数学试题教案初三数学专题复习分类讨论(一)
人教版(五四制)九年级数学复习课：分类讨论法(课件9张PPT 教案 练习等9份打包)
4 等腰三角形的两边长分别为2和3 ，则 __________________ 直角三角形的两边长分别为3和4，则 __________________ 两圆的半径分别为5和3，若两圆相切， 则___________________
分类讨论法
你说我说
半径为5cm的圆中，有两条长为6cm和 8cm的弦互相平行，则这两条弦相距 1或7 ______cm.
方法技巧： 数形结合 分类讨论 垂径定理
圆中常见的直角三角形的构成
你思我想
( 0 180 ) ， 等腰三角形的一个内角为 则它的顶角是________
字母的不同取值范围
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4， 点P为AB边上一动点，若△PAD与 △PBC是相似三角形，则AP的长度可能 是_______
3、如图，在直角坐标系中，以坐标原点 为圆心、半径为1的⊙O与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D两点．E为⊙O上 在第一象限的某一点，直线BF交⊙O于 点F，且∠ABF=∠AEC，则直线BF对应 的函数表达式为______
引起分类讨论的原因一般有：
定义是分类的 所涉及的数学定理等有范围或条件限制，或者 分类给出。 字母的不同取值范围 存在不确定量。
存在不确定量。
你争我抢
1、（2014•安顺）已知等腰三角形的 两边长分別为a、b，且a、b满足 |2a-3b+5 |+（2a+3b-13）2=0，则 此等腰三角形的周长为______ 2、如果一个直角三角形的两边长分别是 3和4，另一个与它相似的直角三角形边 长分别是6和8，x，那么x的值可能是 _______
最新通用版九年级中考数学小专题复习分类讨论型问题(解析版)
分类讨论型问题在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。
正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。
类型1 代数计算中的分类讨论（数学公式、性质引起的分类讨） 例1 =+=-+a 3x 49x ax 3-x 32无解，则例题分层分析本题既要讨论方程有增根无解，还要讨论去分母后得到的整式方程无解。
对应练习：1．若关于x 的函数y=k 2x ＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 ． 2.一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9， 则kb 值为（ ）A ．14B ．－6C ．－4或21D ．－6或143．已知抛物线1y =a 2x ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴相交于点A ，B （点A ，B 在原点O 两侧），与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数2y =34x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当1y 随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．类型2 几何图形中的分类讨论例2 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .例题分层分析⊙P 与x 轴可能在x 轴上方相切，也有可能在x 轴下方相切，要分别讨论。
对应练习：1、如图，已知直线l 的表达式是y ＝43x －4，并且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．一个半径为1.5的⊙C ，圆心C 从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动，当⊙C 与直线l 相切时，则该圆的运动时间为( )A ．3 s 或6 sB ．6 sC ．3 sD ．6 s 或16 s2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx(k ＞0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1x 的图象于点C ，连结AC.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．类型3 动点问题中的分类讨论例3 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造□PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD 的面积为S.①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值； ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．例题分层分析对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．（1）当点C 在BO 上时，第一种情况，当点M 在CE 边上时，由△EMF ∽△ECO 求解，第二种情况，当点N 在DE 边上时，由△EFN ∽△EPD 求解；当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况，当点M 在DE 边上时，由EMF ∽△EDP 求解，第二种情况，当点N 在CE 边上时，由△EFN ∽△EOC 求解；（2）当1≤t ＜94时和当92＜t≤5时，分别求出S 的取值范围．这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略． 对应练习：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q 从点O 、动点P 从点A 同时出发，分别沿着OA 方向、AB 方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t （秒）（0＜t≤5）．以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连接CD 、QC ． （1）求当t 为何值时，点Q 与点D 重合？（2）设△QCD 的面积为S ，试求S 与t 之间的函数关系式，并求S 的最大值； （3）若⊙P 与线段QC 只有一个交点，请直接写出t 的取值范围．课后作业：1．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．5或7D ．62．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为___________，底边长为_____________．3．如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，则P 点的坐标为 .4．已知3+=kx y 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式。
人教版(五四制)九年级数学复习课：分类讨论法(课件9张PPT教案练习等9份打包)
当堂检测：
效果检测p38,1-4题
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
41．一直割舍不下一件事，永远成不了! 42．扫地，要连心地一起扫！ 43．不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力． 44．当你停止尝试时，就是失败的时候． 45．心灵激情不在，就可能被打败． 46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。—— 荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。
初三总复习之分类讨论
专题复习：分类讨论学案一．明确任务，确立目标1.掌握分类讨论的分类原则。
2.能应用分类讨论方法解决常见的几类问题。
二．师生合作，攻克目标1、概念中的分类讨论例1:已知|a|=3，|b|=2，且ab＜0，则a - b = 。
练习：（1）直角三角形的两边为3和4，那么第三边长为_______。
（2）在圆O中，圆心角AOB=80°，则弦AB所对的圆周角等于______。
2.、图形不确定的分类讨论例2：如图，线段OD的一个端点O在直线OM上，∠DOM=30°,以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线OM上，这样的等腰三角形能画多少个? 请画出所有符合条件的三角形.例3.如图，在△ABC中，AB=12，AC=15，点D在AB上，且AD=8，在AC 上取一点E,使得以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，求AE的长.例4.如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从A出发，沿AB以每秒1cm 的速度向B运动，同时，点Q从点B出发，沿BC以相同速度向C运动，问当运动几秒后，△PBQ为直角三角形？练习：（1）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的P点共有个（2）矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为三．训练检测，达成目标1、若xy＜0,则点P(x,y)在第______象限；2、若x2 +2(m-3)x+16是一个完全平方式，则m的值为_________;3、直角三角形的两边为3和4，那么第三边长为4、等腰三角形的两边为6和8，那么此三角形的周长为5已知分式4－x2x－3的值为负数，则x的取值范围是__6.已知关于x的方程(k－1) x2－(2k＋1)x＋k+1＝0有实数根，求k的取值范围______7.在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象的交点的个数是（）A．0个或2个B．l个C．2个D．3个8.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）A．75°或15°B．36°或60°C．75°D．30°四．总结反思，提升目标分类思想是我们数学中一种非常重要,也是很常见的思想方法。
人教版(五四制)九年级数学复习课：分类讨论法(课件9张PPT 教案 练习等9份打包)
方法技巧： 数形结合 分类讨论 垂径定理
圆中常见的直角三角形的构成
你思的顶角是________
字母的不同取值范围
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4， 点P为AB边上一动点，若△PAD与 △PBC是相似三角形，则AP的长度可能 是_______
有问有答
4 等腰三角形的两边长分别为2和3 ，则 __________________ 直角三角形的两边长分别为3和4，则 __________________ 两圆的半径分别为5和3，若两圆相切， 则___________________
分类讨论法
你说我说
半径为5cm的圆中，有两条长为6cm和 8cm的弦互相平行，则这两条弦相距 1或7 ______cm.
当堂检测：
效果检测p38,1-4题
1、想要体面生活，又觉得打拼辛苦；想要健康身体，又无法坚持运动。人最失败的，莫过于对自己不负责任，连答应自己的事都办不到，又何必抱怨这个世界都和你作对？人生的道理很简单，你想要什么，就去付出足够的努力。 2、时间是最公平的，活一天就拥有24小时，差别只是珍惜。你若不相信努力和时光，时光一定第一个辜负你。有梦想就立刻行动，因为现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 3、无论正在经历什么，都请不要轻言放弃，因为从来没有一种坚持会被辜负。谁的人生不是荆棘前行，生活从来不会一蹴而就，也不会永远安稳，只要努力，就能做独一无二平凡可贵的自己。 4、努力本就是年轻人应有的状态，是件充实且美好的事，可一旦有了表演的成分，就会显得廉价，努力，不该是为了朋友圈多获得几个赞，不该是每次长篇赘述后的自我感动，它是一件平凡而自然而然的事，最佳的努力不过是：但行好事，莫问前程。愿努力，成就更好的你！ 5、付出努力却没能实现的梦想，爱了很久却没能在一起的人，活得用力却平淡寂寞的青春，遗憾是每一次小的挫折，它磨去最初柔软的心智、让我们懂得累积时间的力量；那些孤独沉寂的时光，让我们学会守候内心的平和与坚定。那些脆弱的不完美，都会在努力和坚持下，改变模样。 6、人生中总会有一段艰难的路，需要自己独自走完，没人帮助，没人陪伴，不必畏惧，昂头走过去就是了，经历所有的挫折与磨难，你会发现，自己远比想象中要强大得多。多走弯路，才会找到捷径，经历也是人生，修炼一颗强大的内心，做更好的自己！ 7、“一定要成功”这种内在的推动力是我们生命中最神奇最有趣的东西。一个人要做成大事，绝不能缺少这种力量，因为这种力量能够驱动人不停地提高自己的能力。一个人只有先在心里肯定自己，相信自己，才能成就自己！ 8、人生的旅途中，最清晰的脚印，往往印在最泥泞的路上，所以，别畏惧暂时的困顿，即使无人鼓掌，也要全情投入，优雅坚持。真正改变命运的，并不是等来的机遇，而是我们的态度。 9、这世上没有所谓的天才，也没有不劳而获的回报，你所看到的每个光鲜人物，其背后都付出了令人震惊的努力。请相信，你的潜力还远远没有爆发出来，不要给自己的人生设限，你自以为的极限，只是别人的起点。写给渴望突破瓶颈、实现快速跨越的你。 10、生活中，有人给予帮助，那是幸运，没人给予帮助，那是命运。我们要学会在幸运青睐自己的时候学会感恩，在命运磨练自己的时候学会坚韧。这既是对自己的尊重，也是对自己的负责。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其 实都是祝愿。
人教版(五四制)九年级数学复习课：分类讨论法(课件9张PPT教案练习等9份打包)
4 等腰三角形的两边长分别为2和3 ，则 __________________ 直角三角形的两边长分别为3和4，则 __________________ 两圆的半径分别为5和3，若两圆相切， 则___________________
分类讨论法
你说我说
半径为5cm的圆中，有两条长为6cm和 8cm的弦互相平行，则这两条弦相距 1或7 ______cm.
方法技巧： 数形结合 分类讨论 垂径定理
圆中常见的直角三角形的构成
你思我想
( 0 180 ) ， 等腰三角形的一个内角为 则它的顶角是________
字母的不同取值范围
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4， 点P为AB边上一动点，若△PAD与 △PBC是相似三角形，则AP的长度可能 是_______
当堂检测：
效果检测p38,1-4题
•
11、这个世界其实很公平，你想要比 别人强，你就必须去做别人不想做的事， 你想要过更好的生活，你就必须去承受更 多的困难，承受别人不能承受的压力。 • 12、逆境给人宝贵的磨炼机会。只有 经得起环境考验的人，才能算是真正的强 者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不 挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。 • 13、不同的人生，有不同的幸福。去 发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公， 把握属于自己的幸福。你，我，我们大家 都可以经历幸福的人生。 • 14、给自如图，在直角坐标系中，以坐标原点 为圆心、半径为1的⊙O与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D两点．E为⊙O上 在第一象限的某一点，直线BF交⊙O于 点F，且∠ABF=∠AEC，则直线BF对应 的函数表达式为______
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初三数学专题复习--------分类讨论（一）
松江七中沈华萍一．教学目标：
1.知道分类讨论是初中数学中常用的数学思想方法。
理解什么是分类讨论，
分类讨论的原因是什么。
2.会确定分类的对象，会选择分类的标准来进行合理的分类。
通过对分成的
每一类问题的解答进行比较、归纳和整理，进一步领悟分类讨论的内涵。
3.在解题过程中树立分类讨论的意识，提高综合解题的能力。
二．教学重点与难点：
重点：会确定分类的对象，会选择分类的标准来进行合理的分类。
难点：能把分类引起的综合问题转化成基本图形来解决。
三．教学过程：
(一)几种常见的分类讨论类型：
1.关于x的不等式ax<1(a≠0)的解集为。
（字母参变量引起的分类讨论）
（追问：若把a≠0改成a>1呢？还需要分类讨论吗？）
2.已知相切两圆的圆心距为5，一个圆的半径为2，则另一个圆的半径为。
（数学概念的分类定义引起的分类讨论）
3.（1）等腰三角形的两条边长分别是3和5，则三角形的周长为
（追问：若两条边长改为2和5呢？在此提醒学生，还是要有分类的意识，但要对结果进行检验，看是否符合实际）
（2）在半径为5的圆中，有两条平行弦AB和CD，如果AB=6,CD=8, 那么弦AB和CD之间的距离是。
（几何图形的不确定引起的分类讨论）
4. 将直线y=x沿y轴平移2个单位，所得直线的函数解析式为。
（图形的运动变化引起的分类讨论）
上面我们介绍了几种常见的分类讨论的类型，但不管是哪一种，我们都应当先确定分类的对象，然后按某个标准进行合理、有序的分类，做到不重不漏。
A Q P C
B A B 备用图
A B 备用图 A B
备用图
A
B 备用图
A B 备用图 A B
备用图 C C C C C C 从刚才的解题中，我们看到分类讨论既存在于代数问题中，也存在于几何问题中，其中由图形的运动变化引起的分类讨论是我们平时经常碰到的，它可以涉及到相似三角形、等腰三角形、两圆的位置关系、函数等知识。
下面我们就以动态几何为切入点，来研究分类讨论。
(二)例题讲解：
如图：在⊿ABC 中，∠C=90°,BC=6,AC=8. P 、Q 分别为AC 、BA 上的动点，且BQ=2AP,联结PQ,设AP=x.
① 在点P 、点Q 移动的过程中，⊿APQ 能否与⊿ABC 相似？若能，请求出AP 的长；若不能，请说明理由。
（学生独立完成后，请个别学生上讲台投影并分析。
学生一般会遗漏对结果的检验，此时教师应引导学生考虑题目中x 的取值范围，然后加以检验。
） ② 当x 为何值时，⊿APQ 是等腰三角形？
（此题学生思考解题思路，在交流过程中教师要引导学生把问题转化成平时常见的基本图形来解决）
A C
B A B 备用图 A B
备用图 C C ③ 若⊙C 的半径为1，以点Q 为圆心，BQ 长为半径作⊙Q ，求当⊙C 与⊙Q 相切时求AP 的长。
（此题对学生来说难点较大，教师应引导学生把握住两圆的半径和圆心距，然后用方程的思想来解决）
④（课后思考）若将题中条件“点Q 为BA 上的动点”改为“点Q 为射线BA 上的动点”,其它条件不变，设⊿APQ 的面积为y,求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义
域。
（三）总结分类讨论思想解决问题的一般步骤：
1、确定讨论的对象；
2、正确选择分类的标准，进行合理分类；（统一标准，不重不漏）
3、逐类讨论解决；
4、检验、归纳并作出结论。
（以流程图形式展示，揭示分类讨论的实质）
（四）课堂小结：
本节课你有何收获？
（五）布置作业：
《测试与评估》----分类讨论专题
四．教学设计说明：
本节课是初中数学中考第二轮复习中的一个专题复习《分类讨论》，那么作为第一课时，我觉得应当让学生知道为什么要分类讨论，分类讨论有哪些常见的类型，所以，这节课的第一部分我就设计了4种不同类型的分类讨论题，让学生从题目中去体会不同的分类，既进行了知识点上的建构，同时又找到了分类讨论的原因，使学生在解题过程中有了分类讨论的这种意识。
第二部分是例题的讲解。
由于平时我们碰到由图形的运动变化引起的分类讨论比较多，所以我就以动态几何为切入点，设置了一道分类讨论的例题，并进行了几种变式，涉及到了我们经常出现的几个分类讨论的问题，如三角形的相似、等腰三角形、两园的位置关系以及函数的知识点等。
当然，学生在解综合题的过程中还有不小的困难，所以我尽量引导学生把复杂的图形回归到我们常见的基本图形中，利用基本图形来解决问题，化繁为简。
通过这个例题，主要让学生知道分类讨论应当如何进行。
所以，几个问题解决以后，接下来我就让学生来归纳分类讨论的基本步骤是什么，以流程图的形式揭示了分类讨论的实质和它的解题策略，以加深印象。
第四部分就是课堂小结，让学生在各个层面能畅所欲言，我提醒了分类讨论的一些注意点。