6.2数理统计中几种常用的分布汇总
6.2数理统计中几种常用的分布.
性质3. 设T～t(n),则:T ～F(1,n) .
2
证明:
由t分布定义 T
2
X Y /n
其中X∼N(0,1),Y～χ (n),且X与Y相互独立. 2 2 (1) / 1 X /1 2 F T 2 Y /n ( n) / n
且 2 (1)与 2 ( n)相互独立.
由F分布定义, ∴ F = T2～F(1,n) .
2
条件: 的点χ
P ( n)
2 2
2
( n )
f ( x)dx
2
(n)为χ 2(n)分布的上分位点.
χ (n)分布 的上分位点 图形如右图.
χ2(n)分布的上分位点可以查 附表5.
2Hale Waihona Puke 13例1:求2 2 0 ( 10 ) ， )。 .05 0.1 (20
1.) 因为
P X z0.05 1 P X z0.05 1 0.05 0.95.
P X 1.64 0.9495.
P X 1.65 0.9505.
z0.05 1.64 1.65 1.645. 2
4
2.)
P X z0.005 1 PX z0.005 1 0.005 0.995.
i 1 n i 1
n
EX i2 n.
2 DX i
D D(
2n.
10
4.应用中心极限定理可得，若 若 X ~ 2 (n) ，则当n充分大时， X n 2n 的分布近似正态分布N(0,1).
11
2 (n)
分布的密度函 数的图形如右 图.
【2024版】概率论与数理统计(数理统计的基本概念)
X
2 n
)
D(
X
2 1
)
D(
X
2 2
)
D(
X
2 n
)
nD (
X
2 i
)
n{ E (
X
4 i
)
[E(
X
2 i
)]2
}
n
x4
1
2
e
x2 2
dx
12
n3
1
2n
23
若 2 ~ 2(n) 分布函数为F ( x)
,0 1 若F ( x) P{ 2 x}
则其解称为 2 分布 的 分位数(临界值)
0.15 00.1.155
000.1..11
N(0,1)
n=10 n=10 nn==33
n增大
000.0..00555
nnn===111
000
-5--55
-4--44
-3-3
-2-2
-1-1
00
11
22
33
444
555
t 分布的密度曲线关于y轴对称 随着n的增大, t 分布的密度曲线越陡
n 时，t 分布趋于标准正态分布N (0,1)
后,还要对数据进行加工和提炼,将样本的有关 信息,利用数学的工具进行加工.
引入统计量的概念
12
定义 设( X1, X 2 ,, X n )为来自总体X的一个样本,
若n元函数f ( X1, X 2 ,, X n )不含任何未知参数,
则
称f
(
X
1
,
X
2
,,
X
n
)为X
1
,
X
2
数理统计中几种分布之间的关系
数理统计中几种分布之间的关系数理统计是一门研究数据收集、分析和解释的学科，它在许多领域中都扮演着重要角色。
在数理统计中，各种概率分布函数被广泛应用，用于描述和解释不同类型的数据。
在本文中，我们将探讨几种常见的概率分布之间的关系。
一、离散分布和连续分布之间的关系离散分布和连续分布是数理统计中两个基本的概率分布类型。
离散分布指的是随机变量取有限个或可数个值的分布，而连续分布则是指随机变量可以取无限个可能值的分布。
这两种分布之间的关系在很多方面都存在差异。
首先，在概率密度函数和概率质量函数上存在差异。
对于连续分布，它的概率密度函数可以在某个区间内取任意值，而对于离散分布，概率质量函数只能在随机变量可能取值的点上取非零值。
其次，在计算概率方面也存在差异。
对于离散分布，我们可以通过计算离散分布的概率质量函数来得到某个取值的概率。
而对于连续分布，我们需要计算某个区间的概率，通过计算连续分布的概率密度函数在该区间上的积分来实现。
另外，这两种分布在图形表示上也有所不同。
对于离散分布，我们通常使用柱状图或条形图来表示不同取值的概率。
而对于连续分布，我们通常使用曲线图来表示概率密度函数。
总之，离散分布和连续分布在定义、计算和图形表示等方面存在诸多差异，但它们又都是数理统计中不可或缺的重要分布类型。
二、正态分布和二项分布之间的关系正态分布和二项分布是数理统计中常用的两个分布类型。
正态分布也被称为高斯分布或钟形曲线，它在许多自然和社会现象中都有广泛的应用。
而二项分布则是在重复实验中出现成功的次数符合二项分布的概率分布。
正态分布和二项分布之间存在着一定的关系。
当重复实验次数很大、每次实验成功的概率很小或成功的次数很大时，二项分布可以近似为正态分布。
这是由于当重复实验次数很大时，二项分布的概率质量函数会逐渐趋近于正态分布的概率密度函数。
这种关系在实际应用中具有重要意义。
通过将二项分布近似为正态分布，我们可以利用正态分布的性质来进行概率计算和统计推断，从而简化问题的复杂性。
数理统计中几种分布之间的关系
数理统计中有几种常见的概率分布，包括正态分布、泊松分布和指数分布。
这些分布在实际应用中有着重要的意义，它们之间的关系也是数理统计中的一个重要内容。
1. 正态分布正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它具有钟形曲线，呈现出中间高、两端低的特点。
正态分布有着许多重要的性质，比如均值和标准差能够完全描述一个正态分布。
在实际应用中，正态分布可以用来描述许多自然现象，比如身高、体重等。
另外，中心极限定理告诉我们，大量独立同分布的随机变量之和的分布趋于正态分布。
2. 泊松分布泊松分布是描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。
它适用于描述少量成功事件在长时间内发生的情况。
泊松分布的参数是平均发生率λ，它决定了事件发生的概率。
泊松分布在实际应用中被广泛运用，比如描述单位时间内接到的通信方式数、一段时间内发生的交通事故数等。
3. 指数分布指数分布是描述事件发生间隔时间的概率分布，它是泊松分布的补充。
指数分布的参数是事件发生率λ，它与泊松分布的参数相互关联。
指数分布常用来描述无记忆性的随机变量，比如设备的寿命、服务时间间隔等。
数理统计中，这三种分布之间存在着密切的联系。
正态分布和泊松分布在一定条件下可以近似互相转化。
当事件发生率λ趋向无穷大时，泊松分布将近似于正态分布。
而在一些特殊情况下，指数分布也可以退化为泊松分布。
这三种分布之间并不是孤立存在的，它们在一定条件下是相互联系、相互激发的。
在我的理解中，这三种概率分布之间的关系可以帮助我们更好地理解和应用概率统计的相关知识。
通过对它们之间关系的深入了解，我们可以更准确地选择合适的分布来描述实际问题，从而提高统计分析的准确性和实用性。
总结起来，正态分布、泊松分布和指数分布是数理统计中常见的概率分布，它们之间存在着密切的联系。
深入理解它们之间的关系有助于我们更好地应用统计学知识，提高数据分析的准确性和实用性。
希望通过本篇文章的阐述，能为读者带来一些启发和帮助。
6.2数理统计中几种常用的分布
f ( x )dx = α
α
o Fα(m,n) x
F分布的性质 分布的性质: 分布的性质 1 ~ F ( n, m ) (1) 若F~F(m,n),则 则 F 1 (2) F1−α ( m , n) = Fα ( n, m ) ∵1−α =P{F≥F1−α(m,n)} − −
1 1 }= 1 − P{ 1 > = P{ 1 ≤ } F F1−α ( m , n) F F1−α ( m , n) 1 }=α ⇒ P{ 1 > F F1−α ( m , n) 1 ⇒ = Fα ( n, m ) F1−α ( m , n)
α
o tα(n) t
t分布的性质 分布的性质: 分布的性质 (1) 其密度函数 是偶函数 其密度函数f(t)是偶函数 (2) t1−α(n)= −tα(n) − (3) f(t)的极限为 的极限为N(0,1)的密度函数 即 的密度函数,即 的极限为 的密度函数
lim f ( t ) = ϕ ( t ) =
∴
∑(
i =1
16
Xi − µ
σ
σ
) ~ χ (16)
2 2
σ ≤ 1 P{
2
2
∑(X 16
i =1
16
i
− µ ) ≤ 2σ }
2 2
= P {8 ≤ ∑ (
i =1
16
Xi − µ
σ
) ≤ 32}
2
16
= P {∑ (
iБайду номын сангаас=1
16
Xi − µ
σ
) ≥ 8} − P { ∑ (
2 i =1
Xi − µ
6.2 数理统计中几种常用的分布
概率论分布类型总结
概率论分布类型总结概率论分布类型总结概率论是数学中的一个分支，主要研究随机现象和随机事件的规律性。
在概率论中，分布是一个非常重要的概念，它描述了一个随机变量取不同值的可能性大小。
本文将对概率论中常见的分布类型进行全面详细的总结。
一、离散型分布1. 伯努利分布伯努利分布是一种最简单的离散型分布，它描述了只有两种结果（成功或失败）的试验。
伯努利分布有一个参数p，表示成功的概率。
若X 表示试验结果，则X=1表示成功，X=0表示失败。
伯努利分布的期望为E(X)=p，方差为Var(X)=p(1-p)。
2. 二项分布二项分布是由n个独立重复进行的伯努利试验组成，在每次试验中有成功和失败两种结果。
二项分布有两个参数n和p，其中n表示试验次数，p表示每次试验中成功的概率。
若X表示成功次数，则X服从二项分布。
二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
3. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
泊松分布只有一个参数λ，表示单位时间内该事件平均发生的次数。
若X表示单位时间内该事件发生的次数，则X服从泊松分布。
泊松分布的期望为E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。
二、连续型分布1. 均匀分布均匀分布是一种最简单的连续型分布，它描述了在一定范围内所有值出现的可能性相等。
均匀分布有两个参数a和b，表示取值范围[a,b]。
若X表示随机变量，则X服从均匀分布。
均匀分布的期望为E(X)=(a+b)/2，方差为Var(X)=(b-a)^2/12。
2. 正态分布正态分布是一种非常重要的连续型分布，它在自然界中广泛存在，并且在统计学中有着重要应用。
正态分布有两个参数μ和σ，其中μ表示期望，σ表示标准差。
若X表示随机变量，则X服从正态分布。
正态分布具有很多重要性质，例如68-95-99.7法则、中心极限定理等。
3. 指数分布指数分布适用于描述等待时间或寿命的概率分布。
指数分布只有一个参数λ，表示单位时间内事件发生的平均次数。
常用数据分布、二项分布，伯努利分布，正态分布
常用数据分布、二项分布，伯努利分布，正态分布数据分布数据分布是—种形象的数据描述方式，用各种统计图形将数据的分布形态形象地展现在图形上，指的是数据分概率分布或频数分布，即单个值在整个数据集中的分布。
基本概念1、随机变量：随机变量是随机事件在数量上的表现，按取值分类分为离散型随机变量和连续型随机变量。
例如随机在两男两女中抽取两个人，要求一男一女，有可能出现（男1 , 女1) 、（男1, 女2) 、（男2, 女1) 、（男2, 女2) I 我们关心的是—个男—个女，而并不关心是哪个男的配对哪个女的。
离散型随机变量：在一定区间内变星的取值为无数个或可数个，例如商品个数，人口总数等，主要包括：柏怒利随机变量、二项随机变量、几何随机变晕、泊松随机变星。
连续型随机变量在一定区间内变量的取值为无数个，数值无法进行一一列举，如血红蛋白的测定值等，主要包括：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量、正态随机变量。
2、古典概率：指事件中结果种类是确定的，且结果发生概率都相同，这种事件发生的概率被称古典概率，例如抛硬币和掷骰子等。
3、条件概率：指时间A在时间B已经发生的条件下所发生的的概率，例如掷骰子时第一次掷到1第二次掷到2的概率就是条件概率。
4、离散变量：指变量值可以按照—定顺序进行列举，通常以整数位取值的变量，例如：人口数、商品数等。
5、连续变量：指在一定区间中可以任意取值的变量，数值连续不断，可无限分隔，例如：生产零件的规格，身高体重等。
6、期望值：指在一个离散型随机变量试验中，每次可能出现的结果的概率乘以其结果的总和，不同于常识中的期望值，统计学中的期望值，也许和每—个结果都不相同离散变量分布1、二项分布：指在每次试验中只有两种可能的结果，例如：市场调研员询问消费者对某种洗发用品是否满意，其结果也只有两个，即满意与不满意；拨打朋友手机的结果，即接通与没接通。
如果某个事件或活动的结果多千两个，但只关心其中一个，也可以视为只有两个结果。
6.2数理统计中几种常用的分布
1.标准正态分布
2. 2分布
3. t分布 4. F分布
1. 标准正态分布
定义:设X~N(0,1),对任给的 , 0<<1,称满
足条件
P{X z } z ( x)dx
的点z为标准正态分布的上分位点 (x)
o z x
例1 求z0.05
F F1 (m, n)
P{
1 F
1 }
F1 (m, n)
1 F1 (m, n)
F (n, m)
（3） 若 X ~ t (n), 则 X 2 ~ F(1, n);
例5 设 F ~ F(24, 15) , 求 F1, F2, F3, 使其分别满足
P(F > F1 )= 0. 025 , P(F < F2 )= 0. 025 , P(F > F3 )= 0. 95 .
解 (1) 由 m =24, n=15, = 0. 025 , 查 P342 附表7 知
F1 = F0.025 (24 , 15)= 2.70 ;
(2) 无法直接查表获得,
但
P
(F
F2
)
P(
1 F
由 F 分布性质知 1/F ~ F(15, 24), 查附表7 知
1 F2
)
0.
025
,
1 F2
F0.025(15,
2(m
, 2),
n)
则
40
~ E若XYi4 221分布,x4则e当x22 dxn 充= 3分大时,
Y n 近似服从 N(0,1). 2n
应用中心极限定理可得
6
2分布的上分位点:
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一、
2
分布
二、t 分布 三、F分布
1
正态分布
定义: 设 X
N 0,1 即X的概率密度为 x2 1 x e 2, x 2
x2 2
对于给定的正数 , 0 1, 称满足条件
1 P X z 2
PT t (n)
t分布的上 分位点图形如 右图.
t分布的上分位 点可以查附表4.
t ( n )
f (t )dt
的点t(n)为t分布的上分位点.
t t1
18
例2:设 T～t(8),且P{|T|≤x0}=0.95,试求x0 的值.
解:P{|T|>x0}=1- P{|T|≤x0}=1-0.95=0.05, P{|T|>x0}= P{T>x0}+ P{T<-x0} 由t分布的概率密度函数的对称性知 P{T>x0}=P{T<-x0}
6
一、
2
2
分布
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X1 , X 2 ,L , X n 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量：
X X2 L Xn
2 2 1 2
2
2
所服从的分布为自由度为 n 的 分布. 记为
2 ~ 2 (n)
7
分布的密度函数为
[( n 1) 2] t f (t ) (1 ) n (n 2) n
2 n 1 2
, t
15
具有自由度为n的t分布的随机变量T的数 学期望和方差为:
E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 对n >2 t分布的密度函数关于x=0对称，且
Lim f ( x; n) 0
n, D 2n
2
证：EX i 0, DX i 1,
2 i 4 i 2 2 i
X i ~ N (0,1)
EX i2 1,
DX EX ( EX ) 3 1 2, i 1,2,n
所以 E 2 E (
2
i 1 n i 1
n
X i2 )
2 Xi )
i 1 n i 1
n
EX i2 n.
2 DX i
D D(
2n.
10
4.应用中心极限定理可得，若 若 X ~ 2 (n) ，则当n充分大时， X n 2n 的分布近似正态分布N(0,1).
11
2 (n)
分布的密度函 数的图形如右 图.
12
χ 分布的分位点 对于(0,1)给定,称满足
P X 2.58 0.9951.
z0.005
3.) 同理可得
2.57 2.58 2.575 2
z0.001 3.01
5
一般, X与Y相互独立,且 X～N(1,12), Y～N(2,22) 则Z=X+Y仍然服从正态分布,且 X+Y～N(1+2,12+22), X-Y～N(1-2,12+22), 还可推广: 有限个相互独立的正态随机 变量的线性组合仍然服从正态分布
x
当n充分大时，其图形类似于标准正态分 布密度函数的图形.
16
f (x) 0.5 n=10 n=4 n=1
-3
-2
-1
o
1
2
3
x
图 6－ 4
不难看到，当n充分大时，t 分布近 似N (0,1)分布. 但对于较小的n，t分布 与N (0,1)分布相差很大.
17
t分布的分位点
T～t(n),对于(0,1)给定,称满足条件:
2
n y 1 1 n2 y2 e 2 f ( y ) 2 (n 2) 0
y0 y0
其中伽玛函数 ( x )通过积分
( x ) e t 0 来定义.
t x 1
dt , x 0
8
由 分布的定义，不难得到：
2
1. 设 X1 , X 2 ,L , X n 相互独立, 都服从正态分布 2 N ( , ), 则
2
1
2
2 2 ( X ) ~ ( n) i 2 i 1
n
2. 设 X 1 ~ (n1 ), X 2 ~ (n2 ),且X1,X2相互
2
独立，则 X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 )
这个性质叫 分布的可加性.
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
2 2 2 ~ ( n ) 3.如果 , 则E
2
条件: 的点χ
P ( n)
2 2
2
( n )
f ( x)dx
2
(n)为χ 2(n)分布的上分位点.
χ (n)分布 的上分位点 图形如右图.
χ2(n)分布的上分位点可以查 附表5.
2
13
例1:求
2 2 0 ( 10 ) ， )。 .05 0.1 (20
解：从附表5查得
2 0.05 2 0.1
(10) 18.307 ，
(20) 28.412 ，
14
二、t 分布 2 定义: 设X～N(0,1) , Y～ (n) , 且X与Y相互 独立，则称变量 X T Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
t (n). 记为T～
T的密度函数为：
z
e
dx
的点 z 为标准正态分布的上
分位点
2
注:①图中阴影部分的面积为 , 它是事件 X z
发生的概率.
②
Z Z1
3
例. 求
z0.05 ,
z0.005 ,
z0.001 ,
即:已知, 求z .
解: 设X～N(0,1)
1.) 因为
P X z0.05 1 P X z0.05 1 0.05 0.95.
于是得P{|T|>x0}= 2 P{T>x0}=0.05 即 P{T>x0}=0.025, x0 =t0.025(8).
查表得t0.025(8)=2.3060. 即 x0 =2.3060.
P X 1.64 0.9495.
P X 1.65 0.9505.
z0.05 1.64 1.65 1.645. 2
4
2.)
P X z0.005 1 PX z0.005 1 0.005 0.995.
查表得:
P X 2.57 0.9949.