行列式因子一

§8.3 不变因子
一、行列式因子
不变因子
二、不变因子
二、
1. 定义
一、一、行列式因子行列式因子
注：
阶行列式因子.
k 的首项系数为1的最大公因式称为的(),k D λ()A λ中必有非零的级子式，中全部级子式()A λk k ()A λ设－矩阵的秩为，对于正整数，λr k 1,k r ≤≤()A λ若秩，则有个行列式因子.
()()A r λ=r ()A λ
（即初等变换不改变－矩阵的秩与行列式因子）λλ证：只需证，－矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的．
2. 有关结论
设经过一次初等变换变成，与()B λ()A λ()f λ分别是与的k 级行列式因子．()A λ()g λ()B λ下证，分三种情形：
f g =各级行列式因子.
1)（定理3）等价的－矩阵具有相同的秩与相同的λ
级子式反号. k 公因式，此时的每个级子式或k ()B λ者等于的某个级子式，k ()A λ或者与的某个()A λ因此，是的级子式的k ()B λ()f λ[],()().i j A B λλ 
→①()().f g λλ从而
()()().i c A B λλ 
→②级子式的c 倍.k 者等于的某个级子式，或者等于的某个()A λk ()A λ此时的每个级子式或k ()B λ因此，是的级子式的()f λk ()B λ公因式，()().
f g λλ从而
此时中包含两行()B λ,i j 级子式相等；()()().i j A B ϕλλ + 
→③的和不包含行的那些级子式与中对应的k j k ()A λ中包含行但不包含行的级k j i ()B λ子式，按行分成的一个级子式与另一个()A λi k k 级子式的倍的和，()ϕλ±即为的两个级子式()A λk 从而()().
f g λλ的组合，因此是的级子式的公因式，k ()f λ()B λ同理可得，()().
g f λλ()().f g λλ∴=
2）若矩阵的标准形为
λ−()A λ1()()()00r d d D λλλ =
O O 其中为首1多项式，且
1(),,()r d d λλL 1()(),1,2,1,
i i d d i r λλ+=−L 则的级行列式因子为
()A λk 12()()()(),1,2,.
k k D d d d k r λλλλ==L L
证：
与等价，()A λQ ()D λ完全相同，则这个级子式为零.
k 在中，若一个级子式包含的行、列指标不k ()D λ()()A D λλ∴与有相的秩与行列式因子.
12(1,,),k i i i r ≤≤L 级子式所以只需考虑由行与列组成的12,,k i i i L 12,,k i i i L k 1()().k i i d d λλL 即而这种级子式的最大公因式为k 12()()().k d d d λλλL 所以，的级行列式因子
()A λk 12()()()(),1,2,.
k k D d d d k r λλλλ==L L
证：设矩阵的标准形为
λ−()A λ3）（定理4）矩阵的标准形是唯一的.λ−1()()()00r d d D λλλ =
O O 其中为首1多项式，且
1(),()r d d λλL 1()(),1,2,1,
i i d d i r λλ+=−L
于是
211211()()()(),(),,()()()
r r r D D d D d d D D λλλλλλλλ−===L 即由的行列式因子所唯一确定.1(),,()r d d λλL ()A λ由2），的级行列式因子为
k ()A λ12()()()(),1,2,.k k D d d d k r λλλλ==L L 4）秩为的矩阵的个行列式因子满足：
r λ−r 1()(),1,2,, 1.
k k D D k r λλ+=−L 所以的标准形唯一.
()A λ
1. 定义
二、二、不变因子不变因子
矩阵的标准形
()A λλ−称为的不变因子.()A λ12(),(),,()r d d d λλλL 的主对角线上的非零元素1()()()00r d d D λλλ =
O O
有相同的标准形，1)（定理5）
矩阵、等价λ−()()A B λλ()()A B λλ⇔、有相同的不变因子.证：必要性显然. 只证充分性. 2. 有关结论
所以与等价.
()()A B λλ若与有相同的行列式因子，则
()()A B λλ与也有相同的不变因子，()()A B λλ()()A B λλ⇔、有相同的行列式因子.
()()
A B λλ从而与
则，为一非零常数.()A d λ=d 的第n 个行列式因子()A λ∴() 1.n D λ=1()(),1,2,, 1.k k D D k n λλ+=−L 证；若可逆，()A λ因子全部为1，的标准形为单位矩阵，即
E ()A λ与等价.
E ()A λ2）若的矩阵可逆，则的不变n n ×λ−()A λ()A λ又的n 个行列式因子满足:
()A λ()1,1,2,,.
k D k n λ∴==L
从而不变因子
1()
()1,1,2,,()
k k k D d k n
D λλλ−===L 所以，的标准形为()A λ.
E 矩阵的乘积.
注：可逆与等价.
()A λ⇔E ()A λ3)（定理6）可逆可表成一些初等()A λ⇔()A λ
证：可逆与等价
()A E λ⇔()A λ⇔存在初等矩阵11,,,,,s t P P Q Q L L 使
11()s t A P P EQ Q λ=L L 11.
s t P P Q Q =L L 存在一个可逆矩阵与一个可逆
()P λ⇔s s ×n n ×()()()().
B P A Q λλλλ=推论两个的矩阵、等价
s n ×λ−()()A B λλ矩阵，使
()Q λ
例、求矩阵的不变因子
λ−)
()()2200
100001A λλλλλ + = +
)
()21
00021020
0210002A λλλλλ−− −− =
−− −
()
2
2
,,1.
λλλλ++()11
D λ∴=()A λ的非零二级子式为:()2
2
01,
0λλλλλ+=+()
()23
201.0
1λλλλλ+=++解：1）的非零1级子式为:
()A λ()
20
,0
1λ
λλ=+()2()00001A λλ
λ= +
()()21.
D λλλ∴=+又
()()()
3
2
31.
D A λλλ
λ==+所以，的不变因子为：
()A λ()()()()
()()211211,1,D d D d D λλλλλλλ===
=+()()()
()2
3321.
D d D λλλλλ==+()2()00001A λλ
λ= +
2）100
2101,021
λλ−−−=−−−Q
又
()()()()
1223,D D D D λλλλ()()12 1.
D D λλ∴==而
()()()4
42.
D A λλλ==−的不变因子为
()A λ∴()()()()()4
12341,2.
d d d d λλλλλ====−()3 1.D λ∴=()21
0002100
0210002A λλλλλ−− −− =
−− −
练习：求的不变因子
()A λ()121000
1
00000000
1n n a a A a a λλλλ
λ− −
= −+
L L L
L L L L L L L
答案:
()()111,
n d d λλ+===L ()()1
11.
n n
n n n d A a a a λλλλ
λ−−==++++L
作业求矩阵的不变因子
λ−
()
3100 4100 6121 1451
A
λ
λ
λλ
λ
−−
+
=−−−−。