(新)几何概型典型例题
几何概型(有答案)
A
10 10
S
30
x
0 x 30
0 y 30
而二人会面 x y 10
SA P(A)= SS
３０２－２０２ ＝ ３０２
９ ５
练习:假设小明家订了一份报纸,送 报人可能在早上6:30至7:30之间把 报纸送到小明家,小明的爸爸离开家 去工作的时间在早上7:00至8:00之 间,问小明的爸爸在离开家前能得到 报纸的概率是多少? 书本上P137例2
练习
在500ml的水中有一个草履虫，现 从中随机取出2ml水样放到显微镜下 观察，则发现草履虫的概率是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
练习 取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位 置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米 1m 1m 的概率有多大?
3m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不 小于1m”为事件A，把绳子三等分，于 是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一，所以事件A发生的概率P （A）=1/3。
例9、（1）在面积为S的三角形ABC的AB边上 任取一点P，则三角形PBC的面积小于S∕2的 概率是＿＿＿； （2）向面积为S的三角形ABC内任投一点P， 则三角形PBC的面积小于S∕2的概率是＿＿＿；
典型例题讲解
例10、下图的矩形，长为5，宽为2， 在矩形内在随机地撒300颗黄豆，数 得落阴影部分的黄豆数为138颗，则 我们可以估计出阴影部分的面积 为 ．
解题方法小结：
对于复杂的实际问题，解题的 关键是要建立概率模型，找出 随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域，把问题转化为 几何概型的问题，利用几何概 型公式求解。
练习
几何概型的经典例题
几何概型的经典例题
一、例题
在区间[ - 1,2]上随机取一个数x，则| x|≤slant1的概率为多少？
二、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域长度
- 区间[ - 1,2]的长度为2-( - 1)=3。
2. 然后确定满足条件| x|≤slant1，即-1≤slant x≤slant1的区域长度
- 区间[ - 1,1]的长度为1-( - 1)=2。
3. 最后根据几何概型的概率公式P(A)=(构成事件A的区域长度(面积或体积))/(试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积))
- 这里是在数轴上的区间问题，属于长度型几何概型，所以P = (2)/(3)。
三、例题
已知正方形ABCD的边长为2，在正方形ABCD内随机取一点P，求点P到正方形各顶点的距离都大于1的概率。
四、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域面积
- 正方形ABCD的边长为2，则其面积S = 2×2 = 4。
2. 然后确定满足条件的区域面积
- 点P到正方形各顶点的距离都大于1，那么点P在以正方形各顶点为圆心，1为半径的四个四分之一圆的外部（这些圆在正方形内部的部分）。
- 四个四分之一圆的面积之和相当于一个半径为1的圆的面积，即
S_1=π×1^2=π。
- 满足条件的区域面积S_2=4 - π。
3. 最后根据几何概型的概率公式
- 这里是平面区域问题，属于面积型几何概型，所以P=frac{S_2}{S}=(4 - π)/(4)。
几何概型例题及解析
几何概型例题及解析题目：在边长为2的正方形内随机取一个点，则该点到正方形四个顶点的距离都大于1的概率是( )。
A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 1/16解析：在边长为2的正方形内，到四个顶点距离都大于1的区域是一个边长为1的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即1/4。
题目：在半径为2的圆内随机取一条弦，则弦长小于等于2√3的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √3/2解析：在半径为2的圆内，弦长小于等于2√3的弦对应的圆心角为120°。
因此，所求概率为120°/360° = 1/3，但选项中并没有这个值，可能题目有误或选项不完整。
题目：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，则满足x^2 + y^2 ≤ 2的概率是( )。
A. π/4B. π/2C. 1 - π/4D. 1 - π/2解析：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，对应的平面区域是一个边长为2的正方形。
满足x^2 + y^2 ≤ 2的区域是一个半径为√2的圆在正方形内的部分。
所求概率为圆的面积与正方形面积之比，即π*(√2)^2 / (2*2) = π/2。
题目：在边长为1的正方形内随机取一个点，则该点到正方形中心的距离小于1/2的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √2/2解析：在边长为1的正方形内，到中心距离小于1/2的区域是一个边长为1/2的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即(1/2)^2 = 1/4。
题目：在三维坐标系中，随机取一个点P(x, y, z)，其中x, y, z ∈ [0, 1]，则点P到原点O的距离小于等于√2/2的概率为( )。
A. π/6B. π/4C. π/3D. π/2解析：在三维坐标系中，到原点距离小于等于√2/2的点构成一个半径为√2/2的球在[0, 1]^3内的部分。
所求概率为球的体积与[0, 1]^3的体积之比，即(π*(√2/2)^3) / 1^3 = π/6。
高中数学必修三3.3.1几何概型习题新人教A版必修3
A′，连接 AA′，它是一条弦，
1
31 1
A. B. C. D.
2
23 4答案： C3．已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点
1 AD
为 2，则 AB＝ (
)
P，使△ APB的最大边是
AB”发生的概率
1 13
7
A. B. C. D.
2 42
4
答案： D
几何概型
1．如图所示，在一个边长分别为
A 组 基础巩固 a， b( a>b>0) 的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分
aa 别为 3， 2，且高为 b. 现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是
()
7
5
A. 10 B. 7
55 C. D.
12 8
答案： C
2. 如图， A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点
所以
P( A) ＝
r ， a] 的长度 [0 ， a] 的长度
＝
a－ a
r
.
10．在长度为 10 cm 的线段 AD上任取两点 B， C在 B， C处折此线段而得一折线，求此折线
能构成三角形的概率．
解：设 AB， AC的长度分别为 x， y，由于 B， C在线段 AD上，因而应有 0≤ x，y≤10，
1 所以 GS∥ CD， GS＝ 2CD.
又 AB∥ CD， AB＝ CD，
1 所以 GS∥ AB，且 GS＝ 2AB，
又 M为 AB中点，所以 GS＝ AM， 所以四边形 AGSM为平行四边形． 所以 AG∥ MS， 又 MS? 平面 FMC， AG?平面 FMC， 所以 AG∥平面 FMC， 即 GP∥平面 FMC.
几何概型知识点及练习
3.3几何概型1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，称这样的概率模型为集合概率模型，简称集合概型。
备注：（1）几何概型的特点①无限性，即在一次实验中，基本事件的个数可以是无限的；②等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的。
2、几何概型的概率计算公式 积）的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A )(A P 【典型例题】1、 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?2、在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm ，4cm ，6cm ，某人站在3m 之外向此版投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：(1) 投中大圆的内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？【练习】1、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ B ）A ．14B ．18C ．110D ．1122、在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________.3、已知地铁列车每10min 一班，在车站停１min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为___________.4、在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.5、在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为 5.1亿平方千米)6、已知集合A={}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8-----,在平面直角坐标系0x y中,点(),x y的坐标,x A y A∈∈,点(),x y正好在第二象限的概率是 ( )A. 13B.14C.15D.257、取一根长度为３m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１m的概率有多大？8、在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.。
几何概型的经典题型及答案
几何概型的经典题型及答案(总23页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2几何概型的常见题型及典例分析一．几何概型的定义1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同.二．常见题型（一）、与长度有关的几何概型3例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为( ).A.31B.π2C.21D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件.解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos2xπ的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A.例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．4解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10米，∴313010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
几何概型例题分析及习题(含答案)
几何概型例题分析及练习题 (含答案)[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。
解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分167604560222=-=P[例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。
解：R AC AB 2||||==. ∴ 212===⋂R R BCDP ππ圆周[例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过21的概率。
解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为 }10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为21。
事件“三段的长度都不超过21”所对应的几何区域可表示为Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}211,21,21<--<<y x y x 即图中最中间三角形区域，此区域面积为81)21(212=⨯ 此时事件“三段的长度都不超过21”的概率为412181==P[例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25，下午3：00张三在基地正东30内部处，向基地行驶，李四在基地正北40内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。
解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x故19225120025412ππ==P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02=++b ax x 两根均为正数的概率。
几何概型的常见题型及典例分析
几何概型的常见题型及典例分析2345直径MN 垂直于EF 和E 1F 1，与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。
依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN ，有L(G)=MN=2R ，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK 1，有1()2K L G KK OK ====以几何概率公式得()()22A L G P L G R ===。
[解法2].如图1-1所示，设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一条，直径MN ⊥弦EF ，它们的交点为K ，则点K 就是弦EF 的中点。
设OK=x ，则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”，则A 的有利场合是R ≥,解不等式，得x R ≤ 所以()A L G R == 于是()P A == [评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。
两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。
例4、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．解：记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于“长度介于6cm 与9cm 之间”的概率，所以，P(A)= 9612-=14 小结：解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。
练习：2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )6 A.110 B.19 C.111 D.18解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A3、已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知：在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.答案：164、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．分析：因为客车每小时一班,而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的, 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型.解析:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时，即60分钟，因此，由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060-=61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61． （二）、与面积有关的几何概型例1、ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）A ．4π B.14π- C.8π D.18π- 分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型.解：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半A ODC B1图7圆)面积为2π，因此取到的点到O 的距离大于1的面积为22π-，则取到的点到O 的距离大于1的概率为412221)(ππ-=-==的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD O A P . 故选B.例2、 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？思路点拨 此为几何概型，只与面积有关．解 记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为2212241cm ⨯⨯π的大圆内，而当中靶点落在面积为222.1241cm ⨯⨯π的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为01.0122412.1241)(2222=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ. 即：“射中黄心”的概率是0.01.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环的圆面积．例3、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
专题四 几何概型及综合
专题四 几何概型及综合【典型例题】（一）、与长度有关的几何概型例1、（1）在长为12cm 的线段AB 方上任取一点M ，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．（2）在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
（1） 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.183、已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知：在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.答案：164、 小赵从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．（二）、与面积有关的几何概型例2、（1）ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）A ．4π B.14π- C.8π D.18π-（2）、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），而区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯。
几何概型大题
1．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：3 456停靠时间12121720151383-轮船数量（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；(（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．2．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30﹣7：30之间把报纸送到小明家，小明父亲离开家去工作的时间在早上7：00﹣8：00之间，问小明父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少--3．空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数 级别类别 户外活动建议 0～50Ⅰ 优 可正常活动 51～100 ：Ⅱ良 101～150Ⅲ 轻微污染 易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．151～200 轻度污染 201～250Ⅳ 中度污染 心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动． 251～300 中度重污染301～500 《 Ⅴ重污染 健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动． 现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第五组．从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为x ，y ，求事件|x ﹣y|≤150的概率．'（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．}5．（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率．·当a∈[0，3]，b∈[0，2]时，方程①有实数根的概率为p1；当a∈[0，3]，b∈[0，2]并且a∈N，b∈N时，方程①有实数根的概率为p2，求p1，p2的值．)7．已知关于x的一元二次方程：9x2+6mx=n2﹣4（m，n∈R）．（1）若m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}，求方程有两个不相等实根的概率；（2）若m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，求方程有实数根的概率．)8．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上x（6≤x≤8）点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上y（7≤y≤9）点，记小明离家前不能看到报纸为事件M．（1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又是早上整点离家去工作，求事件M的概率；（2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，求事件M的概率．》9．在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．（1）若抽奖规则是从一个装有2个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．（素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．（提示：可以考虑采用数形结合法）】11．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．,（1）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈Z}，求函数y=f（x）在x∈R内是偶函数的概率；（2）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈Z}，求函数y=f（x）有零点的概率；（3）若P={x|1≤x≤3，x∈R}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈R}，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．.（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．—13．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，求此点取自阴影部分的概率．！50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；…第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．（1）求成绩在区间[80，90）内的学生人数及成绩在区间[60，100]内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90，100]内的概率．\15．甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开，求甲、乙能见面的概率．~（1）若甲预计在元月1日、3日、5日中的一天到达该港口，乙预计在元月1日、2日、3日中的一天到达该港口，且甲、乙在预计日期到达该码头均是等可能的，求甲、乙在同一天到该港口的概率．（2）若甲、乙均预计在元月1日00：00点﹣﹣﹣01：00点的任意时刻到达该港口，假设两船到达的时刻相差不超过20分钟，则后到的船必须要等待，求甲、乙中有船要等待的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：停靠时间`3456轮船数量1212}1720151383（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．【解答】解：（Ⅰ）a=（×12+3×12+×17+4×20+×15+5×13+×8+6×3）=4，（Ⅱ）设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则`若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y﹣x|＜4，所以必须等待的概率为P=1﹣=，答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为．2．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30﹣7：30之间把报纸送到小明家，小明父亲离开家去工作的时间在早上7：00﹣8：00之间，问小明父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示父亲离家时间，建立平面直角坐标系，父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）==．|3．空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数级别类别户外活动建议～5Ⅰ优可正常活动、51～1Ⅱ良1 0 1～1 5Ⅲ轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．1 5 1～2 0 0￥轻度污染2 0 1～2 5 0Ⅳ中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动．2 5 1～3 0 0中度重污染)3 0 1～5 0 0Ⅴ重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动．现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第五组．从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为x，y，求事件|x﹣y|≤150的概率．】【解答】解：（1）依题意知，轻度污染即空气质量指数在151～200之间，共有×50×60=9天．（2）由直方图知60天空气质量指数的平均值为．（3）第一组和第五组的天数分别为60×=6天，60×=3天，则从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种，由|x﹣y|≤150知两天只能在同一组中，而两天在同一组中的基本事件有18种，用M表示|x﹣y|≤150这一事件，则概率．4．设有关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0．~（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解答】解：（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．设事件A为“方程x2+ax+b2=0有实根”．则判别式△=a2﹣4b2≥0，即a≥2b，若a=0，则b=0，若a=1，则b=0，若a=2，则b=0或b=1，-若a=3，则b=0或b=1共有6个，则对应的概率P=．（2）记事件B=“方程x2+ax+b2=0有实根”．由△=a2﹣4b2≥0，得：a≥2b全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其面积为S=3×2=6．构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥2b}，则D（3，）其面积为S′=×3×=，对应的概率P==．@5．（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为直线x=，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a．…（2分）若a=1，则b=﹣1；若a=2，则b=﹣1或1；若a=3，则b=﹣1或1．∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5．…（4分）而满足条件的数对（a，b）共有3×5=15个∴所求事件的概率为=．…（6分）`（2）方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，故…（8分）化简得又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，…（10分）阴影部分的面积为，故所求的概率P=．…（12分）6．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0①，当a∈[0，3]，b∈[0，2]时，方程①有实数根的概率为p1；当a∈[0，3]，b∈[0，2]并且a∈N，b∈N时，方程①有实数根的概率为p2，求p1，p2的值．【解答】解：（1）如图所示，试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}（图中矩形所示）；其面积为S=3×2=6；；而构成事件“关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根”的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}（如图阴影所示）；故所求的概率为P1==；（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，且a∈N，b∈N}如图中矩形中的点，共12个；而构成事件“关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根”的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，且a≥b，a∈N，b∈N}，如图阴影部分中的点，共9个；故所求的概率为P2==．(7．已知关于x的一元二次方程：9x2+6mx=n2﹣4（m，n∈R）．（1）若m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}，求方程有两个不相等实根的概率；（2）若m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，求方程有实数根的概率．【解答】解：方程的△=36m2+36（n2﹣4）．（1）m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}={1，2，3}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}={0，1，2}，基本事件总数为9△＞0，m2+n2＞4，满足条件的（m，n）为（1，2），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），共6个，∴方程有两个不相等实根的概率为=；（2）m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，对应区域的面积为6，△≥0，m2+n2≥4，对应区域的面积为6﹣=6﹣π，∴方程有实数根的概率为=1﹣．—8．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上x（6≤x≤8）点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上y（7≤y≤9）点，记小明离家前不能看到报纸为事件M．（1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又是早上整点离家去工作，求事件M的概率；（2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，求事件M的概率．【解答】解：（1）设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；则（X，Y）可以看成平面中的整点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}，整点共有3×3=9个，事件M所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X≥Y}整点有3个．是一个古典几何概型，所以P（M）=（2）如图，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；则（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}一个正方形区域，面积为SΩ=4，】事件M所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X≥Y}即图中的阴影部分，面积为S A=．这是一个几何概型，所以P（M）==．9．在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．（1）若抽奖规则是从一个装有2个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．【解答】解：（1）从袋中6个球中无放回的摸出2个，试验的结果共有6×5=30种，中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为2×1=2；（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为4×3=12．:所以，中奖这个事件包含的基本事件数为14．因此，中奖概率为．…（6分）（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟．用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为Ω={（x，y）|0≤x≤40，20≤y≤60}；记甲比乙提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A={（x，y）|x＜y，0≤x≤40，20≤y≤60}．如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD．而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分．根据几何概型公式，得到P（A）==．所以，甲比乙提前到达的概率为．…（12分）:10．已知集合A=[﹣3，3]，B=[﹣2，2]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．（提示：可以考虑采用数形结合法）【解答】解：（1）A=[﹣3，3]，B=[﹣2，2]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，表示的区域的面积为6×4=24．圆x2+y2=4的面积为4π，∴以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率为P1==，（2）由题意，到直线x+y=0的距离不大于的点为夹在两条平行直线x+y﹣2=0与x+y+2=0之间的范围内，如图所示，故所求事件的概率为．>11．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．（1）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈Z}，求函数y=f（x）在x∈R内是偶函数的概率；（2）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈Z}，求函数y=f（x）有零点的概率；（3）若P={x|1≤x≤3，x∈R}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈R}，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：（1）由已知得，P={1，2，3}，Q={﹣1，0，1，2，3，4}．所有的有序数对有（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，﹣1），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共有18对，要使f（x）是偶函数，须有b=0，满足条件的有序数对有（1，0），（2，0），（3，0）共有3对，∴；{（2）由已知得，P={1，2，3}，Q={﹣1，0，1，2，3，4}，所有的有序数对有（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，﹣1），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共有18对，要使f（x）有零点，则b2﹣4a≥0，满足条件的有序数对有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共有6对，∴；（3）要使y=f（x）单调递增，则，即2a≥b，（a，b）可看成是平面区域Ω={（a，b）|1≤a≤3，﹣1≤b≤4}中的所有点，而满足条件是在平面区域A={（a，b）|2a≥b，1≤a≤3，﹣1≤b≤4}中的所有点，∴．[12．某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．【解答】解：（1）某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路，基本事件总数n=42=16，甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同包含的基本事件个数m==4×3=12，∴甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率：p=．（2）设甲、乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为x，y，—依题意得，即，作出不等式表示的区域，如图：记“两个旅游团在著名景点相遇”为事件B，P（B）==．∴两个旅游团在该著名景点相遇的概率为．13．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，求此点取自阴影部分的概率．【解答】解：如图，设两个半圆的交点为C，且以AO为直径的半圆以D为圆心，连结OC、CD…设OA=OB=2，则弓形OMC的面积为S弓形OMC=S扇形OCD﹣S Rt△DCO=•π•12﹣×1×1=﹣可得空白部分面积为S空白=2（S半圆AO﹣2S弓形OMC）=2[•π•12﹣（﹣1）]=2因此，两块阴影部分面积之和为S阴影=S扇形OAB﹣S空白=π•22﹣2=π﹣2可得在扇形OAB内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P===1﹣答：在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为1﹣．14．在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；…第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．（1）求成绩在区间[80，90）内的学生人数及成绩在区间[60，100]内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90，100]内的概率．【解答】解：（1）∵各组的频率之和为1，∴成绩在区间[80，90）的频率为1﹣（×2+++）×10=，∴40名学生中成绩在区间[80，90）的学生人数为40×=4，成绩在区间[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]内的人数分别为18，8，4，2，∴成绩在区间[60，100]内的平均成绩为；（2）设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，至少有1名学生成绩在区间[90，100]内”，由已知（1）的结果可知成绩在区间[80，90）内的学生有4人，记这四个人分别为a，b，c，d．成绩在区间[90，100]内的学生有2人，记这两个人分别为e，f，则选取学生的所有可能结果为：，事件总数为20．事件“至少有1名学生成绩在区间[90，100]之间”的可能结果为，基本事件为数16，∴．15．甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开，求甲、乙能见面的概率．【解答】解：如图所示，以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点和时间，则两人能够会面的等价条件是|x﹣y|＜15．在平面直角坐标系内，（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够见面”的可能结果是阴影部分所表示的平面区域．由几何概型的概率公式得：=．所以两人能会面的概率是．16．甲、乙两艘货轮均要到某深入港停靠．（1）若甲预计在元月1日、3日、5日中的一天到达该港口，乙预计在元月1日、2日、3日中的一天到达该港口，且甲、乙在预计日期到达该码头均是等可能的，求甲、乙在同一天到该港口的概率．（2）若甲、乙均预计在元月1日00：00点﹣﹣﹣01：00点的任意时刻到达该港口，假设两船到达的时刻相差不超过20分钟，则后到的船必须要等待，求甲、乙中有船要等待的概率．【解答】解：（1）甲乙到达港口的时间有以下情况（1，1），（1，2），（1，3），（3，1），（3，2），（3，3），（5，1），（5，2），（5，3）共有9种，其中甲、乙在同一天到该港口的有（1，1），（3，3）共有2种，故甲、乙在同一天到该港口的概率P=；（2）甲、乙均预计在元月1日00：00点﹣﹣﹣01：00点的任意时刻到达该港口，假设两船到达的时刻相差不超过20分钟，则后到的船必须要等待，则满足x﹣y≤20或y﹣x≤20．设在上述条件时“甲、乙中有船要等待”为事件B，则S阴影=60×60﹣2××40×40=2000，S正方形=60×60=3600，故P（B）==．。
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面积型概率
1．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆 子，豆子落在正方形内切圆的上半圆 (圆 中阴影部分)中的概率是( )4，在矩形内随机地 撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面 积约为 .
面积型概率
3. 在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P，
S 则△PBC 的面积不小于 的概率是（ 3 2 1 3 1 A． B． C． D． 3 3 4 4
）
面积型概率（建系法）
1. 甲乙两人相约晚上7点到8点之间见面， 约定谁先到达约定地点就等对方20分钟， 等待超过20分钟则离开。求甲乙两人约 会成功的概率。
面积型概率（建系法）
2.在长为 1 的线段任取两点，则这两点之间的
1 距离小于 的概率为 2 1 A． 4 3 C． 4
1 B． 2 7 D． 8
面积型概率（建系法）
3.设有关于 x 的一元二次方程 x
2
2ax b 0 ．
2
3] 任取的一个整数， b 是从区间 （Ⅰ）若 a 是从区间 [0， [0， 2] 任取的一个整数，求上述方程有实根的概率． 3] 任取的一个实数， b 是从区间 （Ⅱ）若 a 是从区间 [0， [0， 2] 任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．
几何概型典型例题
长度型概率
1.在长为 1 的线段 AB 上取一点 C，则 AC 之间的
1 距离小于 的概率为 2 1 A． 4 3 C． 4
1 B． 2 7 D． 8
长度型概率
2.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个 定点，若在该圆周上随机取一点 B， 则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率 为 。