3.5弧长及扇形的面积(2)
辅导讲义：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S =360nπR 2化为S =180R n ·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念： 的线段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ． 3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长， 这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）三、例题讲解：例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ． 例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD =120°，四边形ABCD 的周长为15．A1（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1． （1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．y x－3 O 12312 3 －3－2 －1－1 －2 －4 －5 －6A BCDEF（第3题）O四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为： （ ）A ．10πB ．10C ．10πD ．π2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm ，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．ABD CO图2ABC 第1题图A OD第2题图 第9题第11题7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 cm 2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN =CO 时，∠NMB10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o，∠A =30o，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm 的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）第12题图AC13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．O BCDE15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。
人教版九年级数学上册课件：弧长和扇形面积 (2)
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料 ，试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数) .
解：由弧长公式，可得弧AB 的长 因此所要求的展直长度
1．弧长相等的两段弧是等弧吗？
2．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆 心角是81°．这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小 数点后以为）？
圆锥中的最短路径问题
如图，已知点 P 是圆锥母线 OM 上一点，OM =6，OP =4, 圆锥的侧面积为12π，一只蜗牛从 P 点出发，绕圆锥侧面爬行 一周回到点P，则爬过的最短路线长为______.
圆锥中的最短路径问题
如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面 圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一 母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
答案：2π．
扇形面积计算综合
如图，直径 AB 为 8 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 到了点 B '，则图中阴影部分的面积是___________.
圆锥中的最短路径问题
圆锥的底面半径是 1，母线长是 4，一只蜘蛛从底面圆周上的 一点 A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到 A 点，则蜘蛛爬行的 最短路径的长是________．
如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积． 提示：可以先算非阴影部分的扇 形面积之和．
答案：12π．
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其 中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数 点后两位）．
如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1 为半径的 扇形，并且所有多边形的每条边长都大于 2，则第 n 个多边 形中，所有扇形面积之和是___________( 结果保留π，用含 n 式子表示 ).
弧长和扇形面积公式
弧长和扇形面积公式在几何学中，弧长和扇形面积是与圆形和圆的扇形相关的重要概念和计算方法。
这些公式可以用于解决许多几何问题，例如计算圆的周长、计算弧长和扇形的面积等。
本文将详细介绍关于弧长和扇形面积的公式及其推导过程。
首先，我们先来介绍一下什么是圆和圆的扇形。
圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的图形。
而圆的扇形则是由半径为r的圆上的一段弧和两条半径所围成的图形。
1.弧长公式：弧长是圆上一段弧的长度，由于圆在数学上具有无限个点，所以我们可以定义一个角度来度量弧长。
我们知道圆的一周是360度，因此弧长的度量可以用度数或弧度来表示。
当我们用度数来度量弧长时，弧长和弧度的关系可以由以下公式得到：弧长=弧度×半径该公式是通过比较整个圆的周长与360度的比例得到的。
当我们用弧度来度量弧长时，弧度的定义是：圆的半径等于半径所对应的弧长的度数。
因此，当我们用弧度来度量弧长时，直接使用半径和弧度的乘积即可表示弧长。
2.扇形面积公式：扇形是由圆心、圆上一段弧和两条半径所围成的图形。
扇形的面积就是扇形所覆盖的圆的面积。
扇形面积可以由以下公式得到：扇形面积=(弧度÷2π)×πr²该公式是通过将圆的面积与圆的周长的比例乘以扇形所对应的弧长所得到的。
推导过程如下：假设圆的半径为r，圆心角为θ度，则该圆心角所对应的弧长为：弧长=(θ÷360)×2πr由于扇形是由半径为r的圆上一段弧和两条半径所围成的，所以扇形的面积可以表示为：扇形面积=(θ÷360)×πr²化简得到：扇形面积=(θ÷2π)×πr²将弧度用θ表示，得到最终的扇形面积公式：扇形面积=(弧度÷2π)×πr²需要注意的是，使用上述公式计算扇形面积时，角度必须使用弧度表示。
如果给出的是度数，则需将角度转换为弧度后再进行计算。
扇形面积公式和弧长公式
扇形面积公式和弧长公式
扇形所对应的弧长公式为：L=n2πR/360。
扇形面积计算公式：S=nπR/360或S=LR/2。
扇形面积公式描述了扇形面积和圆心角（顶角）、半径、所对弧长的关系。
推导过程：由定理“等半径的两个扇形的面积之比等于它们的弧长之比”，将圆看作扇形，利用弧长公式和圆的面积公式即可。
简介：组成部分：1、圆上A、B两点之间的的部分叫做“圆弧”简称“弧”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
2、以圆心为中心点的角叫做“圆心角”。
3、有一种统计图就是“扇形统计图。
”曲线的弧长也称曲线的长度，是曲线的特征之一。
不是所有的曲线都能定义长度，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。
最早研究的曲线弧长是圆弧的长度，所以狭义上，特指圆弧的长度。
半径为R的圆中，n°的圆心角所对圆弧的弧长为nπR/180°。
弧长及扇形面积计算公式
弧长及扇形面积计算公式弧长计算公式：弧长是圆的一部分的弧所占据的长度。
弧长的计算公式如下：1.当弧是圆的整个周长的一部分时：弧长=圆的周长×(弧所占的角度÷360°)2.当弧的角度已知时：弧长=(圆的周长×弧的角度)÷360°3.当弧的度数已知时：弧长=(2π×弧的度数)÷360°注意：在计算弧长时，角度的度数要用度制，不要用弧度制。
扇形面积计算公式：扇形是由圆心和弧所围成的部分，计算扇形的面积需要知道扇形的半径和对应的弧度。
1.当扇形的角度已知时：扇形面积=(π×半径²×扇形的角度)÷360°2.当扇形的弧度已知时：扇形面积=(半径²×扇形的弧度)÷2注意：在计算扇形面积时，角度的度数要用度制，不要用弧度制。
示例问题：1. 如果一个圆的半径为10 cm，计算它的弧长和扇形面积，其中扇形的角度为60°。
解：对于弧长，使用公式弧长=(圆的周长×弧所占的角度)÷360°，得到弧长= (2π × 10 cm × 60°) ÷ 360° = 20π cm ≈ 62.83 cm 对于扇形面积，使用公式扇形面积=(π×半径²×扇形的角度)÷360°，得到扇形面积= (π × 10 cm² × 60°) ÷ 360° ≈ 5.24π cm² ≈ 16.42 cm²所以，该圆的弧长为约62.83 cm，扇形面积为约16.42 cm²。
2. 如果一个扇形的半径为8 m，计算它的弧长和扇形面积，其中扇形的弧度为2.5 rad。
初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲
初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲一. 本周教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 教学目的1. 使学生学会弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。
2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。
3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。
4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。
教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π=2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2π。
n °的圆心角所对的弧长是180Rn π 180Rn π=∴lP 120*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。
3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。
发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。
4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是： R 21360R n S 2l =π=扇形（n 也是1°的倍数，无单位）5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。
其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。
如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。
锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。
也就是说，把直角三角形SOA 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。
北师大版九年级数学下册3.9弧长及扇形的面积教案
学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
【课堂小结】
同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长得最快的植物，数学的学习也是如此．通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对弧长计算公式从感性认识上升到理性认识．先从一般到特殊，再从特殊到一般，利用圆的周长公式推导出弧长的计算公式，在这一过程中让学生再次感受弧长与圆的周长公式的密切关系.
类比弧长计算公式的探索过程，引导学生探索扇形面积的计算公式，教会学生用类比的思想方法去模拟解决实际问题，锻炼学生的能力.
(2)已知扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则该扇形的圆心角为__150°__．
处理方式：让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流，通过整体代入的方法推导出扇形的第二个面积计算公式，并让学生类似于三角形的面积计算公式加以记忆．对于巩固训练可以让两名同学板演，其余学生在练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时予以强调.
课题
9弧长及扇形的面积
授课人
教
学
目
标
知识技能
掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题．
数学思考
经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养自主探索的能力．
问题解决
在利用弧长和扇形面积公式解题中，培养学生应用知识能力、空间想象能力和动手画图能力，体会由一般到特殊的数学思想．
情感态度
使学生了解计算公式的同时体会公式的变式，养成独立思考、合作交流的良好学习习惯.
弧长扇形面积公式
弧长扇形面积公式
弧长扇形面积公式是指一个扇形中弧的角度和长度是已知的情况下，对应的面积计算公式。
它常用于计算几何图形的面积，比如圆的面积或者椭圆的面积。
具体内容如下：
一、弧长扇形面积公式
1. 公式推导：
（1）扇形面积S=R*R*θ/2
（其中，R为扇形半径，θ为一个扇形中弧的角度）
（2）弧长公式C=R*θ
（其中，C为扇形中弧的长度）
（3）将（1）与（2）结合，可求出弧长扇形面积公式：
S=C*R/2
2.实际应用：
（1）将锁链围成的一个扇形，给定了它的半径R和弧长C，则可以通过此公式计算扇形面积。
（2）将一个圆分为几个小扇形，给定了它们的弧长C，可以利用此公式求得每一个小扇形的面积。
二、弧长扇形面积公式的特点
1. 对角度θ和半径R在一定范围内，此公式都是成立的。
2. 弧长求面积的公式不依赖于图形的形状，无论是圆形、椭圆形等，只要是扇形的面积计算，都可以使用此公式。
3.该公式求得的结果是最精确的，解决了传统方法求和的误差很大的问题。
三、弧长扇形面积公式的优势
1.公式简单易懂，容易理解。
2.对偶结构其他几何图形，也可以利用此公式，得到更加准确结果。
3.可以节约计算时间和空间，减少了计算复杂度。
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如果圆的半径为R，则圆的面积为 R ， R 2 l°的圆心角对应的扇形面积为 ， 360
2
n°的圆心角对应的扇形面积为
R
2
nR n 360 360
2
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的 扇形面积的计算公式为
完成 P84 “做一做”
S扇形
n n R S圆 360 360
如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇 的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的 宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为 120 °，问哪一把扇子扇面的面积大？
a a
我国著名的引滦工程的主干线输水管的直 径为2.5m,设计流量为12.73m3 /s.如果水管 截面中水面面积如图所示,其中∠AOB=45°, 那么水的流速应达到多少m/s.
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的 弧长的计算公式为
n n R l C圆 360 180
nR 注意： 在应用弧长公式l 进行计算 180
时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆 心角的倍数，它是不带单位 的；
一条弧和经过这条弧的端点的两条 半径所组成的图形叫做扇形。
⌒ 如右图,半径OA,OB与AB组成 ⌒ 一个扇形,与ACB也组成一个 扇形,这两个扇形可以分别 记做“扇形OAB”和“扇形 O-ACB”
（2）弧长单位没有平方的
如图，⊙O的半径为1，圆周角 ∠ABC=30°，求图中阴影部分的 面积（结果用表示）.
如图，AB是半径为1的半圆O的直径，弦 CD∥AB，且CD为90°，求图中阴影部 分的面积.
如图，将△ABC绕点C旋转60°得到 △A/B/C，已知AC=6，BC=4，则线段 AB扫过的图形面积为（ ） A. 3 A 2 B. 8
(精确到0.01m/s).
Ｂ D O A
1、如图，水平放置的一个油管的横截面 半径为12cm,其中有油的部分油面高6cm, 求截面上有油部分的面积(结果精确到 1cm2).
O
A B
C
若求由优弧ACB和弦AB组成的阴影部分 的面积，则
s阴影 ？
A
C
O B
弓形面积可以通过扇形与相应的三 角形面积相减(或相加)得到.
2
1 lR 2
n n R l C圆 360 180 2 1 n n R S扇形 S圆 lR 360 360 2
在两个公式中，存在 l 、R、n、S四个量， 我们只要知道其中两个就可以求得其它两个。
1. 扇形面积大小（ C） (A)只与半径长短有关 (B)只与圆心角大小有关 (C)与圆心角的大小、半径的长短有关 2.如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面 积是S，那么n等于（ B ）
1.
扇形的面积大小与哪些因素有关？ （1）与圆心角的大小有关 （2）与半径的长短有关
n n R l C圆 360 180 1 n n R 2 S扇形 S圆 lR 360 360 2
3.
2.
扇形面积公式与弧长公式的区别：
扇形面积单位与弧长单位的区别： （1Байду номын сангаас扇形面积单位有平方的
S△ABC =S扇形ODC
如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙 墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊 A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在 草地上的最大活动区域面积是（ ） 17 A. 12 πm2
17 B. πm2 6
小羊A 5m
C.
D.
25 πm2 4
120° 4m
77 12πm2
6m
3
C.
B
B
A
6
C
D. 以上答案都不对
如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E半径 都是1，顺次连结五个圆心得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分） 的面积之和是 .
如图，在Rt△ABC中，AC=BC ，以A为 圆心画弧，交AB于点D，交AC延长线于 点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分 的面积相等，求AC与AF的长度之比.
(A) 360S πr (B) 360S πr2 (C) 180S πr (D) 180S πr2
3.如果一个扇形面积是它所在圆的面积 C 的1/8，则此扇形的圆心角是（ ） (A)300 (B)360 (C)450 (D)600
1、已知扇形面积为 3 ，圆心角为30°， 则这个扇形的半径R=____． 6 2、已知扇形的圆心角为150°，弧长为 20 ,则这个扇形的面积为____ ． 240