《伽罗瓦与群论》精品PPT课件
伽罗瓦群论
伽罗瓦群论【写这篇文章不是给学习近世代数的人用的，而是给不熟悉数学的人看的。
哪怕不能完全看懂，也希望人们能了解数学研究所达到的高度，希望能够领略数学之美。
】伽罗瓦（Évariste Galois，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。
他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。
我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我内心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。
这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。
遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。
伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。
可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。
伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。
让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。
埃瓦里斯特.伽罗瓦首先，我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their plexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in this work.”（跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。
）当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。
第六章 群论
1824年到1826年，挪威数学家阿贝尔提出阿贝尔定理：一般 高于四次的方程不可能代数求解。
在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方 程的可解性问题，在研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果， 只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判 定已知方程是否可用根式求解的问题。
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对称性最为神奇的一点：和物理世界中的守恒一一对应。
物理学定律是不因时间的流逝而改变的，换言之它在时间变换下对称； 而这个对称性可以直接推导出物理学中最重要的定律之一：能量守恒； 物理学定律又不随着空间的位置而改变，这个对称性又能推出另一条 同样关键的定律：动量守恒。 二十世纪最伟大的数学家之一艾米· 诺特（Emmy Noether）女士发现： 每一个物理上的守恒量必然伴随着数学上的对称性。
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“群论”最早考虑的是五次以上方程解法的问题， 但是今天它的应用场合已被大大拓展，最大用途是 关于“对称性”的研究，所有具有对称性的东西， 群论都能派上用场。 只要在发生了变换之后有什么东西还维持不变，就 是对称的。
几何体当然可以是对称的：一个圆左右翻转后还是圆，旋 转180度后还是圆，所以它在这两种变换下是对称的。 非几何体的抽象概念：比如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2这个函数， 无论怎么调换x、y、z的位置，都是不变的；或者sin(t)， 用t+2π代替t，也是不变的。
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定理6.1 ： 一个半群(S , )，如果它有一个子代数系统
子集、运算相 同，且封闭
(M , )，则该子代数也是一个半群。
群论第二章ppt
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§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
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§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
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§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd
群的基本概念
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
人教版高中数学选修3-1数学史选讲《第七讲千古谜题伽罗瓦的解答》
一 . 三次、四次方程求根公式的发现
2.世界上最早的数学竞赛
Ⅰ.意大利研究三次方程的高手塔尔塔利亚. Ⅱ.科拉向塔尔塔利亚发起的挑战，提出两个三次方 程的问题.
塔尔塔利亚 （1499—1557）
Ⅲ.塔尔塔利亚的努力得到三次方程的一般解法.
失落的公式命名
一 . 三次、四次方程求根公式的发现
3.张冠李戴
三.伽罗瓦与群论
2.伽罗瓦的群论 群的例子 整数集加通常的加法 去零实数集加通常的乘法
( Z , )
( R* , )
你能验证上述两个例子是群吗？
四.古希腊三大几何问题的解决
伽罗瓦理论
Ⅰ.化圆为方，即求作一个正方形与给定的圆的面积相等.
Ⅱ.三等分角，即把任意角分成三等份.
Ⅲ.倍立方，即求作一个正方形，使其体积是已知正方体体积的两倍. 这些问题的难度在于，作图 只能用直尺和圆规。
历程回顾思考
Ⅰ.代数方程求解的追逐本身是一部完整的历史.
Ⅱ.感受的天才数学家们为接受人类智慧的挑战而坚 持不懈的努力. Ⅲ.先有数学问题才有数学，数学在解决问题中发展.
主要内容
三次、四次方程
高次方程
代数方程
三大几何问题
伽罗瓦与群论
背景铺垫
我们在初中就学过了怎样求解一元二次方程
ax bx c 0(a 0) x1,2
2
b b2 4 ac 2a
古巴比伦时代初步掌握方法，直到公元9世 纪，阿拉伯数学家花拉子米才彻底对一元二次 方程给出一般的求根公式。
三.伽罗瓦与群论
1.伽罗瓦的传奇人生
定理：代数方程可解当且仅当它的伽罗瓦群是可解群 完败富二代
偏科数学
超时代思维 自学成才
伽罗瓦理论
伽罗瓦理论用群论的方法来研究代数方程的解的理论。
在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。
早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。
在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。
但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。
三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。
从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。
经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。
19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程(p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。
他还发现一类能用根式求解的特殊方程。
这类方程现在称为阿贝尔方程。
阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。
伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。
到1832年他完全解决了这个问题。
在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。
1846年他的手稿才公开发表。
伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。
伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。
在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。
伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。
戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。
随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。
1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。
伽罗瓦
家庭背景1811年10月25日，伽罗瓦出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内.他的父亲尼古拉·加布里埃尔·伽罗瓦,参与政界活动,属自由党人，是拿破仑的积极支持者.主持过供少年就学的学校，任该校校长.又担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴. 他的母亲玛利亚·阿代累达·伽罗瓦, 是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师,为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础.数学天赋1823年l0月,年满12岁伽罗瓦，考入了有名的路易·勒·格兰皇家中学. 他不满足呆板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助.在一些老师的眼里，尽管伽罗瓦具有“杰出的才干”，但这位体格柔弱的少年却被认为“为人乖僻、古怪，过分多嘴”.他不满意内容贫乏，编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的的讲课形式也深感失望.他在后来的一封信中曾大为感慨地写道：“不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？”十五岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教.著名数学家勒让德尔的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美.学习拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，使他的思维日趋严谨.接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实，感到自信：“我能够做到的，决不会比大师们少！”.论文第一次被丢失1828年，17岁的伽罗瓦开始研究方程论，创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的数学问题.伽罗瓦最重要的成就，是提出了“群”的概念，用群论改变了整个数学的面貌.1829年5月，伽罗瓦在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院. 负责审查这篇论文的是当时法国数学家泰斗柯西和波松.柯西是当时法国首屈一指的数学家,他一向是很干脆和公正的，但偶然的疏忽却带来了损失.伽罗瓦向科学院送交论文时，他未能及时作出评价，以致连手稿也给遗失了.论文第二次被丢失1829年7月2日，正当伽罗瓦准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了,这给了伽罗华很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义.1829年10月25日,伽罗瓦听从里夏尔老师的劝告,作为预备生进入师范大学学习. 进入师范大学后的一年对伽罗瓦来说是最顺利的一年，伽罗瓦写了几篇大文章，并提出自己的全部著作来应征科学院的数学特奖.主持审查论文的是当时数学界权威人士、科学院院士——傅立叶,然而很不凑巧，傅立叶在举行例会的前几天病世了.人们在傅立叶的遗物中找不到伽罗瓦的数学论文,就这样，伽罗瓦的论文第二次被丢失了.论文被否定伽罗瓦没有灰心，又继续研究自己所得的新成果.第三次写成论文，即《关于用根式解方程的可解性条件》.1831年，法兰西科学院第三次审查伽罗瓦的论文，主持这次审查的是科学院院士波松,总算幸运，这一次论文没有丢失.但论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法，以致像波松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会，结果，最后一次得到波松草率的评语“不可理解”而被否定了。
伽罗瓦
他首先提出了根的置换概念，主意 到每个方程都可以与一个置换群（伽罗 瓦群）联系起来，方程实际上是一个其 对称性可用群的性质描述的系统．这样， 伽罗瓦就把方程的根式问题转化为群论 问题来解决，而且他最终以群论为工具， 为方程的根式解问题提供了全面而透彻 的解答．
伽罗瓦是一位天才的数学家，他在少 年时期就直接阅读了数学大师们的专著， 如勒让德德经典著作《几何原理》，拉格 朗日的《解数值方程》《解析函数论》， 还有欧拉、高斯和柯西等的数学著作，打 下了坚实的数学基础．
1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附 近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤 判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的 青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的 年轻人离开了人世,数学史上最年轻、最富有创 造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学 家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年， 他就是伽罗华。
中工作”，“他大大地超过了全体同学”。
• 里夏尔帮助伽罗华于1828年在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应 用数学年报》三月号上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个 定理的证明》，并说服伽罗华向科学院递送备忘录。1829年，伽罗 华在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国 科学院。 • 1829年7月2日，正当伽罗华准备入学考试时，他的父亲由于受不了 天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。这给了伽罗华很大的触动，他的 思想开始倾向于共和主义。其后不久，伽罗华听从里夏尔的劝告决定 进师范大学，这使他有可能继续深造，同时生活费用也有了着落。 1829年10月25日伽罗华被作为预备生录取入学。 • 进入师范大学后的一年对伽罗华来说是最顺利的一年，1828年他的 科学研究获得了初步成果。伽罗华写了几篇大文章，并提出自己的全 部著作来应征科学院的数学特奖。但在这里，他又一次遭到了新挫折： 伽罗华的手稿原来交给科学院常任秘书傅立叶，傅立叶收到手稿后不
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从上两式看出，ψ和 Fˆψ满足同一方程要求
Hˆ FˆHˆFˆ 1,或有HˆFˆ FˆHˆ
（1.5）
上式表明，一个变换是对称变换的必要而充分的条件是这变换算符与 系统的Hamilton算符对易。
在量子力学中，全同粒子是不可区分的，当两个粒子交换时，系统的 Hamilton量不变，因此，在任何情况下，全同粒子的置换变换是对称变 换。
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§1,1 对称性的意义
1.3，对称性与守恒定律
在物理学的研究中，守恒定律具有非常重要的作用。人们经常观测到 某些物理量在变化过程中总是不变的，这些量就是守恒量。守恒定律与 对称性之间有密切关系。
关于守恒定律与对称性之间的联系，最早由Jacobi在1842年所注意， 他用拉氏函数描述经典力学系统时，从拉氏函数在平移下不变，导出线 动量守恒。在转动运动下不变，给出角动量守恒。1887年schatz从拉氏 函数的时间平移不变，得到能量守恒。
伽罗瓦与群论
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§1,1 对称性的意义
在非相对论量子力学，经常使用外场的概念，外场存在使系统对称 性降为外场的几何对称性，全同粒子的置换对称性对多体问题是重要的。 因此，这两种对称性对于原子，原子核，分子和固体系统的理论，具有 重要的意义。 1.2，对称变换
在量子力学中，一个系统的状态用波函数ψ（r）来描述，现考查在 空间变换和粒子的置换变换下波函数的导出形式，以及对称变换的条 件。
和反演
x 1 0 0 x y 0 1 0 y z 0 0 1 z
当坐标空间发生变化时，系统的状态波函数ψ也会发生变化，变为
， 在 r fr 处的值即为ψ在r处的值，可写为
( fr) (r)
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§1,1 对称性的意义
若将fr记为r，r就变为 f 1r ，上式可以写为
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§1,1 对称性的意义
Wigner指出，在量子力学中，对称变换都对应一个幺正算符或反幺正 算符，对幺正算符则伴随守恒律，若在反幺正变换下就没有明确的守恒 律，如时间反演，但会带来其它的限制。
如果描述粒子相互作用的哈密顿量，在一个幺正变换下是不变的，则 我们能看到系统的散射矩阵在这变换下也不变，即反应截面不变。例如 研究两个极化电子束的散射，当极化电子束平行与反平行于束方向时， 相互作用哈密顿量不变则马上可以推出这两种反应截面相同。当然这结 果可以利用量子场论计算给出。
现在人们都习惯用Hamilton量而不是用拉氏函数讨论对称性与守恒定 律的联系，因它在量子力学中更为方便。不管在经典力学还是量子力学 中，线动量，角动量和能量的守恒都来自Hamilton量在平移、转动和时 间平移下的对称性，更暜遍地说，物理系统的任一个守恒定律都对应哈 密顿量在相应变换群下是不变的。反过来不能说一种对称性一定存在一 个守恒定律，例如时间反演对称性就没有相应的守恒定律。
以推出平移算符的显式为
Fˆ (a)
e
i
a.Pˆ
其中 Pˆ 是动量算符。
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§1,1 对称性的意义
当f为空间转动时，取转动矢量为 ，它的方向为转轴方向，θ是
转角的大小，Fˆ 为转动算符。其显式为
Fˆ ( ) e i .Lˆ
，
其中, Lˆ 为角动量算符。
对给定系统，变换是否对称变换要由系统的运动方程在 Fˆ 作用下是
(r) ( f 1r)
（1.2）
波函数ψ（r）变为 (r) 的变换，也可以用一个算符 Fˆ 来表示，
记为
(r) Fˆ (r)
也可写为 Fˆ (r) ( f 1r) ，这式可以看成算符 Fˆ 的定义。
当f为空间反演时，Fˆ 便是宇称算符，Fˆ (r) (r) ， 当f是空间平移时，Fˆ 是平移算符，从（1.2）式出发，利用泰勒展开可
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§1.2, 对称性与群
一个几何图形或物理系统的对称性可以用它的对称变换 的集合来描述，这对称变换集合具有明显的数学性质：
1) 任何两个对称变换接连发生（相乘）所得变换仍是一 个对称变换；
2） 当几个对称变换相继连续发生时，在不改变次序的 条件下，可以将其随意组合（结合律）；
3）恒等变换是对称变换（单位元素）; 4) 对称变换的逆变换也是对称变换。 具有以上性质的集合，数学中称为群。因此，对称变换的性 质可以利用群来研究。
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§1.2, 对称性与群
空间转动可以连续变化，它是连续群。如果群元素都可以 表示为一组参数的函数，而且函数可微，这群称为李群，李 群在物理学中广泛使用。
在有些情况下，相互作用性质不清，真实的哈密顿量写不出来，但利 用对称性也能预言某些结果，例如，质子质子的散射，核力的细节不 清，相互作用H写不出来，但利用对称性仍然能预言极化质子平行与反 平行于束方向极化，其散射微分截面相等。
对称性的讨论还能给出某些跃迁过程的选择定则，这些选择定则使我 们能预言反应是否能发生。例如，在任何反应中，总电荷守恒，即反应 中有以下选择定则 Q 0 。
用f表示坐标空间的一个变化，它使r变成 记为
r fr
f 可以是平移a，绕z轴转θ角，或对原点的反演，具体表示为：
平移 x x ax , y y a y , z z az
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§1,1 对称性的意义
绕z轴转动
x cos y sin
z 0
sin cos
0
0 x 0 y 1 z
否改变来决定，即要看ψ和 Fˆψ是否满足同一方程，设ψ满足Schrodinger 方程，
i Hˆ
t
（1.3）
Hˆ 是系统的Hamilton算符。
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§1,1 对称性的意义
假定 Fˆ 是一个与t无关的算符，将其作用在方程（1.3）的两边，得
i (Fˆ ) FˆHˆFˆ 1 (F 对称性与群
例如，绕定点的空间转动，它有以下性质; (1) 一个物体连续进行两次转动，一定相当从开始 到末了绕某轴的一次转动； (2) 如果连续完成三次转动，它可以先完成前一次 转动然后完成一个等于后两次的转动，也可以先 完成等于前两次转动再完成后一次转动，即转动 变换满足结合律； (3) 转动角度为零为恒等变换，相当单位元素； (4) 如果绕某轴转动θ角，一定可以绕同轴转动-θ而 复原，第二次转动为第一次转动的逆元素。 这样所有的转动的集合构成一个群，称为转动群， 记为SO（3）。