人教版平行四边形单元 易错题专题强化试卷学能测试试题

人教版平行四边形单元 易错题专题强化试卷学能测试试题

一、解答题

1．如图，在RtABC中，090BAC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作//BCAF交BE的延长线于点F

（1）求证：四边形ADCF是菱形

（2）若4,5ACAB，求菱形ADCF的面积

2．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．

提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系： ；

（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：

情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；

情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．

在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；

拓展问题：

（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：

．

3．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AE、AF．

(1)求证：AE＝AF；

(2)取AF的中点M，EF的中点N，连接MD，MN．则MD，MN的数量关系是 ，MD、MN的位置关系是

(3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

4．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．

（1）求证：CG平分∠DCB；

（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；

（3）连结BD、DA、AE、EB，在旋转的过程中，四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE的解析式；若不能，请说明理由．

5．如图，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．

（1）求证：四边形ECFG是菱形；

（2）连结BD、CG，若120ABC，则BDG是等边三角形吗？为什么？

（3）若90ABC，10AB，24AD，M是EF的中点，求DM的长．

6．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接,CP将线段CP绕点C顺时针旋转90,得到线段,CQ连接,BPDQ.

1如图甲，求证：CBPCDQ；

2如图乙，延长BP交直线DQ于点E.求证：BEDQ；

3如图丙，若BCP为等边三角形，探索线段,PDPE之间的数量关系，并说明理由.

7．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.

（发现与证明．．）ABCD中，ABBC，将ABC沿AC翻折至'ABC，连结'BD.

结论1：'ABC与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形；

结论2：'BDAC.

试证明以上结论.

（应用与探究）

在ABCD中，已知2BC，45B，将ABC沿AC翻折至'ABC，连结'BD.若以A、C、D、'B为顶点的四边形是正方形，求AC的长.（要求画出图形）

8．如图，点A的坐标为(6,6)，ABx轴，垂足为B，ACy轴，垂足为C，点,DE分别是射线BO、OC上的动点，且点D不与点B、O重合，45DAE.

（1）如图1，当点D在线段BO上时，求DOE的周长；

（2）如图2，当点D在线段BO的延长线上时，设ADE的面积为1S，DOE的面积为2S，请猜想1S与2S之间的等量关系，并证明你的猜想.

9．已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点,点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF，EF平分∠AEC． (1)如图1，求证：CF⊥EF;

(2)如图2，延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;

(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.

10．如图①，在ABC中，ABAC，过AB上一点D作//DEAC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作DEFA，另一边EF交AC于点F．

（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；

（2）当点D为AB中点时，ADEF的形状为 ；

（3）延长图①中的DE到点,G使,EGDE连接,,,AEAGFG得到图②，若,ADAG判断四边形AEGF的形状，并说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）见解析（2）10

【分析】 （1）先证明AFEDBE，得到AFDB，AFCD，再证明四边形ADCF是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12ADDCBC，即可证明四边形ADCF是菱形。

（2）连接DF，证明四边形ABDF是平行四边形，得到5DFAB，利用菱形的求面积公式即可求解。

【详解】

（1）证明： ∵//BCAF，∴AFEDBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴,AEDEBDCD，

在AFE和DBE中，

AFEDBEFEABEDAEDE，

∴AFEDBEAAS，∴AFDB．

∵DBDC，∴AFCD．

∵//BCAF，∴四边形ADCF是平行四边形，

∵090BAC，D是BC的中点，E是AD的中点，

∴12ADDCBC，∴四边形ADCF是菱形；

（2）如图，连接DF，

∵//,AFBDAFBD，

∴四边形ABDF是平行四边形，∴5DFAB，

∵四边形ADCF是菱形，∴11451022ADCFSACDF菱形．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的应用，菱形的判定定理以及菱形的性质，熟练掌握菱形的的判定定理和性质是解此题的关键。

2．（1）DE＝2CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝2DF或|AF－CF|＝2DF

【分析】

（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出DB=2CB，即可得出结果；

（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，FG=2CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出DE=2CF；

情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，得FG=2CF，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出DE=2CF；

（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得HF=2DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出AF+CF=2DF；

②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得FH=2DF，DF=DH，由SAS证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=2DF；

③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得出HF=2DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=2DF；

④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=2DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=2DF．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=CB，∠BCD=90°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴DB=2CB，

当点E、F与点B重合时，则DE=2CF，

故答案为：DE=2CF；

（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：

情况1：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，

过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：

则∠BCD=∠GCF=90°，

∴∠DCG=∠BCF，

设BC交DF于P，

∵BF⊥DE，

∴∠BFD=∠BCD=90°，

∵∠DPC=∠FPB，

∴∠CDP=∠FBP，

在△CDG和△CBF中，

DCGBCFCDCBCDGCBF＝＝＝，

∴△CDG≌△CBF（ASA），

∴DG=FB，CG=CF，

∴△GCF是等腰直角三角形，

∴FG=2CF，

连接BE，

设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，

∵AD=AE，

∴∠DEA=∠ADE=90°-α，

∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，

∴∠EAB=90°-2α，

∵AB=AE，

∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB）=12（180°-90°+2α）=45°+α，

∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，

∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，

∵BF⊥DE，

∴△BEF是等腰直角三角形，