2018届湖南省湘潭市高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题(图片版,无答案)
湖南省湘潭市数学高三理数第三次模拟考试试卷
湖南省湘潭市数学高三理数第三次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·渝中模拟) 已知集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，那么A∩B=（）A . {﹣2，﹣1，0，1}B . {﹣2，﹣1，1}C . {﹣1，1，2}D . {﹣1，0，1，2}2. （2分） (2017高二下·荔湾期末) 在复平面内，复数（ + i）2所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为，那么的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）已知等差数列的前项和为，且,则（）A .B .C .D . 45. （2分） (2018高三上·重庆期末) 执行如下图所示的程序框图，若输入的值为9，则输出的结果是（）A .B . 0C .D . 16. （2分）已知点P为双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I 为的内心，若成立，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分）已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A .B .C . -D . -8. （2分）(2017·鹰潭模拟) 如图是某几何体挖去一部分后得到的三视图，其中主视图和左视图相同都是一个等腰梯形及它的内切圆，俯视图中有两个边长分别为2和8的正方形且图中的圆与主视图圆大小相等并且圆心为两个正方形的中心．问该几何体的体积是（）A .B .C .D .9. （2分）函数y=xlnx的单调递减区间是（）A .B .C .D .10. （2分）抛物线x2=y的焦点坐标是（）A .B .C .D .11. （2分）若一个正三棱柱的高为1，体积为2 ，则一条侧棱到与它相对的面之间的距离为（）A . 1B .C .D .12. （2分） (2016高二下·晋中期中) 若函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A . a≥3B . a=3C . a≤3D . 0＜a＜3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·沧州期末) 设，，，若 ,则 ________．14. （1分） (2020高三上·泸县期末) 若x，y满足约束条件，则的最大值为________．15. （1分）已知在二项式（x2+ ）5的展开式中，含x4的项的二项式系数是________．16. （1分） (2018高二下·葫芦岛期中) 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n级分形图．则n级分形图中共有________条线段.三、解答题 (共7题；共35分)17. （5分）(2017·邹平模拟) 已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求a，b的值．18. （5分）(2018·陕西模拟) 如图，在三棱柱中，侧面底面 .（1）求证：平面；（2）若 ,求二面角的余弦值.19. （5分） (2019高二下·新城期末) 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X(小时)都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图．附：相关系数，参考数据：，，，（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01)(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？20. （5分） (2018高二上·吉林期中) 已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过与椭圆交于E ， F两点，若，求直线EF的方程．21. （5分）(2020·秦淮模拟) 已知函数g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：．22. （5分） (2016高三上·山西期中) 已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1 ， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．23. （5分） (2016高三上·成都期中) 已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|＜4的解集为M．（1）设Z是整数集，求Z∩M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共35分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
湖南省湘潭市2018届高考第三次模拟考试数学试题(文)有答案AlUwPl
2018届高三第三次模拟考试数学文科试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|12},{|0}m x x N x x mx =-<<=-<，若{|01}M N x x =<<I ，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．22. 命题:2,230xp x ∀>->的否定是（ ）A ．2,230x x ∀>-≤B ．2,230xx ∀≤-> C ．002,230xx ∃>-≤ D ．002,230xx ∃>->3. 设i 为虚数单位，若复数()12az i a R i=+∈-的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．5- B ．53- C ．1- D ．13-4.已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.710.3yx =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是 （ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-C ．4m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点(9,4) 5. 在等差数列{}n a 中，35712a a a +=-，则19a a +=（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．206. 在同一直角坐标系中，函数()()2,log (2)(0a f x ax g x x a =-=+>且1)a ≠的图象大致为（ ）7. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”，图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ） A ．336 B ．510 C ．1326 D ．36038. 执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．1 4- B．45C．4 D．59.若函数()24log()(0,mx mf x mx+=>且1)m≠在[]2,3上单调递增，则实数m的取值范围是（）A．(1,36] B．[36,)+∞ C．(1,36][36,)+∞U D．(1,16]10. 已知实数,x y满足2220240x yx yx y-≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，若方程2260x y y k++-=有解，则实数k的最小值是（）A．5455B．295- C．533D．16511. 将函数()3sin2cos2f x x x-的图象向左平移(0)t t>个单位后，得到函数()g x的图象，若()()12g x g xπ=-，则实数t的最小值为（）A．524πB．724πC．512πD．712π12. 已知关于x的不等式2(2)1x xm x x e e-+≥在(,0]-∞上恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[1,)+∞ B．[0,)+∞ C．1[,)2-+∞ D．1[,)3+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,1),(1,),(3,3)a b x x c x x ==-=-r r r ，满足//a b r r ，且2b a =r r ，则向量,b cr r的夹角的余弦值．14. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆223()4x a y -+=相切，则该双曲线的方程是．15.已知球面上有四个点,,,A B C D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为．16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 23,1tan A ca B b=+=，则b c +的最大值为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知正项的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22312,22a S a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log 3n nb a =+，数列11{}n n b b +的前n 项和为n T ，求满足13n T >的正整数n 的最小值. 18. 新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相，某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精确扶贫户订购荔枝，每天进货量相同每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完，根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关，如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为300n =公斤；如果平均气温位于[20,25)摄氏度，需求量为200n =公斤；如果平均气温位于[15,25)摄氏度，需求量为100n =公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为50n =公斤，为了确定6月1日到30日的订购量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：（1）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）；（2）若该商场每天进货为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.19.如图，PAD ∆是边长为3的等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点,E F 分别为,CD PD 上的点，且12PF CE FD ED ==，点G 为AB 上的一点，且AG GBλ=. （1）当12λ=时，求证：//PG 平面AEF ；（2）当FG AC ⊥时，求三棱锥A EFG -的体积.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的离心率为22，且椭圆C 过点2(3,2-，过点(1,0)做两条相互垂直的直线12,l l 分别与椭圆C 交于,,,P Q M N 四点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,MS SN PT TQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.已知函数()ln ()f x x x m m R =--∈. （1）若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；（2）证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()(2)0f x x +-<在1[,1]2上恒成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-.（1）求出曲线23,C C 的参数方程；（2）若,P Q 分别是曲线23,C C 上的动点，求PQ 的最大值. 23.已知函数()225f x x =+-. （1）解不等式：()1f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBCA 6-10: ABDDB 11、B 12：C 二、填空题13. 14.2213y x -= 15.16π 16.6 三、解答题17.解：（1）由题意知，22122a S =+，所以212122a a a =++，得2112a a =+， 设等比数列{}n a 的公比为q ， 又因为32a =，所以22212q q =+，化简得2440q q -+=，解得2q =， 所以3323222n n n n a a q ---==⋅=.（2）由（1）知，222log 3log 23231n n n b a n n -=+=+=-+=+，所以11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， 所以121111112334122(2)n n n T b b b n n n =+++=-+-++-=+++L L ， 令13n T >，得12(2)3n n >+，解得4n >， 所以满足13n T >的正整数n 的最小值是5. 18.解：（1）当需求量100n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4100400⨯=元； 当需求量100n <，即50n =时，荔枝为该商场带来的利润4504500⨯-⨯=元，所以这90天荔枝每天该商场带来的平均为204008839190⨯+⨯≈元.（2）当需求量200n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4200800⨯=元； 当需求量100n =时，荔枝为该商场带来的利润410041000⨯-⨯=元， 当需求量50n =时，荔枝为该商场带来的利润4504150400⨯-⨯=-元， 所以当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为100,200或300公斤， 则所求概率902449045P -==.19.解：（1）连CG 接，当12λ=时，,//CE AG CE AG =,所以四边形AECG 是平行四边形，所以//AE CG 因为12PF CE FD ED ==，所以//EF PC ，因为AE EF E =I ，PC CG C =I ， 所以平面//PCG 平面AEF ，又PG ⊂平面PCG ，所以//PG 平面AEF . (2) 取AD 的中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 过点F 作FH AD ⊥于点H ，连接GH，则2233FH PO === 因为2DH DF HO PF ==，所以213DH OD ==， 因为,,PO AD FH AD PO ⊥⊥⊥平面ABCD ，所以FH ⊥平面ABCD , 所以FH AC ⊥，又FG AC ⊥，所以AC ⊥平面FGH ，所以AC GH ⊥， 又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，所以//GH BD ，所以2AG AH ==，所以112332A EFG F AGE V V --==⨯⨯⨯=20. 解：（1）由题意知22222311222a a b a b c b c c a⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）因为,MS SN PT TQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以,S T 分别为,MN PQ 的中点，当两直线的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为(1)y k x =-， 则直线2l 的方程为112233441(1),(,),(,),(,),(,)y x P x y Q x y M x y N x y k=--，联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(21)42404160k x k x k k +-+-=⇒∆=+>， 22121222424,2121k k x x x x k k -+==++，所以PQ 的中点T 的坐标为2222(,)2121k kk k -++， 同理，MN 中点S 的坐标为222(,)22kk k ++，所以232(1)STk k k -=-， 所以直线ST 的方程为222232()212(1)21kk k y x k k k -+=-+++， 即232()2(1)3k y x k -=-+，所以直线ST 过定点2(,0)3， 当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2(,0)3， 综上所述，直线ST 过定点2(,0)3.21.解：（1）令()ln 0f x x x m =--=，所以ln m x x =-， 令()ln g x x x =-，所以()111xg x x x-'=-=， 令()0g x '>，解的01x <<，()0g x '<，解的1x >，则函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()max (1)1g x g ==-， 要使函数()f x 有两个零点，则函数()g x 的图象与y m =由两个不同的交点， 则1m <-，即实数m 的取值范围为(,1)-∞-.（2）因为()(2)0xf x x e +-<，所以(2)ln xm x e x x >-+-，设()1(2)ln ,[,1]2x h x x e x x x =-+-∈，所以()1(1)()x h x x e x'=--， 设()1x u x e x =-，所以()210x u x e x '=+>，则()u x 在1[,1]2上单调递增，又()1()20,1102u u e =<=->， 所以01(,1)2x ∃∈，使得0()0u x =，即01x ex =，所以00ln x x =-， 当01(,)2x x ∈时，()()0,0u x h x '<>；当0(,1)x x ∈时，()()0,0u x h x '><； 所以函数()h x 在01[,]2x 上单调递增，在0[,1]x 上单调递减，所以()00000000max 0012()(2)ln (2)212xh x h x x e x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--， 设()212x x xϕ=--，则()22222212x x x x ϕ-'=+-=，当1(,1)2x ∈时，()0x ϕ'>恒成立，则()x ϕ在1(,1)2上单调递增， 所以()()13x ϕϕ<=-，即当1[,1]2x ∈时，()3h x <-，当3m ≥-时，关于x 的不等式()(2)0xf x x e +-<在1[,1]2x ∈上恒成立.22.解：（1）曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y +=， 所以参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-， 所以曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即22(1)1x y ++=，所以其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数）（2）设(2cos ,sin )P αα，则P 到曲线3C 的圆心(0,1)-的距离d ===，因为sin [1,1]α∈-，所以当1sin 3α=时，max 3d =，所以max max 1PQ d r =+=23.解：（1）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩截得8x ≤-或φ或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(,8][2,)-∞-+∞U . （2）当1m =-时，则()2251315g x x x x =+-++=+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意；当1m >-时，()37,12253,133,x m x g x x x m x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+-+-=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则(1)40()230g m g m m -=-<⎧⎨=-≥⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3[,4)12-U .。
【高三数学试题精选】2018届高考第三次模拟考试数学试题(湘潭市文带答案)
2018届高考第三次模拟考试数学试题（湘潭市文带答案）
5 c 10 ABDDB 11、B 12c
二、填空题
13 14 15 16
三、解答题
17解（1）由题意知，，所以，得，
设等比数列的比为，
又因为，所以，化简得，解得，
所以
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
令，得，解得，
所以满足的正整数的最小值是
18解（1）当需求量时，荔枝为该商场带的利润为元；
当需求量，即时，荔枝为该商场带的利润元，
所以这天荔枝每天该商场带的平均为元
（2）当需求量时，荔枝为该商场带的利润为元；
当需求量时，荔枝为该商场带的利润元，
当需求量时，荔枝为该商场带的利润元，
所以当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为或斤，
则所求概率
19解（1）连接，当时， ,所以四边形是平行四边形，所以因为，所以，因为，，
所以平面平面，又平面，所以平面
(2)取的中点为，连接，则，
因为平面平面，所以平面，
过点作于点，连接，则，。
2018年湖南省湘潭市高考数学三模试卷(理科)Word版含解析
2018年湖南省湘潭市高考三模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈R}，则集合∁（M∪N）等于（）UA．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）2．若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．1 D．3．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．4．“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．6．函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C． D．7．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A ．k ＜6？B ．k ＜7？C ．k ＞6？D ．k ＞7？8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．6πB ．7πC ．8πD ．12π9．已知T n 为数列的前n 项和，若n ＞T 10+1013恒成立，则整数n 的最小值为（ ）A ．1026B ．1025C ．1024D ．102310．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m （m ＞0）为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a=b （bmodm ）．若，a=b （bmod10），则b 的值可以是（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．201411．如图，A 1，A 2为椭圆长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于A 1，A 2的三点，直线QA 1，QA 2，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则|OS|2+|OT|2=（ ）A ．14B ．12C ．9D ．712．已知函数f （x ）=aln （x+1）﹣x 2，若对∀p ，q ∈（0，1），且p ≠q ，有恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，18） B ．（﹣∞，18] C ．[18，+∞） D ．（18，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若（1+2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 0+a 2+a 4= ．14．已知点M （1，m ）（m ＞1），若点N （x ，y ）在不等式组表示的平面区域内，且（O 为坐标原点）的最大值为2，则m= ．15．将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则当φ取最小的值时，g （0）= ．16．数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =，则{b n }中的最大项的值是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，2cos2A+3=4cosA ． （1）求角A 的大小；（2）若a=2，求△ABC 的周长l 的取值范围．18．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 垂直相交于点O ，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD 沿BD 折到△BED 的位置，使得二面角E ﹣BD ﹣A 的大小为90°（如图）．已知Q 为EO的中点，点P 在线段AB 上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ADE 所成角θ的正弦值．19．某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．2018年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈R}，则集合∁（M∪N）等于（）UA．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．（M∪N）．【分析】分别求出集合M，N，由此求出M∪N，从而能求出CU【解答】解：∵M={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}．又∵U=R，M∪N={x|x＞﹣1}，（M∪N）=（﹣∞，﹣1]．∴CU故选：A．2．若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵，∴，则z的虚部为，故选：D．3．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分的面积为==e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，∴该点落在阴影部分的概率是．故选D．4．“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：若直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切，则（1，1）到x+y﹣m=0的距离是，故=，故|2﹣m|=2，2﹣m=±2，解得：m=0或m=4，故“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充分不必要条件，故选：B．5．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线，由a=b，c=a，可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴双曲线是等轴双曲线，∴a=b，c=a，∴e===．故选D．6．函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2x=0，即x=0或x=2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B7．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框中应填写的条件是什么．【解答】解：由题意可知，输出结果为S=720，通过第1次循环得到S=1×2=2，k=3；通过第2次循环得到S=1×2×3=6，k=4；通过第3次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5；通过第4次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6；通过第6次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7；此时执行输出S=720，结束循环，所以判断框中的条件为k＞6？．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．6π B．7π C．8π D．12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，根据所给数据，即可求出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，所以其表面积为．故选B ．9．已知T n 为数列的前n 项和，若n ＞T 10+1013恒成立，则整数n 的最小值为（ ）A ．1026B ．1025C ．1024D ．1023【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列的求和公式可得T n ，即可得出．【解答】解：∵，∴，∴T 10+1013=11﹣+1013=1024﹣，又n ＞T 10+1013，∴整数n 最小值为1024． 故选C ．10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m （m ＞0）为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a=b （bmodm ）．若，a=b （bmod10），则b 的值可以是（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意a=（10﹣1）10，按照二项式定理展开，可得它除以10的余数，再结合a=b （bmod10），可得b 的值．【解答】解：∵=（1+2）20=320=910=（10﹣1）10=•1010﹣•109+•108+…﹣•10+，∴a 被10除得的余数为 1，而2011被10除得的余数是1， 故选：A ．11．如图，A 1，A 2为椭圆长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于A 1，A 2的三点，直线QA 1，QA 2，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则|OS|2+|OT|2=（ ）A ．14B ．12C ．9D ．7【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、两点之间的距离公式即可得出． 【解答】解：设Q （x ，y ），T （x 1，y 1），S （x 2，y 2），QA 1，QA 2斜率分别为k 1，k 2，则OT ，OS 的斜率为k 1，k 2，且，所以，同理，因此=．故选：A ．12．已知函数f （x ）=aln （x+1）﹣x 2，若对∀p ，q ∈（0，1），且p ≠q ，有恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，18）B ．（﹣∞，18]C ．[18，+∞）D ．（18，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】恒成立恒成立⇔'f （x+1）≥2恒成立，即恒成立，分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）=aln（x+1）﹣x2，所以f（x+1）=aln[（x+1）+1]﹣（x+1）2，所以．因为p，q∈（0，1），且p≠q，所以恒成立恒成立⇔'f（x+1）≥2恒成立，即恒成立，所以a＞2（x+2）2（0＜x＜1）恒成立，又因为x∈（0，1）时，8＜2（x+2）2＜18，所以a≥18．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a+a2+a4= 121 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的式子中，分别令x=1、x=﹣1，可得则a0+a2+a4的值．【解答】解：令x=1，则；再令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1，∴，故答案为：121．14．已知点M（1，m）（m＞1），若点N（x，y）在不等式组表示的平面区域内，且（O为坐标原点）的最大值为2，则m= ．【考点】简单线性规划．【分析】利用向量的数量积化简表达式，得到目标函数，画出可行域，利用最优解求解即可．【解答】解：，令x+my=z，作出不等式组表示的可行域，由解得A （，），当m ≥0时，目标函数在A 处取得最大值2．分析知当时，z max =2．所以，解之得或（舍去），所以．故答案为：．15．将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则当φ取最小的值时，g （0）= ﹣1 ． 【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性求得g （x ）的解析式，从而求得g （0）的值．【解答】解：将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）=sin （2x ﹣2φ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则2φ=2kπ+，k ∈Z ，∴φ的最小值为，g （x ）=sin （2x ﹣2φ）=sin （2x ﹣）=﹣cos2x ，∴g （0）=﹣1，故答案为：﹣1．16．数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =，则{b n }中的最大项的值是．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得，数列{a n ﹣2}构成以为公比的等比数列，求出其通项公式后代入b n =，再由数列的函数特性求得{b n }中的最大项的值．【解答】解：由a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n ，得S n =2n ﹣a n ， 取n=1，求得a 1=1；由S n =2n ﹣a n ，得S n ﹣1=2（n ﹣1）﹣a n ﹣1（n ≥2），两式作差得a n =2﹣a n +a n ﹣1，即（n ≥2），又a 1﹣2=﹣1≠0，∴数列{a n ﹣2}构成以为公比的等比数列，则，则b n ==，当n=1时，，当n=2时，b 2=0，当n=3时，，而当n ≥3时，，∴{b n }中的最大项的值是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，2cos2A+3=4cosA ． （1）求角A 的大小；（2）若a=2，求△ABC 的周长l 的取值范围．【考点】正弦定理的应用．【分析】（1）由2cos2A+3=4cosA，利用倍角公式可得，化简解出即可得出．（2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）因为2cos2A+3=4cosA，所以，所以4cos2A﹣4cosA+1=0，所以．又因为0＜A＜π，所以．（2）因为，，a=2，所以，所以．因为，所以．又因为，所以，所以l∈（4，6]．18．在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，因为PR，RQ⊄平面ADE，且AD，DE⊂平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，又PR∩RQ=R，故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，故，因此．…12分．19．某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，即可得出持满意态度的频率．（2）ξ的所有可能取值为O，1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，所以持满意态度的频率为，据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为．（2）ξ的所有可能取值为O ，1，2，3.；；；．ξ的分布列为：．20．已知点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF 的斜率为k ，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，从而点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C 的方程．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ），直线PM 的方程为（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0，△PMN 的内切圆的方程为x 2+y 2=1，圆心（0，0）到直线PM 的距离为1，由x 0＞1，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ，∴点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2=4x ．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ），直线PM 的方程为：y ﹣m=（x+1），化简，得（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0， ∵△PMN 的内切圆的方程为x 2+y 2=1，∴圆心（0，0）到直线PM 的距离为1，即=1，∴=，由题意得x 0＞1，∴上式化简，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0，同理，有，∴m ，n 是关于t 的方程（x 0﹣1）t 2+2y t ﹣（x 0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m ﹣n|==，∵，|y 0|=2，∴|MN|==2，直线PF 的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x ﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a（2）由题意可得在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+x﹣x2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值【解答】解：（1）=．…因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…即，解得a=0．…又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，所以在区间[3，+∞）上恒成立．…①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．…②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为，…因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．…因为a＞0，所以．由①可得，a=0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为[0，]．…（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．…以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），则，…所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…因此h（x）≤h（1）=0．而x＞1，故b=x•h（x）≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．…方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，则．当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g'（x）=0，∴当0＜x＜x时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x）上单调递减；当x＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x，1）上单调递增；又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．因此当x=1时，b取得最大值0．…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（2）求出点P、Q的极坐标，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（1）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程（θ为参数），化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，则P（1，）．由直线l的极坐标方程是，可得Q（3，），∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．=a+b，即可求a+b的值；【分析】（1）写出分段函数，得出f（x）min（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，利用“1”的代换，求最值，根据恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）f（x）在区间（﹣∞，﹣b]上递减，在区间[﹣b，+∞）上递增，=a+b．所以f（x）min所以a+b=1．（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，所以，又因为，当且仅当时，等号成立，所以时，有最小值．所以，所以实数m的最大值为．。
湖南省湘潭市2018届高考第三次模拟考试数学试题(文)有答案AlUwPl
2018届高三第三次模拟考试数学文科试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|12},{|0}m x x N x x mx =-<<=-<，若{|01}M N x x =<<I ，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．22. 命题:2,230xp x ∀>->的否定是（ ）A ．2,230x x ∀>-≤B ．2,230xx ∀≤-> C ．002,230xx ∃>-≤ D ．002,230xx ∃>->3. 设i 为虚数单位，若复数()12az i a R i=+∈-的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．5- B ．53- C ．1- D ．13-4.已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.710.3yx =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是 （ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-C ．4m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点(9,4) 5. 在等差数列{}n a 中，35712a a a +=-，则19a a +=（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．206. 在同一直角坐标系中，函数()()2,log (2)(0a f x ax g x x a =-=+>且1)a ≠的图象大致为（ ）7. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”，图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ） A ．336 B ．510 C ．1326 D ．36038. 执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．1 4- B．45C．4 D．59.若函数()24log()(0,mx mf x mx+=>且1)m≠在[]2,3上单调递增，则实数m的取值范围是（）A．(1,36] B．[36,)+∞ C．(1,36][36,)+∞U D．(1,16]10. 已知实数,x y满足2220240x yx yx y-≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，若方程2260x y y k++-=有解，则实数k的最小值是（）A．5455B．295- C．533D．16511. 将函数()3sin2cos2f x x x-的图象向左平移(0)t t>个单位后，得到函数()g x的图象，若()()12g x g xπ=-，则实数t的最小值为（）A．524πB．724πC．512πD．712π12. 已知关于x的不等式2(2)1x xm x x e e-+≥在(,0]-∞上恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[1,)+∞ B．[0,)+∞ C．1[,)2-+∞ D．1[,)3+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,1),(1,),(3,3)a b x x c x x ==-=-r r r ，满足//a b r r ，且2b a =r r ，则向量,b cr r的夹角的余弦值．14. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆223()4x a y -+=相切，则该双曲线的方程是．15.已知球面上有四个点,,,A B C D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为．16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 23,1tan A ca B b=+=，则b c +的最大值为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知正项的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22312,22a S a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log 3n nb a =+，数列11{}n n b b +的前n 项和为n T ，求满足13n T >的正整数n 的最小值. 18. 新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相，某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精确扶贫户订购荔枝，每天进货量相同每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完，根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关，如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为300n =公斤；如果平均气温位于[20,25)摄氏度，需求量为200n =公斤；如果平均气温位于[15,25)摄氏度，需求量为100n =公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为50n =公斤，为了确定6月1日到30日的订购量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：（1）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）；（2）若该商场每天进货为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.19.如图，PAD ∆是边长为3的等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点,E F 分别为,CD PD 上的点，且12PF CE FD ED ==，点G 为AB 上的一点，且AG GBλ=. （1）当12λ=时，求证：//PG 平面AEF ；（2）当FG AC ⊥时，求三棱锥A EFG -的体积.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的离心率为22，且椭圆C 过点2(3,2-，过点(1,0)做两条相互垂直的直线12,l l 分别与椭圆C 交于,,,P Q M N 四点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,MS SN PT TQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由. 21.已知函数()ln ()f x x x m m R =--∈. （1）若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；（2）证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()(2)0f x x +-<在1[,1]2上恒成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-.（1）求出曲线23,C C 的参数方程；（2）若,P Q 分别是曲线23,C C 上的动点，求PQ 的最大值. 23.已知函数()225f x x =+-. （1）解不等式：()1f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBCA 6-10: ABDDB 11、B 12：C 二、填空题13. 14.2213y x -= 15.16π 16.6 三、解答题17.解：（1）由题意知，22122a S =+，所以212122a a a =++，得2112a a =+， 设等比数列{}n a 的公比为q ， 又因为32a =，所以22212q q =+，化简得2440q q -+=，解得2q =， 所以3323222n n n n a a q ---==⋅=.（2）由（1）知，222log 3log 23231n n n b a n n -=+=+=-+=+，所以11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， 所以121111112334122(2)n n n T b b b n n n =+++=-+-++-=+++L L ， 令13n T >，得12(2)3n n >+，解得4n >， 所以满足13n T >的正整数n 的最小值是5. 18.解：（1）当需求量100n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4100400⨯=元； 当需求量100n <，即50n =时，荔枝为该商场带来的利润4504500⨯-⨯=元，所以这90天荔枝每天该商场带来的平均为204008839190⨯+⨯≈元.（2）当需求量200n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4200800⨯=元； 当需求量100n =时，荔枝为该商场带来的利润410041000⨯-⨯=元， 当需求量50n =时，荔枝为该商场带来的利润4504150400⨯-⨯=-元， 所以当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为100,200或300公斤， 则所求概率902449045P -==.19.解：（1）连CG 接，当12λ=时，,//CE AG CE AG =,所以四边形AECG 是平行四边形，所以//AE CG 因为12PF CE FD ED ==，所以//EF PC ，因为AE EF E =I ，PC CG C =I ， 所以平面//PCG 平面AEF ，又PG ⊂平面PCG ，所以//PG 平面AEF . (2) 取AD 的中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 过点F 作FH AD ⊥于点H ，连接GH，则2233FH PO === 因为2DH DF HO PF ==，所以213DH OD ==， 因为,,PO AD FH AD PO ⊥⊥⊥平面ABCD ，所以FH ⊥平面ABCD , 所以FH AC ⊥，又FG AC ⊥，所以AC ⊥平面FGH ，所以AC GH ⊥， 又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，所以//GH BD ，所以2AG AH ==，所以112332A EFG F AGE V V --==⨯⨯⨯=20. 解：（1）由题意知22222311222a a b a b c b c c a⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）因为,MS SN PT TQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以,S T 分别为,MN PQ 的中点，当两直线的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为(1)y k x =-， 则直线2l 的方程为112233441(1),(,),(,),(,),(,)y x P x y Q x y M x y N x y k=--，联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(21)42404160k x k x k k +-+-=⇒∆=+>， 22121222424,2121k k x x x x k k -+==++，所以PQ 的中点T 的坐标为2222(,)2121k kk k -++， 同理，MN 中点S 的坐标为222(,)22kk k ++，所以232(1)STk k k -=-， 所以直线ST 的方程为222232()212(1)21kk k y x k k k -+=-+++， 即232()2(1)3k y x k -=-+，所以直线ST 过定点2(,0)3， 当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2(,0)3， 综上所述，直线ST 过定点2(,0)3.21.解：（1）令()ln 0f x x x m =--=，所以ln m x x =-， 令()ln g x x x =-，所以()111xg x x x-'=-=， 令()0g x '>，解的01x <<，()0g x '<，解的1x >，则函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()max (1)1g x g ==-， 要使函数()f x 有两个零点，则函数()g x 的图象与y m =由两个不同的交点， 则1m <-，即实数m 的取值范围为(,1)-∞-.（2）因为()(2)0xf x x e +-<，所以(2)ln xm x e x x >-+-，设()1(2)ln ,[,1]2x h x x e x x x =-+-∈，所以()1(1)()x h x x e x'=--， 设()1x u x e x =-，所以()210x u x e x '=+>，则()u x 在1[,1]2上单调递增，又()1()20,1102u u e =<=->， 所以01(,1)2x ∃∈，使得0()0u x =，即01x ex =，所以00ln x x =-， 当01(,)2x x ∈时，()()0,0u x h x '<>；当0(,1)x x ∈时，()()0,0u x h x '><； 所以函数()h x 在01[,]2x 上单调递增，在0[,1]x 上单调递减，所以()00000000max 0012()(2)ln (2)212xh x h x x e x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--， 设()212x x xϕ=--，则()22222212x x x x ϕ-'=+-=，当1(,1)2x ∈时，()0x ϕ'>恒成立，则()x ϕ在1(,1)2上单调递增， 所以()()13x ϕϕ<=-，即当1[,1]2x ∈时，()3h x <-，当3m ≥-时，关于x 的不等式()(2)0xf x x e +-<在1[,1]2x ∈上恒成立.22.解：（1）曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y +=， 所以参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-， 所以曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即22(1)1x y ++=，所以其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数）（2）设(2cos ,sin )P αα，则P 到曲线3C 的圆心(0,1)-的距离d ===，因为sin [1,1]α∈-，所以当1sin 3α=时，max 3d =，所以max max 1PQ d r =+=23.解：（1）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩截得8x ≤-或φ或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(,8][2,)-∞-+∞U . （2）当1m =-时，则()2251315g x x x x =+-++=+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意；当1m >-时，()37,12253,133,x m x g x x x m x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+-+-=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则(1)40()230g m g m m -=-<⎧⎨=-≥⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3[,4)12-U .。
湖南省湘潭市第三中学2017-2018学年高三下学期数学(理)周考测试题4Word版含答案
第3题2017-2018学年高三理科数学周考测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{}220,A xx x x =∣--≤∈R ，{}lg(1)1,B x x x =∣+<∈Z ，则A B =I A.(0,2) B.[]0,2 C.{}0,2 D.{}0,1,2(2)已知复数1z =，则22zz =- A.2 B.2- C.2i D.2i - (3)执行右面的程序框图()N *∈N ，那么输出的p 是 A.33AN N ++ B.22AN N ++ C.11AN N ++ D.A N N(4)离心率为2的双曲线E 的一个焦点到一条渐近线的距离为1， 则E 的标准方程可以是A.2231x y -= B.2213x y -=C.2231x y-= D.2213y x -= (5)已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意,n m *∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则42S S = A.2 B.3 C.4 D.5(6)设点(,)x y 在平面区域E 内，记事件A “对任意(,)x y E ∈，有21x y -≥”，则 满足事件A 发生的概率()1P A =的平面区域E 可以是A.20x x y ≤⎧⎨+≥⎩ B.20x x y ≥⎧⎨+≤⎩ C.20x x y ≥⎧⎨-≤⎩ D.2x x y ≤⎧⎨-≥⎩(7)已知函数()y f x =的图像为如图所示的折线ABC ， 则11[(1)()]d x f x x -+=⎰A.2B.2-C.1D.1-第13题图FD第11题图（2）′图（1）左视图主视图4(8)甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至 多安排一人，其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有 A.36 B.39 C.42 D.45(9)在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等腰三角形，120BAC ∠=o，2BC =，PA ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为A.9B.9C.3D.9(10)已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与C 交于A 、B 两点， 与l 交于点P ，若3AF FB =，则PF = A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 (11)某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中116O A =，112O C =，则该几何体的侧面积为A.48B.64C.96D.128(12)对于函数(),()f x g x 满足：对任意x ∈R ，都有2(23)()f x x g x -+=，若关于x 的方程()sin02g x x π+=只有5个根，则这5个根之和为A.5B.6C.8D.9本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。
2020届湖南省湘潭市高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省湘潭市高三第三次模拟考科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名和相关信息．2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹． （2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． （3）请勿折叠答题卡．保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁．3．本试题卷共4页．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4．考试结束后，将答题卡交回．姓名_________________ 准考证号______________祝你考试顺利！2020届高三模拟考试数学（理科）本试题卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共23小题，时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|10}A x x =-…，{}2|20B x x x =--<，则A B ⋂=（ ） A ．[1,2)B ．(1,1]-C ．(1,1)-D ．(2,1]-2．计算4312ii-=-（ ） A ．2i +B ．2i --C ．12i --D ．12i -+3．已知直线a ∥平面α，则“平面α⊥平面β”是“直线a ⊥平面β”的（ ） A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足236n n S a =-，则6a =（ ） A ．623⨯B ．723⨯C ．662⨯D ．762⨯5．下表是鞋子的长度与对应码数的关系． 长度()cm 25 25.5 26 26.5 27 27.5 码数404142434445如果人的身高()y cm 与脚板长()x cm 呈线性相关且回归直线方程为ˆ77.6yx =-．若某人的身高为180cm ，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ）A ．42B ．43C ．44D ．456．已知实数x ，y 满足约束条件20,250,1,x y x y y -+⎧⎪+-≤⎨⎪⎩……则3y z x=+的最大值为（ ）A ．35 B ．45 C ．34 D ．327．更相减损术出自《九章算术》，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．如图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术”若执行该程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．14B ．12C ．7D ．68．已知向量a r ，b r 是两个夹角为3π的单位向量，且35OA a b =+u u u r r r ，47OB a b =+u u u r r r ，OC a mb =+u u u r r r ，若A ，B ，C 三点共线，则OA OC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．12B ．14C ．16D ．189．函数(||1)ln ||y x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在[,2](0)x a a ∈<上的最大值为1且单调递增，则2a -的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．9D ．811．在直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，位于第一象限上的点()00,P x y 是双曲线C 上的一点，满足120PF PF ⋅=u u u r u u u r，若点P 的纵坐标0y 的取值范围是24,35c c ⎛⎫⎪⎝⎭，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．2,2) B ．(2,4)C ．(3,5)D ．3,5)12．已知对任意实数x 都有()3()xf x e f x '=+，(0)1f =-，若不等式()(2)f x a x <-（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．41,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．4,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．274,43e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．271,42e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =________．14．51x x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数为________．15．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．令11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前50项和50T =_________．16．在三棱锥P ABC -中，5PC =，底面ABC △是以C 为直角顶点的直角三角形，且5BC =，12AC =，点P 到ABC △三边的距离相等，且点P 在平面ABC 上的射影落在ABC △内，则CP 与平面ABC 所成角的正切值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，3AB =，4AP =，E 为PD 的中点，AE PC ⊥．（1）求线段AD 的长（2）若M 为线段BC 上一点，且1BM =，求二面角M PD A --的余弦值．18．ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos2cos22sin sin 1cos2A B A B C ++=+． （1）求角C ．（2）设D 为边AB 的中点，ABC △的面积为2，求2CD 的最小值．19．高三年级某班50名学生的期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，其中,,a b c 成等差数列且2c a =．物理成绩统计如下表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一科为“优”的同学共有6人，从这6人中随机抽取3人，记X 为抽到两科为“优”的学生人数，求X 的分布列和数学期望．20．椭圆2222:1(1)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆E 上两动点P ，Q 使得四边形12PFQF 为平行四边形，且平行四边形12PFQF 的周长和最大面积分别为8和（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线2PF 与椭圆E 的另一交点为M ，当点1F 在以线段PM 为直径的圆上时，求直线2PF 的方程． 21．已知函数2()2ln 2(0)f x x x ax a =+->． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()1212f x f x a x x ->--．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,1x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为220x y x +-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线1C 的极坐标系方程； （2）曲线2:0,02C πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线l 和曲线1C 于M ，N ，求3||||ON OM +的最大值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|1|f x x =+．（1）求不等式()|2|f x x x +>-的解集；（2）设函数()(3)y f x f x =+-的最小值为m ，已知222a b c m ++=，求ab bc +的最大值．2020届高三模拟考试 数学参考答案（理科）1．B 由题意{|10}{|1}A x x x x =-=厔，{|12}B x x =-<<，则(1,1]A B ⋂=-．2．A 由复数的运算法则可得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i ii i i i --++===+--+． 3．B 若直线a ∥平面α，平面α⊥平面β，此时直线β与平面β可能平行、相交或a β⊂，所以充分性不成立；若直线a ∥平面α，直线a ⊥平面β，则平面α⊥平面β，所以必要性成立，故选B ． 4．A 由已知236n n S a =-，可得11236n n S a ++=-．两式相减得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a +=． ∵11236S a =-∴16a =，∴{}n a 是首项为6，公比为3的等比数列，从而5666323a =⨯=⨯．5．C 由77.6180x -=，解得26.8x =，所以脚板长为26.8()cm ，查表得，穿的鞋子的码数应为44．6．C 根据约束条件20,250,1,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪≥⎩…„，画出可行域图中阴影部分为可行域．目标函数3yz x =+，表示可行城中的点(,)x y 与(3,0)-连线的斜率，由图可知点(1,3)P 与(3,0)-连线的斜率最大，故z 的最大值为34．7．A 196,126,1a b i ===；98,63,2;986335;633528a b i a b ====-==-=； 35287;28721;21714;1477a b b b =-==-==-==-=． 2a a =⨯，输出14a =．8．A 由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-u u u r u u u r u u u r r r ，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =，则22(35)()38512OA OC a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+=u u u r u u u r r r r r r r r r ．9．C 由题易知函数(||1)ln ||y x x =-为偶函数，排除A 选项；当01x <<时，ln ||0,||10x x <-<，所以(||1)ln ||0y x x =->，排除B 选项；当1x >时，(1)ln y x x =-，1ln 0x y x x-'=+>，所以函数(||1)ln ||y x x =-在(1,)+∞上单调递增，排除D 选项．10．D 由题意可知，[,2],22a ππωω⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，(2)2sin 21f ω==，26πω=，12πω=，则min 6a =-，max (2)8a -=．11．D 由120PF PF ⋅=u u u r u u u r ，可得222000x c y -+=，又2200221x y a b -=，解得4202b y c =，由于024,35y c c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以222435b c <<，即2214135e <-<，211153e <<，解得35e <<．12．C 由()3()xf x e f x '=+，(0)1f =-，解得()(31)xf x x e =-， 故()(32)x f x x e '=+，()f x 在23x =-处取得极小值．根据图象，欲使解集中恰有两个整数，则比较点(2,0)与四个点(1,2)e ，(0,1)-，41,e ⎛⎫--⎪⎝⎭，272,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率，由27412432e e e -<<<，可得274,43a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．13．12-22y x =可化为212x y =，焦点坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，故12m =-． 14．5- 二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项为53521551()(1)kkk k k kk T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当1k =时，1125(1)5T C x x =-=-，所以x 的系数为5-． 15．50101 因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意得()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-，则1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，则501111111150123355799101101T ⎛⎫=-+-+-+⋯+-= ⎪⎝⎭． 16．34如图，设点P 在平面ABC 上的射影为点O ，因为点P 到ABC △三边的距离相等，则点O 到ABC △三边的距离相等， 又点P 在平面ABC 上的射影落在ABC △内，所以点O 为ABC △的内心．设ABC △的内切圆与直角边BC ，AC 分别相切于E ，D ，易知四边形OECD 是正方形．因为AC BC ⊥，且5BC =，12AC =，所以13AB =，则ABC △的内切圆半径5121322OE OD +-===，所以22OC =PO ⊥平面ABC ，所以PCO ∠为CP 与平面ABC 所成的角．因为5PC =，所以225(22)17PO =-=，所以CP 与平面ABC 所成角的正切值为173422PO OC == 17．解：（1）分别以,,AB AP AD 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 设AD t =，则(0,0,0),0,2,,(3,0,),(0,4,0)2t A E C t P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以0,2,2t AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，(3,4,)PC t =-u u ur ．因为AE PC ⊥，所以0AE PC ⋅=u u u r u u u r，即2160t -=，解得4t =， 所以AD 的长为4．（2）因为1BM =，所以(3,0,1)M ，又(0,4,0)P ，(0,0,4)D ，故(0,4,4)DP =-u u u r ，(3,0,3)DM =-u u u u r．设(,,)n x y z =r 为平面DMP 的法向量，则,,n DP n DM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u u u rr u u u u r ，即440,330,y z x z -=⎧⎨-=⎩ 取1z =，解得1y =，1x =，所以(1,1,1)n =r为平面DMP 的一个法向量． 显然，(3,0,0)AB =u u u r为平面PDA 的一个法向量，则3cos ,3||||3111n AB n AB n AB ⋅〈〉===++r u u u rr u u u r r u u u r ， 据图可知，二面角M PD A --的余弦值为33．18．解：（1）由已知可得22212sin 12sin 2sin sin 112sin A B A B C -+-+=+-， 得222ab a b c =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==，所以3C π=．（2）由1sin 2ABC S ab C =△，即122ab =，所以ab =． 由1()2CD CA CB =+u u u r u u r u u u r ，所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅u u u r u u r u u u r u u r u u u r ， 则()()222221112cos (2)444CD b a ab C b a ab ab ab =++=+++=u u u r …a b =时取等号，所以2CD的最小值为19．解：（1）根据频率分布直方图得(20.0240.0200.004)101a b c +++++⨯=， 又2,2a c b c a +==，解得0.008a =，0.012b =，0.016c =， 故数学成绩的平均分850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08117.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）．（2）总人数为50，由物理成绩统计表知，中位数在区间[70,80)内， 所以物理成绩的中位数约为75分．（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”的有5人， 因为至少有一科为“优”的同学共有6名， 所以两科均为“优”的人数为3， 故X 的可能取值为0，1，2，3．3336C 1(0)C 20P X ===， 123336C C 9(1)C 20P X ===， 213336C C 9(2)C 20P X ===3336C 1(3)C 20P X ===． 所以X 的分布列为X 0 1 2 3P120 920 920 120199130123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．解：（1）由平行四边形12PFQF 的周长为8，可知48a =，即2a =． 由平行四边形的最大面积为23，可知3bc =， 又1a b >>，解得3b =，1c =．所以椭圆方程为22143x y +=． （2）注意到直线2PF 的斜率不为0，且过定点2(1,0)F ．设2:1PF l x my =+，()11,P x y ，()22,M x y ，由221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩消x 得()2234690m y my ++-=， 所以1221226,349.34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩因为()1112,F P my y =+u u u r ，()1222,F M my y =+u u u u r ，所以()()()()2111212121222124F P F M my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++u u u r u u u u r()2222229112794343434m m m m m m +-=--+=+++． 因为点1F 在以线段PM 为直径的圆上，所以110F P F M ⋅=u u u r u u u u r ，即73m =±， 所以直线2PF 的方程3730x y +-=或3730x y --=．21．（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()221()x ax f x x -+'=，令210x ax -+=，则24a ∆=-． ①当02a <„时，0∆„，()0f x '…恒成立，函数的()f x 单调递增区间为(0,)+∞．②当2a >时，0∆>，方程210x ax -+=有两根，12a x -=22a x +=， 当()10,x x ∈时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<；当()2,x x ∈+∞，()0f x '>．()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭、⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭． （2）证明：由（1）知，当2a >时，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，函数()f x 在()12,x x 上单调递减，则12x x a +=，121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于()()()()221212121212122ln ln 2f x f x x x x x a x x x x x x --+---=-- ()()()121212122ln ln 2x x x x x x a x x -+-+-=- ()12212122ln ln 4ln x x x a a x x x x --=-=---， 且122,1x x x <>，所以()()12212124ln 0f x f x x a x x x x --+=>--， 则()()1212f x f x a x x ->--． 22．解：（1）由题可知直线l 的普通方程为30x y +-=，直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=．曲线1C 的普通方程为22x y x +=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos ρθ=．（2）直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=，令θα=， 则3||cos sin OM ραα==+，所以3cos sin ||OM αα=+． 又||cos ON α=，所以3||sin 2cos )(tan 2)||ON OM αααϕϕ+=+=+=，因为02πα<<，则3||||ON OM + 23．解：（1）由已知不等式()|2|f x x x +>-，得|2||1|x x x -<++， 当2x ≥时，不等式为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x ≥；当12x -<<时，不等式为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <<； 当1x -„时，不等式为21x x x -<--，解得3x >，此时无解． 综上，原不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）因为()(3)|1||2||12|3f x f x x x x x +-=++-+-+=…， 所以2223a b c ++=，又222222222b b a b c a c ++=++++，则2ab bc +„，所以ab bc +的最大值为2．。
湖南省湘潭市2018届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2018届高三模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】,所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.2. 若，则（）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】A【解析】分析：根据二项分布的期望与方差的公式，即可求解随机变量的期望与方差．详解：根据二项分布的期望与方差的公式，即可得，故选A．点睛：本题主要考查了二项分布的期望与方差，其中熟记二项分布的期望与方差的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3. 设集合，，现有下面四个命题：：，；：若，则；：若，则；：若，则．其中所有的真命题为（）A. ，B. ，，C. ，D. ，，【答案】B【解析】由题设可得，，则当时，有，所以命题正确；若时，，则，所以命题错误；若，则，所以命题正确；若时，成立.故正确答案为B.点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根，当时，则有“大于号取两边，即，小于号取中间，即”.4. 若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由双曲线的方程，求解其中一条渐近线方程，利用题设垂直，求得，即可得到双曲线的实轴长．详解：由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C．点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．5. 若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，化简即可求解．详解：由题意，则，所以，故选C．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中熟记三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6. 执行如图所示的程序框图，则输出的（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】分析：根据题意，逐次执行如图所示的程序框图，即可求得输出的结果．详解：执行如图所示的程序框图，可知：第一循环：，不满足条件；第二循环：，不满足条件；第三循环：，不满足条件；第四循环：，不满足条件；第五循环：，不满足条件；第六循环：，不满足条件；第七循环：，满足条件，输出结果，故选B．点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．7. 函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，∴函数为奇函数，排除B，D.又，故排除C，故选：A点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．8. 某几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由给定的三视图，得到该几何体由正方体挖去一个四棱锥而得，即可借助正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即可得到几何体的体积．详解：由三视图可知，该几何体由正方体挖去一个四棱锥而得，其直观图如图所示则该几何体的体积为，故选B．点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．9. 已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据椭圆的定义和三角形两边之和大于第三边，转化为，即可求解其最小值．详解：设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以点睛：本题主要考查了椭圆的定义的应用，其中根据椭圆的定义和三角形三边的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．10. 已知函数，若对任意的，关于的方程（）总有两个不同的实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：把方程在内有两个不同的实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，即可借助三角函数的图象与性质，即可求解．详解：由题意，方程在内有两个不同的实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，又由，可得当时，结合三角函数的图象，即可求解，故选D点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，及函数与方程，其中把方程的解转化为两个函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．11. 在中，，，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设，，又，所以，利用余弦定理和基本不等式求得，再利用三角形的面积公式，即可求解结果．详解：设，，因为，所以，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，故选C．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．12. 若函数在上存在两个极值点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数在(0,2)上存在两个极值点，等价于在(0,2)上有两个零点，令f′(x)=0,则，即，∴x−1=0或，∴x=1满足条件,且(其中x≠1且x∈(0,2)；∴,其中x∈(0,1)∪(1,2)；设t(x)=ex⋅x2,其中x∈(0,1)∪(1,2)；则t′(x)=(x2+2x)e x>0，∴函数t(x)是单调增函数，∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2)，∴a∈.本题选择D选项.点睛：2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．3．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的系数为__________．【答案】【解析】分析：根据二项式得到展开式的通项，即可求解的系数．详解：由题意，二项式的展开式的通项为，令，得，所以的系数为．点睛：本题主要考查了二项展开式的指定项的系数问题，其中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14. 在菱形中，，，为的中点，则__________．【答案】【解析】分析：由平面向量的基本定理，，再利用向量的数量积公式，即可求解．详解：因为菱形中，，为的中点，因为，所以．点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体（记为）的粮仓，宽3丈（即丈），长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）①该粮仓的高是2丈；②异面直线与所成角的正弦值为；③长方体的外接球的表面积为平方丈．【答案】①③【解析】分析：由题意①中，根据长方体的体积公式，即可求得的长；②中，根据异面直线所成的角的定义，即可求解；③中，求出长方体的对角线是外接球的直径，即可求解外接球的表面积．详解：由题意，因为，解得尺尺，故①正确；异面直线与所成角为，则，故②错误，此长方体的长、宽、高分别为丈、丈、丈，故其外接球的表面积为平分丈，所以③是正确的．点睛：本题主要考查了长方体的体积、两角异面直线所成的角的应用，以及几何体的外接球的计算等问题，着重考查了学生的空间想象能力，以及推理与计算能力，试题有一定的难度，属于中档试题．16. 设，满足约束条件若的最大值为2，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：令，得，作出不等式组表示的可行域，解得，进而可求得得最小值．详解：令，则，所以等价于，作出不等式组表示的可行域，如图所示，则表示可行域内一点与原点的连线的斜率，由图象可知，当时，取得最大值，则，解得，联立，解得，所以得最小值为．点睛：本题主要考查了线性规划的应用，其中正确理解题意，作出不等式组表示平面区域，利用斜率求解的值是解答的关键，对于线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项数列是公差为2的等差数列，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用已知条件可列出的两个方程，联立，解出，从而再由是等差数列得通项公式；（2）数列的前项和可用错位相减法求得.详解：（1）因为数列是公差为2的等差数列，所以，则，又成等比数列，所以，解得或，因为数列为正项数列，所以.所以，故.（2）由（1）得，所以，所以，即，故.点睛：解决数列求和问题首先要掌握等差数列和等比数列的前项和公式，其次要掌握一些特殊数列的求和方法，设是等差数列，是等比数列，则数列用分组求和法求和，数列用错位相减法求和，数列用裂项相消法求和.18. 从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在至度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间内的用户记为类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间内的用户记为类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如图所示：①从类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？类用户类用户附表及公式：，．【答案】（1）；（2）①，②没有把握.【解析】试题分析：（1）由矩形面积和为1，求得，再由每一个矩形的中点横坐标乘以矩形面积求和可得平均值；（2）①类用户共9人，打分超过85分的有6人，则即为所求；（2）根据数据完成列联表，利用，计算查表下结论即可.试题解析：解：（1），按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以估计平均用电量为度.（2）①类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为.②类用户类用户因为的观测值，所以没有的把握认为“满意与否与用电量高低有关”.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．19. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为棱上一点，．（1）确定的位置，使得平面平面，并说明理由；（2）设二面角的正切值为，，为线段上一点，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】（1）为棱的中点；（2）或.【解析】分析：（1）由四边形为平行四边形，得，进而得，即可利用面面垂直的判定定理，证得平面平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用法向量和向量所成解角，即可求解实数的值．详解：（1）为棱的中点．证明如下：∵四边形为平行四边形，∴为的中点，∴．∵，∴四边形为平行四边形，则．又，∴平面平面．（2）过作于，连接，则即为二面角的平面角．∵，，∴．又，，∴．以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，则，，设平面的法向量，则，即，令，得，设，∵，∴，∴与平面所成角的正弦值为，∴，∴或，又，∴或．点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的应用问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 已知点是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为．（1）若直线与交于，两点，为坐标原点，证明：；（2）若是上一动点，点不在直线：上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为．试判断与中是否有一个为定值？若是，请指出哪一个为定值，并加以证明；若不是，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）依题意得，列出方程组，求得，即可得到的方程，把直线方程与曲线的方程联立，求得，，结合向量的运算，即可证得；（2）由（1）知，，故的方程为，设，则的横坐标为，求出，由题意知：，与联立可得，求出，则不是定值，为定值．详解：（1）依题意得∴，∵，∴，故的方程为．由得，设，，则，，∴，∴．（2）由（1）知，，故的方程为，设（且），则的横坐标为，易知在上，则．由题可知：，与联立可得，所以，则不是定值，为定值．点睛：本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线与抛物线的位置关系和向量知识的运用，解答此类题目确定抛物线安（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解．21. 已知函数（，）的图象在与轴的交点处的切线方程为．（1）求的解析式；（2）若对恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）求得切点坐标，可得的导数，进而得到切线的斜率，解得的值，即可得到函数的解析式；(2)由参数分离和利用导数求得函数的单调性，运用恒成立的思想，解不等式即可求解的取值范围．详解：（1）由，得，∴切点为，∵，∴，∴，又，∴，．（2）由，得，设，对恒成立，∴在上单调递增，∴．∵，∴由对恒成立得对恒成立，设（），，当时，，∴，∴单调递减，∴，即．综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用和利用导数研究不等式恒成立问题，通常首先通过分离参数，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出极值与最值，进而求出参数的取值范围是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）若与曲线相切，且与坐标轴交于，两点，求以为直径的圆的直角坐标方程．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数t,可得曲线的普通方程为.（2）将化直后与曲线C联立得，由与曲线相切，所以，，进而可求以为直径的圆的直角坐标方程为，由极直互化公式可得对应的极坐标方程为.试题解析：（1）由，得，，即，故曲线的普通方程为.（2）由，得，联立得，因为与曲线相切，所以，所以的方程为，不妨假设，则，线段的中点为，所以，又，故以为直径的圆的直角坐标方程为，其对应的极坐标方程为.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数，使得，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）由，得，不等式两边同时平方，即可求解不等式的解集；（2）根据绝对值的意义，去掉绝对值号，得到分段函数，作出的图象，利用函数的图象，列出不等式组即可求解实数的取值范围．详解：（1）由，得，不等式两边同时平方，得，即，解得或，所以不等式的解集为．（2）设作出的图象，如图所示，因为，，又恰好存在4个不同的整数，使得，所以即故的取值范围为．点睛：本题主要考查了含绝对值的不等式的求解以及分段函数的图象与性质的应用，其中合理去掉绝对值号和正确利用分段函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．。