函数的单调性与曲线的凹凸性.doc
函数的单调性与曲线的凹凸性(Word)
1．讨论函数()sin f x x x =-在[0,2]π上的单调性。
【解法一】因为'()1cos 0f x x =-≤由于cos 1x ≤，得[0,2]π上恒成立'()1cos 0f x x =-≥，而等号仅在0x =和2x π=两个孤立点上成立，可知，函数()sin f x x x =-在[0,2]π上单调增加。
【解法二】因为'()1cos 0f x x =-<在(0,2)π上恒成立，可知，函数()sin f x x x =-在(0,2)π上单调增加，亦即在[0,2]π上单调增加。
2．求下列函数的单调区间：⑴3229123y x x x =-+-；【解】函数3229123y x x x =-+-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'61812y x x =-+6(2)(1)x x =--，得函数有两个驻点2x =和1x =，无不可导点，作图表分析：1 22 1'x x y y ---+--++−−−−−−−−−→+-+可知，函数3229123y x x x =-+-分别在(,1)-∞和(2,)+∞内单调增加，在(1,2)内单调减少。
【课本答案漏了在(,1)-∞内单调增加】⑵y x =-【解】函数y x =-(,)-∞+∞，由于'1y ==1x =和一个不可导点1x =，作图表分析：0 11' y -++---+−−−−−−−−−→+-+y可知，函数y x =-分别在和(1,)+∞，在(0,1)内单调减少。
【课本答案漏了在(,0)-∞内单调增加】⑶33y x x =-；【解】函数33y x x =-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'33y x =-3(1)(1)x x =-+，得函数有两个驻点1x =和1x =-，无不可导点，作图表分析： -1 11 1'x x y y ---++-++−−−−−−−−−→+-+可知，函数33y x x =-分别在(,1)-∞-和(1,)+∞内单调增加，在(1,1)-内单调减少。
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2
函数的单调性和曲线的凹凸性
故在(0, +)上 f (x)单增.
例4. 证明不等式 ex – (1+x) > 1– cosx, (x > 0)
证明思路: 用两次单调性
证: 设 F(x) = ex – (1+x) – (1– cosx)
= ex –x +cosx –2
则 F(0)=0. 要证F(x) > 0 (x > 0)
故曲线在(0, +)上是凹的.
即有 f (tx +(1– t) y) < t f (x) + (1– t) f (y) 即
定义2. 设f (x)C(U(x0)), 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0))的左右两侧凹凸性相反, 则称点(x0, f (x0))为该曲线的拐点.
= t f (x1)+(1– t) f (x2)
= t x1+(1– t) x2 x = x2+(x1– x2)t
弦上对应点的纵坐标B: y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
故得如下定义.
定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,x1, x2[a, b](x1x2) 和t(0, 1), 若有
凹凸性标志着图形弯曲的方向.
如图(a), (b)
y=f (x)
o
y
x
x1
x2
A
B
(x1, y1)
(x2, y2)
x
x
o
y
x1
x2
A
B
y=f (x)
(x2, y2)
(x1, y1)
函数单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法 二、曲线凹凸性及其判别法
三、小结
1.单调性的判别法
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
导（. 1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
二、曲线凹凸性及其判别法
1.曲线凹凸的定义 2.曲线凹凸的判定 3.曲线的拐点及其求法 4.利用凹凸性证明不等式 5.小结
1.曲线凹凸的定义
y
C B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
例4 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
y
4
5
x3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
求拐点的步骤：
• 求二阶导数等于零和不存在的点 • 判断二阶导数在这些点的左右两侧是否
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法定理1 设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导．（1）如果在(),a b 内()0f x '≥，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加；（2）如果在(),a b 内()0f x '≤，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 单调减少．例1 判定函数sin y x x =-在[],ππ-上的单调性． 解 因为函数sin y x x =-在[],ππ-上连续，当x ∈(),ππ-时， 1cos 0y x '=-≥，且等号仅在0x =处成立，所以函数sin y x x =-在[],ππ-上单调增加． 例2 讨论函数1x y e x =--的单调性．解 函数1x y e x =--的定义域为(),-∞+∞， 1.x y e '=- 因为在(),0-∞内0y '<，在()0,+∞内0y '>，所以1x y e x =--在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．例3 讨论函数y解 的定义域为(),-∞+∞．当0x ≠时，y '=而函数在0x =处不可导．在(),0-∞内，0y '<，在()0,+∞内0y '>，因此函数y =在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．该函数的图象如下图所示．例4 确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间．解 该函数的定义域为(),-∞+∞．()()()261812611.f x x x x x '=-+=--方程()0f x '=的全部根为121, 2.x x ==这两个根把区间(),-∞+∞分为三个部分区间：(][][),1,1,2,2,.-∞+∞在区间(),1-∞内()0f x '>，函数()f x 在(],1-∞单调增加．在区间()1,2内，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,2单调减少．在区间()2,+∞内()0f x '>，函数()f x 在区间[)2,+∞单调增加．例5 证明：当1x >时，13.x-证 令()13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()22111.f x x x '== ()f x 在[)1,+∞上连续，在()1,+∞内()0f x '>，因此在[)1,+∞上函数()f x 单调增加，于是当1x >时，()()10f x f >=，即130,x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 13.x- 二、曲线的凹凸性与拐点定义 设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭那么称()f x 在I 上的图形是凹的；如果恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 那么称()f x 在I 上是凸的．定理2 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(),a b 内()0f x ''>，则()f x 在[],a b 上的图形是凹的；（2）若在(),a b 内()0f x ''<，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的． 例6 判定曲线ln y x =的凹凸性．解 因为211,y y x x'''==-，所以函数ln y x =在定义域()0,+∞内，0y ''<，故曲线ln y x =是凸的．例7 判定曲线3y x =的凹凸性．解 因为23,6.y x y x '''==当0x <时，0y ''<，所以曲线在(],0-∞是凸的；当0x >时，0y ''>，曲线在[)0,+∞是凹的．例8 求曲线32231214y x x x =+-+的拐点．解 216612,126122y x x y x x ⎛⎫'''=+-=+=+ ⎪⎝⎭． 解方程0y ''=，得1.2x =-当12x <-时，0y ''<；当12x >-时，0y ''>．因此点11,2022⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点．例9 求曲线43341y x x =-+的拐点及凸凹区间． 解 函数43341y x x =-+的定义域为(),-∞+∞．321212,y x x '=-22362436.3y x x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭ 解方程0y ''=，得1220,.3x x == 在(),0-∞内，0y ''>，曲线在区间(),0-∞凹的．在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0y ''<，曲线在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦是凸的．在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，0y ''>，曲线在区间2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是凹的． 当0x =时，1y =．当23x =时，11.27y = 点()0,1和211,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是这曲线的两个拐点． 习题3-41.判定函数()arctan f x x x =-的单调性．解 ()22211011x f x x x '=-=-≤++且仅在0x =时成立．因此函数()arctan f x x x =-在(),-∞+∞内单调减少．2.判定函数()cos f x x x =+的单调性．解 ()1sin 0f x x '=-≥，且当()20,1,2,2x n n ππ=+=±± 时，()0f x '=．因此函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞内单调增加．3.确定下列函数的单调区间：（1）3226187y x x x =---；解 函数的定义域为(),-∞+∞，在(),-∞+∞内可导，且 ()()261218631.y x x x x '=--=-+令0y '=，得驻点121, 3.x x =-=当时1x <- 时，0y '>，函数在(],1-∞-单调增加； 当13x -<<时，0y '<，函数在[]1,3-单调减少； 当3x >时，0y '>，函数在()3,+∞单调增加．（2）()820y x x x=+>；解 函数的定义域为()0,+∞，在()0,+∞内可导，且()()22222228282.x x x y x x x -+-'=-== 令0y '=，得驻点12x =-（舍去），22x = 当02x <<时，0y '<，函数在(]0,2单调减少；当2x >时，0y '>，函数在[)2,+∞单调增加．。
函数的单调性与曲线的凹凸性
§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法 定理1 设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增（减）的充要条件是)()('00≤≥x f .证 若f为增函数，则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有()()000≥--x x x f x f 。
令0x x →，即得00≥)('x f 。
反之，若)(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ，则对任意I x x ∈21,（设21x x <），应用拉格朗日定理，存在，使得()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。
由此证得f 在I 上为增函数。
定理2 若函数f 在),(b a 内可导,则f 在),(b a 内严格递增(递减)的充要条件是:(1)),(b a x ∈∀有)()('00≤≥x f ;(2) 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f .推论 设函数在区间I 上可微,若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格)递增(递减).注1 若函数f 在),(b a 内(严格)递增(递减),且在点a 右连续,则f在),[b a 上亦为(严格)递增(递减), 对右端点b 可类似讨论.注2 如果函数)(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就能保证)('x f 在各个部分区间保持固定符号，因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。
注意：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或不存在外，在其余点上都有0>)('x f （或0<)('x f ），那么由于连续性，)(x f 在区间],[b a 上仍然是单调增加（或单调减少）的。
函数的单调性与曲线的凹凸性
x
1 ( , ) 5
1 5
(
1 ,0 ) 5
0 不存在 非拐点
(0,)
y(x)
y
－ 凸
拐点
0
1 6 1 ( , 3 ) 5 5 25
＋ 凹
＋ 凹
注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。
曲线的凹凸性反映的是不等式关系：
(1) 若曲线的图形是凹的（即 f ( x ) 0），则有
0 x 2k , ( k 0 , 1, 2 ,) f ( x ) 1 cos x 0 x 2k
f ( x ) 0 的点都是孤立点 , 所以 f ( x) 在 ( , )严格 单调增加.
( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: f
例2 讨论 y ( x 1)3 x 2 的凹凸性及拐点. y 解： y 5 x 2 x ,
3 3
1 4 10 3 2 3 2( 5 x 1) , y x x 4 9 9 9x 3
2 3
1 3
1 5
o
·
2 5
1 x
1 令y 0解得 x ; 当x 0时, y不存在. 现列表如下： 5
解.
D ( , ) . f ( x ) 32 , ( x 0) 3 x
当 x 0 时 , 导数不存在 .
y 3 x2
在 ( , 0) 内， ( x ) 0 , f ( x ) 在 ( , 0 ] 上单调减少 ； f 在 ( 0 , ) 内， ( x ) 0 , f ( x ) 在 [ 0 , ) 上单调增加 . f 单调区间为: ( , 0 ] , [ 0 , ) .
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函数的单调性与曲线的凹凸性练习题
(3 ) y =ln(x+ Jl + x，) (4) y = ln( x+ Jl + 侦)；
1.埔空题
(1)函数)，=4x:-h(x:)的06调增加区间是, 9S调奶区间是.
(2 )若函数导数存在，且f\x) > 0,/(0) = 0.则F(x) = &在0<x<^x±
X
是单调.
(3)函^y=ax:+l在(0,♦:c)内第调增加，则。
.(7)
(6) v = 2x* - In Xo
o
v = 2x+—(x> 0)；
⑻〜 X
(4)若点(1> 3)为曲雄)・ = 的拐点，则。
■, b=,曲线的凹区间为:,凸区间为・.
2.单项选择题
(1)下列函数中，()在指定区间内是单调减少的函数.
A. y = 2*? (-x. + X)B・ y = e" (-x, 0) C. v = Inx (Q + x) D. y = sinx (Q 丁)
(2 )设/,(x) = (x-l)(2x+l).则在区间G，l)内().
A.y = /(x)®调增加，曲线，= /(x)为凹亩
B..】・ = /(对单调减少，曲线.l・ = /(X)为凹的
C.V = /(X)单调彼少，曲线\ = /(幻为凸的
D. 3 =/(x)单调增加，曲线3 =/(x)为凸的
4.证明下列不等式
(1 )证明：对任意实数々和b ,成立不等式—— < —^+―—.
1+1 々+ ■ | 1+| a | 1+| 61
(3) /(X)在(-x,+x)内可导，且当Xi > x: W, /(-Vi) > /(x:),9N( ) A任意X. r(x) > 0 B.任意x./r(-x) S 0 C. /(-x)S调憎D, -/(-¥)哪增
(4 )设函数在［0』上二阶导数夬于0,则下列关系式成立的是() A- /r(l)>/(0)>/(l)-/(0) B. /，(1)>/(1)-/(0)>/，(0)
C- /(I) 一/(0) > /XI) > 尸(0) D. /XI) > /(0) - /(I) > 广(0) (2 )当x>l 时：lnx>*皂
X+1
3、求下列函数的单调区间:
(1 ) v = —x—1. (2 ) v = (2x-5)^?.
(3 )当x>。
时,•X3 stn x>x ------ •
6
5.讨论方程x■如sin E灯其中k为常数港(0二)内有几个实t艮.
6.试确定曲线)=ov'+k：+cx + d中的a、b、c、d,使得》=一2处曲线有水平切线，(1-1(^ 为拐点，且点(・=4旬在曲先上.
• • ■• «■■■» • • •—• • • ••• • •■■■»
(2 ) y=(2x-5)V?拐点及凹或凸的区间
8.利用凹凸性证明：当0 v xv 丁时，sin->-
13
、
2 I
.证明函数y=x-ln （l + x :）单调增加。
in
判定函数/(x) = x+ sinx(O<x< 2K )的单调性。
1U 、
11、试证方程sin r = X 只有一个实根。
:
单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：/（X ）= x+ sin X- 12、
值时,点（1,3）为曲线v = a 疽+ 5疽的拐点？
问a 及b 为何。