线段中垂线的性质定理
人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理
人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理课 题：角平分线和线段中垂线定理【知识点精讲】一、两个重要定理：➢ 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
几何语言描述：如图：∵MN 垂直平分线段AB ∴ P A =PB逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言描述：如图：∵P A =PB ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上➢角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何语言描述：如图：∵OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD =PE逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
几何语言描述：如图： ∵PD =PE ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴OP 平分∠AOB二、证明线段相等的方法：AABO1、线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；2、证明三角形全等：全等三角形的对应边相等3、等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；4、线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；5、角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三、证明角相等的方法：1、角在同一三角形中，通常证明等边对等角；2、证明三角形全等：全等三角形的对应角相等3、等腰三角形底边上的高或底边中线平分顶角；4、角平分线性质定理逆定理；5、两直线平行（同位角，内错角）6、同角的余角相等；7、等角的余角相等；8、同角的补角相等；9、等角的补角相等； 10、三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和．【典型例题及相似题练习】例题分析例1：尺规作图作角的平分线按照步骤，完成作图：（要求保留作图痕迹） 已知AOB ∠.求作：AOB ∠的平分线 作法：① 以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在AOB ∠的内部相交于C ；② 画射线OC ，射线OC 即为所求，人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理BAE DCFBO例2：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA, PE ⊥ OB ，垂足分别是D ，E. PD=5，求PE 的长度.例3：已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD=CD,DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC 证明：例4：在△ABC 中，∠ C=90 ° ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，BC ＝7，DE ＝3.求BD 的长。
八下第五讲 中垂线 角平分线性质与判定定理书写的规范
其实，有关中垂线，角平分线性质和判定定理的书写并不难，我们只要注意写好必要步骤， 由因得果，会比全等的书写简单许多，不信，来看第一个例题．
例1：
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，求证：点P在∠DAE的平分线
上．
分析：
在《 八上第四讲 全等辅助线（3）见角平 分线作垂直 》中，我们已经介绍了辅助线的 作法，见角平分线作垂直，这里出现了两个外 角，那一共是作三次垂直，这样，我们就可以 用角平分线的性质定理，来证明所作的垂线段 相等，接着，利用角平分线的判定定理，求证 点P的位置．
PE⊥AB，PG⊥BD ∴PE＝PG ∵CPPF平⊥分AC∠，ACPGD⊥BD ∴PF＝PG ∴PE＝PF 又∵PE⊥AB，PF⊥AC ∴AP平分∠EAF 易知∠BAC＝2∠BPC＝ 80°(上学期反复讲过的结 论) ∴∠CAE＝100° ∠CAP＝50°
小结：
对于含多个角平分线的问题，与之前证全等的思路一致，我们应该第一时刻想到作垂直的辅 助线，但是，现在我们也可以多用角平分线的性质和判定定理进行书写了．
小结：
以上2题主要是对中垂线的性质定理和判定定理的灵活运用，这里常用的辅助线就是连接中垂 线上的点和线段的两个端点．运用时，给出中垂线，就用性质定理，要证明某点的位置，就用判 定定理．
例3： 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AM于点
E，EF⊥AB，垂足为F，EG⊥AC，交AC延长线于点G，求证：BF＝CG
1、中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等． 书写格式1： ∵OP⊥AB，AP＝PB ∴AO＝BO 书写格式2： ∵点O在线段AB的中垂线上 ∴AO＝BO
直线与直线垂直性质
直线与直线垂直性质直线是几何学中最基本的元素之一，而直线之间的垂直性质更是几何学中广泛研究的一个重要领域。
本文将探讨直线与直线垂直性质的相关概念与定理，并通过具体的例子来加深理解。
一、垂直线的定义和性质在几何学中，两条直线相交于一点且互相垂直被称为垂直线。
垂直线具有以下特征：1. 垂直线之间的夹角是90度。
这是垂直线最基本的特征之一。
无论两条直线是水平与垂直相交，还是斜交，它们之间的夹角都是共同的90度。
2. 垂直线上的任意一条线段都是垂直于另一条线上的任意一条线段。
这意味着两条垂直线上的线段之间的夹角也是90度。
3. 垂直线上的任意一条线段都是垂直于平行于另一条直线上的任意一条线段。
这是垂直线的一个重要性质，也是垂直线在平行线研究中的应用之一。
二、垂直线的证明方法在几何学证明中，我们常常需要证明两条直线是垂直的。
下面介绍几种常见的垂直线证明方法。
1. 垂直线定义：通过证明两条直线相交，并且它们的夹角等于90度，我们可以得出它们是垂直线。
这是垂直线最直接的证明方法。
2. 互补角定理：如果两个角的和等于90度，则它们互为补角，也可以证明两条直线是垂直的。
3. 垂直线定理：如果两条直线分别与一条交线垂直，并且这两条直线不重合，则它们是垂直的。
这是一种基于交叉线的垂直线证明方法。
三、垂直线的应用垂直线性质在几何学中有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景。
1. 垂直平分线：垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两个相等的线段的直线。
垂直平分线在构造垂直线段、正方形等问题中有重要的应用。
2. 垂直交线：垂直交线是指两条垂直线的交点。
垂直交线在平行线证明中起着重要的作用，可以证明两条平行线与垂直交线垂直。
3. 垂直角平分线：垂直角平分线是指将一对垂直角的两条边平分为两条相等线段的直线。
垂直角平分线在角平分线构造、角度计算等问题中有广泛的应用。
通过研究直线与直线之间的垂直性质，我们可以更好地理解和利用几何学中的基本概念和定理。
线段中垂线知识点总结
线段中垂线知识点总结线段垂线是初中数学中的重要概念，它是指一个线段与另外一个线段或平面相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直。
线段垂线的性质和定理是数学学习中需要深入理解和掌握的内容。
下面将对线段垂线的定义、性质和相关定理进行详细的总结和解释。
一、线段垂线的定义线段垂线的定义比较简单，即一个线段与另一个线段或平面相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直。
在平面几何中，我们通常说两条线段或线段与平面的相交是指它们有一个交点。
当两条线段相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直时，我们称这个连线是线段的垂线。
二、线段垂线的性质线段垂线有一些重要的性质：1. 垂线的性质：线段的垂线是垂直于它的。
2. 垂直的判定：如果两条线段的垂线互相垂直，则这两条线段也是垂直的。
3. 角的性质：线段的垂线和被交线段所构成的角是直角。
4. 长度的性质：在线段的垂线上分割线段成为两个互相垂直的线段，这两个线段的长度之积等于原线段的长度之积。
5. 完全性质：一个平面内经过一点的线段的垂线只有一条。
这些性质是线段垂线的基本性质，能够帮助我们更好地理解和应用线段垂线的知识。
三、线段垂线的相关定理线段垂线的知识点主要还包括一些相关的定理，能够帮助我们解决一些具体的问题。
1. 线段垂线定理：在一个直角三角形中，三角形的任意一条边上的高都是这条边的垂线。
2. 垂心定理：在一个三角形中，三条高的交点叫做垂心，它是这个平面三角形的一个特殊点。
3. 垂直平分线定理：在一个平面几何中，如果一个线段的中点到另一个线段的两个端点的连线是这个线段的垂线，那么这个线段被中点垂直平分。
4. 垂直平分线的唯一性：在一个平面几何中，一个线段只有一条通过它中点且与它垂直的直线。
这些定理是线段垂线知识点的有力补充，它们有利于我们深入理解和应用线段垂线的相关知识。
四、线段垂线的应用线段垂线的知识点不仅在学习中有重要的地位，也在实际生活和工作中有着广泛的应用。
《垂线定理及逆定理》课件
为了证明垂线定理，我们需要利用已 知的三角形性质和几何定理来推导。
证明的过程
01 02
第一步
根据三角形面积公式，我们知道三角形ABC的面积等于底边BC乘以高 AD的一半，即S△ABC=12BC⋅AD。S_{triangle ABC} = frac{1}{2} BC cdot AD
通过应用逆定理，可以快速找到证明 两条线垂直的方法，从而简化解题过 程。
04
逆定理的证明
证明的思路
引入已知条件
首先明确题目中给出的已 知条件，包括线段、点、 角度等。
逻辑推理
根据已知条件，通过逻辑 推理和数学公式的应用， 逐步推导出结论。
结论总结
在推导过程中，不断总结 和归纳，最终得出逆定理 的结论。
逆定理的应用实例
逆定理在几何证明中的应用
利用逆定理，可以证明一些与平行线和同位角、内错角有关的几何命题，例如平 行线的性质和判定。
逆定理在日常生活中的应用
逆定理在日常生活中也有广泛的应用，例如道路的平行线检测、建筑物的平行度 测量等。
综合应用实例
垂线定理与逆定理的综合应用
在解决一些复杂的几何问题时，需要综合运用垂线定理和逆定理，例如证明两个三角形相似的判定定 理。
逆定理的几何解释
在几何图形中，逆定理可以通过实际的图形来解释和证明。
如果一条直线与另外两条相交直线形成的同旁内角互补，那 么这条直线必定与那两条相交直线垂直。
逆定理的应用场景
逆定理在几何证明题中应用广泛，特 别是在解决与垂直线相关的问题时。
在实际生活中，逆定理也有很多应用 ，比如在建筑、机械等领域中，常常 需要用到逆定理来验证结构的稳定性 和安全性。
中垂线定理及其逆定理
中垂线定理及其逆定理1.引言1.1 概述概述部分的内容需要对中垂线定理及其逆定理进行简要介绍。
可以参考如下内容进行撰写：中垂线定理及其逆定理是解析几何中重要且常用的定理之一。
中垂线是三角形中的一条特殊线段，它连接一个边上的中点与对边的垂足，同时垂直于对边。
中垂线定理指出，在一个平面三角形中，如果一条线段既与边相等又与另一边垂直，则该线段一定是该三角形的中垂线。
而中垂线逆定理则是中垂线定理的逆向推论，即如果一条线段是三角形中某一边的中垂线，那么该线段一定既与该边相等又与另一边垂直。
中垂线定理及其逆定理都具有重要的几何性质和广泛的应用。
这两个定理被广泛应用于求解三角形的几何关系和计算三角形的面积等问题。
它们可以帮助我们简化问题，提供几何上的直观理解，并且在相关的证明和推导中起到重要的引导作用。
本文将从中垂线定理与逆定理的定义与性质入手，介绍它们的推导过程和证明方法，并通过一些实际问题的应用来展示它们的实际意义和应用价值。
此外，文章还将对中垂线定理与逆定理进行总结，并给出一些相关的拓展与应用，帮助读者深入理解和运用这两个定理。
总之，中垂线定理及其逆定理是解析几何中的重要定理，通过研究和应用这些定理，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。
在接下来的章节中，我们将逐步展开对中垂线定理及其逆定理的详细介绍与探讨。
1.2 文章结构：本文主要围绕中垂线定理及其逆定理展开讨论，文章结构分为以下几个部分：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。
在概述部分，将简要介绍中垂线定理及其逆定理的背景和重要性，为读者提供一个整体的认识。
接着，说明文章的结构，即介绍各个章节的主要内容和关系。
最后，明确文章的目的，即阐述中垂线定理及其逆定理的定义、性质、证明和应用，同时提供一些拓展和应用方面的探讨。
第二部分是中垂线定理。
首先，在定义与性质部分，将详细解释中垂线定理的定义，并介绍其重要性质，如中垂线与三角形边的关系。
然后，在证明与应用部分，将给出中垂线定理的证明过程，帮助读者理解中垂线定理的原理和推导方法。
初一数学《垂线》课件
过一点作已知直线的平行线
总结词
通过给定的一个点，使用直尺和三角板，可以作出与给定直线平行的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将三角板的一条边放在该点上，另一条边与给定直线 重合，沿着这条边画一条线段，即为所求的平行线。
作平行四边形的垂线
总结词
在平行四边形中，可以通过连接 对角线上的两个端点来作出垂线 。
在地球科学中，垂线被用来测量地壳的倾斜度和地震的震源深度， 对于研究地球的运动和地震预测具有重要意义。
03 垂线的作法
过一点作已知直线的垂线
总结词
通过给定的一个点，使用直角三角板 或量角器，可以作出与给定直线垂直 的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将直角三角 板的一条直角边放在该点上，另一条 直角边与给定直线重合，沿着这条直 角边画一条线段，即为所求的垂线。
01
如果一条线段与另一条直线相交 形成的角为直角，则该线段垂直 于另一条直线。
02
如果一条线段与另一条直线相交 ，且经过另一条直线上的一点， 则该线段垂直于另一条直线。
垂线定理的推论
垂线的斜率互为相反数
如果一条直线的斜率为k，则其垂线的斜率为-1/k。
垂线与原直线平行
如果一条直线平行于x轴，则其垂线与x轴垂直。
题目2
已知两条直线互相垂直，其中 一条直线的方程为y=2x+1，求 另一条直线的方程。
题目3
在直角坐标系中，点A的坐标为 (1,2)，点B的坐标为(3,4)，求线
段AB的垂直平分线的方程。
答案及解析
01 02
题目1答案及解析
垂线是两条直线相交成直角时，所形成的线段。生活中常见的例子有窗 户的边框、墙角等。解析：此题考察垂线的定义，理解垂线的概念是解 题的关键。
线段中垂线定理
22.5 (2) 线段中垂线定理一、情景引入：1． 指定某排的两位同学，请学生指认班中哪几位同学和这两位同学的距离相等？这几位同学的位置有何特点？AB2． 已知：A(-3,0),B(3,0),在直角坐标平面内找点C ，使AC=BC.这样的点有几个？（引出点的集合）引入别致二、证明定理：1. 到线段AB 两个端点距离相等的点在哪里?——在线段AB 的中垂线上。
已知：CA=CBB求证：C 在AB 的中垂线上。
得到定理：和线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2． 出这条定理的逆命题：线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。
请学生指出此命题中的条件和结论：好得到逆定理：线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。
利用等腰三角形的性质：等腰三角形三线合一。
已知：直线L 垂直平分线段AB ，F 是垂足，点C 是AB 上的任意一点。
求证：CA=CB请学生证明。
比较两条定理：好B三、定理的运用：B C在已知△ABC 所在平面内找出点O ，使OA=OB=OC.B说明点O 的位置。
2．L B（1）∵ ON 是AB 的垂直平分线（已知） ∴ OA=OB (线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等)（2）∵ OA=OC (已知)∴ O 在AC 的垂直平分线上（和线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）1．已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线， OA=OC.求证：点O 在BC 的垂直平分线上。
结合上述（1）（2）进行证明。
（1） 在直线L 上找点P ,使AP=BP .（2） 在直线L 上找点P ,使AP+BP 最短。
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线段中垂线的性质定理
教学目的：1、掌握线段中垂线的性质定理；
2、学会线段中垂线的性质定理在几何证明及计算中的应用。
教学重点：线段中垂线的性质定理
教学难点：例2教学
教学过程：
一、复习引入：
1、 什么叫轴对称图形？
2、 已知线段AB ，如何作出其对称轴？（学生口述，
教师作图如图1）
这条对称轴就是线段AB 的中垂线。
3、 提出问题：MN 是线段AB 的中垂线，则C 为垂足，
C 也是中点，故CA=CB 。
现在，在MN 上任取一点P ，是否也有PA=PB 呢？本
节课我们要进一步研究线段的中垂线。
（揭示课题：线段中垂线的性质定理）
二、新课讲授：
1、 线段中垂线的性质定理：
在线段的中垂线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
证明方法：⑴全等证法；（学生口述简证）⑵利用轴对称证法。
（学生了解）
2、 线段中垂线的性质定理的应用
Ⅰ图形认识强化： ⑴如图2，已知DF ，EH 分别为AB ，AB 的中垂
线，所能得到的结论是：
⑵如图3，已知AE 是BC 的中垂线，所能得到
的结论是：
⑶如图4，已知DE 是AB 的中垂线，所能得到的结论是：
A B C D E
图3B A
C E D
图4
Ⅱ例题教学
例1分析：
A M N C
B P 图1B A
E C
D 图2
⑴从已知出发考虑问题，AE垂直平分CF能推出什么?AC=AF，从而能更进一步推出
什么？∠AFC=∠ACF.
⑵再从已知考虑问题，由CD⊥AB，能推出∠1与∠AFC有什么关系？由∠ACB=90，
能推出∠2和哪个角互余？
⑶由∠AFC=∠ACF能推出∠1=∠2吗？根据什么？
写出规范证明过程.
例2分析：
4
三、练习巩固：
1、P66练习1；
2、P66练习2；
四、课堂小结：
1、线段中垂线的性质定理;
2、要避免在已知线段中垂线条件下不用性质避免而用全等繁证一些结论，例如：上
图3中若要证∠DEC=∠DCE，有同学通过证明△DEC≌△DCE来证，虽能证得，但方法很繁。
3、在已知中垂线的条件下，注意适当添线可创造中垂线性质定理的使用条件，如例2。
五、作业布置：
Ⅱ
六、课后记录：。