高中数学-数列的概念与简单表示法教案

课题: §2.1数列的概念与简单表示法

授课类型：新授课 备课人：

●教学目标

知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点

了解数列的概念和简单表示法，了解数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型

●教学难点

将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系，根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式

●教学过程

Ⅰ.课题导入

（引言）数产生于人类社会的生产、生活需要，它是描绘静态下物体的量，因此，在人类社会发展的历程中，离不开对数的研究，在这一背景下产生数列。数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列

三角形数：1，3，6，10，…

正方形数：1，4，9，16，25，…

Ⅱ.讲授新课

⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….

例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.

⒊数列的一般形式：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，

“31”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

项 1

5

1413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n

a n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系

⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项

公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|2

1cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

5.数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集N *

（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…

6．数列的分类：

1）根据数列项数的多少分类：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列

2）根据数列项与项之间的大小分类：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 观察：课本P28的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？

[范例讲解]

课本P29-30例1，例2

7．递推公式

如果已知数列{}n a 的第一项（或前K 项）,且任一项n k a +与前K 项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

例3 设数列{}n a 满足11111(1).n n a a n a -=???=+>??

写出这个数列的前五项。 解：分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：11

1-+=n n a a

解：据题意可知：3211,211,123121=+==+==a a a a a ，5

8,3511534==+=a a a 8.数列的前n 项和n s 与通项n a 的关系

已知数列{}n a 的前n 项和为232n S n n =-，求数列{}n a 的通项公式n a

【变式】已知数列{}n a 的前n 项和为2325n S n n =-+，求数列{}n a 的通项公式n a 。

Ⅲ.课堂练习

课本P31[练习]1、2、3、4

[补充练习]：

1.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 32, 154, 356, 638, 99

10, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；

(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….

解：(1) n a ＝2n ＋1； (2) n a ＝)

12)(12(2+-n n n ； (3) n a ＝2)1(1n -+； (4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,

∴n a ＝n ＋2

)1(1n

-+； (5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，

∴ n a ＝(－1)1+n n(n ＋1)

2．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式

(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；

(2) 1a ＝1, 1+n a ＝2

2+n n a a (n ∈N)； (3) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).

解：(1) 1a ＝0, 2a ＝1, 3a ＝4, 4a ＝9, 5a ＝16, ∴ n a ＝(n －1)2;

(2) 1a ＝1,2a ＝32,3a ＝4221=, 4a ＝52, 5a ＝6231=, ∴ n a ＝1

2+n ; (3) 1a ＝3＝1+203?, 2a ＝7＝1+213?, 3a ＝19＝1+223?,

3.探究：你能根据循环数列特征求出数列

5，55，555，5555，…的通项公式吗？

4. 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个递推数列

1，1，2，3，5，8，13，……

Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式。

Ⅴ.课后作业

课本P33习题2.1A 组的2、3、4

●板书设计

●授后记