常系数微分方程
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y =f(x)\]其中$y$是未知函数，$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$是给定的常数，$f(x)$是已知的函数。
这类微分方程中，最高阶的导数的系数$a_n$不为零。
它的特点在于，常数系数的确定可缩减为一个初值问题，解的形式可以通过特征方程的根来确定。
为了更好地理解常系数线性微分方程，首先我们来介绍一些最基本的概念和性质。
1.常系数线性齐次微分方程当$f(x)=0$时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0\]称为常系数线性齐次微分方程。
它的特征方程为\[a_n r^n + a_{n-1} r^{(n-1)} + \cdots + a_1 r' + a_0 = 0\]其中$r$是一个未知数，称为特征根。
我们假设特征根的多重性是1，即每个特征根都有一个对应的线性无关的解。
2.常系数线性非齐次微分方程的通解当 $f(x) \neq 0$ 时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = f(x)\]称为常系数线性非齐次微分方程。
它的通解可以表示为齐次解与特解的和，即\[y=y_h+y_p\]其中$y_h$是齐次方程的通解，$y_p$是非齐次方程的一个特解。
3.特解的构造方法特解的构造方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
(1)待定系数法当$f(x)$是多项式、指数函数、三角函数等形式时，我们可以通过观察$f(x)$所具有的性质，设定待定系数，再将特解代入原方程，确定待定系数的值。
(2)常数变易法当 $f(x)$ 是形如 $e^{kx}$ 的指数型函数时，我们可以通过设定常数变易法，即设定特解的形式为 $Ae^{kx}$，其中 $A$ 是待定常数。
常系数微分方程的求解
常系数微分方程的求解1常系数微分方程概述常系数微分方程（Constant Coefficient Differential Equation,CCD），是指存在有限个常数系数的微分方程，即存在有m 个常数a1,a2,…,an的微分方程：y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+...+an*y=0其中，y是函数，y^(n)是函数的n阶微分，当n>=0时，常系数微分方程称为普通的常系数微分方程，而当n<0时，称为被动的常系数微分方程。
2常系数微分方程的求解常系数微分方程的求解是数学分析学中的重要内容，目前已经形成了解该类问题的一些方法：（1）对于线性方程，采用求解线性常系数微分方程的一般解法，例如附加变量法、变特征值法等；（2）对于高阶非线性微分方程，采用求解微分方程的数值方法，即差分近似法，例如有限差分法、有限元法等；（3）对于常系数微分方程的拓展问题，则需要添加对应的拓展方法，例如组合数值分析法、Laplace变换法等；（4）对于非线性常系数微分方程的求解，采用求解非线性方程的数值方法，例如弦截法、分段线性化方法、图像法、牛顿迭代法等；（5）对于具有给定强行条件的常系数微分方程，有时需要采用求解条件方程的解析方法，例如克莱姆法、特征值法等；（6）综合方法，例如基于拟牛顿方法的滤波器法、基于随机变量的最大似然估计方法等。
3四个重要概念在学习常系数微分方程的求解时，要熟悉以下4个概念：（1）特征根：对于函数y=f(x)，它的特征根是指y'=0时的解。
所以，当一个微分方程有解时，那么它的特征根就可以成为方程解中特定变量x的“0值变化”点，即可将该方程分解为特征根和变量x的关系。
（2）特征方程：特征方程是指常系数微分方程的特征多项式及其对应的特征方程的求解问题。
特征多项式就是通过将常系数微分方程化为特征形式，转换出来的多项式。
在求解特征方程时，利用传统的多项式解法，即贝祖定理，计算出特征方程的特征根。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程常系数线性微分方程是微分方程中一类重要的特殊形式，其特点是方程中的系数是常数。
本文将介绍常系数线性微分方程的定义、求解方法以及相关性质。
一、常系数线性微分方程的定义常系数线性微分方程又称为齐次线性微分方程，其一般形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=0\]其中，n为方程的阶数，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数。
二、常系数线性微分方程的求解方法1. 特征方程法通过设定方程的解为\(y=e^{mx}\)，将其代入原方程中，得到特征方程：\[a_nm^n+a_{n-1}m^{n-1}+...+a_1m+a_0=0\]解特征方程，可得到n个不同的解，分别是\(m_1, m_2,..., m_n\)。
则原方程的通解为：\[y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+...+c_ne^{m_nx}\]其中，\(c_1, c_2,..., c_n\)为常数。
2. 变量分离法对于一些特殊的常系数线性微分方程，可以通过变量转换将其化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
三、常系数线性微分方程的性质1. 零解的存在唯一性对于常系数线性微分方程，其零解必然存在且唯一。
2. 齐次性质如果y1(x)是常系数线性微分方程的一个解，那么ky1(x)（k为常数）也是该微分方程的解。
3. 叠加性质如果y1(x)和y2(x)分别是常系数线性微分方程的解，那么y(x)=y1(x)+y2(x)也是该微分方程的解。
4. 线性性质设y1(x)和y2(x)分别是齐次常系数线性微分方程的两个解，c1和c2为常数，则c1y1(x)+c2y2(x)也是该微分方程的解。
总结：常系数线性微分方程作为微分方程中的重要形式，在工程、物理学以及其他科学领域中具有广泛的应用。
求解常系数线性微分方程的方法多种多样，特征方程法和变量分离法是常用的求解方法。
同时，常系数线性微分方程满足一系列重要性质，这些性质使得我们可以更加灵活地利用微分方程进行问题的建模和求解。
常系数微分方程的通解
常系数微分方程的通解常系数微分方程是微积分中的重要内容，常见于物理、工程、经济等领域的建模和分析中。
常系数微分方程的通解是指一类形式相同的微分方程的解的集合，它能够描述该类方程的所有解。
本文将对常系数微分方程的通解进行详细介绍和讨论。
常系数微分方程是指方程中的系数是常数而非变量的微分方程。
常系数微分方程的一般形式为：\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0\]其中，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数，\(a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0\)为常数。
常系数微分方程的通解可以通过特征方程的根来确定。
特征方程是将方程中的导数符号化，然后去掉常数项后得到的代数方程。
对于n阶常系数微分方程，其特征方程为：\[a_n\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0 = 0\]其中，\(\lambda\)为特征方程的根。
根据特征方程的根的不同情况，常系数微分方程的通解可以分为三种情况：单根情况、重根情况和复根情况。
考虑单根情况。
如果特征方程的根是不相等的实数\(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\)，那么常系数微分方程的通解形式为：\[y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} + \cdots + C_ne^{\lambda_nx}\]其中，\(C_1, C_2, \cdots, C_n\)为任意常数。
考虑重根情况。
如果特征方程的根是重根\(\lambda\)，那么常系数微分方程的通解形式为：\[y = (C_1 + C_2x)e^{\lambda x} + C_3e^{\lambda_2x} + \cdots + C_ne^{\lambda_nx}\]其中，\(C_1, C_2, \cdots, C_n\)为任意常数。
微分方程常系数与特解
微分方程常系数与特解微分方程是数学中一个重要的概念，它描述了函数之间的关系。
其中，常系数微分方程是一类特殊的微分方程，其系数在整个方程中都是常数。
本文将介绍常系数微分方程的基本概念和求解方法，并讨论特解的概念和求解方法。
一、常系数微分方程的概念常系数微分方程是指方程中的系数都是常数的微分方程。
一般形式可以表示为：\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0y = f(x)\]其中，$y^{(n)}$表示$y$对$x$的$n$阶导数，$a_n, a_{n-1}, \dots , a_1, a_0$都是常数，$f(x)$是已知函数。
二、常系数微分方程的求解对于常系数微分方程，我们可以通过特征方程的方法求解。
首先，我们假设$y=e^{rx}$是方程的一个解，其中$r$是常数。
将$y=e^{rx}$代入微分方程，得到：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1} e^{rx} + \dots + a_1 re^{rx} + a_0 e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$的指数和系数都是常数，所以可以整理得到：\[(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0) e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$是一个非零函数，所以上述方程成立的前提是：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0\]这个方程称为特征方程。
解特征方程可以得到一系列的根$r_1, r_2, \dots, r_n$。
接下来，我们可以将这些根代入$y=e^{rx}$，得到方程的一组基本解，即：\[y_1=e^{r_1 x}, y_2 = e^{r_2 x}, \dots , y_n = e^{r_n x}\]这些基本解是方程的通解的一部分。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程线性微分方程是微分方程中的一种重要类型，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将从定义、特征、解法和应用等方面对线性微分方程进行详细介绍。
一、线性微分方程的定义线性微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。
它的一般形式为dy/dx + p(x)y = g(x)。
二、线性微分方程的特征线性微分方程具有以下特征：1. 线性：方程中未知函数y及其导数的次数均为1次，且没有幂函数、指数函数和对数函数等非线性项。
2. 可分离变量：可以通过移项将方程变形为dy/y = -p(x)dx + q(x)dx，从而可进行变量分离，简化求解过程。
3. 叠加原理：线性微分方程的解具有叠加性，即一般解等于相应齐次线性微分方程的解与非齐次线性微分方程的特解之和。
三、线性微分方程的解法线性微分方程的求解可以采用常系数法、变易法、特解法等多种方法，下面以常系数线性微分方程为例进行说明。
1. 常系数线性微分方程的一般形式为dy/dx + ay = b，其中a和b为常数。
常系数线性微分方程的解具有通解和特解两种形式。
2. 首先求解齐次线性微分方程dy/dx + ay = 0。
令y = e^(mx)，代入方程得d(e^(mx))/dx + ae^(mx) = 0，化简得me^(mx) + ae^(mx) = 0，整理可得(m+a)e^(mx) = 0。
由于e^(mx)恒大于0，所以(m+a) = 0，即m = -a。
因此，齐次线性微分方程的通解为y = c*e^(-ax)，其中c为常数。
3. 再求解非齐次线性微分方程dy/dx + ay = b。
根据线性微分方程叠加原理，非齐次线性微分方程的一般解等于齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和。
4. 特解的求解可以采用常数变易法，假设特解为y = C，代入原方程得C + aC = b，解得C = b/(1+a)。
常微分方程中的常系数线性方程及其解法
常微分方程中的常系数线性方程及其解法常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是一种数学模型，用于描述时间或空间上量的变化规律。
常微分方程中的常系数线性方程是ODE中一个重要的类别，其解法具有一定的规律性和普适性。
本文将就常微分方程中的常系数线性方程及其解法做简要介绍。
一、常系数线性方程的定义常系数线性方程是指其系数不随自变量t的变化而改变的线性方程。
一般写为：$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=f(t)$$其中a的值为常数，f(t)为已知函数，y(t)为未知函数，方程中最高阶导数的阶数为n。
n阶常系数线性方程也称为n阶齐次线性方程；当f(t)≠0时，称其为n阶非齐次线性方程。
二、常系数线性方程的解法对于一般形式的常系数线性方程，我们常用特征根的方法来求解。
具体来说，先考虑对应的齐次线性方程$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=0$$设y(t)=e^{rt}，则有$$r^ne^{rt}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rt}+...+a_1re^{rt}+a_0e^{rt}=0$$整理得到$$(r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0)e^{rt}=0$$根据指数函数的性质得到$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$求解方程$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$可得到n个特征根，设其为$r_1,r_2,...,r_n$。
则对于齐次线性方程，其通解为$$y(t)=c_1e^{r_1 t}+c_2e^{r_2 t}+...+c_ne^{r_n t}$$其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。
常系数微分方程
VS
生理过程
常系数微分方程可以用来描述生物体内的 生理过程，例如血糖浓度、血压变化等。 通过求解微分方程，可以预测生理参数的 变化趋势和疾病的发展情况。
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热传导问题
在热传导过程中，常系数微分方程可以用来描述温度随时间和空间的变化规律。通过求解微分方程，可以预动现象，例如声波、光波等。通过求解微分方程，可以得出波的传播 速度、幅度等物理量。
经济问题中的应用
供需关系
常系数微分方程可以用来描述商品在市场上的供需关系。通过 求解微分方程，可以预测商品价格的变化趋势和供需平衡点的
解法：常数变易法推广
常数变易法是一种求解线性微分方程的 方法，通过将常数项视为待定系数来求 解。
对于高阶常系数线性微分方程，可以推广常 数变易法，通过引入多个待定系数来求解。
具体步骤包括：将原方程转化为标 准形式，利用常数变易法得到一个 等价的低阶微分方程，然后求解该 低阶微分方程。
解的振动性分析
特性
具有形式简单、解法明确、易于理解等优点，是微分方程研究的重要内容之一。
解法：分离变量法
原理
通过将方程中的变量分离，将微分方程转化为代数方程， 从而求解未知函数。
01
步骤
将方程中的变量分离，得到 y' = f(t)g(y) 的形式，然后对两边积分得到通解。
02
03
示例
对于方程 y' + 2ty = t^2，通过分离 变量法可以得到 y = (1/2)ln|t| + C， 其中 C 是积分常数。
通过定性分析，可以深入了解非线性 微分方程解的行为和动态特性，有助 于解决实际问题。
04 高阶常系数微分方程
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y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p ) u ( 2 p q ) u Pn ( x) 。 (3)
(2) 若 是单特征根，则
2 p q 0，
p 而 ，即 2 p 0 。此时，方程 (3) 为 2 u (2 p )u Pn ( x) 。
(其中u x k Q( x))
例
解
求方程 y 2 y 3 y e x 的通解 。
f ( x) e x， 1，n 0 。 ( f ( x) e x Pn ( x) )
对应的齐次方程的特征方程为 特征根为 对应的齐次方程的通解为
2 2 3 0 ，
定理 2 当特征方程有重实根 1 时，方程 ( 1 ) 的通解为
y C1e 1x C2 xe 1x e 1 x (C1 C2 x)。
3) 特征方程有一对共轭复根：
1 i ，2 i ，则
y1 e x cos x ，
y2 e x sin x
由多项式求导的特点可设
u ( x) x 2 Qn ( x) x 2 (b0 x n b1 x n 1 bn 1 x bn ) ，
故当 f ( x) e x Pn ( x) 中的 是方程 (2) 的二重特征根时， 方程 (2) 有下列形式的特解:
y* x 2 e x Qn ( x) 。
特征方程
2 p q 0 ；
特征根
1 ，2 。
单根 二重根 一对共轭复根
假设方程
y p y q y e x Pn ( x)
y e x u ( x) ， 则 有下列形式的特解： y e x u e x u ， y 2 e x u 2 e x u e x u ，
u ( x) Qn ( x) b0 x n b1 x n 1 bn 1 x bn ，
故当 f ( x) e x Pn ( x) 中的 不是方程 (2) 的特征根时， 方程 (2) 有下列形式的特解:
y* e x Qn ( x) 。
y e x u (x)
的方程，分别称为 n 阶常系数线性齐次微分方程和n 阶常系 其中 p1 , , pn 为(实)常数。 数线性非齐次微分方程，
特征方程与特征根
定义
n p1 n 1 pn 1 pn 0
(3)
称为
y
(n)
p1 y
( n 1)
pn 1 y pn y 0
第十章
第四(二）、五节
二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数线性微分方程解的关系
y p y q y 0 (1) y p y q y f ( x) (2)
二阶常系数齐线性方程
二阶常系数非齐线性方程
特征方程
2 p q 0
特征根 1 , 2 通解 y C1 y1 C2 y2
(1)
的特征方程。它的根称为特征根
二阶常系数齐次线性微分方程
y p y q y 0
假设方程 (1)有形如 y e
x
(1)
的解，则代入方程后， 得
2 e x pe x qe x 0
即
2 p q 0
2
也就是说 是方程x px q 0的根。
y C1 y1 C2 y2 C1e 1x C2 e 2 x .
y p y q y 0
(1)
p 2 4q 0 ，
2) 特征方程有 实重根 1 2 ，则
p p 2 4q p ， 2 2
p 21 0
由求根公式
1, 2
此时，y1 e 1x，xe1x 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解。
x
t 0
x0 我们要找的规律是下列初值问题的解：
d2 x a2 x 0， d t2 dx x t 0 x0 ， dt
0。
t 0
特征方程
2 a 2 0 ，
特征根 所求通解为 由 x
dx 由 dt
t 0
1, 2 i a ，
d2 x a2 x 0， d t2 dx x t 0 x0 ， dt
特解 y *
通解 y C1 y1 C2 y2 y *
我们只讨论函数 f ( x ) 的简单情形下，(2) 的特解。
f ( x) e x Pn ( x) 的情形
y p y q y f ( x) (2) y p y q y 0 。 (1)
其中 Pn ( x) a0 x n a1 x n 1 an 1 x an 。 方程 (2) 对应的齐次方程 (1) 的特征方程及特征根为
定理 4
当二阶常系数线性非齐次方程 y p y q y f ( x) ( 2) 它有下列形式的特解： 的右端为 f ( x) e x Pn ( x) 时，
y* x k e x Qn ( x) ，
其中： 当 不是特征根时，取 k＝0 ； 当 是单特征根时，取 k＝1 ； 当 是二重特征根时，取 k＝2 。
1 2 (实根 ) 1 2 (实重根 ) 1, 2 i (共轭复根 )
练习
求下列微分方程的通解：
y 3 y 10 y 0 y 4 y 4 y 0 y 4 y 13 y 0
第十章第四节 P223习题10-4 1.(1)(4)
特征方程
2 2 3 0 ，
特征根
所求通解为
1 1， 2 3， ＝－
y C1e x C2 e3x 。
例2
解
求方程 y 2 y 5 y 0 的通解。
特征方程
2 2 5 0 ，
特征根
所求通解为
1 1 2 i ， 2 1 2 i ，
y e x u (x)
y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p ) u ( 2 p q ) u Pn ( x) 。 (3)
(1) 若 不是特征根，则
2 p q 0，
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有
1 3， 2 1。
0。
t 0
x C1 cos a t C2 sin a t 。
x0 ，得 C1 x0 ；
t 0
＝ aC1 sin a t aC2 cos a t ) t 0 C2 a 0 ，得 C2 0 。 ( 简谐振动
从而，所求运动规律为
k x x0 cos a t ， ( a )。 m
通解形式
y C1e 1 x C2 e 2 x y e 1 x (C1 C2 x) y e x (C1 cos x C2 sin x)
1 2 (实根 ) 1 2 (实重根 )
1, 2 i (共轭复根 )
例1
解
求方程 y 2 y 3 y 0 的通解。
由初始条件 s 故所求特解为
t 0
4，
ds dt
2 得 C1 4 ， 2 2 ， C
t 0
s e t (4 2 t ) 。
例4
用手将上端固定，下端 悬挂着的质量为 m 的物体的弹簧从 静止状态 开始拉长， 当点 O 的位移为 x x0 时， 突然放手， 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹
是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解 定理 3
若特征方程有一对共轭复根： 1, 2 i ，
则原方程的通解可表示为
y e (C1 cos x C2 sin x) 。
x
二阶常系数线性齐微分方程 特征方程 特征根
y p y q y 0
2 p q 0 。
小 结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 二阶常系数线性齐次微分方程 特征方程 特征根
y p y q y 0
2 p q 0 。
通解形式
y C1e 1 x C2 e 2 x y e 1 x (C1 C2 x) y e x (C1 cos x C2 sin x)
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) 。
例3
d2 s ds 求方程 2 s 0 满足初始条件的解： 2 dt dt
s
t 0
4，
ds dt
2 。
t 0
解
特征方程
2 2 1 0 ，
特征根
所求通解为
1 2 1，
s e t (C1 C2 t ) 。
由多项式求导的特点可设
u ( x) x Qn ( x) x (b0 x n b1 x n 1 bn 1 x bn ) ，
故当 f ( x) e x Pn ( x) 中的 是方程 (2) 的单特征根时， 方程 (2) 有下列形式的特解:
y* x e x Qn ( x) 。
(2)
代入方程 (2) ，得
e x (u 2 u 2 u pu pu qu ) e x Pn ( x)，
即
u (2 p ) u ( 2 p q ) u Pn ( x) 。 (3)
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
解
簧运动的规律（设弹簧质量不计 ）。 取 x 轴如如图所示。 由力学的虎克定理，有
O x
f k x 。 （ k为弹性系数 ）。