《电磁场与电磁波》课后习题解答(第二章)
电磁场与电磁波(第四版)课后答案 谢处方 第二章习题
2）
3）
, 处于外导体内部,
4）
2. 一半径为R的电介质球内计划强度为 求（1）极化电荷的体密度和面密度。
2 自由电荷密度。 3 球内、外的电场分布。
, 其中k为一常数。
（1）极化电荷的体密度。 极化电荷的面密度
（2）根据高斯定律自由电荷密度。
（3）根据高斯定律求电场分布。 球内电场分布
球Байду номын сангаас电场分布
，d＝
lcm，横截面积s =10cm2。
求:
x=0和x=d 区域内的总电荷量；
x=d/2和x=d区域内的总电荷量。
• 解: （1）
• （2）
2.8 一个点电荷 位于 处,
另一个点电荷
位于 处,
空间有没有电场强度
的
解:
个点电荷的电场公式为
点 ？
令
, 即有
由此可得个分量为零的方程组:
2
解之: 当
有一平行的圆柱形空腔,其横截面如图所示。 的磁感应强度, 并证明空腔内的磁场是均匀的。
试计算各部分
解: 将题中问题看做两个对称电流的叠加: 一个是密度为 均匀分布在半径为 的圆柱内, 另一个是密度为 均匀 分布在半径为 的圆柱内。
由安培环路定律在 磁场分别为
和
中分布的
b
a d
空间各区域的磁场为 圆柱外 圆柱内的空腔外 空腔内
因此, 在z>0的区域有 在z<0的区域有
表示为矢量形式
为面电流的外法 向单位矢量
2.25平行双线与一矩形回路共面，设a=0.2m,b=c=d=0.1m， 求回路中的感应电动势。 解: 先求出平行双线在回路中的磁感应强度
回路中的感应电动势为
电磁场与电磁波 第2章习题解答
第二章习题解答【习题2.1】101929=.=101.6102.0810e qR R mq e Cp m Ce e 解：电偶极矩p 其中 1.3可得电偶极矩p 的大小其方向为从负电荷指向正电荷，即从氯离子指向氢离子。
---´== =醋【习题2.2】解1解：由例2.2得，电偶极子所产生的电场为533()1[]4e e P R RP E RRπε=-0()R R << ……………………①其中 0e P qR = ，0R方向从负电荷指向正电荷，R是从电偶极子指向电场中任一点的矢量，起点在正负电荷连线的中点。
（如图）本题 100 1.310R m -=⨯ 1010010R m -=⨯满足 0R R << ．将①式整理：32013[()]4e e E P R R P RRπε=-令 ()e m k P R R P =-（23k R=）则 304m E Rπε=…………………………②欲求E的最大值，求出m最大值即可．222222[()]()2()()e e e e e e m k P R R P k P R R P k P R P R =-=+- 2222(2)()e e k R k P R P =-+2224296()()e e R P R P R R=-+ 2223()e e P R P R=+其中 00cos e P R qR R qR R θ== ， （θ是0R 和R之间的夹角）易见，当cos 1θ=，即0θ=时，2m可取最大值22222m ax 234e e e m R P P P R=+=则 m=2e P 代入②式得 m a x33m ax042e P mERRπεπε==将习题2.1中的结论 e P=2.082910c m -⨯⋅ 代入得29112103max2.08102 3.148.910(10010)EV m ----⨯=⋅⨯⨯⨯⨯⨯513.710V m-≈⨯⋅距离自由电子处的电场 191712121020 1.6101.41044 3.148.910(10010)e E V mV mRπε-----⨯==⋅≈⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯故 距离电偶极子处的电场最大值为 513.710V m -⨯⋅ 距离自由电子处的电场为 711.410V m -⨯⋅【习题2.2】解2解：设矢量0R e的方向从电荷C L -指向电荷H +R n 是从由C L - H +构成的电偶极子指向电场中的任一点的矢量，起点在正负电荷连线的中点，且0R 〈〈R. （ e , n 为单位矢量，θ是e , n的夹角）（1）003303cos 1[]4qR qR E n e R R θπε=- (41P )由向量减法的三角形法则及余弦定理得：=03024qR R πε⎛⎫⎪⎝⎭E =由上题得290( 2.110)e p qR cm -==⨯因此，当0θ=或θπ=时E有最大值， 03024qR E R πε==50302 3.7104qR V M R πε=⨯ （2）7201() 1.4104q R VE M R R πε==⨯【习题2.3】证明： 电偶极距qRe p =其方向为从负电荷指向正电荷。
电磁场与电磁波第二版课后答案 (2)
电磁场与电磁波第二版课后答案第一章：电荷和电场1.1 选择题1.电场可以向量形式来表示。
2.使得电体带有不同种类电荷的原子或分子是离子化。
3.在法拉弹规定空气是电介质。
4.电荷量的基本单位是库仑。
5.元电荷是正负电荷的最小电荷量。
6.在电场中电荷所受力的方向完全取决于电荷性质和场的性质和方向。
7.电势能是标量。
8.空间中一点产生的电场是该点电荷所受电场的矢量和。
9.电场E的国际单位是NC−1。
10.电场强度受逼迫电荷的正负种类影响，但与电荷的量无关。
1.2 填空题1.空间中一点产生的电场是该点电荷所受电场的矢量和。
2.计算质点电荷q在某点产生的电场的公式是$\\vec{E}=\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{q}{r^2}\\vec{r}$。
3.计算正半球壳在某点产生的电场的公式是$\\vec{E}=\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{Q}{r^2}\\vec{r}$。
4.位置在球心，能量源是正半球壳带点，正半球在转轴一侧电势能是0。
5.半径为R的均匀带点球壳，带电量为Q，求通过球心的电束强度的公式是$\\frac{Q}{4\\pi\\epsilon_0R^2}$。
1.3 计算题1.两个带电量分别为q1和q2的点电荷之间的相互干扰力公式是$\\vec{F}=\\frac{q_1q_2}{4\\pi\\epsilon_0r^2}\\vec{r}$。
2.一个电荷为q的质点，和一个均匀带有电量Q的半球壳之间的相互干扰力公式是$\\vec{F}=\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{qQ}{r^2}\\vec{r}$。
第二章：电磁感应和电磁波2.1 选择题1.电磁感应是由磁通变化产生的。
2.电磁感应一定要在导电体内才能产生电流是错误的。
√3.在电磁感应现象中，即使磁通量不变时导体电流也会产生改变。
4.电磁感应现象是反过来实现的。
电磁场与电磁波》(第四版 )答案二章习题解答
电磁场与电磁波》(第四版 )答案二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为$\rho=-\frac{4\epsilon U}{d}-4\times 10^{-3}x-2\times 10^{-3}$，式中阴极板位于$x=9$，阳极板位于$x=d$，极间电压为$U$。
如果$U=40V$，$d=1cm$，横截面$S=10cm^2$，求：（1）$x$和$x=d$区域内的总电荷量$Q$；（2）$x=d/2$和$x=d$区域内的总电荷量$Q'$。
解（1）$Q=\int\limits_{0}^{9}\rhoSdx+\int\limits_{d}^{9}\rho Sdx=-4.72\times 10^{-11}C(3d)$2）$Q'=\int\limits_{d/2}^{d}\rho Sdx=-0.97\times 10^{-11}C$2.2 一个体密度为$\rho=2.32\times 10^{-7}Cm^3$的质子束，通过$1000V$的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为$2mm$，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解：质子的质量$m=1.7\times 10^{-27}kg$，电量$q=1.6\times 10^{-19}C$。
由$1/2mv^2=qU$得$v=2mqU=1.37\times 10^6ms^{-1}$，故$J=\rho v=0.318Am^2$，$I=J\pi (d/2)^2=10^{-6}A$2.3 一个半径为$a$的球体内均匀分布总电荷量为$Q$的电荷，球体以匀角速度$\omega$绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解：以球心为坐标原点，转轴（一直径）为$z$轴。
设球内任一点$P$的位置矢量为$r$，且$r$与$z$轴的夹角为$\theta$，则$P$点的线速度为$v=\omega\times r=e_\phi \omegar\sin\theta$。
电磁场与电磁波课后习题答案 第二章
1-1. (1) 叙述库仑定律，并写出数学表达式。
(2)电荷之间的作用力满足牛顿第三定律吗？请给出证明。
解：（1）库仑定律内容为：真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小，与它们的电量q 和'q 的乘积成正比，与它们之间距离R 的平方成反比。
作用力的方向沿两者连线的方向。
两点电荷同号时为斥力，异号时为吸力。
所以：（2）电荷之间的作用力不满足牛顿第三定律，请看下面的例证：1q 以速度1v 运动，q 2以速度2v运动。
如图1-2所示。
此时，2q 在1q 处产生有电场2E和磁场2H 。
而1q 在2q 处也产生电场1E和磁场1H 。
但因2q 在1q 处产生的磁场方向与1v 平行。
故由洛仑兹公式知，q 1所受的力为 )(2120112121N E q H v q E q F=⨯+=μ 只有电场力。
但q 1对q 2的作用力为：10221112H v q E q Fμ⨯+= (N) 既有电场力，又有磁场力，所以两者不相等。
1-2 （1） 洛仑磁力表达式中，哪部分做功，哪部分不做功，为什么？ (2) 洛仑兹力满足迭加原理吗？为什么? 解： (1) 洛仑磁力公式为H v q E q F0μ⨯+= （N ）洛仑兹力做的功为⎰⋅=csd F W,其中dt v s d = 所以有：⎰⋅=cs d F W=⎰∆⋅tdt v F=⎰∆⨯+tdt v H v q E q)(0μ=⎰⎰∆∆⋅⨯+⋅ttdt v H v q dt v E q)(0μ=⎰∆⋅tdt v E q(J)其中使用了矢量恒等式()()BA C CB A ⨯⋅=⨯⋅所以，洛仑兹力作的功为⎰∆⋅=tdt v E q W=)(J sd E qC⎰⋅所以，洛仑兹力中，因为E q 与电荷的做功无关。
而H v q0μ⨯部分总是与电荷的运动方向垂直，故E q 部分做功，而H v q0μ⨯部分不做功。
（2）因为电荷受力与E 和H间都是线性关系，所以，洛仑兹力满足迭加原理。
电磁场与电磁波第2章课后答案
电磁场与电磁波第2章课后答案2-1.已知真空中有四个点电荷q C 11=，q C 22=，q C 34=，q C 48=，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。
解：z y r z x r z y r z xr ??;??;??;??4321+=+=+-=+-=ρρρρ 84?15?6?3)(41024442333222221110πεπεz y xr r q r r q r r q r r q E ++=+++=ρ2-2.已知线电荷密度为ρl 的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P 点的电场强度。
题2-2图解：(a) 由对称性04321=+++=E E E E E ρρρρρ(b) 由对称性0321=++=E E E E ρρρρ(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为yay x y x a E E E ll a ?2)}??()??{(40021περπερ-=+--=+=ρρρ 半径为a 的半圆环线电荷产生的电场为y aE lb ?20περ=ρ总电场为0=+=b a E E E ρρρ2-3.真空中无限长的半径为a 的半边圆筒上电荷密度为ρs ，求轴线上的电场强度。
解:在无限长的半边圆筒上取宽度为?ad 的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为?ρρad s l =,对?积分,可得真空中无限长的半径为a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为y d x y a d r a E ss s ?)?cos ?sin (22?00000??-=--==πππερπερπε?ρρ 题2-3图题2-4图2-4.真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为ρs ，求空间任一点上的电场强度。
解: 在平板上'x 处取宽度为'dx 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为'dx s l ρρ=，在点),(y x 处产生的电场为ρρρπε'?21),(0dx y x E d s =ρ其中 22)'(y x x +-=ρ；22)'(??)'(?yx x y y xx x +-+-=ρ对'x 积分可得无限长的宽度为a 的平板上的电荷在点),(y x 处产生的电场为)}2/2/(2?)2/()2/(ln ?{4),(2222y a x arctg y a x arctg y y a x y a x x y x E s --+++-++=περρ2-5.已知真空中电荷分布为ρ=≤>r a r ar a220;;ρs b r a ==;r 为场点到坐标原点的距离，a ，b 为常数。
电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤-曹伟)第2章习题解答
第2章习题解答2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ=，()0a ρ≤≤。
试求总电量Q 。
解：2π200002d d d d π3laV VQ V z la aρρρρρϕρ===⎰⎰⎰⎰2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。
当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求其外表上的面电流密度。
解：面电荷密度为 24πS QR ρ=面电流密度为 00200sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθρρωθωθ=⋅=== 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ϕ=。
已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试求0S J 。
解：每根导线的体电流密度为 00224π(/2)πI I J d d== 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS IJ Jd d ==因此，等效面电流密度为 04πS IJ e dϕ=2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。
为使中间的点电荷处于平衡状态，试求其位置。
当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。
由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为12214πq F xε=实验电荷受0q 的排斥力为02214π()q F d x ε=- 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由00222114π4π()q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.0122=+=如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.0122=+=。
只是这时实验电荷与0q 和02q 不是排斥力，而是吸引力。
2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。
电磁场与电磁波课后答案谢处方
第二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为43230049U d x ρε--=-，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。
如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。
解 （1） 43230004d ()d 9dQ U d x S x τρτε--==-=⎰⎰110044.7210C 3U S dε--=-⨯ （2）4320024d ()d 9dd Q U d x S x τρτε--''==-=⎰⎰11004(10.9710C 3U S d ε--=-⨯ 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=⨯的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解 质子的质量271.710kg m -=⨯、电量191.610C q -=⨯。
由21mv qU = 得 61.3710v ==⨯ m s 故 0.318J v ρ== 2A m26(2)10I J d π-== A2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。
设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为sin r φωθ=⨯=v r e ω球内的电荷体密度为343Qa ρπ=故 333sin sin 434Q Q r r a aφφωρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。
设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为sin a φωθ=⨯=v r e ω球面的上电荷面密度为24Q a σπ=故 2sin sin 44S Q Q a a aφφωσωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处的电场强度。
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【习题 2.11】
解：将 H 表示为复数形式:
H ( x, z ) ey i 2cos(15 x)ei z
由时谐形式的麦克斯韦第二方程可得：
（1）
H y H y 1 E ( x, z ) H ez ex i 0 i 0 z x 1 ex 2 cos(15 x) ez i30 sin(15 x) e i z i 1
得证。
【习题 2.6】
解： （1）在无源的自由空间， J 0 ,若 E ex E0 sin t 则有 H
D E 0 ex 0 cos t t t
而
H 1 1 E (ex 0 sin t ) 0 t 0 0
前一式表明磁场 H 随时间变化，而后一式则得出磁场 H 不随时间变化，两者是矛盾的。所 以电场 E ex E0 sin t 不满足麦克斯韦方程组。 （2）若 E ex E0 sin （t－ 因为
距离自由电子处的电场
Hale Waihona Puke 1.6 1019 E V m1 1.4 107 V m1 2 12 10 2 4 0 R 4 3.14 8.9 10 (100 10 ) e
故 距离电偶极子处的电场最大值为 3.7 10 V m
5 1
距离自由电子处的电场为 1.4 10 V m
．
R0 R
1
将①式整理： E
3 ( Pe R) R Pe ] 4 0 R R 2
3
[
令
m k ( Pe R) R P
E m 4 0 R3
（k
3 ） R2
则
…………………………②
欲求 E 的最大值，求出 m 最大值即可．
m2 [k ( Pe R) R Pe ]2 k 2 ( Pe R)2 R2 Pe 2 2k ( Pe R)( Pe R) (k 2 R2 2k )( Pe R)2 Pe 2
2
由上题得 ( pe qR0 2.11029 cm) 因此，当 0 或 时
E 有最大值， E
qR0 2 qR0 3.7 105 V 3 3 M 4 0 R 4 0 R 2
（2） E
q R 1 ( ) 1.4 107 V 2 M R R 4 0
E0 z cos( ) sin(t k x x) 0 d d kE z ez x 0 sin( ) cos(t k x x) ( A / m) 0 d
ey
（2）z=0 处导体表面的电流密度为
J s ez H
z 0
E0 sin(t k x x) 0 d
【习题 2.9】
解答： H J 表明，电流是磁场的旋度源，所以，通电导体周围存在磁场； 表明，电荷是电场的散度源，所以，电荷周围存在电场；
V D
【习题 2.10】 解： J= 是电流连续性原理 的微分形式；其积分形式为 t q J dS = t I 即电荷守恒定律
所以
E = 9.9创 10- 3 cos(3 109 t - 10 z )ex
\ t = 1ms ， z = 9km 处的电场的强度为
E = 9.9创 10- 3 cos(3 109 创 1 10- 3 - 10创 9 103 )ex
= 7.40? 10- 3 ex V/m＝ = 7.40ex mV/m
因为最大能量为 P e E P e E cos 取 cos 1 则 P e E P e E 则 E 取得最大值时，可求出最大能量
5 又 2.2 题所求出结果，得 E max 3.7 10 v
m
所以最大能量 P e E max 2.110
29
3.7 105 7.8 1024 J
( P41 )
由向量减法的三角形法则及余弦定理得：
E
1 4 0
3qR0 cos 3qR0 3qR0 cos 3qR0 cos 3 2 3 R R3 R3 R
2
2
=
2 qR0 3 3 cos 1 4 0 R
则 m =2 Pe
3 2 2 R Pe Pe 2 4 Pe 2 R2
代入②式得
E
max
4 0 R3
mmax
Pe 2 0 R3
将习题 2.1 中的结论
Pe =2.08 1029 c m 代入得
E
max
2.08 1029 V m1 3.7 105V m1 2 3.14 8.9 1012 (100 1010 )3
7
1
【习题 2.2】解 2
解：设矢量 R0 e 的方向从电荷 CL 指向电荷 H
R n 是从由 CL H 构成的电偶极子指向电场中的任一点的矢量，起点在正负电荷连
线的中点，且 R0 〈 〈R. （ e , n 为单位矢量， 是 e , n 的夹角）
（1） E
3qR0 cos qR n 30 e] 3 4 0 R R 1 [
J d 8.854 1012
1 117.1 3.22cos[117.1 (3.22t Z )] 50
A / m2
ex 6.68 10 11x cos[117.1 (3.22t Z )]
【习题 2.8】
解： （1）因为在自由空间中，全电流密度 J =0。所以由麦克斯韦第四方程
( A / m2 )
所以，在 0
z 1 中的位移电流
1 0
id J d ds J d er 2 rdz 0.55sin(108 t 0.25)
s
( A)
【习题 2.13】
解： （1）将 E 表示为复数形式:
E ( x, z ) ey E0 sin(
则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
可见，电场 E 和磁场 H 可以满足麦克斯韦方程组中的两个旋度方程。很容易证明他们也满 足两个散度方程。
【习题 2.7】
解: 由传导电流的电流密度 J c 与电场强度 E 关系
J c = E 知:
J E c
而
D E Jd 0 t t
即
J c ex E sin[117.1 (3.22t Z )] 50
( A / m)
z=d 处导体表面的电流密度为
J s (ez ) H
【习题 2.14】
z d
ey
E0 sin(t k x x) 0 d
d
z )e ikx x
H ( x, z )
1 i0
E
1 i0
(ex
E y z
ez
E y x
)
0
E0
[ex i
d
cos(
z
d
) ez k x sin(
z
d
)]e ik x x ( A / m)
而磁场的瞬时表达式为
H ( x, z, t ) ex
【习题 2.12】
（1）解：将 E 表示为复数形式:
E (r , z ) er
100 i 0.5 z e r
则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
H ( x, z ) e
1 i0
E
1 i0
e
Er z
0.398 i 0.5 z e ( A / m) r
H (r , z, t ) e 5 4 r
9 2 6 R 2 )( Pe R) 2 Pe 4 R R 3 2 ( Pe R)2 Pe 2 R (
2
其中 P e R qR0 R qR0 R cos ， （ 是 R0 和 R 之间的夹角） 易见，当 cos 1 ，即 0 时， m 可取最大值
2
m2 max
r a
而磁场的瞬时表达式为
cos(108 t 0.5 z )
( A / m)
（2）内导体表面的电流密度
Js n H
0
r a
er H
ez 397.9cos(108 t 0.5z )
( A / m)
（3） J d
E 5 er sin(108 t 0.5z ) t 18 r
c 2汛 B =
J ¶E ¶E 及位移电流密度 J d = e0 + e0 ¶ t ¶t
¶E = e0c 2汛 B ¶t
2
得到 J d = e0
= e0 c (- ex =-
抖 B B + ez ) 抖 z x
其中 e0 =
1 ? 10- 9 F/m 36p
1 创 10- 9 (3创 108 )2 33创 10- 12 10创 sin (3 109 t - 10 z) ex A/m2 36p
0
H ( x, z ) ey i 2
1 i0
2
E
2
ey Ex Ez i0 x z
i z
(15 ) ) cos(15 x)e 2 0 0
2 2 9 2
(2)
比较（1）式何（2）式，有
4 107 (15 ) ) 0 0 (6 10 ) 400 2 9 36 10
E
3( Pe R) R Pe 3] 4 0 R5 R 1 [
( R0 R)
……………………①
其中 P e qR0
，R0 方向从负电荷指向正电
荷， R 是从电偶极子指向电场中任一点的矢 量，起点在正负电荷连线的中点。 （如图） 本题