2023-2024学年广东省揭阳市揭西县高一(上)期末数学试卷【答案版】

第1页（共12页） 2023-2024学年广东省揭阳市揭西县高一（上）期末数学试卷

一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。）

1．设全集U＝{x∈N|﹣2＜x＜4}，A＝{0，2}，则∁UA为（ ）

A．{1，3} B．{0，1，3} C．{﹣1，1，3} D．{﹣1，0，1，3}

2．b克糖水中含a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不

等式（ ）

A．𝑎𝑏＜𝑎+𝑚𝑏+𝑚 B．𝑎𝑏＞𝑎+𝑚𝑏+𝑚 C．𝑎𝑏＜𝑎−𝑚𝑏−𝑚 D．𝑎𝑏＜𝑎𝑏+𝑚

3．某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他

的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天（0时～24时）

体温的变化情况的图是（ ）

A． B．

C． D．

4．设函数f（x）＝（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则有（ ）

A．𝑎＞12 B．𝑎＜12 C．𝑎≥12 D．𝑎≤12

5．“x＝2”是“𝑥−2=√𝑥2−4𝑥+4”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m=√5−12的近

似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割

率的值也可以用2sin18°表示，即√5−12=2sin18°，则𝑠𝑖𝑛29°−12

(2−𝑚2)⋅𝑠𝑖𝑛36°的值为（ ）

第2页（共12页） A．12 B．√5+1 C．−√5+1 D．−12

7．若2a+lna＝4b+lnb，则下列不等式一定成立的是（ ）

A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2

8．设函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)(𝑥∈[0，13𝜋6])，若函数𝑦=𝑓(𝑥)−89恰有5个零点，x1，x2，x3，x4，x5，（x1

＜x2＜x3＜x4＜x5），则x1+2x2+2x3+2x4+x5的值为（ ）

A．35𝜋3 B．4π C．5π D．22𝜋3

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）

9．已知函数𝑓(𝑥)={𝑙𝑜𝑔2𝑥，𝑥＞0

2𝑥，𝑥≤0，若𝑓(𝑎)=12，则a＝（ ）

A．1 B．﹣1 C．√2 D．−√2

10．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）

A．a2+b2≥2ab B．𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏

C．1𝑎+1𝑏＞2

√𝑎𝑏 D．𝑏𝑎+𝑎

𝑏≥2

11．已知函数𝑓(𝑥)={2𝑥−1，𝑥＜𝑎

−𝑥2+4𝑥+2𝑎，𝑥≥𝑎，若函数f（x）满足对任意x1∈（﹣∞，a），都存在x2∈（a，

+∞），使得f（x2）＝f（x1），称实数a为函数f（x）的包容数，下列数中可以为函数f（x）的包容数的

是（ ） A．−1

2 B．1 C．4 D．8

12．关于函数f（x）＝cosx+asinx（a≠0）有以下四个选项，正确的是（ ）

A．对任意的a≠0，f（x）都不是偶函数 B．存在a≠0，使f（x）是奇函数

C．存在a≠0，使f（x+π）＝f（x） D．若f（x）的图像关于𝑥=𝜋

4对称，则a＝1

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分。）

13．写出一个在（0，+∞）上单调递增的奇函数f（x）＝ ．

14．若函数f（x）={3𝑥+2(𝑥＜1)

𝑙𝑜𝑔3(𝑥+2)(𝑥≥1)，则f（7）+f（0）＝ ．

15．已知函数y＝cos（3𝜋

2+πx），x∈[5

6，t）（t＞5

6）既有最小值也有最大值，则实数t的取值范围是 ．

16．已知a，b＞0，a+b＝1，则2𝑎+1

𝑏+1的取值范围是 ． 第3页（共12页） 四、解答题（共6小题，满分70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（10分）化简下列式子并求值：

（1）𝑙𝑔14−2𝑙𝑔73+𝑙𝑔7−𝑙𝑔18；

（2）(278)−23−(499)0.5+(0.2)−2×225−(0.081)0．

18．（12分）如图，已知单位圆O与x轴正半轴相交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，

且∠AOB=𝜋2，记∠MOA＝α，∠MOB＝β．

（Ⅰ）若α=𝜋6，求点A，B的坐标；

（Ⅱ）若点A的坐标为（45，m），求sinα﹣sinβ的值．

19．（12分）已知函数f（x）＝x2+2kx+4．

（1）若函数f（x）在区间[1，4]上是单调递增函数，求实数k的取值范围；

（2）若f（x）＞0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围．

20．（12分）设函数𝑓(𝑥)=𝑡𝑎𝑛(𝑥2−𝜋3)．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求不等式𝑓(𝑥)≤√3的解集．

21．（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用1个单位量的水清洗一次可洗掉蔬菜上残留农药量

的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x个单位量的水清洗一次以后，

蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为f（x）．

（1）试确定f（0）的值，并解释其实际意义；

（2）设𝑓(𝑥)=1

1+𝑥2．

方案1：用3个单位量的水，清洗一次；

方案2：每次用1.5个单位量的水，清洗两次；

方案3：每次用1个单位量的水，清洗三次．

第4页（共12页） 试问用哪个方案清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由．

22．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），且对定义域内的任意x都有f（1+x）＝﹣f（1﹣x），当x∈

（0，1）时，f（x）=2𝑥

4𝑥+1．

（1）用单调性的定义证明f（x）在（0，1）上单调递减；

（2）若g（x）＝4x﹣a•2x+1+a2﹣8a，对任意的x1∈R，存在x2∈[0，2]，使得2f（x1）≤g（x2）成立，

求a的取值范围．

第5页（共12页） 2023-2024学年广东省揭阳市揭西县高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。）

1．设全集U＝{x∈N|﹣2＜x＜4}，A＝{0，2}，则∁UA为（ ）

A．{1，3} B．{0，1，3} C．{﹣1，1，3} D．{﹣1，0，1，3}

解：∵全集U＝{x∈N|﹣2＜x＜4}＝{0，1，2，3}，A＝{0，2}，∴∁UA＝{1，3}．

故选：A．

2．b克糖水中含a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不

等式（ ）

A．𝑎𝑏＜𝑎+𝑚𝑏+𝑚 B．𝑎𝑏＞𝑎+𝑚𝑏+𝑚 C．𝑎𝑏＜𝑎−𝑚𝑏−𝑚 D．𝑎𝑏＜𝑎𝑏+𝑚

解：∵b g糖水中有a g糖，糖水的浓度为：𝑎𝑏；

b g糖水中有a g糖（b＞a＞0），若再添m g糖（m＞0），则糖水的浓度为：𝑎+𝑚𝑏+𝑚；

又糖水变甜了，说明浓度变大了，∴𝑎𝑏＜𝑎+𝑚𝑏+𝑚

故选：A．

3．某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他

的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天（0时～24时）

体温的变化情况的图是（ ）

A． B．

C． D．

解：根据题意：小明的体温变化图象分上升、下降、上升、下降四段最后正常体温大约37℃．

观察四个选项，只有C选项符合．

第6页（共12页） 故选：C．

4．设函数f（x）＝（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则有（ ）

A．𝑎＞12 B．𝑎＜12 C．𝑎≥12 D．𝑎≤12

解：∵函数f（x）＝（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则2a﹣1＜0∴a＜12

故选：B．

5．“x＝2”是“𝑥−2=√𝑥2−4𝑥+4”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解：𝑥−2=√𝑥2−4𝑥+4⇔x﹣2＝|x﹣2|⇔x≥2，

故x＝2是x≥2的充分不必要条件，即“x＝2”是“𝑥−2=√𝑥2−4𝑥+4”的充分不必要条件．

故选：A．

6．中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m=√5−12的近

似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割

率的值也可以用2sin18°表示，即√5−12=2sin18°，则𝑠𝑖𝑛29°−12

(2−𝑚2)⋅𝑠𝑖𝑛36°的值为（ ）

A．12 B．√5+1 C．−√5+1 D．−12

解：由√5−12=2sin18°，且m=√5−12，得m＝2sin18°，

∴𝑠𝑖𝑛29°−12

(2−𝑚2)⋅𝑠𝑖𝑛36°=12(2𝑠𝑖𝑛29°−1)

(2−4𝑠𝑖𝑛218°)⋅𝑠𝑖𝑛36°=−12𝑐𝑜𝑠18°2𝑐𝑜𝑠36°⋅𝑠𝑖𝑛36°=−12𝑐𝑜𝑠18°𝑠𝑖𝑛72°=−12𝑐𝑜𝑠18°𝑐𝑜𝑠18°=−12．

故选：D．

7．若2a+lna＝4b+lnb，则下列不等式一定成立的是（ ）

A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2

解：令f（x）＝2x+lnx（x＞0），则f（x）为（0，+∞）上增函数，

又2a+lna＝4b+lnb＜22b+ln2+lnb＝22b+ln2b，则f（a）＜f（2b），则a＜2b．

故选：B．

8．设函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)(𝑥∈[0，13𝜋6])，若函数𝑦=𝑓(𝑥)−89恰有5个零点，x1，x2，x3，x4，x5，（x1

＜x2＜x3＜x4＜x5），则x1+2x2+2x3+2x4+x5的值为（ ）