大学物理波动方程和波的能量
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大连理工大学《大学物理-力学、振动与波动》课件-第5章
§5惠更斯原理波的衍射波的反射与折射一、惠更斯原理OS 1S 2u ∆tu ∆tS 1S 2在均匀的自由空间波传播时，任一波面上的每一点都可以看作发射子波的点波源，以后任意时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波面。
——波沿直线传播t+∆t 时波面t 时波面t+∆t 时波面S1i 2三、波的反射与折射介质1MN反射波与入射波在同一介质中传播tu MD AN ∆==i容易算出i i '=（n 1）（n 2）A B C DMNi 1i1tu MD ∆1=tu AN ∆2=21u u AN MD =2sin i AD AN =1sin i AD MD =11u c n =22u c n =2211sin sin i n i n =介质2A B C D1122sin sin i u i u =21n =介质2相对于介质1的折射率折射波与入射波在不同介质中传播介质相对于空气的折射率声波—机械纵波一、声压媒质中有声波传播时的压力与无声波传播时的静压力之差纵波—疏密波稀疏区域：实际压力小于静压力，声压为负值稠密区域：实际压力大于静压力，声压为正值§7声波与声强级次声波可闻声超声波声压是仪器所测得的物理量定义声压：p = p -p 0对某声波媒质无声波——静压力p 0 、密度ρ0有声波——压力p 、密度ρ)(Hz ν2020000p+pV+∆V ∆V。
大学物理波动的知识点总结
大学物理波动的知识点总结一、波动的基本概念1.波动的定义波动是一种可以在介质中传播的能量或者信息的方式。
波动既可以是物质的波动，比如水波、声波等，也可以是场的波动，比如电磁波等。
根据波的传播方式和规律，波动可以分为机械波和电磁波。
2.波动的特点波动具有传播性、干涉性、衍射性和波粒二象性等特点。
波动的传播性表明波动能够沿着介质传播，干涉性指波动能够互相叠加，并产生干涉现象，衍射性说明波动能够弯曲传播并产生衍射现象，波粒二象性则是指波动既具有波动特征，也具有粒子特征。
3.波的基本要素波的基本要素包括振幅、频率、波长、波速等。
振幅是波动能量的大小，频率是波动的振动周期，波长是波动在空间中占据的长度，波速是波动在介质中的传播速度。
二、波动方程1.一维波动方程一维波动方程描述了一维波动在空间和时间上的变化规律。
一维波动方程的基本形式为：∂²u/∂t²=v²∂²u/∂x²其中u(x,t)表示波动的位移，v表示波速，t表示时间，x表示空间坐标。
2.二维波动方程二维波动方程描述了二维波动在空间和时间上的变化规律。
二维波动方程的基本形式为：∂²u/∂t²=v²(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)其中u(x,y,t)表示波动的位移，v表示波速，t表示时间，x和y表示空间坐标。
3.波动方程的解波动方程一般是偏微分方程，其解一般通过分离变量、叠加原理、傅里叶变换等方法求解。
对于特定的边界条件和初始条件，可以得到波动方程的具体解。
三、波动的性质1.反射和折射波动在介质表面的反射和折射是波动的基本性质之一。
反射是波动从介质边界反射回来的现象，折射是波动通过介质界面时改变传播方向的现象。
2.干涉和衍射干涉是波动相遇并相互叠加的现象，衍射是波动通过小孔或者障碍物后产生的弯曲传播的现象。
干涉和衍射都是波动的波动性质。
大学物理 波的能量 惠更斯原理
u = Y
由于： 由于： 势能
1 dEP = ( ρdV ) A 2ω 2 sin 2 ω (t − x / u ) 2
ρ
1 2 2 2 与动能相同 dEk = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 k=0、±1、±2、…最大， 最大， 当：ω(t-x/u)=(2k+1) ̟/2 最大
ω(t-x/u)=k̟ k=0、±1、±2……最小。 最小。
Ek、EP
同时达到最大 平衡位置处 同时达到最小 最大位移处
6
3.波动的能量
dE = dEk + dEP
= ( ρdV ) A ω sin ω (t别 • 振动能量中 k、EP相互转换，系统机械 振动能量中E 相互转换， 能守恒。 能守恒。 •波动能量中 k、EP同时达到最大，同时 波动能量中E 同时达到最大， 波动能量中 为零，总能量随时间周期变化。 为零，总能量随时间周期变化。
7.3 7.4
波的能量 惠更斯原理
1
一、波的动能、势能和能量 波的动能、
在波传播的过程中， 在波传播的过程中，振源的能量通过弹性介质传 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动， 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 波动传播的过程也是能量传递的过程。 波动传播的过程也是能量传递的过程。
1.波动的动能
纵波为例： 以均匀细棒中传播的 纵波为例： 取一体积元 dV， ， 质量为ρdV, 质量为 质元振动速度为v。 质元振动速度为
2
ρdV
dm = ρdV
波函数
y = A cos ω (t − x / u) 质元振动速度 v = ∂y = − Aω sin ω (t − x / u ) ∂t 动能 1 2 dEk = dm v 2 1 2 2 2 = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2
由于： 由于： 势能
1 dEP = ( ρdV ) A 2ω 2 sin 2 ω (t − x / u ) 2
ρ
1 2 2 2 与动能相同 dEk = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 k=0、±1、±2、…最大， 最大， 当：ω(t-x/u)=(2k+1) ̟/2 最大
ω(t-x/u)=k̟ k=0、±1、±2……最小。 最小。
Ek、EP
同时达到最大 平衡位置处 同时达到最小 最大位移处
6
3.波动的能量
dE = dEk + dEP
= ( ρdV ) A ω sin ω (t别 • 振动能量中 k、EP相互转换，系统机械 振动能量中E 相互转换， 能守恒。 能守恒。 •波动能量中 k、EP同时达到最大，同时 波动能量中E 同时达到最大， 波动能量中 为零，总能量随时间周期变化。 为零，总能量随时间周期变化。
7.3 7.4
波的能量 惠更斯原理
1
一、波的动能、势能和能量 波的动能、
在波传播的过程中， 在波传播的过程中，振源的能量通过弹性介质传 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动， 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 波动传播的过程也是能量传递的过程。 波动传播的过程也是能量传递的过程。
1.波动的动能
纵波为例： 以均匀细棒中传播的 纵波为例： 取一体积元 dV， ， 质量为ρdV, 质量为 质元振动速度为v。 质元振动速度为
2
ρdV
dm = ρdV
波函数
y = A cos ω (t − x / u) 质元振动速度 v = ∂y = − Aω sin ω (t − x / u ) ∂t 动能 1 2 dEk = dm v 2 1 2 2 2 = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2
4_2_2波动方程、波的能量、声波
引子： 引子：悬浮的小动物 究竟是什么力量使小 动物悬浮在空中的？ 动物悬浮在空中的？ 答案在本次讲课中。 答案在本次讲课中。
§2.4 波动方程与波速
一、波动方程 简谐波的波函数为： 简谐波的波函数为： y(x,t)=Acosk(ut-x) 2 y y = k 2u2 A sin k(ut x) = kuAsin k(ut x) 2 t t y 2 y = kAsin k(ut x) = k 2 A sin k(ut x) x x 2 2 2 y 2 y =u --- 平面波的波动方程 平面波的波动方程 2 2 t x 其通解为 y = f1 ( x + ut ) + f 2 ( x ut ) --- 平面波函数 平面波函数 u 为波速
w = w
k
W V
p
1 y = E 2 x
2
2
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t x 2 2
2
3.能量密度 能量密度 w = w
k
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t 2 2 x
E ρ
2
2
棒中纵波速度 u =
E = ρu 2
1 2 y w p = ρu 2 x
1 y = ρ t 2
2
2.势能密度 势能密度
--- 与弹性（形变）有关 与弹性（形变）
考虑一棒的线变， 考虑一棒的线变， 棒长： 截面： 棒长：l ，截面：S 两端拉力： 两端拉力：由0 → F 相应形变：增至 ， 应变。 相应形变：增至l，应力 ∝ 应变。
F ES l =E F= l = kl S l l 1 2 k (l ) 势能： W p = 势能： 2
§2.4 波动方程与波速
一、波动方程 简谐波的波函数为： 简谐波的波函数为： y(x,t)=Acosk(ut-x) 2 y y = k 2u2 A sin k(ut x) = kuAsin k(ut x) 2 t t y 2 y = kAsin k(ut x) = k 2 A sin k(ut x) x x 2 2 2 y 2 y =u --- 平面波的波动方程 平面波的波动方程 2 2 t x 其通解为 y = f1 ( x + ut ) + f 2 ( x ut ) --- 平面波函数 平面波函数 u 为波速
w = w
k
W V
p
1 y = E 2 x
2
2
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t x 2 2
2
3.能量密度 能量密度 w = w
k
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t 2 2 x
E ρ
2
2
棒中纵波速度 u =
E = ρu 2
1 2 y w p = ρu 2 x
1 y = ρ t 2
2
2.势能密度 势能密度
--- 与弹性（形变）有关 与弹性（形变）
考虑一棒的线变， 考虑一棒的线变， 棒长： 截面： 棒长：l ，截面：S 两端拉力： 两端拉力：由0 → F 相应形变：增至 ， 应变。 相应形变：增至l，应力 ∝ 应变。
F ES l =E F= l = kl S l l 1 2 k (l ) 势能： W p = 势能： 2
物理波的能量
=
3
cos
4πt
(2)以距a点5m处的b点为坐标原 点写出波动方程。
b.
u .a 5m
x
解：(1)以a点为原点在x轴上任取一点P，坐标为x
ya = 3 cos 4πt y =3 cos 4πt +
x
20
(2)以b点为坐标原点
wk
wp
2 A2
sin
2 [ (t
x )] u
平均能量密度（对时间平均)
w 1 T A2 2 sin 2[(t x)]dt
T0
u
w
=
1 2
ρAω2
2
三、波的强度
能流P :单位时间内垂直通过某一截面的 P = w S u 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。
显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值
(t+
d u
)
π
2
]
y
=
A cos[ω
(
t
+
d u
x u
)
π
2
]
例6、波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。
{ 写出波动方程。
t= 0 (o点)
得：
y 0
=
2
=
A
2
v0
＞0 0=
π
3
2
o
y(m)
4 5
p
u
x (m)
{ t =0
(p点)
2π
=
y 0
=
0
v0＜ 0
p
0
d
λ
得：
平均能流P : 能流在一个周期内的平均值。 P = S w u 波的强度 I（能流密度）:
波动方程和能量
x u
u
6
dEp
1Y 2
2 A2
u2
sin 2
t
x u
dV
又 u Y Y u2
dEp
1 2
2 A2
sin 2
t
x u
dV
比较动能
dEk
1 2
2 A2
sin 2
t
x u
dV
结论： 在波动过程中，任一质元的动能和势能 相等，且同相位变化。
7
波的能量
现象： 若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）
因棒元x很小，略去 上式中x的高次项，
得纵波的波动方程
2y Y 2y
t 2 x2
1
横波的情形
如图棒元的剪应变为 y ，无限缩小时为 y ，
在 x 处受弹性力为 x
x
f1
GS ( y x
)x
(G剪切模量)
在x+x处所受弹性力
f2
y GS ( x )xx
棒元所受合力
y
y
2 y
f2 f1 GS[( x )xx ( x )x ] GS x2 Δx
。后面我们将直接应用这一结论。8
质元的机械能：
dE
d Ek
d Ep
A2 2
sin 2 t
x dV u
能量密度：单位体积介质中的波动能量。
w d E A2 2 sin 2 t x
dV
u
可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相 邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的 下一个体积元的能量传播过程过程。
在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变，
上
下
形变最小
大学物理第二章 行波波动方程
应表示出所有质元在时刻 t 的位移，
除了取决 t o 外，
还应与质元的位置坐标有关
下面来写出平面简谐波的表达式
假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。
波传播的速度为 u ，方向如图 u
●
o
x
选择平行波线方向的直线为 x 轴。
u
●
o
x
在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同），
即应变，则有
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“－”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 作机械振动的物体——波源 媒质 传播机械振动的物体 在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。
什么是物质的弹性？
机械振动是如何靠弹性来传播呢？
T
将上式改写
u
表明：波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的“完整波”的个数。
4. 波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质，
(1) 固体中的横波
(2) 固体棒中的纵波
u
G
u E
G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
a
2. 表达式也反映了波是振动状态的传播
y( x x，t t) y( x, t)
x ut
y
o●
u
t
ut
●
●
x
x x x
y Acos( t 2 x )
除了取决 t o 外，
还应与质元的位置坐标有关
下面来写出平面简谐波的表达式
假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。
波传播的速度为 u ，方向如图 u
●
o
x
选择平行波线方向的直线为 x 轴。
u
●
o
x
在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同），
即应变，则有
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“－”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 作机械振动的物体——波源 媒质 传播机械振动的物体 在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。
什么是物质的弹性？
机械振动是如何靠弹性来传播呢？
T
将上式改写
u
表明：波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的“完整波”的个数。
4. 波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质，
(1) 固体中的横波
(2) 固体棒中的纵波
u
G
u E
G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
a
2. 表达式也反映了波是振动状态的传播
y( x x，t t) y( x, t)
x ut
y
o●
u
t
ut
●
●
x
x x x
y Acos( t 2 x )
大学物理-波动学2
2 2 2
x w wk w p A sin [ (t ) 0 ] u
2 2 2
定义：平均能量密度（对时间平均)
1 w T
T
0
x 1 2 2 A sin [ (t ) 0 ]dt A 2 u
2 2 2
能流，能流密度
能流 P —单位时间内通过某一截面的 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。 设波速为 u，在 t 时间内通过垂 直于波速方向截面 S 的能量:
波方程——任意坐标x处的振动方程
x处 相 位 落 后 2
x
已知O点振动表达式： y
u
y A cos(t 0 )
p
x
波长为
0
x
y A cos( t 0
2
x)
如果已知的不是O点振动方程
2 x处 比 x 0处 相 位 落 后 （x x0 )
X0点的振动方程：
波的强度
1 2 2 I A u 2
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同
例1 一等幅平面简谐波，在直径d= 0.14m的圆柱管的空 气中进行,波的强度I=0.009w/m2 频率为300Hz，波速为 300m/s。试求：波中平均能量密度和最大能量密度；在 管中两个相邻同相面间的波带中含有的波的平均能量 解：由公式
y A cos( t 0 2
x)
上式与标准形式的波函数相比 可得：
A 0.2m, 100Hz, u 40m.s1 , T 0.01s, 0.4m
2) 首先画出t=0时刻的波形曲线
y 0.2 cos[ (200t 5x) / 2] (SI 制)
x w wk w p A sin [ (t ) 0 ] u
2 2 2
定义：平均能量密度（对时间平均)
1 w T
T
0
x 1 2 2 A sin [ (t ) 0 ]dt A 2 u
2 2 2
能流，能流密度
能流 P —单位时间内通过某一截面的 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。 设波速为 u，在 t 时间内通过垂 直于波速方向截面 S 的能量:
波方程——任意坐标x处的振动方程
x处 相 位 落 后 2
x
已知O点振动表达式： y
u
y A cos(t 0 )
p
x
波长为
0
x
y A cos( t 0
2
x)
如果已知的不是O点振动方程
2 x处 比 x 0处 相 位 落 后 （x x0 )
X0点的振动方程：
波的强度
1 2 2 I A u 2
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同
例1 一等幅平面简谐波，在直径d= 0.14m的圆柱管的空 气中进行,波的强度I=0.009w/m2 频率为300Hz，波速为 300m/s。试求：波中平均能量密度和最大能量密度；在 管中两个相邻同相面间的波带中含有的波的平均能量 解：由公式
y A cos( t 0 2
x)
上式与标准形式的波函数相比 可得：
A 0.2m, 100Hz, u 40m.s1 , T 0.01s, 0.4m
2) 首先画出t=0时刻的波形曲线
y 0.2 cos[ (200t 5x) / 2] (SI 制)
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经过 △t 时刻后波以速度 u 向右移动了 u△t
位于x处的质点做简谐振动，时间上比 x=0 点迟
△t=x/u
y
y(x,t)
u△t
·==·A·Ac·c·oo·s·sω·ω·((·tt--·△x··/·ut·)）·······0···x··································X ···
16
例2、对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 u
F
F为绳索或弦线中张力; 为质量线密度
已知： 1.5102 kg / m , F 6N , t=0的波形如图所示
求：振幅，波长，波速和波的周期、波函数及质元振动速度表 达式
由图可见：A=0.04m、λ=0.4m、
u
F
6 1.5102
20m / s
波前—某时刻处在最前面的波面。
在各向同性均匀介质中， 波线与波阵面垂直. 球面波、平面波见右图。
五、波长、波速、频率和周期
波线 波面
波线 波面
先看一个波的传播过程：设振源的振动方程
y=Acos(ωt -π/2)
7
y=Acos(ωt -π/2)
·0 ··4····8····1·2···1·6···20 ···t = 0 ·······u ·····················t = T/4
当振源的初位相不为0时
12
初位相不为0时：
y(x,t) Acos[(t x) ]
u
2 ,
T
代入
y
A cos 2 Tt
x
Tu
1
T
y
A
cos2
t
x
y Acos[2t 2x ]
其中2πx/λ表 y 示由于坐标产 ut
··生。··的···位··相···滞···后·······0···x··································X ···
2.已知各物理量求波函数
14
例1：已知波函数
y 2 10 3 cos(400t 20x ) m
求：A、、、u。x=1m处质元的速度，加速度？
解：由公式易见 A=2×10-3m
再由
ω=2πν=400π 得 ν=200Hz
将上式改写为
y
2
10
3
cos 400
t
x 20
m
得： u=20m/s
由 =uT=u/ ν=20/200=0.1m
10
4.振动与波动的区别 振动是表示一个质点的运动。
波动是表示一系列质点按照确定的规律依次作的振 动运动。 5.判断质点振动方向
u△t
t后的波形图
传播方向
11
七：平面简谐波的波函数
和简谐振动类似，可以用数学公式来描述波的传播。
该公式应体现波传播到的任意位置，在任意时刻的振
动。
y=f(x,t)
设 ：振源在原点,振动方程为 y(0,t)=Acosωt
波速—u:单位时间振动状态(或振动相位)所传播的距 离称为波速，也称之相速 。
频率—ν：单位时间内质点振动的次数。ν=1/T
波的周期——T：波传过一个波长的时间，或一个完 整的波通过波线上某一点所需要的时间叫做波的周 期T。
由上面的定义得： uT= λ
(1)
u= νλ
(2)
波在介质中的传播速度是由介质的性质决定的，可以
T=λ/u=0.4/20=0.02s y(0,0)=0 v0>0
y
0.04m
u
X
0.2m 0.4m
初位相为 φ= -π/2
y Acos(2 t 2x ) T 2
4102 cos(100t 5x
2)m 17
因为：v
y
y(x,t)
t
A
s in[ (t
x u
)
0]
所以 v y y(x,t) 12.6cos(100t 5x)(m / s)
证明：
9
在固体中 横波 u G /
纵波 u Y /
G 切变弹性模量， Y 是杨氏模量
•液体和气体中 纵波 u B /
B 容变弹性模量。
密度。
六、 注意几点
1、周期、频率与介质无关，与波源的相同。 波长、波速与介质有关。
2、不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。
3、波在不同介质中频率不变。
速度和加速度的公式如下：
v y A sin(t 2x / )
15
t
代入相应的量
v 2103 400 sin(400t 20x)
加速度为：
a v 2103 (400 )2 cos(400t 20x)
t x=1m代入得
v 0.8 sin 400t(m / s) a 320 2 cos(400t)(m / s2 )
13
上面的式子表示沿 x 轴正向传播的波，当波沿负 x 轴方向传播时 u 取负值。
y(x,t) Acos[(t x) ]
u
y
A c os2
t T
x
y
A c os2
t
x
y Acos[t 2x ]
上面的式子表示一个平面等幅波的运动方程。
这种波也称为行波
举例：1.已知波函数求各物理量
1、横波：各质点振动方 向与波的传播方向垂直。
传播方向
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2.纵波
各质点振动方向与波的 传播方向平行。
传播方向
纵波是靠介质疏密部变化传播的，如声波，弹簧波 为纵波。
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四、波阵面、波射线、波前
波面（或相面、波阵面） —某时刻介质内振动位相相同的点组成的面
称为波面。
波线（或波射线) —由波源发出的，指向波的传播方向的射 线称之为波射线或波线。
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一、机械波
机械振动在弹性介质中传播形成机械波。 1、简谐波 简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐波。 各种复杂的波都可以由不同频率的简谐波叠加获得。
2.简谐波的特点 各质点只在各自的平衡位置附近振动； 各质点振动频率相同，只是初相不同，波的传播是位 相的传播。
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二、机械波的产生条件 1、振源 2、传播介质（弹性） 三、波的分类
第五章
§5.4波动
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2-1、波动学基础
波动是自然界最常见的一种运动形式。例如 机械波：水波、声波、地震波。其传播需要有介质。 电磁波：无线电波、光波、x射线等，即物质 波。
各种波性质不同，但又有共性。可以传递能量，可以 产生干涉、衍射等现象。以有限的速率传播。
························t= T/2 ··························t= 3T/4 ·························t = T
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波长—λ:振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距 离是一个波长。或振动在一个周期中传播的距离，称 为波长，用λ表示。