金融工程 第七章 布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展
布莱克——斯科尔斯期权定价公式的推导及推广
期权定价理论的开创性 论文是 １ ０年法国数学 ９ ０
家 Ｂ ｃｅｅ． ． ａ ｌｒ 的博士学位论文 《 ｈｉ Ｌ 投资理论》 ，在这篇 论文中，Ｂ ｃｅｅ假设股票价格的动态过程为布朗运 ａ ｌｒ ｈｉ 动 ，股票收益为正态分布 ，得到不分红股票 的欧式买
二 、期权定价理论的早期发展 （ ）Ｂ ｃｄｅ公式 一 ａｈ ｉ ｒ
界的一场革命 ，尽 管该模 型 的一 些假设 与现实 不相 符 ，但是期权市场的价格与该公式的计算结果还是 比 较吻合 的。在该模 型 中，Ｂａｋ ｃｏ 和 Ｍ ｒｎ引 ｌ 、Ｓｈｌ ｃ ｓ ｅ ｅｏ ｔ 入了动态套期保值组合的概念 ，期权 的支付可以通过 基础资产的动态组合策略复制。在基础资产的价格过 程为对数正态分布的情况下 ，得到欧式期权公式的解 析解 。其实 ，期权定价理论的研究 可以追索到 Ｂ ｔｅ ａｈ—
Ｋｅ ｏｄ ：ｂ ｃ ｅｏ ｓ ｏｍｌ；Ｉ ｎａ ｐｒ ｃ ；￣ｋＢ ｏ ｏｏｍ ｔ ｄ ；ｅｕｉ ｕ ｐ ａｈ ． ｗ ｒｓ ｌ ｋ—ｓｈｌ ｒｕ ｙ ａ ｅ ｆ ａ ｇｌ ａｐ ａｈ ｅ ｏ ｌ８ｐｒ ｌ ｅ ｏｓ ｑｉｂ ｍ ａ ｒ ｃ ８ ｔｉ ｈ ｆ ｌｌ ｐ ｏ
一
、
引言
１ ＇ １ 理 的期 权 定 价 理 论 。在 此 之 后 ，Ｈ ｒｓｎ和 ＂ Ｏ引 ａｉ ｒｏ
Ｂａｋ ｃｏ 的期权 定价模 型是 金融 学 中广泛 ｌ —Ｓｈｌ ｃ ｓ ｅ 应用的模型之一 ，该模型的提 出是金融理论界和实践
Ｋｅｓ ａ ｉ ｎ和 Ｐｉ ａ ｒ 、Ｈ ｒｓ ｐ ｒｏ ｌｋ 分别应 用鞅和随机积分给 出 ｓ 了期权定价公式 ，他们的一 系列文章奠定 了现代数理 金融的基础 。下面笔者 分别讨论 Ｂａｋ ｃｏ 公式 ｌ —Ｓｈｌ ｃ ｓ ｅ 及其推导。
布莱克—舒尔斯期权定价
rt 365
log
1
~
Rt
365
log
~
St
~
St 1
r
log
1
~
R
log
1
~
R1
365
log
1
~
R2
365
L
log
1
~
R365
365
1 365
r1
r2
L
r365
推
广
连续计息的年利率
r1 n
r1 r2 L
rn
股票价格运动方式的基本假设
1）所有的 rt 都是独立同分布的；
~
S363
~
S365
~
S364
~
~
1
Rt 365
St
~
St 1
每天的收益率
~
1 R
~
S365
~
S0
~
S1
S0
~
S2
~
S1
L
~
S365
~
S364
1
~
R1
1
365
~
R2
L
365
1
~
R365
365
年利率
利用连续计息方式计息的连续复利
小于1股
2）
f
S
3）套头比不停的变化，所以为了复制一份期权， 需要随时调整复制组合中股票的头寸，但这种调 整是自融资的
这一动态复制过程就是用期权、标的物股票和一 种无风险证券来构筑一个无套利均衡的组合头寸
f f S L S
L f f S S
L f f S
布莱克-舒尔斯期权定价模型
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0
的正态分布）中取的一个随机值。
❖ 特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值 相互独立。
当 t 0时，得到极限的标准布朗运动： dz dt
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
二、布莱克-舒尔斯期权定价公式
❖ 股票价格服从对数正态分布，风险中性条件下以r取代μ，即：
2
❖ 在风险ln 中S 性T 的条[ln 件S 下 ，(r 无 收2 益)( 资T 产 t欧),式看T 涨 t 期]权到期时（T 时刻）的期望值为：
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b 2 T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
d x a d t bz(0)i
t
i1
z也具有正态分布特征，均值为0，方差为T，标准差为 。
T
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
普通布朗运动
❖ 变量X遵循普通布朗运动：
d x a d t b d z a d t bd t
a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 漂移率a：单位时间内变量z均值的变化值。 方差率b2：单位时间的方差
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
❖ 由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：
d S S d tS d z
❖ 其在一个小的时间间隔 t 中，S的变化值 S 为:
金融工程中的期权定价模型
金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。
通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。
期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。
二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。
期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。
下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。
1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。
这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。
布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。
其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。
2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。
这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。
布莱克-舒尔斯模型ppt课件
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导
出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如
下过程： dG (G aG 12G b2)d tG bdz
x t 2x2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
.
首先，我们要明确，在研究证券价格变化过程的时候，我 们的目标是找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确地 描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单 性。 一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移 率为μS、方差率为 S22 的伊藤过程来表示：
这意味着： lS n T lS n ~ [( 2 2 )T ( t),T t]
进一步从正态分布的性质可以得到：
lS n T ~ [S l n ( 2 2 )T ( t),T t]
.
也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的 自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。 这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以 及符号的定义，我们可以得到 E(ST)S和e(Tt)
dSSdtSdz
.
两边同除以S得： dSdtdz
S
该随机过程又可以称为几何布朗运动。其中 S 表示证券价格， μ表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收
益率）， 表示2证券收益率瞬间的方差， 表示证券收益率瞬
间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），dz表示标 准布朗运动。
S
组合的价值，则： f
f
S
(3)
x
在 t时间后，该投资组合的价值变化 为：
f f S S
(4)
.
将式（1）和（2）代入式（4），可得：
Black-Scholes期权定价模型
第二节 布莱克——舒尔斯期权 定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程 （一）布莱克——舒尔斯微分方程的推 导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：
dS Sdt Sdz
则：
S St Sz
（6.12）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望 值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动： （6.4） dx adt bdz 其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运 动。
dG ( G S
S
G t
1 G
2
2 S
2
S ) dt
2 2
G S
Sdz
(6.10)
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
六、证券价格自然对数变化过程
令 G ln S ，由于 代入式（6.10）:
dS S dt dz
（6.6）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
从（6.6）可知，在短时间后，证券价格 比率的变化值为：
S S
布莱克-舒尔斯期权定价模型
布莱克-舒尔斯期权定价模型期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它涉及到随机过程等较为复杂的概念。
我们将由浅入深，尽量深入浅出地导出期权定价公式，并找出衍生证券定价的一般方法。
第一节证券价格的变化过程由于期权定价用的相对定价法，即相对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先必须研究证券价格的变化过程。
目前，学术界普遍用随机过程来描述证券价格的变化过程。
本节将由浅入深地加以介绍。
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。
该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。
效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。
弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。
半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。
强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。
效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行了实证分析。
结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。
所谓随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。
根据时间是否连续随机过程可分为离散时间和连续时间随机过程，前者是指变量只能在某些分离的时间点上变化的过程，后者指变量可以在连续的时间段变化的过程。
根据变量取值范围是否连续划分，随机过程可分为离散变量和连续变量过程，前者指变量只能取某些离散值，而后者指变量可以在某一范围内取任意值。
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（Black-Scholes-Merton option pricing model）是金融学中最经典的期权定价模型之一。
该模型由费舍尔·布莱克（Fisher Black）、默顿·舒尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert Merton）三位学者于1973年共同提出，他们因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
该模型被广泛用于期权定价和风险管理。
布莱克-舒尔斯-默顿模型建立在一系列假设之上，其中包括市场允许短期空头交易、无风险利率保持恒定、市场流动性足够充足、期权不考虑红利支付等。
该模型的核心思想是使用风险中性估值来确定期权的价格，基于期权的风险与标的资产价格的相关性。
模型的数学公式为:C = S_0 * N(d1) - X * e^(-rT) * N(d2)P = X * e^(-rT) * N(-d2) - S_0 * N(-d1)其中，C为看涨期权的价格，P为看跌期权的价格，S_0是标的资产的现价，X是期权的行权价，r是无风险利率，T是期权的到期时间，N()是正态分布函数，d1和d2是根据数学公式计算得出的变量。
这个模型基于对资本市场和期权市场的理性行为假设，即市场参与者会根据可得的信息做出最优决策。
它可以用来估计欧式期权的价格，即只在到期日时才能行使的期权。
但该模型不能直接应用于美式期权，因为美式期权可以在任何时间行使。
为了使用布莱克-舒尔斯-默顿模型进行期权定价，需要计算d1和d2的值。
这两个值可以通过期权定价的一系列参量（如标的资产价格、行权价、无风险利率、到期时间和标的资产的波动率）来计算。
这些参量的准确估计对期权定价的精确性至关重要。
布莱克-舒尔斯-默顿模型的优点在于提供了一种快速而相对准确的期权定价方法，为投资者提供了一个公平的市场价值。
然而，该模型也存在一些限制，例如，该模型假设市场流动性充足，但实际市场可能存在流动性不足的情况。