初中一次函数典型应用题

中考一次函数应用题近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例，也许对你有所帮助。

例1 已知雅美服装厂现有 A 种布料70 米，B 种布料52 米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80 套。

已知做一套M型号的时装需要 A 种布料0. 6 米，B种布料0.9 米，可获利润45 元；做一套N型号的时装需要A种布料 1.1 米，B 种布料0. 4 米，可获利润50 元。

若设生产N种型号的时装x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y 元。

套数为（1）求y 与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？例2 某市电话的月租费是20 元，可打60 次免费电话（每次 3 分钟），超过60 次后，超过部分每次0. 13 元。

（1）写出每月电话费y （元）与通话次数x之间的函数关系式；（2）分别求出月通话50 次、100 次的电话费；（3）如果某月的电话费是27. 8 元，求该月通话的次数。

例3 荆门火车货运站现有甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50 节，已知用一节 A 型货厢的运费是0. 5 万元，用一节 B 型货厢的运费是0.8 万元。

（1）设运输这批货物的总运费为y （万元），用A 型货厢的节数为x（节），试写出y 与x之间的函数关系式；（2）已知甲种货物35 吨和乙种货物15 吨，可装满一节 A 型货厢，甲种货物25 吨和乙种货物35 吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。

（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？例4 某工厂现有甲种原料360 千克，乙种原料290 千克，计划利用这两种原料生产A、B 两种产品，共50 件。

已知生产一件A种产品，需用甲种原料9 千克、乙种原料 3 千克，可获利润700 元；生产一件B 种产品，需用甲种原料 4 千克、乙种原料10 千克，可获利润1200 元。

（1）按要求安排A、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B 两种产品获总利润为y （元），生产 A 种产品x件，试写出y 与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？例5 某地上年度电价为0. 8 元，年用电量为 1 亿度。

本年计划将电价调至0.55~0. 75 元之间，经测算，x元，则本年度新增用电量y （亿度）与( x 0.4) （元）成反比例，又当x＝0. 65 时，y若电价调至＝0. 8。

（1）求y 与x之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价为0. 3 元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[ 收益＝用电量×（实际电价－成本价）]例6 为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7 立方米时，每立方米收费 1. 0 元并加收0. 2 元的城市污水处理费，超过7 立方米的部分每立方米收费 1.5 元并加收0. 4 元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（立方米），应交水费为y （元）（1）分别写出用水未超过7 立方米和多于7 立方米时，y 与x之间的函数关系式；（2）如果某单位共有用户50 户，某月共交水费514. 6 元，且每户的用水量均未超过10 立方米，求这个月用水未超过7 立方米的用户最多可能有多少户？例7 辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20 辆汽车装运三种苹果42 吨到外地销售。

按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于 2 车。

（1）设用x辆车装运A 种苹果，用y 辆车装运 B 种苹果，根据下表提供的信息求y 与x之间的函数关系式，并求x的取值范围；（2）设此次外销活动的利润为W（百元），求W与x的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。

苹果品种 A B C每辆汽车运载量（吨） 2. 2 2. 1 2每吨苹果获利（百元） 6 8 5解：（1）由题意得： 2.2 x 2. 1y 2( 20 x y) 42化简得：y 2x 20当y ＝0 时，x＝10∴1＜x＜10答：y 与x之间的函数关系式为：y 2x 20 ；自变量x的取值范围是：1＜x＜10 的整数。

（2）由题意得：W＝2.2 6x 2.1 8y 2 5 (20 x y)＝3.2 x 6.8y 200＝3.2 x 6. 8( 2x 20) 200＝10. 4x 336∵W与x之间的函数关系式为：y ＝10. 4x 336 ∴W随x的增大而减小∴当x＝2 时，W有最大值，最大值为：W最大值10.4 2 336＝315. 2（百元）当x＝2 时，y 2x 20 ＝16，20 x y ＝2答：为了获得最大利润，应安排 2 辆车运输 A 种苹果，16 辆车运输 B 种苹果，2 辆车运输C种苹果。

同学们，从以上几例的解答过程中，你学到了解决这类问题的基本思路和方法吗？小结：确定函数解析式，求函数值确定自变量取值范围实际问题――――――数学问题方案设计：利用不等式或不等式组及题意方案决策：最优方案：利用一次函数的性质及自变量取值范围确定最优方案解决问题――――――――――――――――――次函第 3 页共9 页数应用题例析一次函数是初中数学中的重点内容之一，设计一次函数模型解决实际问题，备受各地命题者的青睐.本文采撷几例中考试题加以评析，供参考.一、图象型例1 (2003 年广西) 在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品. 经试验这种药品的效果得知：当成人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升 5 微克，接着逐步衰减，至8小时时血液中含药量为每毫升 1.5 微克. 每毫升血液中含药量y( 微克) 随时间x( 小时) 的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后：(1) 分别求出x≤1，x≥1时y 与x 之间的函数关系式；(2) 如果每毫升血液中含药量为 2 微克或 2 微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？解析本题涉及的背景材料专业性很强，但只要读懂题意，用我们学过的函数知识是不难解答的. 题目的主要信息是由函数图象给出的，图象是由两条线段组成的折线，可把它看成是两个一次函数图象的组合.(1) 当x≤1时，设y=k1x. 将(1 ，5) 代入，得k1=5.∴y=5x.当x＞1 时，设y=k2x+b. 以(1 ，5) ，(8 ，1.5) 代入，得，∴(2) 以y=2 代入y=5x，得；以y=2 代入，得x2=7..故这个有效时间为小时.注：题中图像是已知条件的重要组成部分，必须充分利用.二、预测型例2 (2002 年辽宁省) 随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列问题：(1) 求入学儿童人数y( 人) 与年份x( 年) 的函数关系式；(2) 利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000 人？年份(x) 2000 2001 2002 ,入学儿童人数(y) 2520 2330 2140解析建立反比例函数，一次函数或二次函数模型，考察哪一种函数能较好地描述该地区入学儿童人数的变化趋势，这就要讨论. 若设(k ＞0) ，在三点(2000 ，2520) ，(2001 ，2330) ，(2002 ，2140) 中任选一点确定k 值后，易见另两点偏离曲线较远，故反比例函数不能较好地反映入学儿童人数的变化趋势，从而选用一次函数.(1) 设y=kx+b (k ≠0) ，将(2000 ，2520) 、(2001 ，2330) 代入，得故y=-190x+382520.又因为y=-190x+382520 过点(2002 ，2140) ，所以y=-190x+382520 能较好地描述这一变化趋势.所求函数关系式为y=-190x+382520.(2) 设x 年时，入学儿童人数为1000 人，由题意得-190x+382520=1000. 解得x=2008. 所以，从2008 年起入学儿童人数不超过1000 人.注：从数学的角度去分析，能使我们作出的预测更准确. 本题也可构造二次函数模型来描述这一变化趋势.三、决策型例3 (2003 年甘肃省) 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 1 万元，其原材料成本价( 含设备损耗等) 为0.55 万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有 1 吨的废渣产生. 为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理. 现有两种方案可供选择.方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理 1 吨废渣所用的原料费为0.05 万元，并且每月设备维护及损耗费为20 万元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理. 每处理 1 吨废渣需付0.1 万元的处理费.(1) 设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y 与x 之间的函数关系式( 利润=总收入- 总支出) ；(2) 如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.解析先建立两种方案中的函数关系式，然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解.(1)y 1=x-0.55x-0.05x-20=0.4x-20 ；y 2=x-0.55x-0.1x=0.35x.(2) 若y1＞y2，则0.4x-20 ＞0.35x ，解得x＞400；若y1=y2，则0.4x-20=0.35x ，解得x=400；若y1＜y2，则0.4x-20 ＜0.35x ，解得x＜400.故当月生产量大于400 件时，选择方案一所获利润较大；当月生产量等于400 件时，两种方案利润一样；当月生产量小于400 件时，选择方案二所获利润较大.注：在处理生产实践和市场经济中的一些问题时，用数学的眼光来分辨，会使我们作出的决策更合理.四、最值型例4 (2003 年江苏省扬州市) 杨嫂在再就业中心的支持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息.①买进每份0.2 元，卖出每份0.3 元；②一个月( 以30 天计) 内，有20 天每天可以卖出200 份，其余10 天每天只能卖出120 份.③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份0.1 元退回给报社.(1) 填表：一个月内每天买进该种晚报的份数100 150当月利润( 单位：元)(2) 设每天从报社买进这种晚报x 份(120≤x≤200)时，月利润为y元，试求y 与x 之间的函数关系式，并求月利润的最大值.解析(1) 由题意，当一个月每天买进100 份时，可以全部卖出，当月利润为300 元；当一个月内每天买进150 份时，有20 天可以全部卖完，其余10 天每天可卖出120 份，剩下30 份退回报社，计算得当月利润为390 元.(2) 由题意知，当120≤x≤200 时，全部卖出的20 天可获利润：20[(0.3-0.2)x]=2x( 元) ；其余10 天每天卖出120 份，剩下(x-120) 份退回报社，10 天可获利润：10[(0.3- 0.2) ×120 -0.1(x-120)]=-x+240( 元).∴月利润为y=2x-x+240=x+240(120≤x≤200).由一次函数的性质知，当x=200 时，y 有最大值，为y=200+240=440( 元).注：对于一次函数y=kx+b ，当自变量x在某个范围内取值时，函数值y 可取最大( 或最小) 值，这种最值问题往往用来解决“成本最省”、“利润最大”等方面的问题.五、学科结合型例5 (2002 年南京市) 声音在空气中传播的速度y(m/s)( 简称音速) 是气温x( ℃) 的一次函数.下表列出了一组不同气温时的音速：气温x( ℃) 0 5 10 15 20音速y(m/S) 331 334 337 340 343(1) 求y 与x 之间的函数关系式；(2) 气温x=22(℃) 时，某人看到烟花燃放5s 后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？解析(1)设y=kx+b，任取表中的两对数，用待定系数法即可求得(2) 当x=22 时，334.2×5=1671(m).故此人与燃放的烟花所在地约相距1671m.注：本题考查了物理中声音的速度与温度的函数关系，是物理与数学结合的一道好题.。