几何概型习题
几何概型的经典例题
几何概型的经典例题
一、例题
在区间[ - 1,2]上随机取一个数x，则| x|≤slant1的概率为多少？
二、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域长度
- 区间[ - 1,2]的长度为2-( - 1)=3。
2. 然后确定满足条件| x|≤slant1，即-1≤slant x≤slant1的区域长度
- 区间[ - 1,1]的长度为1-( - 1)=2。
3. 最后根据几何概型的概率公式P(A)=(构成事件A的区域长度(面积或体积))/(试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积))
- 这里是在数轴上的区间问题，属于长度型几何概型，所以P = (2)/(3)。
三、例题
已知正方形ABCD的边长为2，在正方形ABCD内随机取一点P，求点P到正方形各顶点的距离都大于1的概率。
四、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域面积
- 正方形ABCD的边长为2，则其面积S = 2×2 = 4。
2. 然后确定满足条件的区域面积
- 点P到正方形各顶点的距离都大于1，那么点P在以正方形各顶点为圆心，1为半径的四个四分之一圆的外部（这些圆在正方形内部的部分）。
- 四个四分之一圆的面积之和相当于一个半径为1的圆的面积，即
S_1=π×1^2=π。
- 满足条件的区域面积S_2=4 - π。
3. 最后根据几何概型的概率公式
- 这里是平面区域问题，属于面积型几何概型，所以P=frac{S_2}{S}=(4 - π)/(4)。
几何概型例题及解析
几何概型例题及解析题目：在边长为2的正方形内随机取一个点，则该点到正方形四个顶点的距离都大于1的概率是( )。
A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 1/16解析：在边长为2的正方形内，到四个顶点距离都大于1的区域是一个边长为1的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即1/4。
题目：在半径为2的圆内随机取一条弦，则弦长小于等于2√3的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √3/2解析：在半径为2的圆内，弦长小于等于2√3的弦对应的圆心角为120°。
因此，所求概率为120°/360° = 1/3，但选项中并没有这个值，可能题目有误或选项不完整。
题目：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，则满足x^2 + y^2 ≤ 2的概率是( )。
A. π/4B. π/2C. 1 - π/4D. 1 - π/2解析：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，对应的平面区域是一个边长为2的正方形。
满足x^2 + y^2 ≤ 2的区域是一个半径为√2的圆在正方形内的部分。
所求概率为圆的面积与正方形面积之比，即π*(√2)^2 / (2*2) = π/2。
题目：在边长为1的正方形内随机取一个点，则该点到正方形中心的距离小于1/2的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √2/2解析：在边长为1的正方形内，到中心距离小于1/2的区域是一个边长为1/2的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即(1/2)^2 = 1/4。
题目：在三维坐标系中，随机取一个点P(x, y, z)，其中x, y, z ∈ [0, 1]，则点P到原点O的距离小于等于√2/2的概率为( )。
A. π/6B. π/4C. π/3D. π/2解析：在三维坐标系中，到原点距离小于等于√2/2的点构成一个半径为√2/2的球在[0, 1]^3内的部分。
所求概率为球的体积与[0, 1]^3的体积之比，即(π*(√2/2)^3) / 1^3 = π/6。
几何概型知识点及练习
3.3几何概型1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，称这样的概率模型为集合概率模型，简称集合概型。
备注：（1）几何概型的特点①无限性，即在一次实验中，基本事件的个数可以是无限的；②等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的。
2、几何概型的概率计算公式 积）的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A )(A P 【典型例题】1、 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?2、在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm ，4cm ，6cm ，某人站在3m 之外向此版投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：(1) 投中大圆的内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？【练习】1、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ B ）A ．14B ．18C ．110D ．1122、在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________.3、已知地铁列车每10min 一班，在车站停１min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为___________.4、在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.5、在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为 5.1亿平方千米)6、已知集合A={}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8-----,在平面直角坐标系0x y中,点(),x y的坐标,x A y A∈∈,点(),x y正好在第二象限的概率是 ( )A. 13B.14C.15D.257、取一根长度为３m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１m的概率有多大？8、在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.。
高中几何概型试题及答案
高中几何概型试题及答案一、选择题1. 已知一个圆的半径为r，随机取圆内一点，该点落在半径为r/2的同心圆内的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/8D. 1/16答案：A2. 从长度为1的线段上随机取两点，将线段分为三段，求这三段能构成三角形的概率。
A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/6答案：C3. 在一个边长为1的正方形内随机投掷一个半径为1/2的圆盘，求圆盘完全落在正方形内的概率。
A. 1/4B. 1/2C. 1/8D. 1/16答案：A二、填空题4. 一个圆的面积为π，随机取圆内一点，该点落在半径为1的同心圆内的概率是______。
答案：1/45. 从长度为3的线段上随机取两点，将线段分为三段，这三段能构成三角形的概率是______。
答案：1/26. 在一个边长为2的正方形内随机投掷一个半径为1的圆盘，圆盘完全落在正方形内的概率是______。
答案：1/4三、解答题7. 一个圆的半径为2，随机取圆内一点，求该点到圆心的距离小于1的概率。
答案：设圆心为O，随机点为P，OP<1，则P点落在半径为1的同心圆内。
由于大圆面积为4π，小圆面积为π，所以概率为π/4π=1/4。
8. 从长度为4的线段上随机取两点，将线段分为三段，求这三段能构成三角形的概率。
答案：设线段为AB，随机取点C和D，使得AC+CD+DB=4。
要构成三角形，必须满足AC+CD>DB，AC+DB>CD，DB+CD>AC。
这等价于C和D位于线段AB的中点两侧，且不同时位于AB的中点。
因此，构成三角形的概率为1/2。
9. 在一个边长为3的正方形内随机投掷一个半径为1的圆盘，求圆盘完全落在正方形内的概率。
答案：设正方形为ABCD，圆心为O，圆盘完全落在正方形内，即O点到正方形任意一边的距离都小于1。
由于正方形的对角线长度为√(3²+3²)=3√2，半径为1的圆盘可以完全落在正方形内，因此概率为1。
几何概型
几何概型习题（含答案）一、单选题1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π2．在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线与圆有交点的概率为，则a =A．B．C．1D．23．在区间上随机取两个数x，y，记P为事件“”的概率，则A．B．C．D．4．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率( )A．B．C．D．5．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为( )A．B．C．D．无法计算6．在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A．B．C．D．7．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（）A．B．C．D．8．在上任取一个个实数，则事件“直线与圆”相交的概率为( )A．B．C．D．9．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．B．C．D．二、填空题10．任取两个小于1的正数x、y，若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．11．已知，，，都在球面上，且在所在平面外，，，，，在球内任取一点,则该点落在三棱锥内的概率为__________．12．已知，点的坐标为，则当时，且满足的概率为__________．13．在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为_______。
几何概型典型例题
几何概型例1、取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少？例2、等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率。
例3、甲、乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人15分钟，过时即可离去。
求两人能会面的概率。
例4、将长为1的棒任意折成三段，求：三段的长度都不超过a （1132a ≤≤）的概率。
1、（2009，山东）在区间[-1,1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到12之间的概率是（ ）A 、13 B 、2πC 、12D 、23 2、（2009，辽宁）四边形ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 点的距离大于1的概率为（ ）A 、4πB 、14π-C 、8π D 、18π- 3、（2009，福建）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为__________4、（2008，江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是_____________5、（2007，海南）设有关于x 的一元二次方程 2220x ax b ++=.（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
6、（2010，青岛）若区域M 为{(,)x y |||||2x y +≤}，在区域M 内的点的坐标为(,)x y ，则220x y -≥的概率是（ ）A 、14B 、13C 、12D 、347（2010，海口）点D 为正三角形ABC 的边BC 的中点，从点D 发出的光线到AC 边上每一点的概率相同，则由点D 发出的光线，先后经过AC 边、AB 边反射后仍落在BC 边上的概率为（ ）A 、12B 、13C 、14D 、158、（2010，深圳模拟题）一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻次蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）A 、16π- B 、112π- C 、6π D 、12π 9、（2010，银川）设圆上的点是等可能分布的，作圆内接△ABC ，求△ABC 是锐角三角形的概率。
几何概型典型例题
∴P(M)＝SS21＝1386＝12.
(2)设点(x，y)在区域 B 为事件 N，甲、乙两人各掷一次骰子所得 的点(x，y)的个数为 36 个，其中在区域 B 中的点(x，y)有 21 个，故 P(N)＝2316＝172.
几何概型典型例题
1．点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机 取一点 B，则劣弧 的长度小于 1 的概率为________．
解析：设事件 M 为“劣弧 的长度小于 1”，则满足事件 M 的 点 B 可以在定点 A 的两侧与定点 A 构成的弧长小于 1 的弧上随机取一 点，由几何概型的概率公式得：P(M)＝32.
6．将长为
1
的棒任意地折成三段，求：三段的长第一段的长度为 x，第二段的长度为 y， 第三段的长度为 1－x－y， 解：设第一段的长度为 x，第二段的长度为 y，第三段的长度为 1 －x－y，
则基本事件组所对应的几何区域可表示为 Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0 ＜y＜1,0＜x＋y＜1}，此区域面积为12.
事件“三段的长度都不超过 a(31≤a≤1)”所对应的几何区域可表 示为 A＝{(x，y)|(x，y)∈Ω，x＜a，y＜a,1－x－y＜a}．
即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a≤21时，
为(3a－1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过
1 a(3
≤a≤1)”的概率为 P＝(3a－1/21)2/2＝(3a－1)2；
当21≤a≤1
时，为21－3(1－2 a)2.此时事件“三段的长度都不超过
1 a(3
≤a≤1)”的概率为 P＝1－3(1－a)2.
几何概型 - 简单 - 习题
几何概型一、选择题（共12小题；共60分）1. 下列关于几何概型的说法错误的是A. 几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B. 几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C. 几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D. 几何概型中每个结果的发生都具有等可能性2. 已知是长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于的概率为A. B. C. D.3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是A. B. C. D.4. 张卡片上分别写有数字，，，，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为A. B. C. D.5. 设在上随机地取值，则关于的方程有实数根的概率为A. B. C. D.6. 如图，在半径为，弧长为的扇形中，以为直径作一个半圆．若在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A. B. C. D.7. 在中，，，，在边上任取一点，则为钝角三角形的概率为A. B. C. D.8. 如图，在边长为的正方形内有区域（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域的面积．若每次在正方形内随机产生个点，并记录落在区域内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域内点的个数的平均值为个，则区域的面积约为A. B. C. D.9. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则A. B. C. D.10. 某个路口交通指示灯，红灯时间为秒，黄灯时间为秒，绿灯时间为秒，黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过秒就可以通行的概率为A. B. C. D.11. 在长为的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于的概率等于A. B. C. D.12. 在区间内随机取出一个数，使得的概率为A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 某路公共汽车每发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过的概率为．14. 在区间上随机选取一个数，则的概率为．15. 已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则．16. 在边长为的正三角形内任取一点，则使点到三个顶点的距离至少有一个小于的概率是．17. 已知一只蚂蚁在边长分别为，，的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于的地方的概率为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 设有一个等边三角形网格，其中各个等边三角形的边长都是，现将直径等于的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．19. 已知在等腰直角三角形中，．（1）在线段上任取一点，求使的概率；（2）在内任作射线，求使的概率．20. 在等腰的斜边上任取一点，求小于的概率．21. 如图，两盏路灯之间的距离是米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯、，问与，与之间的距离都不小于米的概率是多少?22. 在的水中有一个草履虫，现从中随机取出水放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．答案第一部分1. A 【解析】几何概型与古典概型是两种不同的概率模型，无包含关系．2. B3. B 【解析】长方形的面积，以为直径的半圆的面积，所以．4. C 【解析】采用列举法得所有的基本事件有，，，，，六种情况，其中两数字之和为奇数的有，，，四种情况，故所求概率为．5. C【解析】方程有实根，则，解得或（舍去）．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为．6. B 【解析】阴影部分的面积为，扇形的面积为，所以在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率．7. C 【解析】过点作，垂足为，则；过点作，交于点，则，，易知当点在线段和上时（不包括线段端点，，），为钝角三角形，故所求概率为．8. B 【解析】设区域的面积约为，根据题意有，所以，，所以区域的面积约为．9. A10. A11. D 【解析】将线段平均分成段，设中间两点分别为，，则当点在线段上时符合题意，所以概率．12. D第二部分13.【解析】本题可以看成向区间内均匀投点，求点落入内的概率．设某乘客候车时间不超过，所以．14.15.【解析】如图，设，根据对称性，由题中条件知，点的活动范围为，即．当时，，解得，所以．16.【解析】分别以点，，为圆心，以为半径作圆，与构成三个扇形，如图中阴影部分所示，当点落在其内时符合要求．所以．17.【解析】由题意可知，三角形的三条边长的和为，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于的地方爬行，则它爬行的区域长度为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为．第三部分18. 记事件为“硬币落下后与格线没有公共点”，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边的距离都为，则小等边三角形的边长为．由几何概型的概率计算公式得．19. （1）设，，则．若，则，故的概率．（2）设，则．若，则，故的概率．20. 在上截取，于是，．21. 记：“与，与之间的距离都不小于米”，把三等分，由于中间长度为米所以．22. 记事件在取出的水中有草履虫，由几何概型的概率计算公式得．。
几何概型作业含答案
几何概型作业（含答案）1．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B．58C．38D．310答案：B解析：行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知，所求事件的概率P＝2540＝58，故选B.2．[2019吉林调研]如图，长方形的面积为1，将100个豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有20个豆子落在阴影部分，则用随机模拟的方法估计图中阴影部分的面积为()A.15B．45C．120D．1100答案：A解析：设阴影部分的面积为S，依题意，得S 1＝20 100，所以S＝15，故选A.3．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在到三个顶点的距离都大于1的地方的概率为()A.45B．35C ．π60 D ．π3答案：A解析：由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30， 而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行， 则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB ＝( )A.12 B ．14 C ．32 D ．74答案：D解析：由已知，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点， 由勾股定理，可得AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB 2＋AD 2，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝716，即AD AB ＝74，故选D.5．已知单位圆的圆心为O ，A 是圆上的一个定点，点B 在圆上，则使∠AOB <π3的概率为( )A.16 B ．14 C ．13 D ．12 答案：C解析：如图，问题转化为劣弧的长与圆的周长的比，所以P ＝23π2π＝13.6．[2019石家庄模拟]如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是()A.15 B ．14 C ．13 D ．12答案：D解析：由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π2， 所以所求概率为1－2×π22π＝12.7．[2019广州模拟]在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是( ) A.12 B ．34 C ．38 D ．58答案：B解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，3π4.由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，得22≤sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1， 所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 故要求的概率为π2－0π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝34.8．[2019河南濮阳一模]如图所示的长方形的长为2、宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为()A.n m B ．2n m C ．m n D ．m 2n答案：B解析：长方形的面积为2，题图中飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约为n m ，故图中飞鸟图案的面积约为2nm.故选B. 9．[2019山东烟台期末]在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥22”发生的概率为( )A.12B ．13123答案：C解析：由题意，可得⎩⎨⎧sin x ＋cos x ≥22，0≤x ≤π，即⎩⎨⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥12，0≤x ≤π，解得0≤x ≤7π12，故所求的概率为7π12π＝712.10．[2019河北衡水联考]2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A.363π10 mm 2 B ．363π5 mm 2 C.726π5 mm 2 D ．363π20 mm 2答案：A解析：向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S ＝30100×π×112＝363π10(mm 2)．11．[2019广东肇庆模拟]已知m ∈[1,7]，则函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在实数集R 上是增函数的概率为( )A.14B ．1324答案：B解析：f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7， 依题意，知f ′(x )在R 上恒大于或等于0， 所以Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0，得2≤m ≤4. 又m ∈[1,7]，所以所求的概率为4－27－1＝13.故选B.12．[2019河南新乡一模]若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则x 2＋y 2<1的概率为________．答案：π36解析：如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，0≤y ≤3表示的平面区域是正方形区域，面积为3×3＝9，其中满足x 2＋y 2<1的平面区域为阴影区域，其面积为14π·12＝π4， 故所求的概率P ＝π49＝π36.13．[2019福建三明段考]在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2－y 2b 2＝1表示离心率小于5的双曲线的概率为________．答案：78解析：∵双曲线的离心率小于5， ∴1<e <5，∴1<ca <5， ∴1<1＋b 2a 2<5，∴0<b 2a 2<4，解得b <2a (1≤a ≤5,2≤b ≤4)．① ①式对应的平面区域如图中阴影部分所示，根据几何概型概率公式，得所求概率为 P ＝12×(3＋4)×24×2＝78.14．[2019福建漳州调研]在半径为2的圆C 内任取一点P ，则以点P 为中点的弦的弦长小于23的概率为________．答案：34解析：由题意可知，当且仅当弦心距d >22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1，即|CP |>1时，以点P 为中点的弦的弦长小于23，由几何概型的概率公式可得， 所求概率为π×22－π×12π×22＝34.15．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF －BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F －AMCD 内的概率为________．答案：12解析：因为V F－AMCD＝13S四边形AMCD·DF＝14a3，V ADF－BCE＝12a3，所以蝴蝶飞入几何体F－AMCD内的概率为14a312a3＝12.16．[2019海南东方期末]已知在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，P A＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O－ABCD的体积不小于23的概率为________．答案：2764解析：当四棱锥O－ABCD的体积为23时，设O到平面ABCD的距离为h，则有13×22×h＝23，解得h＝12.如图所示，在四棱锥P－ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为12.因为P A⊥底面ABCD，且P A＝2，所以PH P A ＝34，所以四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率为 P ＝V 四棱锥P －EFGH V 四棱锥P －ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PH P A 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764.17．[2019大连模拟]在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．答案：34解析：若直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交， 则有圆心到直线的距离d ＝|5k |k 2＋1<3，即－34<k <34，所以所求概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.18．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．答案：18解析：根据几何概型知识，概率为体积之比， 即P ＝(4－2)343＝18.19．[2019河北唐山五校联考]向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，该点落在x 轴下方的概率为________．答案：16－34π解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB的长为2. 又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为12×23π×2－12×2×3＝23π－3，所以向圆(x－2)2＋(y－3)2＝4内随机投掷一点，该点落在x轴下方的概率P＝23π－34π＝16－34π.20．已知关于x的二次函数f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.(1)若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次向上一面出现的点数，求y＝f(x)恰有一个零点的概率；(2)若a，b∈[1,6]，求满足y＝f(x)有零点的概率．解：(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6，6)，共36个．用A表示事件“y＝f(x)恰有一个零点”，令Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，则a＋1＝2b，则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，所以P(A)＝336＝112.所以事件“y＝f(x)恰有一个零点”发生的概率为1 12.(2)用B表示事件“y＝f(x)有零点”，则B即为“a＋1≥2b”．试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|1≤a≤6，1≤b≤6}，构成事件B的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a－2b＋1≥0}，如图：所以所求的概率为P(B)＝12×5×525×5＝14.所以事件“y＝f(x)有零点”发生的概率为1 4.。
几何概型典型例题
典型例题【类型一】 与(时间)长度有关的几何概型例1．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 处起，有l0s 长的一段内容含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？分析:包含两个间谋谈话录音的部分在30s 到40s 之间，当按错健的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错健的时刻在0到40s 之间时全部被擦掉，即在Os 到40s 之间，也即Omin 到32min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而Omin 到30min 之间的时间段内任一时刻按错健的可能性是相等的，所以按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．解析: 设事件A"按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，事件A 发生就是在Omin 到32min 时间段内按错键，所以点评:此题有两个难点:一是等可能的判断;二是事件A 对应的区域是Omin 到32min 的时间段,而不是21min 到32min 的时间段. 【类型二】 与面积有关的几何概型例2．射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内：白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122cm,靶心直径12.2cm ，运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？分析：由于箭都能中靶，且对中靶面的任一点是等可能的，因此符合几何极型的特征，可用几何概型的求概率公式求解．解：记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点满在面积为41π×12.22cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率:答：“射中靶心”的概率是0.01.点评: 在几何区域D 内随机取一点,记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率: 的度量的度量D d A P =)(. 【类型三】 与体积有关的几何概型例3.在1L 高产下麦种子里中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随即取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？点拨: 病种子在这1L 种子中的分布可以看作是随机的,取得10mL 种子可以看作区域d,所有种子可视为区域D.解：取出10mL 麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A ，则P （A ）=.1001100010==所有种子的体积取出种子的体积 点评: 本题事件A 的度量是用种子的体积,应用问题的度量视具体情况而定. 创新应用型几何概型-------（会面问题）例4.甲、乙两人约定在7时到8时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解析：以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是：|x-y|≤15，在平面上建立直角坐标系如图，则（x ，y ）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示．这是一个几何概率问题，由等可能性知两人能会面的概率是 P （A ）=167604560222=-=S S A 几何概型中有无限多个试验结果，只要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件的概率计算公式，问题是不难解决的．几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化．y60 1515。
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几何概型专项测试
1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g）范围内的概率是（）A．0.62 B．0.38 C．0.02 D．0.68 2．在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为（）
A．
3
10
B．
1
5
C．
2
5
D．
4
5
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为（）
A．
1
B．
2
16
C
．
3
D
．
1
4
4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（）
A．3
4
B．
3
8
C．
1
4
D．
1
8
5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为（）
A．1
3
B．
4
9
C．
5
9
D．
7
10
6如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（）
A．2
π
B．
1
π
C．
2
3
D．
1
3
7．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（）
A．1
8
B．
1
4
C．
1
2
D．
3
4
8．现有100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml 的蒸馏水，则抽到细菌的概率为 （ ） A ．
1100
B ．
120
C ．
110
D ．1
5
9．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ ）
A ．1
4 B ．1
8 C ．1
10 D ．1
12
10．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（ ）
A ．1
5 B ．2
5 C ． 35 D ．2
7
11．若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L 与线段BC 相交的概率为（ ）
A ．1
2 B ．1
3 C ． 16 D ．1
12
12．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A ．0.5
B ．0.4
C ．0.004
D ．不能确定
13．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（ ）
A ．r a
B ．2r a
C ． a r a -
D ．2a r a -
14．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ．则乘客到达站台立即乘上车的概率为 ． 15．随机向边长为2的正方形ABCD 中投一点P,则点P 与A 的距离不小于1且与CPD ∠为锐角的概率是__________________．
16．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于5
6的概率是 ．
17．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______．
18．飞镖随机地掷在下面的靶子上．
（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？
（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？
19．一只海豚在水池中游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．
20．在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．
几何概型：
1.B;
2.B;
3.C;
4.A;
5.C;
6.A;
7.A;
8.B;
9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.
111
; 15.
4
arcsin
52
π; 16. 2572; 17. 87.5%; 18.（1）都是13；（2）23
;34。
19.解：由已知可得，海豚的活动范围在26×16㎡的区域外，
所以海豚嘴尖离岸边不超过m 2的概率为2616
10.3083020
P ⨯=-
=⨯。
20.解：设构成三角形的事件为A ，长度为10的线段被分成三段的长度分别为x ，y ，
10－（x ＋y ），
则 010010010()10x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<-+<⎩，即010010010x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩
．
由一个三角形两边之和大于第三边，有
10()x y x y +>-+，即510x y <+<．
又由三角形两边之差小于第三边，有
5x < ，即05x <<，同理05y <<．
∴ 构造三角形的条件为05
05510x y x y <<⎧⎪
<<⎨⎪<+<⎩
．
∴ 满足条件的点P （x ，y ）组成的图形是如图所示中的阴影区域（不包括区域的边界）．
2125·522S ∆阴影＝＝，21·1052
OAB S ∆＝＝0．
∴ 1
()4
OMN S P A S ∆∆阴影＝＝．。