几何图形 五大模型

直线形面积计算的五大模型

一、等积变换模型

（1） 等底等高的两个三角形面积相等；

（2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比

等于他们底的比）

AB 为公共边，所以

21::ABC

ABD s

s h h ∆∆=

1h 为公共的高，所以

1

2

::BD DC s s

=

（3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。

底和高均不同，所以

()21

::)(ABD

CDE BD DC h s

s h ∆∆=⨯⨯

比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6，

那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6）

二、鸟头定理（共角定理）

两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。

BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ∆∆=⨯⨯所以

E

:E:DA BAC DA A BA AC s

s ∆∆∠=⨯⨯A 为公共角，所以

推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。

三、蝴蝶定理模型

1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）

1

2

4

3

::s s s s =或者1

3

4

2

s s s s ⨯=⨯

14231243

+AO:OC s s s s s s s s ==

=：：（）：（+） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。

2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理）

22

13

:a b s s =： 22

1324

::a b s s s s =：：：ab ：ab 整个梯形对应的面积份数为： 2

(a+b)

四、相似模型

相似三角形性质：

（金字塔模型）

（沙漏模型）

下面的比例关系适用如上两种模型：

1、

AD AE DE AF AB AC BC AG

=== 2、 22

::ADE ABC s s AF AG ∆∆=

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下：

（1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

五、燕尾定理

:::ABG ACG BGE CGE s s s s BE CE ∆∆∆∆== :::BGA BGC GAF GCF s s s s AF CF ∆∆∆∆== :::AGC BGC AGD BGD s s s s AD BD ∆∆∆∆==