人教A版 选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算

[f(x)＋g(x)]′＝___f_′(_x_)＋__g_′(_x)_______
两个函数差的导数
[f(x)－g(x)]′＝___f′_(x_)_－__g′_(x_)_______
两个函数积的导数 两个函数商的导数
[f(x)g(x)]′＝____f_′(_x_)g_(_x_)＋__f(_x_)g_′_(x_)______________ f′xgx－fxg′x
∴Q′(x)＝
l1 Δx）＝1－x12.
同理，H′(x)＝1＋x12.
显然Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.
◎结论形成
导数的四则运算法则
设两个函数分别为 f(x)和 g(x)，则：
两个函数和的导数
3.探究1若曲线y x ln x上点P处的切线平行于直线2x - y 1 0, 则点P的坐标是___________
解：设P( x0 ,
y0 ),
y
x
ln
x,
y
ln
x
x.
1 x
1
ln
x
k 1 ln x0,又k 2,1 ln x0 2, x0 e
y0 e ln e e,点P的坐标是(e, e)
探究2 已知函数f (x) ax2 ln x的导数为f (x) （1）求f (1) f (1); （2）若曲线y f (x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围。
解：（1）由题意，函数的定义域 为(0,)，由f (x) ax2 ln x得
f (x) 2ax 1 , x
所以f (1) f (1) 3a 1
(2)因为曲线y f (x)存在垂直于x轴的切线， 故此时切线的斜率为0，问题转化为在x (0,)
内导函数f (x) 2ax 1 存在零点，即f (x) 0 x
2ax 1 0有正实数解，即2ax2 1有正实数 x
解，故有a 0，所以实数a的取值范围是(,0)。
课堂小结
导数的运算法则
(3) y (x3 )(ex ) (x3 )(ex ) 3x2ex x3ex
(4) y (2 sin x)(x2 ) (2 sin x)( x2 ) x4
2x
cos
x x3
4 s in
x
2.已知函数 f(x)＝axx2＋－b6的图象在点 M(－1，f(－1))处的切线方程为 x＋2y＋5＝0，
求函数 y＝f(x)的解析式．
解：由函数 f(x)的图象在点 M(－1，f(－1))处的切线方程为 x＋2y＋5＝0，知－1 ＋2f(－1)＋5＝0，即 f(－1)＝－2，由切点为 M 得 f′(－1)＝－1.∵f′(x)＝
2
，
∴即
解得 a＝2，b＝3 或 a＝－6，b＝－1(由 b＋1≠0，故 b＝－1 舍去)．所以所求的函 数解析式为 f(x)＝2xx2＋－36.
gfxx′＝ ________[_g_x__]_2 _______ (g(x)≠0)
例1 求下列函数的导数
(1) y x3 x 3 (2) y 2x cos x (3) y x3ex
2sin x (4) y x2
(1) y (x3 ) (x) 3 3x2 1
(2) y (2x cos x) (2x) (cos x) 2x ln x sin x
5.2 导数的运算
5.2.2 导数的四则运算法则
复习提问
默写基本初等函数的导数
已知 f(x)＝x，g(x)＝1x. Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)
问题 1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？
提示 f′(x)＝1，g′(x)＝－x12.
问题2 试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系. 提示 ∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－x＋1x＝Δx＋x（－ x＋ΔΔxx），∴ΔΔyx＝1－x（x＋1 Δx）.
加、减法则：各导加减 乘法法则： 前导+后导 除法法则： 上导+下导
作业
课本第78页 第2，3两题