
望个数n：dx
特别：n=1时，记作d x
n dx lx lxn lx n qx dx lx lx1 lx qx
生命表的构造
l0
t Lx
• 个新生生命在年龄x至xx+t t区间共存活年数：
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
例2.2
• 已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
寿险精算第一章资料
uxt
整值剩余寿命
定义：(x未) 来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
1
S0x t S0x
S0
x S0x S0x
t
精算符号
剩余寿命的生存函数 t p：x
t px Pr T x
t
Sx
t
S0 x S0
t x
1
t
qx
特别：
x p0 S0 x
精算符号
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概
率
px 1 px
qx
：x岁的人将q在x 11年qx内死亡的概率
t u qx
剩余寿命的期望与方差
完全平均余寿：(x)剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex
o
ex E(T (x)) td (1 t px ) t pxdt
0
0
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0
整值剩余寿命的期望与方差
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。
分布函数
定义
F0 (t) Pr[T 0 t]
意义：新生儿在 t岁之前死亡的概率。
定义： Fx (t) PrT x t
意义：x在 年t 之内死亡的概率。
定义：密度函数 f (x) F(x)
De Moivre模型(1724)
生存分布与生命表课件
另一方面，将风险聚合起来有利于风险的预测和控 制。方差变小。
保险是实现风险转移最为有效的方式。
自愿、自由、公平地进行风险转移是一件非常复杂 的事情。保险人首先对风险进行分类，识别可保风险 ；然后运用统计、经济、社会学、金融学、计算机、 法律等一系列专业知识进行消费者行为分析、可行性 分析、资金需求分析、未来投资收益分析等一系列综 合考虑，并采用恰当的数学模型厘定公平的费率；最 后还要保证有足够的偿付能力履行预定的损失赔付责 任。这一系列复杂的工作就催生了保险精算学这一专 业学科的产生与发展。
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
例1-10 已知下面的选择终极生命表： 求：以投保2年的（36）活到40岁的概率。
生存分布与生命表课件
作业 P27 23 作业 P26 7，8，11，16，19
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
保险分为财产保险和人身保险两大类。 财产保险是以财产及其相关利益为保险标的，保 险事故是财产的损失。广义上包括财产损失保险 （有形损失）、责任保险、信用保险。 人身保险是以人的生命和身体为保险标的的保险， 保险事故是人的生、老、病、死、残等。广义上包 括人寿保险、健康保险和人身意外伤害险等。
生存分布与生命表课件
课程相关及考核
课程相关： （1） 要记忆公式多，在理解的基础上记忆重点公式， 在练习的过程中加深理解和记忆 （2） 计算量大，准备计算器，推荐casio fx95，考试不 能用手机代替计算器 （3） 教材：寿险精算 中国精算是协会组编 中国财政 经济出版社 （4） 参考书：寿险精算数学 王燕 中国人民大学出版社 （5） 提前预习，上课认真听讲，复习看笔记，认真完 成练习 （6） 概率基础很重要，注意温习
保险是实现风险转移最为有效的方式。
自愿、自由、公平地进行风险转移是一件非常复杂 的事情。保险人首先对风险进行分类，识别可保风险 ；然后运用统计、经济、社会学、金融学、计算机、 法律等一系列专业知识进行消费者行为分析、可行性 分析、资金需求分析、未来投资收益分析等一系列综 合考虑，并采用恰当的数学模型厘定公平的费率；最 后还要保证有足够的偿付能力履行预定的损失赔付责 任。这一系列复杂的工作就催生了保险精算学这一专 业学科的产生与发展。
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
例1-10 已知下面的选择终极生命表： 求：以投保2年的（36）活到40岁的概率。
生存分布与生命表课件
作业 P27 23 作业 P26 7，8，11，16，19
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
保险分为财产保险和人身保险两大类。 财产保险是以财产及其相关利益为保险标的，保 险事故是财产的损失。广义上包括财产损失保险 （有形损失）、责任保险、信用保险。 人身保险是以人的生命和身体为保险标的的保险， 保险事故是人的生、老、病、死、残等。广义上包 括人寿保险、健康保险和人身意外伤害险等。
生存分布与生命表课件
课程相关及考核
课程相关： （1） 要记忆公式多，在理解的基础上记忆重点公式， 在练习的过程中加深理解和记忆 （2） 计算量大，准备计算器，推荐casio fx95，考试不 能用手机代替计算器 （3） 教材：寿险精算 中国精算是协会组编 中国财政 经济出版社 （4） 参考书：寿险精算数学 王燕 中国人民大学出版社 （5） 提前预习，上课认真听讲，复习看笔记，认真完 成练习 （6） 概率基础很重要，注意温习
生存时间统计学方法
生存时间统计学方法
生存时间统计学方法主要包括以下几种：
1. 描述性分析：根据样本生存资料估计总体生存率及其他有关指标（如中位生存时间等）。
常采用Kaplan-Meier法（乘积极限法）进行分析。
对于频数表资料则采用寿命表法进行分析。
计算生存率需要考虑时间顺序。
2. 非参数检验：检验分组变量各水平所对应的生存曲线是否一致，对生存时间的分布没有要求，并且检验危险因素对生存时间的影响。
3. 半参数横型回归分析：在特定的假设之下，建立生存时间随多个危险因素变化的回归方程，这种方法的代表是Cox比例风险回归分析法。
4. 参数模型回归分析：已知生存时间服从特定的参数横型时，拟合相应的参数模型，更准确地分析确定变量之间的变化规律。
5. 典型相关分析：相关分析一般分析两个变量之间的关系，而典型相关分析是分析两组变量（如3个学术能力指标与5个在校成绩表现指标）之间相关性的一种统计分析方法。
以上信息仅供参考，具体使用哪种方法需要根据研究目的和数据类型来决定。
保险精算模型寿险精算---熊福生
生命表
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号
新生生命组个体数：l0
年龄：x 极限年龄：
生命表
l0 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lx
lx l0 பைடு நூலகம் s(x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1, K (x)
整数余命K的概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k 1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
t
px
寿命与生存分布
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t)
s(x t) s(x)
Sx (t)
特别： S0 (x) x p0 s(x)
寿命与生存分布
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用 了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因 而把Halley称为生命表的创始人。
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总 体分布假定（非参数方法）
k 0
k 0
整值剩余寿命的方差
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k1 px ex2 k 0
第一章
生存分布 理论基础
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
人寿保险是以人的生命为保险标的， 以被保险人在指定时期的生存或死亡作为保险金给付条 件。因此，被保险人的寿命分布状况，也就是被保险人能存活多久，他在各年龄段上的死亡 率有多大的是保险人所关心的问题。 从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建 立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分 布理论。研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。
Pr (30 X 60) S (30) S (60) Pr ( X 30) S (30)
(1
30 60 ) (1 ) 100 100 3 ； 30 7 1 100
3、寿命的密度函数 对分布函数求导，就得到密度函数： f(x ) 了某人在 x 岁死亡的可能性。 密度函数具有如下性质：
第一节 寿命与生存分布
寿险公司的承保对象是数以万计的保险人，如此众多的人的生存（死亡）率，必定存在着某 种统计规律，这就是所谓“大数法则”。寿险精算就是要利用这种大数法则，从概率论和数 理统计的角度来研究和揭示这些统计规律性，用以解决寿险精算中的实际问题。
一、寿命的分布函数、生存函数和密度函数 1、寿命的分布函数
x
105
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx
x2
2 105
|105 0 52.5
0
x 2f(x ) dx
105
x2
0
105
dx
x3
3 105
|105 0 3675
D(X ) E(X 2 ) [E(X )]2 5512.5 52.52 918.75 。
二、剩余寿命 这里记 ( x) 为 x 岁的人， ( x) 还能继续存活的时间称为 ( x) 的剩余寿命，简记为 T ( x) 。 从统计分析的角度而言，剩余寿命是条件概率问题。对于寿险业务而言，最关注的是被保险 人投保之后的寿命分布规律，也就是说寿险精算学中主要研究剩余寿命的分布规律。 1、剩余寿命的分布函数 记 Fx (t ) 为 ( x) 的剩余寿命分布函数， 它表示 x 岁的人在将来的 t 年内去世的概率。 换言之， 它描述一个能够获到 x 岁的人活不过 x t 岁的概率。用概率可表示为：
第二章 生存分布理论
学习重点： 掌握生存函数及其相互关系、 了解三种常用非整数年存活函数估计方法和几个死 亡时间的解析分布、掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。
“如果算命先生能算出人的寿命，那么还要精算师干什么？” “既然‘天有不测风云、人有旦夕祸福’，那么精算师能算出人的寿命吗？” “算一个人的寿命‘不可能’，算一群人的寿命‘可能’”
Fx (t ) PT (T ( x) t ) Pr ( X x t | X x)
Pr ( x X x t ) S ( x) S ( x t ) Pr ( X x) S ( x)
为了区别于无条件寿命分布，这里引入国际通用精算符号，其中 Fx (t ) 记为 t q x 。此后，我 们用 t q x 表述已经活到 x 岁的人活不过 x t 岁的概率。特别地有， I、 II、 III、 IV、
一个人的寿命是从出生到死亡的时间长度， 它是无法事先确定的， 这在概率论中称为随机变 量，记为 X ( X 0) 。人的寿命总是有限的，假设人的寿命极限为 ，则 0 X 。 寿命随机变量 X 的分布函数为： F ( x) Pr ( X x) ， x 0
F ( x) 在统计中称为累积分布函数， 它的概率意义是随机变量 X 小于等于一个给定值 x 的概
X 表示一个0岁的人将来的寿命， F ( x) 可以理解为0岁的人在 x 之前死亡的概率。 率。 在此，
显然有： F (0) 0
， F () 1 。
2、寿命的生存函数
寿命随机变量 X 的生存函数为： S ( x) Pr ( X x) ， x 0 在此， X 表示一个0岁的人将来的寿命， S ( x) 可以理解为0岁的人能活过 x 岁的概率。或者 说一个人寿命大于 x 岁的概率。 生存函数与分布函数具有如下补函数关系： S ( x) Pr ( X x) 1 Pr ( X x) 1 F ( x) 显然有： S (0) 1
50 1 ) ； 100 2
II、 Pr ( X 80) S (80) 1
80 1 ； 100 5
III、 Pr (60 X 70) S (60) S (70) (1 IV、
60 70 1 ) (1 ) ； 100 100 10
Pr (60 X | X 30)
F '(x ) [1 S(x )]' S '(x )，它体现
dx F(x )； f(x ) dx S(x )； f ( x) 0 ； f(x )
0
x
x
0
dx E(X ) f(x ) dx 1 ； xf(x )
0
其中， E ( X ) 为人寿随机变量 X 的数学期望值，即平均寿命。同时可用 D( X ) 表示人类寿 命方差。由数理统计知识可知， D( X ) E ( X ) [ E ( X )] 。
2 2
【例2.2】假设某人群的生存函数为 S ( x) 1 差 D( X ) 。 解： f ( x) S ( x) '
x ， 0 x 105 ，求平均寿命 E ( X ) 及方 105
1 （密度函数为均匀分布）； 105
105
E(x )
E(x 2 )
105
0
xf(x ) dx
， S () 0 。
x ， 0 x 100 ，求； 100
【例2.1】假设某人群的生存函数为 S ( x) 1 I、一个新生婴儿活不到50岁的概率； II、一个新生婴儿的寿命超过80岁的概率； III、一个新生婴儿在60-70岁间死亡的概率； IV、一个活到30岁的人活不到60岁的概率； 解： I、 Pr ( X 50) F (50) 1 S (50) 1 (1