(整理)函数的单调性

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函数的简单性质-单调性

求最值
求函数最大值
在闭区间上，如果函数在某区间内单调递增，那么该函数在此区间内取得最大值。同样，如果函数在某区间内单调递减，那么该函数在此区间内取得最小值。
求函数最小值
在闭区间上，如果函数在某区间内单调递增，那么该函数在此区间内取得最小值。同样，如果函数在某区间内单调递减，那么该函数在此区间内取得最大值。
对于函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$，其导数为$f'(x) = 3x^{2} - 6x$。要使$f(x)$在区间$( - infty,a)$上是增函数，需要满足$f'(x) > 0$，即$3x^{2} - 6x > 0$，解得$x < 0$或$x > 2$。因此，当$a < 0$或$a > 2$ 时，函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$在区间$( infty,a)$上是增函数。
反例应用
在研究经济发展时，需要考虑到各种因素对经济的影响，包括政策、技术、人口等。通过找到单调性的反例，可以更全面地了解经济发展的实际情况，为政策制定提供更有针对性的建议。
06 习题与解答
习题
判断函数$f(x) = x^{2} - 2x$在区间$( - infty,a)$上是减函数的
条件是什么？
单调性与奇偶性的关系
总结词
函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，而单调性是指函数值随自变量变化的趋势。虽然奇偶性和单调性是函数的两种不同性质，但它们之间也存在一定的关系。例如，奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，因此奇函数在对称轴两侧的单调性是一致
的。
详细描述
对于奇函数，如果它在某个区间内单调递增，那么它在该区间内关于原点对称的区间内也单调递增；同样地，如果奇函数在某个区间内单调递减，那么它在该区间内关于原点对称的区间内也单调递减。而对于偶函数，由于其图像关于y轴对称，因此偶函数在任

函数的单调性和运算性质

函数的单调性和运算性质
函数的单调性也可以叫做函数的增减性。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

定义
函数的单调性也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。

在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

运算性质
f(x)与f(x)+a具有相同单调性；
f(x)与g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性，当 a<0 时，具有相反单调性；
当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为增（减）函数；若两者都恒小于零，则为减（增）函数；
两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时，增（减）函数的倒数为减（增）函数。

函数的单调性知识点及例题解析

函数的单调性知识点及例题解析知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1）定义法（基本法）；①取值：任取D x x ∈21,，且21x x <；②作差：()()21x f x f -；③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差()()21x f x f -的正负；⑤下结论：即指出函数()x f 在给定区间D 上的单调性.（2）利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）（3）利用函数的图像；x y =，2-=x y ，212-+=x y . （4）依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相同，那么)]([x g f y =是增函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相反，那么)]([x g f y =是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“同增，异减”知识点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；附加：①()0≠+=a b ax y 的单调性：0>a 增函数，0<a 减函数；②()0≠=k xk y 的单调性：0>k 减区间()()+∞∞-,0,0,；0<k 增区间()()+∞∞-,0,0,； ③()02≠++=a c bx ax y 的单调性：0>a ，减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，增区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； 0<a ，增区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，减区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； ④()x f 在区间A 上是增（减）函数，则0>k 时，()x kf 在A 上是增（减）函数；0<k 时则相反； ⑤若()x f 、()x g 是区间A 上的增（减）函数，则()()x g x f +在区间A 上是增（减）函数；⑥若()0>x f 且在区间A 上是增（减）函数，则()x f 1在A 上是减（增）函数，()x f 在A 上是增（减）函数；1.函数y=x2+4x﹣1的递增区间是什么？分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增解：∵函数y=x2+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，∴y=x2+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．2.函数y=x2﹣6x+5在区间（0，5）上是（）A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可解：∵y=x2﹣6x+5⇒y=（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x2﹣6x+5可知a=1＞0，抛物线开口朝上，∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和图象之间的关系进行求解即可解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，则[-1，0]，[1，2]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]2）由图象知函数在[-3，-1.5]，[1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-3，-1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]4.已知函数f（x）=x2﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，故须a≥15.已知函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.56.若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，所以（﹣∞，6]⊆（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y的单调性与单调区间．解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增函数，单调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）8.求函数f （x ）=x 4﹣2x 2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x 2，可得0≤t ≤4，根据二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=（t ﹣1）2+4 的对称轴为t=1，再利用二次函数的性质求得函数g （t ）在区间[0，4]上的最值．解：令t=x 2，由﹣2≤x ≤2，可得0≤t ≤4，由于二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=t 2﹣2t+5=（t ﹣1）2+4 的对称轴为t=1，则函数g （t ）在区间[0，4]上的最大值是g （4）=13，最小值为 g （1）=4，故答案为 13，4．9.证明函数在[﹣2，+∞）上是增函数分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答证明：任取x 1，x 2∈[﹣2，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=21+x －22+x =22)22)(22(212121+++++++-+x x x x x x =222121+++-x x x x ，因为x 1-x 2＜0，21+x +22+x ＞0，得f （x 1）＜f （x 2）所以函数在[﹣2，+∞）上是增函数． 10.函数f （x ）=，①用定义证明函数的单调性并写出单调区间；②求f （x ）在[3，5]上最大值和最小值分析：①分离常数得到f （x ）=，根据反比例函数的单调性便可看出f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），根据单调性的定义证明：设任意的x 1，x 2≠﹣1，且x 1＜x 2，然后作差，通分，说明x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1），或x 1，x 2∈（﹣1，+∞）上时都有f （x 1）＜f （x 2），这样即可得出f （x ）的单调区间； ②根据f （x ）的单调性便知f （x ）在[3，5]上单调递增，从而可以求出f （x ）的值域，从而可以得出f （x ）在[3，5]上的最大、最小值．解：①f （x ）=112++x x =11)1(2+-+x x =2-11+x ；该函数的定义域为{x|x ≠﹣1}，设x 1，x 2∈{x|x ≠﹣1}，且x 1＜x 2，则：f （x 1）- f （x 2）=112+x -111+x =)1)(1(2121++-x x x x ； ∵x 1＜x 2；∴x 1﹣x 2＜0；∴x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1）时，x 1+1＜0，x 2+1＜0；x 1，x 2∈（﹣1，+∞）时，x 1+1＞0，x 2+1＞0；∴（x 1+1）（x 2+1）＞0；∴f （x 1）＜f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，即f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）； ②由上面知f （x ）在[3，5]上单调递增；∴f （3）≤f （x ）≤f （5）；∴7／4≤f （x ）≤11／6；∴f （x ）在[3，5]上的最大值为11／6，最小值为7／411.已知f （x ）+2f （x1）=3x ．（1）求f （x ）的解析式及定义域；（2）指出f （x ）的单调区间并加以证明解：（1）由 f(x)+2f(x 1)＝3x ①，用x 1代替x ，得 f(x 1)+2f(x)＝x 3 ②；②×2-①，得 3f(x)＝x6-3x ，所以 f(x)＝x2-x （x ≠0）（2）由（1），f(x)＝x 2-x （x ≠0）其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间．事实上，任取x 1，x 2∈（-∞，0）且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)＝12x -x 1-22x +x 2＝2121)(2x x x x --(x 1-x 2)＝(x 2-x 1)• 21212x x x x +， ∵x 1＜x 2＜0∴x 2-x 1＞0，x 1x 2＞0，2+x 1x 2＞0，所以 (x 2-x 1)• 21212x x xx +＞0，即f （x 1）＞f （x 2）故f （x ）在（-∞，0）上递减．同理可证其在（0，+∞）上也递减 12.证明：f （x ）=x+21-x 在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数分析：利用函数单调性的定义证明．证明：设任意的x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=（x 1+211-x ）-（x 2+212-x ）=（x 1﹣x 2）•)2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ， ∵x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，x 1﹣2＞1，x 2﹣2＞1，（x 1﹣2）（x 2﹣2）＞1，∴（x 1﹣x 2）•)2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）=x+21-x 在（3，+∞）上是增函数．同理可证，f （x ）=x+21-x 在（2，3]上是减函数【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x 解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2． ∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221-∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出图像。

(整理)函数的奇偶性与单调性

函数的奇偶性与单调性一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即（奇）（偶）.2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲【例1】已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：，即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间.解：依题意有而故解得从而。

令，得或。

由于在处取得极值，故，即。

（1）若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而的单调增区间为；单调减区间为若，即，同上可得，的单调增区间为；单调减区间为【例3】(理)设函数,若对所有的,都有成立,求实数的取值范围.(文)讨论函数的单调性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x ＝e a－1－1，当x＞e a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．（文）解：设，则∵∴，，，当时，，则为增函数当时，，则为减函数当时，为常量，无单调性【例4】(理)已知函数,其中为常数.(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若,且=4,试证:.(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，求的表达式.（理）（文）解：∵为奇函数，∴当时，∵为奇函数∴∴∴三.巩固练习1.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )A. B. C. D.2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设则( )A. B. C. D.3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C. D.4.若不等式对于一切 (0,)成立,则的取值范围是A.0B. –2C.-D.-35.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.－1B.0C.1D.27.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值范围是( )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A. B. C.D.10.已知,则( )A. B. C. D.11.已知函数,若为奇函数,则 .12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时, .13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.214.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.15.若函数, 则该函数在上是( )A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值16.若函数在区间内单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D.17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则______.18.设函数在上满足,,且在闭区间［0，7］上,只有.(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.19. (理)已知,函数(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,,为实常数,且.(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.21.已知向量若函数在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.22. (理)已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求的取值范围.(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.巩固练习参考答案1. C2. D3. A4. C5. D6. B7. D8. B9. C 10. A 11. a=12. -x-x4 13. B 14. D 15. A 16. B 17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.19. (理) 解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表+0－0+递增极大值递减极小值递增∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。

判断函数单调性的方法

判断函数单调性的方法函数的单调性是指函数在定义域内是否递增或递减。

判断一个函数的单调性需要观察它的导数或增减性，下面将详细介绍判断函数单调性的方法。

一、定义函数的单调性假设函数f(x)定义在区间[a, b]上，如果对于任意的x1, x2∈[a, b]，且x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，那么函数f(x)在区间[a, b]上单调递增；如果对于任意的x1, x2∈[a, b]，且x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，那么函数f(x)在区间[a, b]上单调递减。

二、判断函数单调性的准则1. 函数导数法函数的导数能够反映函数的增减性，因此我们可以通过观察函数的导数来判断函数的单调性。

1.1 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)≥0，则函数在该区间上单调递增；1.2 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)≤0，则函数在该区间上单调递减；1.3 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；1.4 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减。

2. 函数零点法2.1 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒大于零，即f(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；2.2 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒小于零，即f(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减；2.3 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒大于等于零，即f(x)≥0，则函数在该区间上单调递增；2.4 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒小于等于零，即f(x)≤0，则函数在该区间上单调递减。

3. 函数一阶导数与二阶导数法如果函数f(x)在区间[a, b]上的一阶导数f'(x)≥0，并且在该区间上的二阶导数f''(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；如果函数f(x)在区间[a, b]上的一阶导数f'(x)≤0，并且在该区间上的二阶导数f''(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减。

高中数学函数的性质知识点整理

一、函数（一）、函数的单调性1、定义：一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 ,x 2，当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数；当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数。

单调性定义的等价形式:设x 1，x 2∈[a,b],x 1≠x 2.(1)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;(2)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0或<0，则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.2、常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A 上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A 上的增(减)函数. (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反.(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. （二）、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数()f x 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个x 都满足 ①()()f x f x -=⇔函数()f x 为偶函数；②()()()()0f x f x f x f x -=-⇔-+=⇔函数()f x 为奇函数.2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y 轴对称，该函数为偶函数. 3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x D ∈，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递增（减）； ③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递减（增）； ④任意定义在R 上的函数()f x 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+（三）、函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）特别的（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称; （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）; （2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称;（3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 中心对称。

(完整版)函数的单调性与最值(含例题详解)

函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但 f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110三、考点精练考点一求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________．解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >.故当)12,x x ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在)+∞上单调递增．当(12,x x ∈时，()()12f x f x >，即函数在(上单调递减．考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(,-∞单调递增，在()上单调递减．综上，函数f (x )在(,-∞和)+∞上单调递增，在()和(上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----，由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)．故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．考点三函数单调性的应用角度一求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0， f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞) 时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为 f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．答案：[0，32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4.三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。

函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备)

第二讲：函数的单调性一、定义：1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0)()(0)]()()[(21212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x ;难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？（2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间.注意：(1)减函数的等价式子：0)()(0)]()()[(21212121<--⇔<--x x x f x f x f x f x x ；(2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有.0)()(2121>--x x x f x f 则（）A.)(x f 在这个区间上为增函数B.)(x f 在这个区间上为减函数C.)(x f 在这个区间上的增减性不变D.)(x f 在这个区间上为常函数变式训练：定义在R 上的函数)(x f 对任意120x x <<都有1)()(2121<--x x x f x f ，且函数)(x f y =的图象关于原点对称，若,2)2(=f 则不等式0)(>-x x f 的解集为___.例3.证明：函数x x x f +=3)(在R 上是增函数.变式训练：讨论)0()(>+=a xax x f 的单调性.并作出当1=a 时函数的图象.变式训练：已知上的单调性，在判断函数)1,0()()(,2)1(2xx f x g x x x f =-=+并用定义证明.题型二：函数的单调区间难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？（2）函数x x f 1)(=的单调减区间是),0()0,(+∞-∞ 上吗？例1.（图像法）求下列函数的单调区间（1）|2||1|)(-++=x x x f . (2)3||2)(2++-=x x x f .（3）|54|)(2+--=x x x f .例2.（直接法）求函数xxx f +-=11)(的单调区间.例3.（复合函数）（2017全国二）函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是( )A.)2,(--∞B. )1,(--∞C.),1(+∞D. ),4(+∞变式训练：求下列函数的单调区间.（1）312+-=x x y （2）652+-=x x y（3）22311xx y ---=题型三：抽象函数的单调性问题例1.设函数)(x f 是实数集R 上的增函数，令)2()()(x f x f x F --=. (1) 证明：)(x F 是R 上的增函数； (2) 若,0)()(21>+x F x F 求证：221>+x x .例2定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件： ①对任意正数b a ,，都有)()()(ab f b f a f =+； ②当1>x 时，0)(<x f ； ③1)2(-=f . （1）求)1(f 的值；（2）使用单调性的定义证明：函数)(x f 在),0(+∞上是减函数；（3）求满足2)13(>+x f 的x 的取值集合.题型四：函数单调性的应用（1）利用函数的单调性比较大小在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. ①正向应用：②逆向应用：例1.()x f 在()+∞,0上单调递减，那么()12+-a a f 与⎪⎭⎫⎝⎛43f 的大小关系是__________.变式训练：已知函数),1()1()(x f x f x f -=+满足且对任意的)(1,2121x x x x ≠>，有.0)()(2121>--x x x f x f 设),3(),2(),21(f c f b f a ==-=则c b a ,,的大小关系_________.（2）利用函数的单调性解不等式例2.设)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数，且)1()2(x f x f -<-成立，求x 的取值范围.变式训练.①设)(x f 是定义在]3,3[-上的偶函数，当30≤≤x 时，)(x f 单调递减，若)()21(m f m f <-成立，求m 的取值范围.②（2015全国二）设函数)12()(,11)1ln()(2->+-+=x f x f x x x f 则使得成立的x 的取值范围是（）A. )1,31(B. ),1()31,(+∞-∞C. )31,31(-D. ),31()31,(+∞--∞③（2018全国一）设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（） A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，（3）根据函数的单调性求参数的取值范围例1.如果函数1)1(42)(2+--=x a x x f 在区间),3[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.（1,2）B.（0，2）C.（0，1）D.[)+∞-,2变式训练：如果函数2)1(2)(2+--=x a x x f 在区间)4,[-∞上是减函数，求实数a 的取值范围.例2.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(,0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是__________.例3.若函数||a x y -=在区间]4,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围.第三节：函数的奇偶性一、知识梳理1.函数的奇偶性例1（2014全国二）偶函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则=-)1(f ___________．例2（2017全国二）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时， 32()2f x x x =+，则(2)f =__________.例3（2012全国二）设函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =______.2. 函数的图象(1)平移变换：“上加下减，左加右减”例4（2010全国二）设偶函数)(x f 满足)0(42)(≥-=x x f x ，则=>-}0)2(|{x f x （）A.}42|{>-<x x x 或B.}40|{><x x x 或C.}22|{>-<x x x 或D.}42|{>-<x x x 或 (2)对称变换①)()(x f y x f y x -=−−−−→−=轴对称关于； ②)()(x f y x f y y -=−−−−→−=轴对称关于； ③)()(x f y x f y --=−−−−→−=关于原点对称； ④)10(log )10(≠>=−−−−→−≠>==a a x y a a a y a x y x 且且对称关于;⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于y 轴对称. (3)翻折变换★★①|)(|)(x f y x f y x x =−−−−−−−−−−−→−=轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留. 例5（2010全国二）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+-≤<=621100|,lg |)(x x x x f , 若c b a ,,均不相等，且),()()(c f b f a f ==则c b a ⋅⋅的取值范围是( )A.)10,1(B.)6,5( C )12,10( D.)24,20(例6（2011全国二）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（） A ．10个 B ．9个 C ．8个D ．1个★★★②)||()()(x f y x f y y x f y y =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−=轴左侧的图象）在轴对称的图象（去掉原于轴右边图象，并作其关保留. 例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（） A. 3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=例8（2010大纲）直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有四个交点，则a 的取值范围是____________.(4)函数图象的几种对称关系★①R x x f ∈),(满足)()()(x f y x a f x a f =⇔-=+图象关于直线a x =为轴对称；例9（2018全国二）已知)(x f 是定义域为),(+∞-∞的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-，若)1(f =2，则=++++)50(...)3()2()1(f f f f （）A ．﹣50B ．0C ．2D ．50②)()()(x f x b f x a f ⇔-=+图象关于2ba x +=为轴对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ab x -=对称.如：)(x f y =和)1(x f y -=的图象，关于直线21=x 为轴对称.例10（2015全国二）已知函数），的图像过点（4,1-2)(3x ax x f -=则a =________.二、真题演练1.（2014全国一）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数2.（2015全国一）已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=-1),1(log 1,22)(21x x x x f x 错误！未找到引用源。

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函数的单调性【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】教学基本流程一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案：(1)函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内 y随x的增大而减小．(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．(3)函数在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明在为增函数？预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以在为增函数．(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以在为增函数．(3) 任取,因为,即，所以在为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念判断题：①．②若函数．③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数．④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展1．课本P 34例1、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还减函数。

类型：根据函数图象说明函数的单调性．巩固练习：课本P 38练习第1、2题例2.物理学中的玻意尔定律p=vk （k 为常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积v 减小时，压强p 将增大。

试用函数的单调性证明之。

1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：略 2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：证明函数在上是增函数．问题：要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，且有可以吗?引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数．〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本习题1．3（A组）第2，3题课后探究：(1) 证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且有．(2) 研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．《函数的单调性》教学设计说明一、教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．二、教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三、教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．四、教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．函数单调性的教学设计反思：函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质。

并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用，是后面学习反函数、不等式、导数等内容的基础，又是培养逻辑推理能力的重要素材。

它常伴随着函数的其他性质解决问题。

对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。

学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味。

因此，在设计教案时，加强对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西。

本节内容的教学重点确立为：函数单调性的概念及判断或证明函数单调性的方法步骤。

又因为教学对象是高一新生，准确进行逻辑推理比较困难，所以把判断或证明函数单调性确立为教学难点。

为了使学生从知识上、能力上、思想上得到尽可能大的发展，我采取发现法、多媒体辅助教学。

首先创设情境、激发兴趣。

研究实际生活中上下楼梯的问题，充分调动学生积极性，营造亲切活跃的课堂氛围；渗透建模思想，培养学生应用数学的意识，通过实例使学生感受单调性的内涵，缩短心理距离，降低理解难度。

其次，探索新知。

引导学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，发展数学思维能力。

针对函数图象，依据循序渐进原则，设计三个问题，学生直接回答的同时教师利用多媒体的优势，展示图象及动画，使学生理解增减函数定义。

学生各抒己见，这时教师及时对学生鼓励评价，会激发学生探究知识的热情。

这一过程教会学生与人合作，提供了灵感思维的空间，在对概念理解基础上，强化了单调区间这一概念。

鼓励学生自主探索归纳类比三例，师生合作得出增减函数、函数单调性、单调区间的定义，然后设计判断对错题，达到细、深、全面的理解定义，学生经历了“再创造知识”的过程，利于发展创新意识。

再次，巩固新知，由感性到理性，引导学生逐步探究利用图象判断函数的单调性和根据定义判断或证明函数的单调性两种方法。

体验了数学方法发现和创造的历程。

探究时先以基本初等函数为载体，再深化扩展为函数的一般性质。

从而理解掌握二次函数、一次函数、反比例函数的单调性。

为后面的学习及综合应用奠定基础，同时培养学生的创新意识和逻辑思维能力。