人教A版高中数学同步辅导与检测必修一单元评估验收(三)
【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：单元评估验收(三)(含答案)
单元评估查收 (三)(时间： 120 分钟满分： 150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)．不等式2≥2x 的解集是 ()1xA．{x|x≥2}B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤0 或 x≥ 2}分析：由 x2≥ 2x 解得： x(x－2)≥0，所以 x≤0 或 x≥2.答案： D．不等式(x ＋3)2＜1的解集是 ()2A．{x|x＞－ 2}B．{x|x＜－ 4}C．{x|－4＜x＜－ 2}D．{x|－4≤x≤－ 2}分析：原不等式可化为 x2＋6x＋8＜0，解得－ 4＜x＜－ 2.答案： Cx－2≤0，．已知点，在不等式组 y－1≤0，表示的平面地区上运3P(x y)x＋2y－2≥0动，则 z＝x－y 的最小值是 ()A．－ 2 B．2 C．－ 1 D．1分析：画出可行域：z ＝x －y? y ＝x － z ，由图形知最优解为 (0，1)，所以 min ＝－ 1.z答案： C4．以下函数：①y ＝x ＋1≥ ；②＝tan x ＋ 1；③ y ＝x －3＋ 1 . x (x 2)ytan x－ 3x 此中最小值为 2 的个数有 ( )A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个 分析：①y ＝x ＋ 1≥211x x ·≥2，当且仅当 x ＝x ，即 x ＝1 时等号x建立，因为 x ≥2，所以 ①的最小值不是 2；②中 tan x 可能小于零，最小值不是 2；③中 x －3 可能小于零，最小值不是2.答案： A15．二次不等式 ax 2＋bx ＋1＞ 0 的解集为 x －1＜x ＜3 ，则 ab的值为()A ．－ 6B ．6C ．－ 5D ．5分析：由题意知 a ＜0，－ 1 与13是方程 ax 2＋bx ＋1＝0 的两根，1b 1 1所以－ 1＋3＝－a，(－1)×3＝a，解得a＝－ 3，b＝－ 2，所以ab＝6.答案： B6．若不等式 (a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对全部 x∈R 恒建立，则 a的取值范围是 ()A．(－∞， 2]B．[－2，2]C．(－2，2]D．(－∞，－ 2)分析：当 a＝2 时，不等式－ 4<0 恒建立，所以 a＝2 知足题意．当 a≠2 时，不等式 (a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对全部 x∈R 恒成立，a－2<0，需知足4（a－2）2－4（a－2）（－ 4）<0，解得－ 2<a<2.综上所述， a 的取值范围是－ 2<a≤2.应选 C.答案： C1 17．若a＜b＜0，则以下结论不正确的选项是()A．a2＜b2B．ab＜b2b aC.a＋b＞2D．|a|－|b|＝ |a－b|1 1分析：由a＜b＜0，所以 a＜0，b＜0，所以 0＞a＞b，由不等式基天性质知A，B，C 对．答案： D（x－y＋5）（ x＋y）≥ 0，8．不等式组表示的平面地区的面积0≤x≤3是()A．12 B．24 C．36 D ．48分析：平面地区图形以下图：S＝（5＋11）×32＝24.答案： B19．函数 y＝log1 x＋＋5(x>1)的最大值为()x－1A．4B．3C．－ 4D．－ 3分析：由 x＋1＋5＝x－1＋1＋6≥2＋6＝8(x>1)，x－1x－1所以 y＝log1 x＋1＋5≤log1＝－，应选D.x－18322答案： D．已知a ＞，＞，，b的等差中项是1，且α＝a＋1，β＝10b0a2a1b ＋b .则 α＋β的最小值是 ()A ．3B ．4C ． 5D ．6111 1 b分析：因为 α＋β＝a ＋a ＋b ＋b ＝1＋ a ＋b ·(a ＋b)＝1＋1＋1＋aa＋b ≥5.答案： Cx － y ≥0， 2x ＋y ≤2，11．若不等式组表示的平面地区是一个三角形，则y ≥0， x ＋ y ≤a正数 a 的取值范围是 ()4B ．(0，1]A. 3，＋∞C. 1，4D ．(0，1]∪4，＋∞33分析：画出前三个不等式表示的平面地区， 为图中 △OAB ，当直线 l ：x ＋y ＝a 在 l 0 与 l 1 之间 (包含 l 1)时不等式组表示的平面地区为三角形；当 l 在 l 2 的地点或从 l 2 向右挪动时，不等式组表示的平面地区4是三角形；又 l 在 l 1，l 2 的地点时， a 的值分别为 1，3.所以 0<a ≤14或 a ≥3.答案： D1， x ＞0，．定义符号函数sgn x ＝ 0， x ＝0，则当 x ∈R 时，不等式 x12－1，x ＜0， ＋2＞(2x －1)sgn x 的解集是 ()A. x －3＋ 33 －3＋ 334 ＜ x ＜ 43＋ 33B. x x ＞－4－3＋ 33C. x x ＜4D. x －3＋ 33＜ x ＜3 4分析：当 x ＞0 时，不等式化为 x ＋2＞2x －1，解得 x ＜3，即 0＜x ＜3；当 x ＝0 时，不等式恒建立；当 x ＜0 时，不等式化为 x ＋2＞(2x －1)－1，即 2x 2＋3x －3＜0，3＋ 33－3＋ 33解得－4 ＜x ＜ 4，3＋ 33即－4 ＜x ＜0.综上可知，不等式的解集为x －3＋ 334 ＜x ＜3.答案： D二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 )13．|x|2－2|x|－15＞0 的解集是 ________．分析：因为 |x|2－2|x|－15＞0，所以 |x|＞5 或|x|＜－ 3(舍去 )．所以 x＜－ 5 或 x＞5.答案： (－∞，－ 5)∪(5，＋∞ )14．若不等式 x2－ (a＋1)x＋a≤0 的解集是 [－4，3]的子集，则 a 的取值范围是 ________．分析：原不等式即 (x－a)(x－1)≤0，当 a<1 时，不等式的解集为[a，1]，此时只需 a≥－4 即可，即－ 4≤a<1；当 a＝1 时，不等式的解为 x＝1，此时切合要求；当 a>1 时，不等式的解集为 [1，a]，此时只需 a≤3 即可，即 1<a≤ 3.综上可得－ 4≤a≤3.答案： [－4，3]．设，为正数，且＋＝，则1＋1的最小值是________．15 a b a b12a b分析：因为111113＋ 2.＋＝＋b(a＋b)＝＋1＋a＋b≥2a b2a2 b 2a 2答案：3＋ 2 216．某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买 x 吨，运费为4 万元 /次，一年的总储存花费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储花费之和最小，则x＝________吨．分析：该公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买 x 吨，则需7400400年的总运费与总储存花费之和为x·4＋4x万元，x·4＋4x≥160，1600当x＝4x，即 x＝20 吨时，一年的总运费与总储存花费之和最小．答案： 20三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分 10 分)(1)已知正数 a，b 知足 a＋b＝1，求证：a2＋b2≥1 2；(2)设 a、 b、c 为△ ABC 的三条边，求证： a2＋b2＋c2<2(ab＋bc ＋c a)．证明： (1)a2＋ b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×a＋b 2＝1－1221＝2.(2)因为 a，b，c 是△ABC 的三边，不如设a≥b≥c>0，则 a>b －c≥0，b>a－c≥0，c>a－b≥0.平方得：a2>b2＋c2－2bc，b2>a2＋c2－2ac，c2>a2＋b2－2ab，三式相加得： 0>a2＋b2＋c2－2bc－2ac－2ab.所以 2ab＋2bc＋2ac>a2＋b2＋c2，即 a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)．18．(本小题满分 12 分)已知 lg(3x)＋lg y＝lg( x＋y＋1)．(1)求 xy 的最小值；(2)求 x＋y 的最小值．解：由 lg(3x)＋lg y＝lg( x＋y＋1)，x＞0，得 y＞0，3xy＝x＋y＋1.(1)因为 x＞0，y＞0，所以 3xy＝x＋y＋1≥2 xy＋1.所以 3xy－2 xy－1≥0.即 3( xy)2－2 xy－1≥0.所以 (3 xy＋1)( xy－1)≥0.所以xy≥1，所以 xy≥1.当且仅当 x＝y＝1 时，等号建立．所以 xy 的最小值为 1.(2)因为 x＞0，y＞0，2所以＋＋＝≤x＋yx y13xy32所以 3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.所以 [3(x＋y)＋2][(x＋y)－2] ≥0.所以 x＋y≥2.当且仅当 x＝y＝1 时取等号．所以 x＋y 的最小值为 2.19．(本小题满分 12 分)徐州、苏州两地相距500 千米，一辆货车从徐州行驶到苏州，规定速度不得超出100 千米 /时．已知货车每小时的运输成本 (以元为单位 )由可变部分和固定部分构成：可变部分与速度 v(千米 /时)的平方成正比，比率系数为0.01；固定部分为 a 元(a＞0)．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米 /时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解： (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500 v ，则全程运输成本为500500500a＋5v ，y＝a·＋0.01v2·＝vv v500a则 y＝v＋5v, v ∈ (0，100]．(2)依题意知 a，v 都为正数，500a500a则v＋5v≥2v·5v＝100 a，500a当且仅当v＝5a，即v＝10 a时取等号．若 10 a≤100，即 0＜a≤ 100，当 v＝10 a时，全程运输成本 y 最小．若 10 a＞100，即 a＞100 时，则当 v∈(0，100]时，能够证明函500a数 y＝v＋5v是减函数，即此时当v＝100 时，全程运输成本y 最小．综上所得，当0＜a≤100 时，行驶速度应为v＝ 10 a千米 /时，全程运输成本最小；当 a＞100 时，行驶速度应为v＝100 千米 /时，全程运输成本最小．20．(本小题满分 12 分)某公司生产 A，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗以下表：产品品劳动力 /煤/吨电/千种个瓦A 产品394B 产品1045已知生产每吨 A 产品的收益是 7 万元，生产每吨 B 产品收益是 12 万元，现因条件限制，该公司仅有劳动力 300 个，煤 360 吨，而且供电局只好供电200 千瓦，试问该公司怎样安排生产，才能获取最大收益？解：设生产 A，B 两种产品分别为x 吨， y 吨，收益为 z 万元，依题意，得3x＋10y≤300，9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，x≥ 0，y≥0.11目标函数为 z＝7x＋12y.作出可行域，如图暗影所示．当直线 7x＋12y＝0 向右上方平行挪动时，经过M 时 z 获得最大值．3x＋10y＝300，x＝20，解方程组得4x＋5y＝200，y＝ 24.所以，点 M 的坐标为 (20，24)．所以该公司生产A，B 两种产品分别为20 吨和 24 吨时，才能获得最大收益．21．(本小题满分12 分)某个公司公司部下的甲、乙两个公司在2014 年1 月的产值都为a 万元，甲公司每个月的产值与前一个月对比增添的产值相等，乙公司每个月的产值与前一个月对比增添的百分数相等，到 2015 年 1 月两个公司的产值再次相等．(1)试比较 2014 年 7 月甲、乙两个公司产值的大小，并说明原因．(2)甲公司为了提升产能，决定投入 3.2 万元买台仪器，而且从2015 年 2 月 1 日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n 天n＋49的维修养护费为10元(n∈N* )，求前 n 天这台仪器的日均匀耗费 (含仪器的购买费 )，并求日均匀耗费最小时使用的天数？解： (1)设从 2014 年 1 月到 2015 年 1 月甲公司每个月的产值分a 1，a 2，a 3，⋯，a 13，乙企 每个月的 分b 1，b 2，⋯，1b 13.由 意 {a n }成等差数列， {b n }成等比数列，所以a 7＝2(a 1＋a 13)，b 7＝ b 1·b 13，1因 a 1＝b 1，a 13＝b 13，进而 a 7＝2(a 1＋a 13)＞a 1·a 13＝b 1·b 13＝b 7，所以到 7 月份甲企 的 比乙企 的 要大． (2) 一共使用了 n 天， n 天的均匀耗32 000＋1＋492＋49 3＋49n ＋49P(n)＝ 10＋10 ＋ 10＋⋯＋10＝n32 000＋ 49n n （n ＋1）10 ＋20＝ n32 000 n 9932 000 n 99 1 699 元， n＋ ＋ ≥2n · ＋ ＝20 ()20 20 20 20当且 当32 000n ＝ n，获得最小 ， 此 n ＝800，改日均匀耗20最小 使用了800 天．22．(本小 分 12 分)已知 f(x)＝x 2－2ax ＋2(a ∈R)，当 x ∈ [－1，＋∞ ) ， f(x)≥a 恒建立，求 a 的取 范 ．解：法一：f(x)＝(x －a)2＋2－a 2，此二次函数 象的 称x＝ a .①当 a ∈(－∞，－ 1) ， f(x)在[－ 1，＋ ∞)上 增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使 f(x)≥a 恒建立，只需 f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得－ 3≤a＜－ 1；②当 a∈[ －1，＋∞，)时， f(x)min＝f(a)＝2－a2，由 2－a2≥a，解得－ 1≤a≤1.综上所述，所求 a 的取值范围为－ 3≤a≤ 1.法二：令 g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0 在[ －1，＋∞)上恒建立，＞0，即＝4a2－4(2－a)≤0 或a＜－ 1，g（－ 1）≥0.解得－ 3≤a≤1.。
人教A版数学必修一必修1 质量评估检测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作必修1 质量评估检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A ＝{x|x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1}解析：因为集合A ＝{x |x ＞－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}，则(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．答案：A2.(2014·天水高一检测)下列四组函数，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝xB ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xC ．f (x )＝ln x 2，g (x )＝2ln xD ．f (x )＝log a a x (a ＞0，a ≠1)，g (x )＝3x 3解析：A 中，f (x )与g (x )的值域不同；B 中，f (x )与g (x )的定义域不同；C 中，f (x )与g (x )的定义域不同．故D 正确．答案：D3.(2014·厦门高一检测)函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4,10)∪(10，＋∞)D ．[4,10)∪(10，＋∞)解析：由题意可知⎩⎨⎧x ＞0，lg x －1≠0，x －4≥0，解得x ≥4且x ≠10.答案：D4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.答案：C5.(2014·荆州高一检测)已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图象是( )ABCD解析：由题意可知f (x )＝2x ，∴f (1－x )＝21－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1.显然其过点(0,2)，故选C.答案：C6.(2014·临沂高一检测)设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：设f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (0)＝－4＜0，f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝4－1＝3＞0，f (3)＝172＞0，f (4)＝634＞0，∴f (x )在(1,2)内有零点，即x 0∈(1,2)． 答案：B7．设a ＝log 123，b ＝log 1213，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：∵a ＝log 123＜0，b ＝log 1213＝log 23＞1，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3∈(0,1)，∴b ＞c ＞a .故选B.答案：B8.(2014·潍坊高一检测)已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2，则当x ∈[1,3]时，f (x )的最小值是( )A ．2 B.14C ．－2D ．－14解析：当x ＜0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，在[－3，－1]内，当x ＝－3时，f (x )有最大值2.∵f (x )为奇函数，∴其图象关于原点对称，∴f (x )在[1,3]内的最小值为－2.答案：C9．已知x 2＋y 2＝1，x >0，y >0，且log a (1＋x )＝m ，log a 11－x＝n ，则log a y 等于( )A ．m ＋nB ．m －n C.12(m ＋n ) D.12(m －n )解析：由m －n ＝log a (1＋x )－log a 11－x＝log a (1－x 2)＝log a y 2＝2log a y ，∴log a y＝12(m －n )，故选D.答案：D10．若实数x ，y 满足|x |－ln 1y ＝0，则y 关于x 的函数的图象大致是( )AB CD解析：把|x |－ln 1y ＝0变形得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |，即y ＝⎩⎨⎧e －x，x ≥0，e x ，x <0，故选B.答案：B11．已知f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．{x |x <－3或0<x <3}B ．{x |－3<x <0或x >3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}解析：由f (x )是奇函数知， f (3)＝－f (－3)＝0，∵f (x )在(0，＋∞)内单调增， ∴f (x )在(－∞，0)内也单调增， 其大致图象如右图．由图象知，x ·f (x )<0的解集为(－3,0)∪(0,3)，故选D. 答案：D12.(2014·福州高一检测)衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50解析：由已知得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e －kt 1，∴827＝(e －k )t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49t 150，∴t 150＝32，t 1＝75.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x (x ＞0)，16x (x ≤0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝____.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＝－1，f (－1)＝116，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝116. 答案：11614．若幂函数f (x )的图象经过点(3,9)，那么函数f (x )的单调增区间是__________．解析：设f (x )＝x α，由题意可知f (3)＝9，即3α＝9，α＝2，∴f (x )＝x 2，∴f (x )的单调增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)15．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为__________(m)．解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．答案：20 16．如果函数f (x )对其定义域内的任意两个实数x 1，x 2都满足不等式f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2，则称函数f (x )在定义域上具有性质M .给出下列函数：①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝2x ；④y ＝log 2x .其中具有性质M 的是__________(填上所有正确答案的序号)．解析：根据函数图象的上凸与下凹判断．函数y ＝x 与函数y ＝log 2x 的图象是上凸的，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f (x 1)＋f (x 2)2；函数y ＝x 2与函数y ＝2x的图象是下凹的，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.答案：②③三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知全集U ＝R .集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |x －k ≤0}． (1)若k ＝1，求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ≠∅，求k 的取值范围．解析：(1)当k ＝1时，B ＝{x |x －1≤0}＝{x |x ≤1}． ∴∁U B ＝{x |x >1}，∴A ∩(∁U B )＝{x |1<x <3}． (5分)(2)∵A ＝{x |－1≤x <3)，B ＝{x |x ≤k }，A ∩B ≠∅， ∴k ≥－1.(10分)18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)． (1)若f (x 0)＝2，求f (3x 0)的值；(2)若f (x 2－3x ＋1)≤f (x 2＋2x －4)，求x 的取值范围． 解析：(1)f (3x 0)＝a 3x 0＝()ax 03＝23＝8.(4分) (2)当0<a <1时，f (x )＝a x 在R 上单调递减， ∴x 2－3x ＋1≥x 2＋2x －4,5≥5x ，解得x ≤1； 当a >1时，f (x )＝a x 在R 上单调递增． ∴x 2－3x ＋1≤x 2＋2x －4,5≤5x ，解得x ≥1. ∴当0<a <1时，x 的取值范围是(－∞，1]；当a >1，x 的取值范围是[1，＋∞)．(12分) 19．(本小题满分12分)已知定义R 上的函数f (x )＝2x ＋a2x (a 为常数)． (1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)当f (x )满足(1)的条件的时，用单调性的定义判断函数在[0，＋∞)上的单调性，并判断f (x )在(－∞，0]上的单调性(不必证明)．解：(1)由题意，得f (－x )＝f (x )，即2－x ＋a 2－x ＝2x ＋a2x ，所以(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＝0，又对任意的x ∈R 都成立，所以a ＝1.(4分)(2)由(1)可得f (x )＝2x＋12x ，在[0，＋∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋12x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2.因为0≤x 1<x 2，所以2x 1＋x 2>1,2x 1－2x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增．因为偶函数在对称的区间上单调性相反，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减．(12分)20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52、f (2)＝174. (1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性．解析：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝52，f (2)＝174⇒⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋b ＝52，22＋22a ＋b＝174⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0.(4分) (2)f (x )为偶函数，(5分) 证明如下：由(1)可知f (x )＝2x ＋2－x ，定义域为R ，关于原点对称， ∵f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(8分)(3)函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．(9分) 证明如下：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)， f (x 1)－f (x 2)＝()2x 1＋2－x 1－()2x 2＋2－x 2＝()2x 1－2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2 ＝()2x 1－2x 2·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2， ∵x 1<x 2且x 1，x 2∈[0，＋∞)，∴2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x )在[0，＋∞)为增函数．(12分)21.(2014·台州高一检测，12分)函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0,1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，求a 的取值范围．解析：(1)此时，f (x )＝2x －1x 单调递增，显然函数y ＝f (x )的值域为(－∞，1]．(4分)(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，则任取x 1，x 2∈(0,1]且x 1＜x 2都有f (x 1)＞f (x 2)成立，即(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a x 1x 2＞0，只要a ＜－2x 1x 2即可，由于x 1x 2∈(0,1]且x 1＜x 2，故－2x 1x 2∈(－2,0)，所以a ≤－2，故a 的取值范围是(－∞，－2]．(12分)22.(2014·桂林高一检测，12分)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，f (x )＝log 12(－x ＋1)．(1)求f (0)，f (1)；(2)求函数f (x )的解析式；(3)若f (a －1)＜－1，求实数a 的取值范围．解析：(1)因为当x ≤0时，f (x )＝log 12(－x ＋1)，所以f (0)＝0.(2分) 又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝log 12[－(－1)＋1]＝log 122＝－1，即f (1)＝－1.(4分) (2)令x ＞0，则－x ＜0，从而f (－x )＝log 12(x ＋1)＝f (x )，∴x ＞0时，f (x )＝log 12(x ＋1)． ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ＞0，log 12(－x ＋1)，x ≤0.(8分)(3)设x 1，x 2是任意两个值，且x 1＜x 2≤0， 则－x 1＞－x 2≥0， ∴1－x 1＞1－x 2.∵f (x 2)－f (x 1)＝log 12(－x 2＋1)－log 12(－x 1＋1)＝log 121－x 21－x 1＞log 121＝0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )＝log 12(－x ＋1)在(－∞，0]上为增函数．(10分)又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上为减函数，由f(a－1)＜－1，f(1)＝－1，得f(|a－1|)＜f(1)．∴|a－1|＞1，a＜0或a＞2.故a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(12分)。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集单元评估验收(三)
单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：因为Δ＝b 2＋4×2×3＝b 2＋24>0，所以函数图象与x 轴有两个不同的交点，故函数有2个零点．答案：C2．函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1，0) B ．－1 C ．1 D ．0解析：令1＋1x＝0，得x ＝－1，即为函数的零点． 答案：B3．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值为( )A ．3 B.127 C ．27 D.13解析：因为幂函数y ＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以(－2)a＝－18，所以a ＝－3.又因为f (x )＝27，所以x －3＝27，所以x ＝13. 答案：D4．若函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，4 B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：因为函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，所以f (－2)·f (1)≤0，解得m ≤－2或m ≥1.答案：D5．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)与(1，e)D ．(e ，＋∞)解析：易知函数f (x )在(2，3)上是连续的，且f (2)＝ln 2－1＝ln 2－ln e ＝ln 2e <0，f (3)＝ln 3－23>0，所以函数f (x )的零点所在的大致区间是(2，3)．答案：B6．函数f (x )＝2x －1的零点是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：由2x －1＝0，得x ＝0，故函数的零点为0.答案：A7．用二分法求f (x )＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．x 0＝－32 C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0＝1解析：由于f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 答案：C8．甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中( )A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利9元C ．甲盈利1元D ．甲亏本1.1元解析：甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×1110元和1 000×1110×910×910元， 而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×910＝1，故甲盈利1元．答案：C9．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多个解析：画出y ＝log 12x 与y ＝2x －1的图象(图略)可知，两曲线仅有一个交点，故实根个数为1.答案：B。
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品习题课件 模块综合测评
+
= + ( ∈ ),解得 =
∈ ),当 = −时可得 =
− ,所以图象C
对称,故A正确.
对于B,由题意知 + = ( ∈ ),解得 = − + ( ∈ ),即()图象的对称
中心为(− + , ), ∈ ，当 = 时可得 = − ,所以图象C关于点(− ,)对称,而
关于直线 = −
调递增,故C正确.
对于D,把函数() = (
+ )
+ 的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半
（纵坐标不变）得到函数 = ( + ) + 的图象,不是图象C,故D错误.
综上,A,C正确.
1
10.已知不等式 2 + + > 0的解集为(− ,2),则下列结论正确的是() BCD
(1 ) = (2 ) = (3 ) = (4 ),则下列结论正确的是() BCD
A.1 + 2 = −1B.3 4 = 1C.1 < 4 < 2D.0 < 1 2 3 4 < 1
[解析]
画出函数()的大致图象如图,得出 + = −,− = ,则 = ,故A
A.
B.
C.
D.
[解析]对于A,阴影部分表示的集合为 ∩ = {, , },元素个数为3,故A错误;对于B,
阴影部分表示的集合为{, },元素个数为2,故B正确;对于C,阴影部分表示的集合为{},
元素个数为1,故C错误;对于D,阴影部分表示的集合为{, , },元素个数为3,故D错误.
人教A版高中数学同步辅导与检测必修一第三章章末复习课
第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．正确认识零点存在定理，要抓住两个关键点：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线．(2)f(a)·f(b)<0，否则极易出错．2．在用二分法求函数的零点的近似值或方程的近似解时，要注意精确度的要求．3．在建立函数模型解决实际问题时，先作散点图，根据散点图来选择模拟函数，可避免盲目性，是较好的方法．专题一函数的零点与方程的根根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个相异实根．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决函数、方程与不等式的问题．[例1](1)方程|x|－2x＝0的零点有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．至少1个(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为________解析：(1)令f (x )＝|x |，g (x )＝2x，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个．(2)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0，所以g (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≥0，－x 2－4x ＋3，x <0.由⎩⎨⎧x ≥0，x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3；由⎩⎨⎧x <0，－x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝－2－7.所以函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为{－2－7，1，3}． 答案：(1)A (2){－2－7，1，3}归纳升华确定函数零点个数的方法(1)解方程f (x )＝0，找到几个相异实根．(2)利用图象，找出y ＝f (x )的图象与x 轴的交点个数或转化成求两个函数图象的交点个数．(3)利用f (a )·f (b )与0的关系进行判断．[变式训练] (1)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞) (2)设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一实根D ．没有实根解析：(1)因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)上是连续不断的，且f (2)＝3－1>0，f (4)＝32－2<0，所以，函数f (x )的零点在区间(2，4)内． (2)由于f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上有唯一零点，即方程f (x )＝0在[－1，1]内有唯一实根．答案：(1)C (2)C专题二 函数零点的应用函数零点的应用主要表现在：(1)利用函数零点求参数的值；(2)利用函数零点求参数的范围．[例2] (2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．解析：若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，可得方程|2x －2|＝b有两个根，从而函数y ＝|2x －2|与函数y ＝b 的图象有两个交点，结合图象可得0<b <2.答案：0<b <2归纳升华已知函数的零点确定参数范围，其关键是利用数形结合思想与等价转化思想去建立参数不等关系，对于二次函数的零点问题，要充分利用图象，结合零点的条件从开口方向、对称轴位置、区间端点值的符号及判别式这几个方向去考虑．[变式训练] (1)若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则实数a 的取值范围是______________．(2)已知函数f (x )＝2mx ＋5－3m 在(－1，2)内存在零点x 0，求实数m 的取值范围．(1)解析：当a ＝0时，f (x )＝－x －1是一次函数，有一个零点；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14. 综上知a ＝0或a ＝－14. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝0或a ＝－14 (2)解：m ＝0时，f (x )＝5，不合题意；当m ≠0时，函数f (x )的图象是一条直线，依题意f (－1)·f (2)<0，即(5－5m )(m ＋5)<0，即(m －1)(m ＋5)>0，解得m<－5或m>1.所以实数m的取值范围是{m|m<－5或m>1}．专题三函数模型及其应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．[例3]某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解析：(1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0<t ≤0，－110t ＋8，20<t ≤30(t ∈N *)． (2)设Q ＝at ＋b (a ，b 为常数)，把(4，36)，(10，30)代入得⎩⎨⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30.∴a ＝－1，b ＝40 所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝－t ＋40，0<t ≤30，t ∈N *.(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2×（40－t ），0<t ≤20，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8×（40－t ），20<t ≤30. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15（t －15）2＋125，0<t ≤20，110（t －60）2－40，20<t ≤30(t ∈N *)． 当0<t ≤20时，y 有最大值y max ＝125万元，此时t ＝15；当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减少，y max <110(20－60)2－40＝120(万元)．所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．归纳升华函数模型的应用实例主要包含三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．[变式训练] 如图所示，A 、B 两城相距100 km ，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D 给A 、B 两城供气．已知D 地距A 城x km ，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y (万元)与A 、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比．当天然气站D 距A 城的距离为40 km 时，建设费用为1 300万元(供气距离指天然气站距到城市的距离)．(1)把建设费用y (万元)表示成供气距离x (km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A 城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？解：(1)由题意知D 地距B 地(100－x )km ，则⎩⎨⎧10≤100－x ，x ≥10，所以10≤x ≤90. 设比例系数为k ，则y ＝k [x 2＋(100－x )2](10≤x ≤90)，又x ＝40时，y ＝1 300，所以1 300＝k (402＋602)，即k ＝14，所以y ＝14[x 2＋(100－x )2]＝12(x 2－100x ＋5 000)(10≤x ≤90)． (2)由于y ＝12(x 2－100x ＋5 000)＝12(x －50)2＋1 250，所以当x ＝50时，y 有最小值为1 250万元．所以当供气站建在距A 城50 km 处，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元．专题四 化归与转化思想化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题；转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．[例4] 已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，试问当a 为何值时，方程的两根都大于1?解：设方程的两根为x 1，x 2，方程的两根都大于1，则x 1－1＞0，x 2－1＞0，故⎩⎨⎧（x 1－1）（x 2－1）＞0，（x 1－1）＋（x 2－1）＞0.即⎩⎨⎧x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1＞0，x 1＋x 2＞2.得⎩⎪⎨⎪⎧a －1a －2（a ＋1）a ＋1>0，2（a ＋1）a >2，解得⎩⎨⎧a >0，a <0，矛盾． 故不论a 为何值，方程的两根不可能都大于1.归纳升华本题中，将方程的根都大于1，转化为两根减1与0的大小比较，然后用一元二次方程的根与系数的关系得到等价不等式组，从而使问题得以解决．转化过程中一定要注意转化的等价性．[变式训练] 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(1，2)上？解：已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0，1)上，另一个在(1，2)上，则：⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，a 2－2a －8<0，a 2－3a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，－2<a <4，a <0或a >3.所以－2<a <－1或3<a <4.。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集单元评估验收(三)
单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：因为Δ＝b 2＋4×2×3＝b 2＋24>0，所以函数图象与x 轴有两个不同的交点，故函数有2个零点．答案：C2．函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1，0) B ．－1 C ．1 D ．0解析：令1＋1x＝0，得x ＝－1，即为函数的零点． 答案：B3．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值为( )A ．3 B.127 C ．27 D.13解析：因为幂函数y ＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以(－2)a＝－18，所以a ＝－3.又因为f (x )＝27，所以x －3＝27，所以x ＝13. 答案：D4．若函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，4 B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：因为函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，所以f (－2)·f (1)≤0，解得m ≤－2或m ≥1.答案：D5．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)与(1，e)D ．(e ，＋∞)解析：易知函数f (x )在(2，3)上是连续的，且f (2)＝ln 2－1＝ln 2－ln e ＝ln 2e <0，f (3)＝ln 3－23>0，所以函数f (x )的零点所在的大致区间是(2，3)．答案：B6．函数f (x )＝2x －1的零点是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：由2x －1＝0，得x ＝0，故函数的零点为0.答案：A7．用二分法求f (x )＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．x 0＝－32 C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0＝1解析：由于f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 答案：C8．甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中( )A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利9元C ．甲盈利1元D ．甲亏本1.1元解析：甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×1110元和1 000×1110×910×910元， 而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×910＝1，故甲盈利1元．答案：C9．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多个解析：画出y ＝log 12x 与y ＝2x －1的图象(图略)可知，两曲线仅有一个交点，故实根个数为1.答案：B10．某城市为保护环境、维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月用水超过8吨，超过部分加倍收费．若某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8，则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，所以x＝9.答案：D11．设甲、乙两地的距离为a km(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10 min后，又匀速从乙地返回甲地用了30 min.则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()解析：由题意知，中间休息时，时间与路程之间的函数为常函数，其余时间段随时间的增加，路程也增加．观察图象知D选项正确．答案：D12．函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，满足f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，其中a<b<c，则y＝f(x)在(a，c)上零点个数为()A．2 B．至少2个C．奇数D．偶数解析：因为函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，由f(a)·f(b)<0，知y＝f(x)在(a，b)上至少有1个零点，由f(b)·f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有1个零点，所以y＝f(x)在(a，c)上至少有2个零点．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)是定义域为R的奇函数，且在区间(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为________．解析：由题意知f(0)＝0，f(x)在区间(0，＋∞)上有一个零点，在区间(－∞，0)上也必有一个零点，所以f(x)在定义域R上有三个零点．答案：314．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的取值是________．解析：若m≠0，则Δ＝4－12m＝0，m＝13，若m＝0，则f(x)＝－2x＋3只有一个零点，符合要求，所以m＝0或13.答案：0或1315．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于________．解析：设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3 000)＝－0.1x 2＋36x －3 000＝－0.1(x －180)2＋240，则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值．答案：180台16．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析：由题意得⎩⎨⎧192＝e b，48＝e 22k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧e b ＝192，e 11k ＝12， 当x ＝33时，y ＝e33k ＋b ＝(e 11k )3e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24. 答案：24 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某市出租车的计价标准是4 km 以内10元(含4 km)，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2元/千米，超出18 km 的部分1.8元/千米．(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km ，那么他要付多少车费？解：(1)设行车里程为x km ，车费为y 元．由题意得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，10＋1.2（x －4），4<x ≤18，10＋1.2×14＋1.8（x －18），x >18，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，1.2x ＋5.2，4<x ≤18，1.8x －5.6，x >18.(2)将x ＝20代入函数解析式，得y ＝1.8×20－5.6＝30.4(元)． 故乘车20 km ，要付车费30.4元．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个零点，且都大于2，求实数m 的取值范围．解：函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个大于2的零点，即方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）2－4（5－m ）>0，2－m 2>2，4＋2（m －2）＋5－m >0，解得－5<m <－4.故实数m 的取值范围是(－5，－4)． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．解：由f (x )＝0，得x －1＝－12x 2＋2.令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0，2)，与x 轴的交点分别为(－2，0)，(2，0)，y 1与y 2的图象有3个交点，由此可知函数f (x )有3个零点．设函数y 1＝x －1与y 2＝－12x 2＋2图象三个交点的横坐标从左往右分别为x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的三个零点分别为x 1，x 2，x 3，因为f (－3)＝1－3＋12×9－2>0，f (－2)＝1－2＋12×4－2<0，即x 1∈(－3，－2)，同理x 2∈(0，1)，x 3∈(1，2)．20．(本小题满分12分)某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时，卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P (单位：分)和Q (单位：分)，在每部分做了20分钟的条件下发现它们与投入时间m (单位：分钟)的关系有经验公式，P ＝15m ＋36，Q ＝65＋23m . (1)试建立数学总成绩y (单位：分)与对卷Ⅱ投入时间x (单位：分钟)的函数关系式，并指明函数定义域；(2)如何计划使用时间，才能使得所得分数最高．解：(1)设对卷Ⅱ用x 分钟，则对卷Ⅰ用(120－x )分钟，所以y ＝P＋Q ＝65＋23x ＋15(120－x )＋36＝ －15x ＋23x ＋125，其定义域为[20，100]． (2)令t ＝x ∈[25，10]，则函数为关于t 的二次函数：y ＝－15t 2＋23t ＋125＝－15(t －53)2＋140. 所以当t ＝53，即x ＝75时，y max ＝140.即当卷Ⅰ用45分钟，卷Ⅱ用75分钟时，所得分数最高．21．(本小题满分12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .(1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根．证明：(1)由f (x )＝1得x 2＋(2t －1)x ＋1－2t ＝1，即x 2＋(2t －1)x －2t ＝0.因为Δ＝(2t －1)2＋8t ＝4t 2＋4t ＋1＝(2t ＋1)2≥0，所以对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根．(2)当12<t <34时，f (－1)＝3－4t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫34－t >0， f (0)＝1－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t <0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0， 故方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根． 22．(本小题满分12分)旅游社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15 000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团人数最多为75人．(1)写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数；(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅游团人数为x 人，飞行票价格为y 元，依题意，当1≤x ≤30，且x ∈N *时，y ＝900，当30<x ≤75，且x ∈N *时，y ＝900－10(x －30)＝－10x ＋1 200.所以所求函数为y ＝⎩⎨⎧900，1≤x ≤30，x ∈N *，－10x ＋1 200，30<x ≤75，x ∈N *.(2)设利润为f (x )元，则f (x )＝y ·x －15 000＝⎩⎨⎧900x －15 000，1≤x ≤30，x ∈N *，－10x 2＋1 200x －15 000，30<x ≤75，x ∈N.当1≤x ≤30，且x ∈N *时，f (x )max ＝f (30)＝12 000(元)， 当30<x ≤75，且x ∈N *时，f (x )max ＝f (60)＝21 000元，因为21 000元>12 000元，所以旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润．。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修1模块综合评价(一)
模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设集合A ＝{x |1≤x ≤5}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：因为A ∩Z ＝{1，2，3，4，5}，所以A ∩Z 中有5个元素． 答案：B2．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }．若A ⊆B ，则a 的范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥2D ．a ≤2解析：在数轴上作出两个集合所在的区间，可知满足A ⊆B 的a ≥2.答案：C3．已知幂函数f (x )＝x a 的图象过点(4，2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A.3 B ．±3 C ．±9 D ．9 解析：依题意有2＝4a ，得a ＝12，所以f (x )＝x 12，当f (m )＝m 12＝3时，m ＝9. 答案：D4．设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝213，则( )A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c解析：数形结合，画出三个函数的图象．由图象可知a<0，0<b<1，c>1，因此a<b<c.答案：A5．已知A∩{－1，0，1}＝{0，1}，且A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有()A．2个B．4个C．6个D．8个解析：因为A∩{－1，0，1}＝{0，1}，所以0，1∈A且－1∉A.又因为A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，所以1∈A且至多－2，0，2∈A.故0，1∈A且至多－2，2∈A，所以满足条件的A只能为{0，1}，{0，1，－2}，{0，1，2}，{0，1，2，－2}，共有4个．答案：B6．已知集合A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝() A．∅B．[－1，1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：A＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．答案：D7．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0，x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定解析：由x1<0，x1＋x2>0得x2>－x1>0，又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．答案：A8．已知a>b，函数f(x)＝(x－a)(x－b)的图象如图所示，则函数g(x)＝log a(x＋b)的图象可能为()解析：易知0<b<1<a，所以g(x)＝log a(x＋b)为增函数，且g(0)<0，显然B符合．答案：B9．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是()A．y＝x B．y＝lg xC．y＝2x D．y＝1 x解析：函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 答案：D10．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)．若f (m )<0，则f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)的对称轴是x ＝12，且f (0)＝f (1)＝a >0.因为f (m )<0，所以m －1<0，所以f (m －1)>0. 答案：A11．已知函数在f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ＋5，x <1，1＋1x ，x ≥1在R 上单调，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．[2，4]解析：当x ≥1时，f (x )＝1＋1x为减函数，所以f (x )在R 上应为单调递减函数，要求当x <1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，所以a2≥1，即a ≥2，并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x 的函数值不大于x ＝1时，f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值，即1－a ＋5≥2，解得a ≤4，所以实数a 的取值范围[2，4]． 答案：D12．设方程3－x ＝|lg x |的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析：由题意知，当x >1时，3－x 1＝lg x 1，当0<x <1时，3－x 2＝－lg x 2且3－x 1<3－x 2.故3－x 1－3＋x 2＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)<0，所以0<x 1x 2<1.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝12x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________．解析：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝12－x ＋1，所以f (－x )＝－12－x ＋1＝－2x 1＋2x . 答案：－2x 1＋2x14．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＋b ＝________．解析：因为函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，所以－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1.又f (0)＝b －2020＋1＝b －12＝0，所以b ＝1.故a ＋b ＝2.答案：215．若函数f (x )＝|4x －x 2|－a 的零点个数为3，则a ＝________． 解析：作出g (x )＝|4x －x 2|的图象(图略)，g (x )的零点为0和4.由图象可知，将g (x )的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a ＝4.答案：416．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．解析：因为log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b ＝2或12.因为a >b >1，所以log a b <log a a ＝1， 所以log a b ＝12，所以a ＝b 2.因为a b ＝b a ，所以(b 2)b ＝bb 2，所以b 2b ＝bb 2， 所以2b ＝b 2，所以b ＝2，所以a ＝4. 答案：4 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：当B ＝∅时，只需2a >a ＋3，即a >3；当B ≠∅时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知x 1，x 2是方程x 2－2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个不等实根，且y ＝x 21＋x 22，求y ＝f (m )的表达式及值域．解：由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋1)>0， 解得m >3或m <0.由韦达定理可得x 2＋x 1＝2(m －1)，x 2x 1＝m ＋1.故y ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4(m －1)2－2(m ＋1)＝4m 2－10m＋2(m >3或m <0)．因为f (m )＝4m 2－10m ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －542－174，所以f (m )的值域为(2，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －5x .(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)用单调性的定义证明函数f (x )＝2x －5x 在(0，＋∞)上单调递增．解：(1)函数f (x )＝2x －5x是奇函数．证明如下：易知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．因为f (－x )＝2(－x )－5－x＝－2x ＋5x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1) ＝2x 2－5x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5x 1＝2(x 2－x 1)＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋5x 1x 2，因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 所以f (x )＝2x －5x在(0，＋∞)上单调递增．20．(本小题满分12分)求函数f (x )＝x 2＋2x ＋a －1在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12上的零点．解：Δ＝4－4(a －1)＝8－4a . 当Δ<0，即a >2时，f (x )无零点． 当Δ＝0，即a ＝2时，f (x )有一个零点－1.当Δ>0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，即⎩⎨⎧8－4a >0，14＋1＋a －1<0，a <－14时，f (x )仅有一个零点：－1－2－a .当Δ>0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，即⎩⎨⎧8－4a >0，14＋1＋a －1≥0⇒－14≤a <2时，f (x )有两个零点：x ＝－2±8－4a2＝－1±2－a .综上所述，当a >2时，f (x )无零点； 当a ＝2时，f (x )有一个零点－1；当－14≤a <2时，f (x )有两个零点：－1±2－a ；当a <－14时，f (x )有一个零点：－1－2－a .21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4(尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年)；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v 的值为0(千克/年)．(1)当0<x ≤20时，求函数v (x )的表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．解：(1)由题意：当0<x ≤4时，v (x )＝2 当4<x ≤20时，设v (x )＝ax ＋b ， 显然该函数在[4，20]是减函数， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52.故函数v (x )＝⎩⎨⎧2，0<x ≤4，x ∈N *，－18x ＋52，4≤x ≤20，x ∈N *.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0<x ≤4，x ∈N *，－18x 2＋52x ，4≤x ≤20，x ∈N *.当0≤x ≤4时，f (x )为增函数， 故f max (x )＝f (4)＝4×2＝8；当4≤x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋10028，f max(x)＝f(10)＝12.5.所以，当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．22．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)＝m－g（x）1＋g（x）的定义域为R，其中g(x)为指数函数，且过定点(2，9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)>0恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)设g(x)＝a x(a>0，且a≠1))，则a2＝9，所以a＝－3 (舍去)或a＝3，所以g(x)＝3x，f(x)＝m－3x 1＋3x.又f(x)为奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，即m－301＋30＝0，所以m＝1，所以f(x)＝1－3x 1＋3x.(2)设x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－3x11＋3x1－1－3x21＋3x2＝2（3x2－3x1）（1＋3x1）（1＋3x2）.因为x1<x2，所以3x2－3x1>0，所以2（3x2－3x1）（1＋3x1）（1＋3x2）>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减．要使对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)>0恒成立，即对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)>－f(－2t2＋2t－5)恒成立．因为f(x)为奇函数，所以f(t2＋2t＋k)>f(2t2－2t＋5)恒成立．又因为函数f(x)在R上单调递减，所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k<2t2－2t＋5恒成立，即对任意的t∈[0，5]，k<t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k<1.。
人教版高中数学高一必修一：第三章单元质量评估
第三章单元质量评估时限：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )f (b )>0，则不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )<0，则只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )>0，则有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )<0，则有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝02．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定3．若函数f (x )在[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，且同时满足f (a )f (b )<0，f (a )·f (a ＋b 2)>0，则( )A ．f (x )在[a ，a ＋b2]上有零点 B ．f (x )在[a ＋b2，b ]上有零点 C ．f (x )在[a ，a ＋b2]上无零点 D ．f (x )在[a ＋b2，b ]上无零点4．函数f (x )＝1－x ln x 的零点所在的区间是( ) A ．(0，12) B ．(12，1) C ．(1,2)D ．(2,3)5．设f(x)＝3x＋3x－8，若用二分法求方程3x＋3x－8＝0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在的区间为() A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定6．若函数f(x)＝x2＋3x＋2，且f(a)>f(b)>0，则函数f(x)的区间(a，b)内() A．一定无零点B．一定有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点7．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗中盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t(分钟)的函数关系表示的图象可能是()8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 000 2015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升D ．12升9．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－110．设a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若x 0>a ，则( ) A ．f (x 0)＝0 B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2，－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．(74，＋∞) B ．(－∞，74) C ．(0，74)D ．(74，2) 答案1．C 当零点在区间(a ，b )内时，f (a )f (b )>0也可能成立，因此A 不正确，C 正确；若y ＝f (x )满足零点存在性定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B ，D 都不正确．2．D 由题意，知f (x )在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f (－1)·f (1)的符号不确定，如f (x )＝x 2，f (x )＝x .3．B 由f (a )f (b )<0，f (a )f (a ＋b 2)>0可知f (a ＋b2)f (b )<0，根据零点存在性定理可知f (x )在[a ＋b2，b ]上有零点．4．C 由于f (1)＝1－ln1＝1>0，f (2)＝1－2ln2＝lne －ln4<0，由零点存在性定理可知所求区间为(1,2)．5．B ∵f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，∴f (1.5)·f (1.25)<0，因此方程的根所在的区间为(1.25,1.5)．6．C 根据二次函数的图象可知选项C 正确．7．B 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选B.8．B 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.9．D 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝(1＋p )(1＋q )－1，故选D.10．B 如图所示，画出函数y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象，可知当x 0>a 时，2x0>log 12x 0，故f (x 0)>0.11．D 当x ≥0时，函数g (x )的零点即方程f (x )＝x －3的根，由x 2－3x ＝x －3，解得x ＝1或3.当x <0时，由f (x )是奇函数得－f (x )＝f (－x )＝x 2－3(－x )，即f (x )＝－x 2－3x .由f (x )＝x －3得x ＝－2－7(正根舍去)．故选D.12．D 函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是(74，2)．———————————————————————————— 二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：x 1 23456f (x )136.13515.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.06414．用二分法求函数f (x )的一个零点，其参考数据如下：f (1.600 0)≈0.200f (1.587 5)≈0.133f (1.575 0)≈0.06715．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)(1)判断函数f (x )＝x 3－x －1在区间[－1，2]上是否存在零点； (2)求函数y ＝x ＋2x －3的零点．18．(12分)若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝ln x ＋2x －6，试判断函数f (x )的零点个数．答案13.3解析：由已知数据可知f (2)f (3)<0，f (3)f (4)<0，f (4)f (5)<0，所以函数在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内各至少有1个零点，则函数至少有3个零点．14．1.562 5(答案不唯一)解析：由参考数据知，f (1.562 5)≈0.003>0，f (1.556 25)≈－0.029<0，即f (1.556 25)·f (1.562 5)<0，又1.562 5－1.556 25＝0.006 25<0.01，∴f (x )的一个零点的近似值可取为1.562 5.15．24解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，即⎩⎨⎧e b＝192，e 11k ＝12，所以该食品在33℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝(12)3×192＝24(小时)．16．[12，1)∪[2，＋∞)解析：当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2；当a <1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1≤2a ，21－a >0，解得12≤a <1.综上，实数a 的取值范围为[12，1)∪[2，＋∞)．17．解：(1)∵f (－1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (－1)f (2)<0.∴f (x )在[－1,2]上存在零点．(2)x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝(x －1)(x －2)x ，解方程x ＋2x －3＝0，即(x －1)(x －2)x ＝0，可得x ＝1或x ＝2.∴函数y ＝x ＋2x －3的零点为1,2.18．解：方法一：当x <0时，－x >0，f (－x )＝ln(－x )－2x －6，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－ln(－x )＋2x ＋6. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6，x >00，x ＝0－ln (－x )＋2x ＋6，x <0令f (x )＝0易得函数f (x )有3个零点．方法二：当x >0时，在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象如图所示，易知两函数图象只有1个交点，即当x >0时，函数f (x )有1个零点．由f (x )为定义在R 上的奇函数，可知f (0)＝0，且图象关于原点对称，则当x <0时，函数f (x )有1个零点．综上可知，f (x )在R 上有3个零点．————————————————————————————19．(12分)已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且方程f (x )＋4＝0有唯一解x ＝1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间[a ，a ＋4]上存在零点，求实数a 的取值范围．(12分)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．答案19.解：(1)方程f (x )＋4＝0有唯一解x ＝1，即一元二次方程x 2＋bx ＋c ＋4＝0有唯一解x ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－4(c ＋4)＝0，b ＋c ＋5＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3，所以f (x )＝x 2－2x －3.(2)结合(1)易知函数f (x )的零点为－1,3. 当－1∈[a ，a ＋4]时，－5≤a ≤－1； 当3∈[a ，a ＋4]时，－1≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[－5,3]． 20．解：(1)当0≤t <1时 ，y ＝4t ；当t ≥1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a 此时M (1,4)在曲线上，故4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ，解得a ＝3，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3.故y ＝f (t )＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1.(1)因为f (t )≥0.25，则⎩⎨⎧4t ≥0.25，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得⎩⎨⎧t ≥116，t ≤5，所以116≤t ≤5，因此服药一次治疗疾病有效的时间为 5－116＝41516(h)．————————————————————————————21．(12分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －2)2＋2.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．22.(12分)人们对声音有不同的感觉，这与它的强度I(单位：W/m2)有关系．但在实际测量时，常用声音的强度水平L1(单位：dB)表示，它满足公式：L1＝10×lg II0 (L1≥0，其中I0＝1×10－12W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．根据以上材料，回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语声的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播声的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50 dB以下，试求声音的强度I的范围是多少？答案21.解：(1)由于f (x )为定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋2，x ≥0，－(x ＋2)2＋2，x <0. (2)图象如图所示：(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )的图象可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．22．解：(1)由题意可知，树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2，则I 1I 0＝1，所以LI 1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0 dB.耳语声的强度是I 2＝1×10－10W/m 2，则I 2I 0＝102，所以LI 2＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为20 dB.恬静的无线电广播声的强度是I 3＝1×10－8 W/m 2，则I 3I 0＝104，所以LI 3＝10×lg104＝40，即恬静的无线电广播声的强度水平为40 dB.(2)由题意知，0≤L 1<50，即0≤10×lg I I 0<50，所以1≤I I 0<105，即10－12≤I <10－7.所以小区内公共场所的声音的强度I的范围为大于或等于10－12W/m2，同时应小于10－7W/m2.【…、￥。
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单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：因为Δ＝b 2＋4×2×3＝b 2＋24>0，所以函数图象与x 轴有两个不同的交点，故函数有2个零点．答案：C2．函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1，0) B ．－1 C ．1 D ．0解析：令1＋1x＝0，得x ＝－1，即为函数的零点． 答案：B3．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值为( )A ．3 B.127 C ．27 D.13解析：因为幂函数y ＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以(－2)a＝－18，所以a ＝－3.又因为f (x )＝27，所以x －3＝27，所以x ＝13. 答案：D4．若函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，4 B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：因为函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，所以f (－2)·f (1)≤0，解得m ≤－2或m ≥1.答案：D5．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)与(1，e)D ．(e ，＋∞)解析：易知函数f (x )在(2，3)上是连续的，且f (2)＝ln 2－1＝ln 2－ln e ＝ln 2e <0，f (3)＝ln 3－23>0，所以函数f (x )的零点所在的大致区间是(2，3)．答案：B6．函数f (x )＝2x －1的零点是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：由2x －1＝0，得x ＝0，故函数的零点为0.答案：A7．用二分法求f (x )＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．x 0＝－32 C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0＝1解析：由于f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 答案：C8．甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中( )A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利9元C ．甲盈利1元D ．甲亏本1.1元解析：甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×1110元和1 000×1110×910×910元， 而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×910＝1，故甲盈利1元．答案：C9．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多个解析：画出y ＝log 12x 与y ＝2x －1的图象(图略)可知，两曲线仅有一个交点，故实根个数为1.答案：B10．某城市为保护环境、维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月用水超过8吨，超过部分加倍收费．若某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8，则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，所以x＝9.答案：D11．设甲、乙两地的距离为a km(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10 min后，又匀速从乙地返回甲地用了30 min.则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()解析：由题意知，中间休息时，时间与路程之间的函数为常函数，其余时间段随时间的增加，路程也增加．观察图象知D选项正确．答案：D12．函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，满足f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，其中a<b<c，则y＝f(x)在(a，c)上零点个数为()A．2 B．至少2个C．奇数D．偶数解析：因为函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，由f(a)·f(b)<0，知y＝f(x)在(a，b)上至少有1个零点，由f(b)·f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有1个零点，所以y＝f(x)在(a，c)上至少有2个零点．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)是定义域为R的奇函数，且在区间(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为________．解析：由题意知f(0)＝0，f(x)在区间(0，＋∞)上有一个零点，在区间(－∞，0)上也必有一个零点，所以f(x)在定义域R上有三个零点．答案：314．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的取值是________．解析：若m≠0，则Δ＝4－12m＝0，m＝13，若m＝0，则f(x)＝－2x＋3只有一个零点，符合要求，所以m＝0或13.答案：0或1315．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于________．解析：设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3 000)＝－0.1x 2＋36x －3 000＝－0.1(x －180)2＋240，则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值．答案：180台16．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析：由题意得⎩⎨⎧192＝e b，48＝e 22k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧e b ＝192，e 11k ＝12， 当x ＝33时，y ＝e33k ＋b ＝(e 11k )3e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24. 答案：24 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某市出租车的计价标准是4 km 以内10元(含4 km)，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2元/千米，超出18 km 的部分1.8元/千米．(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km ，那么他要付多少车费？解：(1)设行车里程为x km ，车费为y 元．由题意得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，10＋1.2（x －4），4<x ≤18，10＋1.2×14＋1.8（x －18），x >18，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，1.2x ＋5.2，4<x ≤18，1.8x －5.6，x >18.(2)将x ＝20代入函数解析式，得y ＝1.8×20－5.6＝30.4(元)． 故乘车20 km ，要付车费30.4元．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个零点，且都大于2，求实数m 的取值范围．解：函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个大于2的零点，即方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）2－4（5－m ）>0，2－m 2>2，4＋2（m －2）＋5－m >0，解得－5<m <－4.故实数m 的取值范围是(－5，－4)． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．解：由f (x )＝0，得x －1＝－12x 2＋2.令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0，2)，与x 轴的交点分别为(－2，0)，(2，0)，y 1与y 2的图象有3个交点，由此可知函数f (x )有3个零点．设函数y 1＝x －1与y 2＝－12x 2＋2图象三个交点的横坐标从左往右分别为x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的三个零点分别为x 1，x 2，x 3，因为f (－3)＝1－3＋12×9－2>0，f (－2)＝1－2＋12×4－2<0，即x 1∈(－3，－2)，同理x 2∈(0，1)，x 3∈(1，2)．20．(本小题满分12分)某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时，卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P (单位：分)和Q (单位：分)，在每部分做了20分钟的条件下发现它们与投入时间m (单位：分钟)的关系有经验公式，P ＝15m ＋36，Q ＝65＋23m . (1)试建立数学总成绩y (单位：分)与对卷Ⅱ投入时间x (单位：分钟)的函数关系式，并指明函数定义域；(2)如何计划使用时间，才能使得所得分数最高．解：(1)设对卷Ⅱ用x 分钟，则对卷Ⅰ用(120－x )分钟，所以y ＝P＋Q ＝65＋23x ＋15(120－x )＋36＝ －15x ＋23x ＋125，其定义域为[20，100]． (2)令t ＝x ∈[25，10]，则函数为关于t 的二次函数：y ＝－15t 2＋23t ＋125＝－15(t －53)2＋140. 所以当t ＝53，即x ＝75时，y max ＝140.即当卷Ⅰ用45分钟，卷Ⅱ用75分钟时，所得分数最高．21．(本小题满分12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .(1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根．证明：(1)由f (x )＝1得x 2＋(2t －1)x ＋1－2t ＝1，即x 2＋(2t －1)x －2t ＝0.因为Δ＝(2t －1)2＋8t ＝4t 2＋4t ＋1＝(2t ＋1)2≥0，所以对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根．(2)当12<t <34时，f (－1)＝3－4t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫34－t >0， f (0)＝1－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t <0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0， 故方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根． 22．(本小题满分12分)旅游社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15 000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团人数最多为75人．(1)写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数；(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅游团人数为x 人，飞行票价格为y 元，依题意，当1≤x ≤30，且x ∈N *时，y ＝900，当30<x ≤75，且x ∈N *时，y ＝900－10(x －30)＝－10x ＋1 200.所以所求函数为y ＝⎩⎨⎧900，1≤x ≤30，x ∈N *，－10x ＋1 200，30<x ≤75，x ∈N *.(2)设利润为f (x )元，则f (x )＝y ·x －15 000＝11 ⎩⎨⎧900x －15 000，1≤x ≤30，x ∈N *，－10x 2＋1 200x －15 000，30<x ≤75，x ∈N.当1≤x ≤30，且x ∈N *时，f (x )max ＝f (30)＝12 000(元)， 当30<x ≤75，且x ∈N *时，f (x )max ＝f (60)＝21 000元，因为21 000元>12 000元，所以旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润．。