高中数学 第3章3.3.1知能优化训练 新人教B版选修11
高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 新人教B版选修11
1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．2．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2解析：选A.f ′(1)＝lim Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx＝lim Δx →0 11＋Δx ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.3．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________.解析：2＝lim Δx →0 x 0＋Δx 2＋4x 0＋Δx －x 20－4x 0Δx＝2x 0＋4，∴x 0＝－1.答案：－14．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 证明：∵y ′＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx＝lim Δx →0 x ＋Δx ＋1x ＋Δx －x ＋1x Δx＝x 2－1x 2＝1－1x 2<1， ∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.一、选择题1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是( )A ．在点x 0处的斜率B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率答案：C2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析：选C.曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2x ＋Δx 2－2x 2Δx＝lim Δx →0 4x ·Δx ＋2Δx 2Δx＝4x .则f ′(2)＝8.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＞0D ．f ′(x 0)不确定解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14) 解析：选D.k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝limΔx →0(2x ＋Δx )＝2x . ∵倾斜角为π4，∴斜率为1. ∴2x ＝1，得x ＝12，故选D. 5．y ＝－1x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4C ．y ＝4x ＋4D ．y ＝2x －4解析：选B.先求y ＝－1x ＋1的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx ，Δy Δx ＝1x x ＋Δx，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2.所以y ＝－1x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率k ＝y ′|x ＝12＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 6．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f 1－f 1－x x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．2B ．－1 C.12D ．－2 解析：选B.∵lim x →0f 1－f 1－x x＝－1， ∴lim x →0 f 1－x －f 1－x＝－1， ∴f ′(1)＝－1. 二、填空题7．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝________.解析：设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋a ＝1，即a ＝3.答案：38．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 解析： lim Δx →0 a 1＋Δx 2－a Δx ＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b a ＝2. 答案：2 9．已知曲线y ＝3x 2，则在点A (1,3)处的曲线的切线方程为________．解析：∵Δy Δx ＝31＋Δx 2－3×12Δx＝6＋3Δx ， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6. ∴曲线在点A (1,3)处的切线斜率为6.∴所求的切线方程为y －3＝6(x －1)，即6x －y －3＝0.答案：6x －y －3＝0三、解答题10．曲线y ＝－x 2＋4x 上有两点A (4,0)，B (2,4)．求：(1)割线AB 的斜率k AB ；(2)点A 处的切线的斜率；(3)点A 处的切线方程．解：(1)k AB ＝4－02－4＝－2. (2)f ′(x )＝lim Δx →0 －x ＋Δx 2＋4x ＋Δx ＋x 2－4x Δx＝lim Δx →0 －2x ·Δx －Δx 2＋4Δx Δx＝limΔx →0(－2x ＋4－Δx )＝－2x ＋4， ∴点A (4,0)处的切线的斜率k ＝f ′(4)＝－2×4＋4＝－4.(3)点A 处的切线方程为y ＝－4(x －4)，即4x ＋y －16＝0.11．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解：先求曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处的切线的斜率，k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 31＋Δx 2－41＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝limΔx →0(3Δx ＋2)＝2. 设过点P (－1,2)且斜率为2的直线为l ，则由点斜式y －2＝2(x ＋1)，化为一般式2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.12．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝10＋x ， 即x 2－x －6＝0，∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋4－x 2＋4Δx＝lim Δx →0 Δx 2＋2x ·Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.。
2022高中数学 第3章3.3.1知能优化训练 新人教B版选修1-1
1．函数＝3＋的递增区间是A．0，＋∞B．－∞，1C．－∞，＋∞ D．1，＋∞解析：选′＝32＋1＞0对于任何实数都恒成立．2．命题甲：对任意∈a，b，有f′>0；命题乙：f在a，b内是单调递增的．则甲是乙的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选＝3在－1,1内是单调递增的，但f′＝32≥0－10，解得>1；再令1－错误!错误!0，∴>错误!即函数的单调递增区间为错误!，＋∞．3．若在区间a，b内，f′>0，且fa≥0，则在a，b内有A．f>0 B．f0，所以f在a，b内是增函数，所以f>fa≥0 4．下列函数中，在区间－1,1上是减函数的是A．＝2－32B．＝nC．＝错误!D．＝in解析：＝错误!，其导数′＝错误!＜0，且函数在区间－1,1上有意义，所以函数＝错误!在区间－1,1上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C5．函数＝co－in在下面哪个区间内是增函数解析：选′＝co－in－co＝－in，若＝f在某区间内是增函数，只需在此区间内′恒大于或等于0即可．∴只有选项B符合题意，当∈π，2π时，′≥0恒成立．6．函数＝a3－在R上是减函数，则A．a≥错误!B．a＝1C．a＝2 D．a≤0解析：′＝3a2－1，函数＝a3－在－∞，＋∞上是减函数，所以′＝3a2－1≤0恒成立，即3a2≤1恒成立．当＝0时，3a2≤1恒成立，此时a∈R；当≠0时，若a≤错误!恒成立，则a≤0综上可得a≤0二、填空题7．＝2e的单调递增区间是________．解析：∵＝2e，∴′＝2e＋2e＝e2＋>0⇒0∴递增区间为－∞，－2和0，＋∞．答案：－∞，－2，0，＋∞8．若函数f＝3＋b2＋c＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________ 解析：∵′＝32＋2b＋c，由题意知[－1,2]是不等式32＋2b＋c0，∴a>0答案：0，＋∞三、解答题10．求下列函数的单调区间．1f＝3＋错误!；2f＝＋错误!b＞0．解：1函数的定义域为－∞，0∪0，＋∞，f′＝32－错误!＝32－错误!，由f′>0，解得1，由f′0，结合－4≤≤4，得－4≤0时，要使f′＝a错误!－错误!2＋a－错误!≥0恒成立，则a－错误!≥0，解得a≥1综上，a的取值范围为{a|a≥1或a＝0}．。
【优化方案】2020高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 新人教B版选修1-1.doc
1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．2．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2解析：选A.f ′(1)＝lim Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx＝lim Δx →0 11＋Δx ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.3．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________.解析：2＝lim Δx →0 x 0＋Δx 2＋4x 0＋Δx －x 20－4x 0Δx＝2x 0＋4，∴x 0＝－1.答案：－14．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 证明：∵y ′＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx＝lim Δx →0 x ＋Δx ＋1x ＋Δx －x ＋1x Δx＝x 2－1x 2＝1－1x 2<1， ∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.一、选择题1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是( )A ．在点x 0处的斜率B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率答案：C2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析：选C.曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2x ＋Δx 2－2x 2Δx＝lim Δx →0 4x ·Δx ＋2Δx 2Δx＝4x .则f ′(2)＝8. 3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＞0D ．f ′(x 0)不确定解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14) 解析：选D.k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝limΔx →0(2x ＋Δx )＝2x . ∵倾斜角为π4，∴斜率为1. ∴2x ＝1，得x ＝12，故选D. 5．y ＝－1x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4C ．y ＝4x ＋4D ．y ＝2x －4解析：选B.先求y ＝－1x ＋1的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx ，Δy Δx ＝1x x ＋Δx，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2.所以y ＝－1x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率k ＝y ′|x ＝12＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 6．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f 1－f 1－x x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．2B ．－1 C.12D ．－2 解析：选B.∵lim x →0f 1－f 1－x x＝－1， ∴lim x →0 f 1－x －f 1－x＝－1， ∴f ′(1)＝－1. 二、填空题7．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝________.解析：设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋a ＝1，即a ＝3.答案：38．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 解析： lim Δx →0 a 1＋Δx 2－a Δx ＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b a ＝2. 答案：2 9．已知曲线y ＝3x 2，则在点A (1,3)处的曲线的切线方程为________．解析：∵Δy Δx ＝31＋Δx 2－3×12Δx＝6＋3Δx ， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6. ∴曲线在点A (1,3)处的切线斜率为6.∴所求的切线方程为y －3＝6(x －1)，即6x －y －3＝0.答案：6x －y －3＝0三、解答题10．曲线y ＝－x 2＋4x 上有两点A (4,0)，B (2,4)．求：(1)割线AB 的斜率k AB ；(2)点A 处的切线的斜率；(3)点A 处的切线方程．解：(1)k AB ＝4－02－4＝－2. (2)f ′(x )＝lim Δx →0 －x ＋Δx 2＋4x ＋Δx ＋x 2－4x Δx＝lim Δx →0 －2x ·Δx －Δx 2＋4Δx Δx＝limΔx →0(－2x ＋4－Δx )＝－2x ＋4， ∴点A (4,0)处的切线的斜率k ＝f ′(4)＝－2×4＋4＝－4.(3)点A 处的切线方程为y ＝－4(x －4)，即4x ＋y －16＝0.11．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解：先求曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处的切线的斜率，k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 31＋Δx 2－41＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝limΔx →0(3Δx ＋2)＝2. 设过点P (－1,2)且斜率为2的直线为l ，则由点斜式y －2＝2(x ＋1)，化为一般式2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.12．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝10＋x ， 即x 2－x －6＝0，∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋4－x 2＋4Δx＝lim Δx →0 Δx 2＋2x ·Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.。
优化方案2020高中数学第3章3.3.3知能优化训练新人教A版选修11
1．函数y＝f(x)在[a，b]上( )A．极大值必然比极小值大B．极大值必然是最大值C．最大值必然是极大值D．最大值必然大于极小值剖析：选D.由函数的最值与极值的看法可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值必然大于极小值．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值剖析：选D.f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，应选D.3．函数y＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．剖析：由y′＝1224x－16x＝0，得x＝0或x ＝.34128当x＝0时，y＝0；当x＝3时，y＝－27；当x＝－2时，y＝－64；当x＝2时，y＝0.比较可知ymax＝0，ymin＝－64.答案：－6404．已知函数()＝13－4＋4.x3x x(1)求函数的极值；求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x＝－2，x＝2.12当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况以下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)′()＋0－fx28f(x)3从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为4小值，且极小值为－.3(2，＋∞)0 ＋4328；而当x＝2时，函数有极3f(－3)＝1×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，31 328f(4)＝×4－4×4＋4＝，3 328 4与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是3，最小值是－3.一、选择题1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是()A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5)D．f(5)，f(3)剖析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．2．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．22D．4剖析：选C.′()＝3x －6＝3(x－2)，令′()＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，f x x x fx当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)获取最大值为2.lnx3．函数y＝x的最大值为()A．e－1B．e210C．e D.3剖析：选A.令y′＝lnx′x－lnx·x′x21－lnxx2＝0.解得x＝e.当x>e时，y′<0；当x<e时，y′>0.y＝f(e)1极＝e，在定义域内只有一个极大值值，1所以ymax＝.e4．函数y＝x－sinx，xπ，π的最大值是()∈2πA．π－1 B.2－1 C．πD．π＋1剖析：选C.因为y′＝1－cosx，当x∈π，π时，y′>0，则函数y在区间π，π22上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，应选C.5．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为() A．－10B．－71C．－15D．－22剖析：选B.′()＝3x 2－6－9＝3(x－3)(x＋1)．fx x由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.6．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为15，则a等于()431A．－2 B.21 13C ．－ 2 D.2或－ 2剖析：选C.当a ≤－1 时，最大值为 4，不吻合题意，当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上是2 151 3减函数，f(a)最大，－a －2a ＋3＝4，解得a ＝－2或a ＝－2(舍去)． 二、填空题7．函数y ＝xe x的最小值为________．x剖析：令y ′＝(x ＋1)e ＝0，得x ＝－1.1ymin ＝f(－1)＝－e . 1答案：－e2＋8．已知 f ( x)＝－ x＋1 在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f ( x)的极大值，则mxm 的取值范围是________．m剖析： f′()＝－2x，令 f′()＝0，得＝.xm xx2m1]，故m ∈[－4，－2]． 由题设得2∈[－2，－ 答案：[－4，－2]9．函数f ( x )＝ ax 4－4ax 2＋( >0,1≤≤2)的最大值为 3，最小值为－5，则＝________，b a xab ＝________.32剖析：f ′(x)＝4ax －8ax ＝4ax(x －2)＝0，又f(1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f(2)＝16a －16a ＋b ＝b ，f(2)＝b－4a，f(0)＝b，f(－2)＝b－4a.∴b－4a＝－5，∴a＝2.＝3，b答案：2 3三、解答题10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求：实数a的值；f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)∵f(x)在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0.f′(x)＝3x2＋2ax，∴3×4＋4a＝0，∴a＝－3.由(1)知a＝－3，∴f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况以下表：x－1(－1,0)0(0,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)－22－22从上表可知f ()在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2. x11．设f(x)＝x3－12x2－2x＋5.求函数f(x)的单调递加、单调递减区间；解：f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．令f′(x)＞0，得x＜－2或x＞1.3令′()＜0，得－2＜x ＜1.fx 3∴函数f(x)的单调递加区间为(－∞，－23)，(1，＋∞)；单调递减区间为12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．解：(1)令f′(x)＝3x2－2ax＋3＞0，3 1∴a＜2x＋x min＝3(当x＝1时取最小值)．x≥1，∴a＜3，a＝3时亦吻合题意，∴a≤3.f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.∴ 1令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．3当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x＜5时，f′(x)＞0，即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9.又f(1)＝－1，f(5)＝15，f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.2(－3，1)．。
高中数学 第2章231知能优化训练 选修11 试题(共6页)
知能优化训练(x ùnli àn)[学生用书 P 33]1．动点P 到直线x ＋4＝0的间隔 与它到M (2,0)的间隔 之差等于2，那么P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D.依题意知，动点P 到定直线x ＝－2的间隔 与到定点M (2,0)的间隔 相等，故动点P 的轨迹是抛物线．2．抛物线y ＝14a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A ．当a >0时，(0，a )，当a <0时，(0，－a )B ．当a >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，当a <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2C ．(0，a )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，0 解析：选C.a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴正半轴上；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不管a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，所以选C.3．(2021年模拟)点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的间隔 为d ，点A (72，4)，那么|PA |＋d 的最小值是( ) A.72 B ．4C.92D ．5y 2＝2x 的焦点为F ，那么F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，且点P 到准线的间隔 为d ，所以d ＝|PF |，那么|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5.应选D.4．抛物线y ＝ax 2的准线(zhǔn xiàn)方程是y ＝2，那么a 的值是______． 解析：由y ＝ax 2的准线方程为y ＝－14a ＝2，得a ＝－18.答案：－18一、选择题1．准线方程为x ＝1的抛物线的HY 方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2xD ．y 2＝4xx ＝1知，抛物线的HY 方程是y 2＝－4x .应选B.2．抛物线y ＝mx 2的准线方程是y ＝1，那么实数m 的值是( ) A.14 B ．－14C ．4D ．－4y ＝mx 2，得x 2＝1m y ，14m ＝－1，a ＝－14.3．P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的间隔 为10，那么焦点到准线的间隔 为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16x ＝－p ，∴8＋p ＝10，p ＝2.∴焦点到准线的间隔 为2p ＝4.4．(2021年高考卷)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，那么p 的值是( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4x ＝－p 2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线(zhǔn xiàn)与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.5．(2021年高考卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的间隔 是4，那么点P 到该抛物线焦点的间隔 是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选 B.如下图，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，由抛物线的定义知：|PF |＝|PE |＝4＋2＝6.6．假设点P 到定点F (4,0)的间隔 比它到直线x ＋5＝0的间隔 小1，那么点P 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或者y ＝0(x <0)解析：选C.∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的间隔 比它到直线x ＋5＝0的间隔 小1，∴点P 到F (4,0)的间隔 与它到直线x ＋4＝0的间隔 相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x . 二、填空题7．抛物线y 2＝2px (p >0)过点M (2,2)，那么点M 到抛物线准线的间隔 为________．解析：y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的间隔 为2＋p 2＝52.答案(dá àn)：528．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，假设|AB |＝43，那么焦点F 到直线AB 的间隔 为________．解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A ＝y 2A4＝3，∴所求间隔 为3－1＝2. 答案：29．动点P 到点F (2,0)的间隔 与它到直线x ＋2＝0的间隔 相等，那么点P 的轨迹方程为________．解析：由抛物线定义知，点P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，那么其方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x 三、解答题10．假设抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的间隔 为10，求抛物线方程和M 点的坐标．解：由抛物线定义知焦点为F (－p 2，0)，准线为x ＝p2，由题意设M 到准线的间隔 为|MN |， 那么|MN |＝|MF |＝10， 即p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或者M (－9，－6)．11．指出抛物线方程为x ＝ay 2(a ≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程． 解：∵原抛物线方程(fāngchéng)为y 2＝1a x ，∴2p ＝1|a |.当a ＞0时，p 2＝14a ，抛物线顶点坐标为(0,0)，开口向右，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a；当a ＜0时，p 2＝－14a ，抛物线顶点坐标为(0,0)，开口向左，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a.综上，当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的顶点坐标为(0,0)，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x＝－14a.12．根据以下所给条件，写出抛物线的HY 方程及准线方程： (1)焦点是F (0，－2)； (2)焦点是F (3,0)； (3)准线方程为x ＝－14；(4)焦点到准线的间隔 是2.解：(1)∵焦点F (0，－2)在y 轴的负半轴上， ∴抛物线的HY 方程的形式为x 2＝－2py (p >0)． 由p2＝2，得p ＝4， ∴抛物线的HY 方程的形式为：x 2＝－8y ， 其准线方程为y ＝2.(2)∵焦点F (3,0)在x 轴的正半轴上， ∴抛物线的HY 方程的形式为y 2＝2px (p >0)． 由p2＝3，得p ＝6， ∴抛物线的HY 方程(fāngchéng)为：y 2＝12x ， 其准线方程为x ＝－3.(3)∵准线方程为x ＝－14，∴抛物线的HY 方程为：y 2＝2px (p >0)．由p 2＝14，得p ＝12， 所以抛物线的HY 方程为：y 2＝x . (4)由参数p 的几何意义，可知p ＝2.焦点在x 轴的正半轴上时，抛物线的HY 方程为：y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；焦点在x 轴的负半轴上时，抛物线的HY 方程为：y 2＝－4x ，其准线方程为x ＝1；焦点在y 轴的正半轴上时，抛物线的HY 方程为：x 2＝4y ，其准线方程为y ＝－1；焦点在y 轴的负半轴上时，抛物线的HY 方程为：x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.内容总结。
高中数学 第3章3知能优化训练 选修11 试题
卜人入州八九几市潮王学校1．曲线y ＝x n(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，那么n 等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.∵y′＝nx n－1，∴y′|x＝2＝n·2n－1＝12，∴n＝3.2．以下结论：①假设y＝，那么y′|x＝2＝－；②假设y＝cos x，那么y′|x＝＝－1；③假设y＝e x，那么y′＝e x.其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3②③，一共有2个，应选C.3．函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，那么这样的切线有()A．1条B．2条C．多于2条D．不确定解析：选B.f′(x)＝3x2，令f′(x)＝3，即3x2＝3，∴x＝±1，故应有2条．4．f(x)＝x2，g(x)＝x3，假设f′(x)－g′(x)＝－2，那么x＝________.解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2，于是有2x－3x2＝－2，解得x＝.答案：一、选择题1．(2021年检测)假设f(x)＝cos x，那么f′(α)等于()A．sinαB．cosαC．2α＋sinαD．－sinα解析：选D.∵f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，∴f′(α)＝－sinα.2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的切点是()A．(0,0) B．(2,4)C. D.解析：选D.设切点为(x0，x)，∵倾斜角为，∴y′＝2x0＝1，∴x0＝，故切点为(，)．3．函数f(x)＝a x，且f′(e)＝4，那么a＝()A．4－B．4－eC．e－4D．4解析：选D.∵f′(x)＝a x ln a，∴f′(e)＝a e＝4，∴a＝4.4．曲线f(x)＝x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，那么该切线方程为()A．5x＋5y＋4＝0 B．5x－5y－4＝0C．5x＋5y±4＝0 D．5x－5y±4＝0y＝－x＋3垂直，所以切线的斜率为1.又f′(x)＝x4，∴x4＝1，∴x＝±1.当x＝1时，切点为，切线方程为5x－5y－4＝0.当x＝－1时，切点为，切线方程为5x－5y＋4＝0.5．假设函数f(x)的导数为f′(x)＝－sin x，那么函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为() A．90°B．0°C．锐角D．钝角f(x)在点(4，f(4))处的切线斜率为f′(4)＝－sin4＞0，∴此切线的倾斜角为锐角．6．(2021年高考大纲全国卷Ⅱ)假设曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，那么a＝()A．64 B．32C．16 D．8y′＝－x－(x>0)，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝－a－，由点斜式得切线的方程为y－a－＝－a－(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的交点分别为(3a,0)，，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64.二、填空题7．(1)函数f(x)＝，那么f′(0)＝________；(2)函数f(x)＝x n，且f′(1)＝2，那么n＝________.解析：(1)因为f′(x)＝0，所以f′(0)＝0.(2)由公式得f′(x)＝nx n－1，所以f′(1)＝n＝2，即n＝2.答案：028．0<x<，f(x)＝x2，g(x)＝，那么f′(x)与g′(x)之间的大小关系是________．解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝，因为0<x<，所以f′(x)＝2x∈，g′(x)＝∈(1，＋∞)，所以f′(x)＜g′(x)．答案：f′(x)＜g′(x)9．假设曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3.那么这条切线的方程为________．解析：f′(x)＝＝＝＝(2x＋Δx)＝2x.设切点坐标为(x0，y0)，那么由题意知，f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2.代入曲线方程得y0＝3.故该切线过点(2,3)且斜率为4.∴这条切线的方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.答案：4x－y－5＝0三、解答题10．求以下函数的导数．(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x；(4)y＝log x；(5)y＝2cos2－1.解：(1)∵y′＝c′＝0，∴y′＝2′＝0.(2)∵y′＝(x n)′＝n·x n－1，∴y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－＝.(3)∵y′＝(a x)′＝a x·ln a，∴y′＝(10x)′＝10x·ln10.(4)∵y′＝(log a x)′＝，∴y′＝(log x)′＝＝－.(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.11．求曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．解：由，解得交点为(1,1)．而′＝－；(x2)′＝2x，∴斜率分别为－1和2，∴切线方程分别为y－1＝－(x－1)，及y－1＝2(x－1)；令y＝0，得与x轴交点为(2,0)及，∴S△＝·×1＝.12．点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小间隔．解：由设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点(x0，y0)，该切点即为与直线y＝x间隔最近的点．∵y＝e x，∴y′＝e x.又∵在点(x0，y0)处的切线斜率为1，∴e x0＝1，∴x0＝0，代入y＝e x，可得：y0＝1，∴切点为(0,1)，利用点到直线的间隔公式可以求出d＝.。
高中数学 第3章3.2.2知能优化训练 湘教版选修11
高中数学 第3章3.2.2知能优化训练 湘教版选修11[学生用书 P 33]1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9解析：选C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.2．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)＝( )A ．4 B.19C ．－14 D ．－19解析：选D.∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－19.3．(2011年青州高二检测)若f (x )＝cos x ，则f ′(α)等于( )A ．sin αB ．cos αC ．2α＋sin αD ．－sin α解析：选D.f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，∴f ′(α)＝－sin α.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为________． 解析：y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴切线方程为：y －e 2＝e 2(x －2)．令x ＝0得y ＝－e 2；令y ＝0得x ＝1.∴S △＝12e 2·1＝12e 2.答案：12e 2一、选择题1．函数y ＝cot x 的导数是( )A.1sin 2x B ．－1cos 2xC ．－1sin 2x D.1cos 2x解析：选C.由导数公式表可知(cot x )′＝－1sin 2x .2．下列结论中不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x ，y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝3解析：选B.∵y ′＝(1x )′＝(x －12)′＝－12x －12－1＝－12x －32＝－12x x ，∴B 错误．3．若f (x )＝sin x ，则f ′(2π)等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．cos x解析：选A.因为f (x )＝sin x ，所以f ′(x )＝cos x ，所以f ′(2π)＝cos2π＝1.4．(2011年高考江西卷)曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解析：选A.y ′＝(e x )′＝e x ，∴当x ＝0时，y ′＝e 0＝1，故y ＝e x 在A (0,1)处的切线斜率为1，选A.5．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.y ′＝(x 4)′＝4x 3.设切点为(x 0，y 0)，则4x 30×(－14)＝－1， ∴x 0＝1.∴切点为(1,1)．∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0，故选A.6．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2010(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选B.利用正、余弦函数的求导公式及函数的周期性求解．f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，…，∴周期为4，故f 2010(x )＝f 2(x )＝－sin x ．故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝3x ，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝3x ln3，则f ′(0)＝ln3.答案：ln38．已知f (x )＝ln x ，且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝1x ，所以f ′(x 0)＝1x 0， 又f ′(x 0)＝1x 20，所以1x 0＝1x 20， 所以x 0＝x 20.所以x 0＝0(舍)或x 0＝1.答案：19．y ＝1x的斜率为－1的切线方程为________． 解析：令y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝±1. ∴切点为(1,1)或(－1，－1)．∴切线方程为y －1＝－(x －1)或y ＋1＝－(x ＋1)．即x ＋y －2＝0或x ＋y ＋2＝0.答案：x ＋y －2＝0或x ＋y ＋2＝0三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝log 12x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 解：(1)∵y ′＝c ′＝0，∴y ′＝2′＝0.(2)∵y ′＝(x n )′＝n ·x n －1，∴y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x 34－1 ＝34x －14＝344x. (3)∵y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln10.(4)∵y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a， ∴y ′＝(log 12x )′＝1x ·l n 12＝－1x ·ln2. (5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .11．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0?解：设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴Δy Δx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4.即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)．12．已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)．∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直．。
人教A版高中数学选修1-1全册同步测控知能训练题集含答案
人教A版高中数学选修1-1全册同步测控知能训练题集目录第1章1.1.1知能优化训练第1章1.1.3知能优化训练第1章1.2知能优化训练第1章1.3知能优化训练第1章1.4知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2第一课时知能优化训练第2章2.1.2第二课时知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第3章3.1.2知能优化训练第3章3.1.3知能优化训练第3章3.2知能优化训练第3章3.3.1知能优化训练第3章3.3.2知能优化训练第3章3.3.3知能优化训练第3章3.4知能优化训练1．下列语句是命题的是( )A ．梯形是四边形B ．作直线ABC ．x 是整数D ．今天会下雪吗答案：A2．(2011年高考课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3) p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π] p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3) p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π] 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．P 1，p 3C ．P 2，p 3D ．P 2，p 4解析：选A.|a ＋b |>1⇔1＋1＋2cos θ>1⇔θ∈[0，2π3)． |a －b |>1⇔1＋1－2cos θ>1⇔θ∈(π3，π]． 3．判断下列命题的真假：①3≥3：________；②100或50是10的倍数：________.答案：①真命题 ②真命题4．写出命题“如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数”的条件p 和结论q .解：条件p ：一个函数的图象是一条直线；结论q ：这个函数为一次函数．一、选择题1．下列语句不是命题的有( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B.①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．2．下列命题是真命题的是( )A ．{∅}是空集B.{}x ∈N||x －1|<3是无限集C ．π是有理数D ．x 2－5x ＝0的根是自然数解析：选D.x 2－5x ＝0的根为x 1＝0，x 2＝5，均为自然数．3．(2010年高考山东卷)在空间，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行答案：D4．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．5．已知A、B是两个集合，则下列命题中为真命题的是()A．如果A⊆B，那么A∩B＝AB．如果A∩B＝A，那么(∁U A)∩B＝∅C．如果A⊆B，那么A∪B＝AD．如果A∪B＝A，那么A⊆B解析：选A.由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题．6．下列命题中，是真命题的为()A．若一个四边形的对角线互相垂直且平分，则该四边形为正方形B．若集合M＝{x|x2＋x<0}，N＝{x|x>0}，则M⊆NC．若a2＋b2≠0，则a，b不全为零D．若x2＋x＋1<0，则x∈R⊆/解析：选C.A也可为菱形；B中的集合M＝{x|－1<x<0}，M N；D中的不等式无解，x∈∅.二、填空题7．命题：一元二次方程x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根．则条件p：________，结论q：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：一元二次方程为x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根真8．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(只填序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．答案：②③②③9．给出下列几个命题：①若x，y互为相反数，则x＋y＝0；②若a>b，则a2>b2；③若x>－3，则x2＋x－6≤0；④若a，b是无理数，则a b也是无理数．其中的真命题有________个．解析：①是真命题．②设a＝1>b＝－2，但a2<b2，假命题．③设x＝4>－3，但x2＋x－6＝41>0，假命题．④设a＝(2)2，b＝2，则a b＝(2)2＝2是有理数，假命题．答案：1三、解答题10．指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)相等的两个角的正切值相等．解：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题．(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形是矩形，真命题．(3)命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等，则这两个角的正切值相等”．条件p：两个角相等，结论q：这两个角的正切值相等，假命题．11．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数；(2)当a >－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根；(3)已知x 、y 为非零自然数，当y －x ＝2时，y ＝4，x ＝2.解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a >－1，则方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根，是假命题．因为当a ＝0时，方程变为2x －1＝0，此时只有一个实根x ＝12. (3)已知x 、y 为非零自然数，若y －x ＝2，则y ＝4，x ＝2，是假命题．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R)无实根，求使p 正确且q 正确的m 的取值范围．解：若p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2. 若q 为真，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.p 真，q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <3.故m 的取值范围是(2,3)．1．(2011年高考山东卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A.命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”．2．命题“若a >0，则3a 4a ＝34”的逆命题为( ) A ．若a ≤0，则3a 4a ≠34 B ．若3a 4a ≠34，则a >0 C ．若3a 4a ≠34，则a ≤0 D ．若3a 4a ＝34，则a >0 解析：选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调．3．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________．答案：若A ∪B ≠B ，则A B 4．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．一、选择题1．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真⊆/解析：选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的()A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对解析：选B.命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若綈y，则綈x，所以p是r的逆否命题．所以选B.5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①②正确．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．答案：若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案：②③9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．答案：②三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是素数．解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数，假命题；逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数，假命题．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．1．(2011年高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0，但(a －1)(a －2)＝0⇒a ＝1或2，故选A.2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．3．用符号“⇒”或“ ”填空：(1)整数a 能被4整除________a 的个位数为偶数；(2)a >b ________ac 2>bc 2.答案：(1)⇒ (2)4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的什么条件？解：当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0，即2x ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，因为直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1，所以a 2＝1，a ＝2， 综上，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2010年高考福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4是|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.3．“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.b ＝c ＝0⇒y ＝ax 2，二次函数一定经过原点；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点⇒c ＝0，b 不一定等于0，故选A.4．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，q p，所以q是p的必要条件．5．已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p⇒/ q．故选A.6．下列所给的p、q中，p是q的充分条件的个数是()①p：x>1，q：－3x<－3；②p：x>1，q：2－2x<2；③p：x＝3，q：sin x>cos x；④p：直线a，b不相交，q：a∥b.A．1B．2C．3 D．4解析：选C.①由于p：x>1⇒q：－3x<－3，所以p是q的充分条件；②由于p：x>1⇒q：2－2x<2(即x>0)，所以p是q的充分条件；③由于p：x＝3⇒q：sin x>cos x，所以p是q的充分条件；④由于p：直线a，b不相交q：a∥b，所以p不是q的充分条件．二、填空题7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<28．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2R sin A＝2R sin B，即a＝b；反之也成立．答案：充要9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p是q的必要条件，但不是充分条件．11．命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y，则p 是q 的什么条件？ 解：p ：x >0，y <0，则q ：x >y ，1x >1y成立； 反之，由x >y ，1x >1y ⇒y －x xy>0， 因y －x <0，得xy <0，即x 、y 异号，又x >y ，得x >0，y <0.所以“x >0，y <0”是“x >y ，1x >1y”的充要条件． 12．已知条件p ：－1≤x ≤10，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)不变，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？解：p ：－1≤x ≤10.q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0⇔[x －(2－m )][x －(2＋m )]≤0(m >0)⇔2－m ≤x ≤2＋m (m >0)．因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，即{x |－1≤x ≤10}{x |2－m ≤x ≤2＋m }，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m ≤－12＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <－12＋m ≥10， 解得m ≥8.所以实数m 的范围为{m |m ≥8}．1．若命题p∧q为假，且綈p为假，则()A．p∨q为假B．q为假C．q为真D．不能判断答案：B2．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是()A．简单命题B．“p或q”形式的复合命题C．“p且q”形式的复合命题D．“非p”形式的复合命题答案：C3．判断下列命题的形式(从“p∨q”、“p∧q”中选填一种)：(1)6≤8：________；(2)集合中的元素是确定的且是无序的：________.答案：p∨q p∧q4．已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，试写出由它们构成的“p∧q”、“p∨q”、“綈p”形式的命题．解：“p∧q”：6既是12的约数又是24的约数．“p∨q”：6是12或24的约数．“綈p”：6不是12的约数．一、选择题1．如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．綈p为真，则p为假，∴q是真命题．2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是()A．p∧q B．p∨qC．綈p D．(綈p)∧(綈q)解析：选B.∵p是真命题，q是假命题，∴“p∨q”是真命题．3．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，则下列结论中正确的是() A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真解析：选A.∵p为假命题，q为真命题，∴“p∨q”为真命题．4．若命题p：2m－1(m∈Z)是奇数，命题q：2n＋1(n∈Z)是偶数，则下列说法正确的是() A．p∨q为真B．p∧q为真C．綈p为真D．綈q为假解析：选A.命题p：“2m－1(m∈Z)是奇数”是真命题，而命题q：“2n＋1(n∈Z)是偶数”是假命题，所以p∨q为真．5．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析：选D.p为真，q为假，所以綈q为真，(綈p)∨(綈q)为真．6．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是( ) A ．(綈p )∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q ) D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D.对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0. 可知函数有两个不同的零点，故p 为真．当x <0时，不等式1x<1恒成立；当x >0时，不等式的解为x >1.故不等式1x<1的解为x <0或x >1.故命题q 为假命题．所以只有(綈p )∨(綈q )为真．故选D. 二、填空题7．用“或”、“且”、“非”填空，使命题成为真命题： (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ； (2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ； (3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R ，若a ＞0________b ＞0，则ab ＞0. 答案：(1)或 (2)且 (3)或 (4)且8．设命题p ：2x ＋y ＝3；q ：x －y ＝6.若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________. 解析：若p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3. 答案：3 －39．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________，命题的否定为________． 解析：命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则 2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”． 答案：若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b 三、解答题10．指出下列命题的形式及构成它们的简单命题： (1)方程x 2－3＝0没有有理根；(2)不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}．解：(1)这个命题是“綈p ”的形式，其中p ：方程x 2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2}，q ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x <－1}．11．判断由下列命题构成的p ∨q ，p ∧q ，綈p 形式的命题的真假： (1)p ：负数的平方是正数，q ：有理数是实数； (2)p ：2≤3，q ：3<2；(3)p ：35是5的倍数，q ：41是7的倍数．解：(1)p 真，q 真，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，綈p 为假命题； (2)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题； (3)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题．12．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得 (x －3a )(x －a )<0.又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈p 且綈q 綈q .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．1．下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1 D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0 答案：B2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( ) A ．一次函数都不是单调函数 B ．非一次函数都不是单调函数 C ．有些一次函数是单调函数 D ．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”． 3．(2010年高考安徽卷)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． 答案：存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤34．(1)用符号“∀”表示命题“不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根”； (2)用符号“∃”表示命题“存在实数x ，使sin x >tan x ”． 解：(1)∀m ∈R ，x 2＋x －m ＝0有实根． (2)∃x 0∈R ，sin x 0>tan x 0.一、选择题1．下列语句不是特称命题的是( ) A ．有的无理数的平方是有理数 B ．有的无理数的平方不是有理数 C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数 D ．存在x 0∈R,2x 0＋1是奇数 答案：C2．(2010年高考湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x>0，正确． 3．下列命题中，是正确的全称命题的是( ) A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题．所以选D.4．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( ) A ．∀x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyB ．∃x 0，y 0∈R ，使x 20＋y 20≥2x 0y 0C ．∀x >0，y >0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．∃x 0<0，y 0<0，使x 20＋y 20≤2x 0y 0解析：选A.这是一个全称命题，且x ，y ∈R ，故选A. 5．下列命题的否定是假命题的是( )A ．p ：能被3整除的整数是奇数；綈p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；綈p：∀x∈R，都有x2＋2x＋2>0解析：选C.p为真命题，则綈p为假命题．6．下列命题中，假命题的个数是()①∀x∈R，x2＋1≥1；②∃x0∈R,2x0＋1＝3；③∃x0∈Z，x0能被2和3整除；④∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0.A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①②③都是真命题，而④为假命题．二、填空题7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：________.解析：命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”)．解析：原命题为真，所以它的否定为假．也可以用线性规划的知识判断．答案：∃x0，y0∈R，x0＋y0>1∀x，y∈R，x＋y≤1假9．下列命题：①存在x0<0，使|x0|>x0；②对于一切x<0，都有|x|>x；③已知a n＝2n，b n＝3n，对于任意n∈N＋，都有a n≠b n；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．解析：命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n<0，对于任意n∈N＋，都有a n<b n，即a n≠b n，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，例如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．答案：①②③三、解答题10．判断下列语句是不是命题？如果是，说明其是全称命题还是特称命题：(1)有一个向量a0，a0的方向不能确定；(2)存在一个函数f(x0)，使f(x0)既是奇函数又是偶函数；(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解；(4)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？解：(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题．由于(4)是一个问句，因此(4)不是命题．11．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．解：(1)綈p：∃x0∈{二次函数}，x0的图象不是抛物线．假命题．(2)綈p：在直角坐标系中，∃x0∈{直线}，x0不是一次函数的图象．真命题．(3)綈p：∃a0，b0∈R，方程a0x＋b0＝0无解或至少有两解．真命题．12．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.(2)是全0称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案：D2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( )A ．(±4,0)B ．(0，±4)C ．(±3,0)D ．(0，±3) 答案：D3．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝6，则椭圆的标准方程为________．答案：x 29＋y 28＝14．已知B 、C 是两定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．解：以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)． 由|BC |＝8，可设B (－4,0)，C (4,0)． 由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10>|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以A 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．一、选择题1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析：选A.c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.2．椭圆x 29＋y225＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( )A ．20B ．12C ．10D ．6 解析：选A.∵AB 过F 1，∴由椭圆定义知 ⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20.3．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D.设到另一焦点的距离为x ，则x ＋2＝10，x ＝8.4．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1解析：选D.由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：选D.焦距为4，则m －2－(10－m )＝⎝⎛⎭⎫422，∴m ＝8.6．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 24＝1 解析：选B.S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3，又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25，∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.二、填空题7．椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________． 解析：∵2a ＝8，∴a ＝4，∵2c ＝215，∴c ＝15，∴b 2＝1.即椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y216＋x 2＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________.解析：由题意知，|AC |＝8，|AB |＋|BC |＝10.所以，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.答案：549．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：3<k <5且k ≠4 三、解答题10．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝ (－4＋5)2＋32＋ (－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.12．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解：(1)由已知得|F 1F 2|＝2， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 120°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|PF 1||PF 2|，∴4＝(2a )2－|PF 1||PF 2|＝16－|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝12，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin120°＝12×12×32＝3 3.1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上 答案：D2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3 答案：B3．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 22＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．答案：(－2，2)4．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆y 28＋x24＝1的下焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB之长．解：令A 、B 坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 由椭圆方程知a 2＝8，b 2＝4， ∴c ＝a 2－b 2＝2，∴椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)， ∴直线l 的方程为y ＝x －2.将其代入y 28＋x 24＝1，化简整理得3x 2－4x －4＝0，∴x 1＋x 2＝43，x 1·x 2＝－43，∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝ 2 (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2 ⎝⎛⎭⎫432－4×(－43) ＝823.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2<a <2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <1答案：A2．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32 C ．1 D. 3 解析：选B.椭圆的右焦点为F (1,0)，∴d ＝33＋1＝32.3．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( )A ．5B ．6 C.9017D ．7 解析：选C.椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k ＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x －4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4x 225＋y 29＝1得9x 2＋25(x －4)2＝225， 由弦长公式易求|AB |＝9017.4．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2144＋y 225＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(－5,5)B ．(－12,12)C ．(－13,13)D ．(－15,15)解析：选C.联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13<m <13.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：选D.如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝b 2a.设P (0，t )，∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a －t .∴a ＝2c ， ∴c a ＝12. 6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.不妨设l 过椭圆的右焦点(1,0)， 则直线l 的方程为y ＝x －1.。
高中数学 第3章331知能优化训练 选修11 试题
知能优化训练[学生用书 P 33]1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.例如：f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2．函数y ＝x －ln(1＋x )的单调增区间为( ) A ．(－1,0) B ．(－∞，－1)和(0，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选C.y ′＝1－11＋x ＝x 1＋x .令y ′＞0，得x1＋x ＞0，∴x ＞0或者xx ＋1＞0，∴x ＞0.3．假设在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，那么在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0D ．不能确定f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )上是增函数，所以f (x )>f (a )≥0.4．(2021年高考卷改编)函数f (x )＝2log 5x ＋1的单调增区间是________． 解析：令f ′(x )＝2x ln5>0，得x ∈(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，应选D.2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0,1)和(－∞，－1)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A.y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，由y ′＝x －1x ＝x 2－1x＜0，∴0＜x ＜1.所以选A.3．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＜0，那么当a ＜x ＜b 时，有( ) A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a ) F (x )＝f (x )g (x )，那么F ′(x )＝f ′(x )·g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )＜0.∵f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数， ∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )＞f (b )g (b ).∴f (x )g (b )＞f (b )g (x )．4.函数y ＝f (x )在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，那么不等式f ′(x )≤0的解集为( ) A ．[－43，1]∪[113，6]B ．[－3,0]∪[73，5]C ．[－4，－43]∪[1，73]D ．[－4，－3]∪[0,1]∪[5,6]f ′(x )≤0的解集即为原函数f (x )的单调递减区间所对应的x 的取值范围，知选A. 5．设f (x )，g (x )在(a ，b )上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，那么当a ＜x ＜b 时有( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )解析：选C.利用函数的单调性判断．令φ(x )＝f (x )－g (x )，那么φ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )，∵f ′(x )＞g ′(x )，∴φ′(x )＞0，即函数φ(x )为定义域上的增函数．又a ＜x ＜b ，∴φ(a )＜φ(x )，即f (a )－g (a )＜f (x )－g (x )，从而得f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )． 6．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B.()π，2π C.⎝⎛⎭⎫3π3，5π2D.()2π，3π解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，假设y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此间内y ′恒大于或者等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立． 二、填空题7．函数y ＝3x －x 3在(－1,1)内的单调性是________． 解析：y ′＝3－3x 2，由y ′＞0得－1＜x ＜1， ∴y ＝3x －x 3在(－1,1)内单调递增． 答案：增函数8．y ＝x 2e x 的单调递增区间是________． 解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或者x >0. ∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)9．函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，那么a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，那么当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0，∴a ≥－3x 2.又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 三、解答题10．求以下函数的单调区间． (1)f (x )＝x 3＋3x；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x 2)，由f ′(x )>0，解得x <－1或者x >1， 由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)， 递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x ) ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝53π，那么区间[0,2π]被分成三个子区间，如表所示：∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[53π，2π]，单调递减区间为(π3，53π)．11．函数f (x )＝ax －ax －2ln x (a ≥0)，假设函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围．解：∵f ′(x )＝a ＋a x 2－2x，要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数， 那么在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或者恒小于等于0. 当a ＝0时，f ′(x )＝－2x <0在(0，＋∞)内恒成立；当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，那么a －1a≥0，解得a ≥1.综上，a 的取值范围为a ≥1或者a ＝0.12．设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ， x ＜1，－x －1，x ≥1，F (x )＝f (x )－kx ，x ∈F (x )的单调性．解：F (x )＝f (x )－kx ＝⎩⎨⎧11－x－kx ， x ＜1，－x －1－kx ，x ≥1.F ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(1－x )2－k ， x ＜1，－12x －1－k ，x ≥1.对于F (x )＝11－x－kx (x ＜1)，当k ≤0时，函数F (x )在(－∞，1)上是增函数； 当k ＞0时，函数F (x )在(－∞，1－1k )上是减函数，在(1－1k，1)上是增函数． 对于F (x )＝－x －1－kx (x ≥1)，当k ≥0时，函数F (x )在(1，＋∞)上是减函数；当k ＜0时，函数F (x )在(1,1＋14k 2)上是减函数，在(1＋14k2，＋∞)上是增函数．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高中数学 第3章333知能优化训练 A选修11 试题(共6页)
1．函数(hánshù)y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值解析：选 D.由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选 D.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，应选D.3．函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________． 解析：由y ′＝12x 2－16x ＝0，得x ＝0或者x ＝43.当x ＝0时，y ＝0；当x ＝43时，y ＝－12827；当x ＝－2时，y ＝－64；当x ＝2时，y ＝0. 比拟可知y max ＝0，y min ＝－64. 答案：－64 04．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值(jí zhí)；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0， 得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )283－43从上表可看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为3；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f (4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比拟，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.一、选择题1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)解析：选B.∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2B ．0C ．2D ．4解析(jiě xī)：选C.f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或者x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0. 所以当x ＝0时，f (x )获得最大值为2. 3．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x2＝1－ln xx 2x ＝e.当x >e 时，y ′<0； 当x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1 C ．πD ．π＋1y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，那么函数y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sinπ＝π，应选C.5．函数(hánshù)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，那么其最小值为( )A ．－10B ．－71C ．－15D ．－22解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3，－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.6．函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，那么a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或者－32a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或者a ＝－32(舍去)．二、填空题7．函数y ＝x e x的最小值为________． 解析：令y ′＝(x ＋1)e x＝0，得x ＝－1. 当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0. ∴y min ＝f (－1)＝－1e .答案：－1e8．f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，那么m 的取值范围是________．解析(jiě xī)：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]9．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，那么a ＝________，b ＝________.解析：f ′(x )＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)＝0，x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－2，又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ，f (2)＝b －4a ，f (0)＝b ，f (－2)＝b －4a .∴⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＝－5，b ＝3，∴a ＝2.答案：2 3 三、解答题10．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求： (1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1,3]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )在x ＝2处有极值，∴f ′(2)＝0. ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ， ∴3×4＋4a ＝0，∴a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，∴f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：11．设f (x )＝x 3－12x 2－2xf (x )的单调递增、单调递减区间；解：f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)． 令f ′(x )＞0，得x ＜－23或者x ＞1.令f ′(x )＜0，得－23＜x ＜1.∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－23)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－23，1)．12．函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)假设f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，务实数a 的取值范围；(2)假设x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值． 解：(1)令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤32x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)．∵x ≥1，∴a ＜3，a ＝3时亦符合题意， ∴a ≤3.(2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0， 即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9， 最大值是f (5)＝15.内容总结。
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1．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．(－∞，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：选C.y ′＝3x 2＋1＞0对于任何实数都恒成立．
2．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是
乙的充分不必要条件，选A.
3．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________．
解析：令y ′＝3x 2＋2x －5＞0得
x ＜－53
或x ＞1. 答案：(－∞，－53
)，(1，＋∞) 4．求下列函数的单调区间：
(1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝12x
. 解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．
其导数为y ′＝1－1x
. 令1－1x >0，解得x >1；再令1－1x
<0，解得0<x <1. 因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，
函数的单调减区间为(0,1)．
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
y ′＝－12x 2，所以当x ≠0时，y ′＝－12x 2<0， 而当x ＝0时，函数无意义，
所以y ＝12x
在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数， 即y ＝12x
的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．
一、选择题
1．函数f (x )＝x －2ln x 的单调减区间为( )
A ．(－∞，0)
B ．(2，＋∞)
C ．(0,2)
D ．(－∞，0)，(2，＋∞)
答案：C
2．函数y ＝4x 2＋1x
的单调递增区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．(12
，＋∞) D ．(1，＋∞) 解析：选C.∵y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，∴x >12
. 即函数的单调递增区间为(12
，＋∞)． 3．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )
A ．f (x )>0
B ．f (x )<0
C ．f (x )＝0
D ．不能确定
解析：选A.因f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )内是增函数，所以f (x )>f (a )≥0.
4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
A ．y ＝2－3x 2
B ．y ＝ln x
C ．y ＝1x －2
D ．y ＝sin x 解析：选C.对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1x －2
＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2
在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C. 5．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2 B.()π，2π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
，5π2 D.()2π，3π 解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．
∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立．
6．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )
A ．a ≥13
B ．a ＝1
C ．a ＝2
D ．a ≤0
解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，
即3ax 2≤1恒成立．
当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；
当x ≠0时，若a ≤13x 2恒成立，则a ≤0. 综上可得a ≤0.
二、填空题
7．y ＝x 2e x 的单调递增区间是________．
解析：∵y ＝x 2e x ，
∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或x >0.
∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．
答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)
8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________.
解析：∵y ′＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知[－1,2]是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集，∴－1,2
是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－32
，c ＝－6. 答案：－32
－6
9．若函数y ＝－43
x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，
∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.
答案：(0，＋∞)
三、解答题
10．求下列函数的单调区间．
(1)f (x )＝x 3＋3x
； (2)f (x )＝x ＋b x
(b ＞0)． 解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x 2)， 由f ′(x )>0，解得x <－1或x >1，
由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，
∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，
递减区间为(－1,0)，(0,1)．
(2)函数的定义域为x ≠0.
f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2＝1x 2(x ＋b )(x －b )． 令f ′(x )＞0，则1x (x ＋b )(x －b )＞0， ∴x ＞b 或x ＜－b .
∴函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)．
令f ′(x )＜0，则1x 2(x ＋b )(x －b )＜0， ∴－b ＜x ＜b 且x ≠0.
∴函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．
11．求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1在区间[－4,4]上的单调性．
解：∵f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，
∴f ′(x )＝3x 2－6x －9.
令f ′(x )>0，结合－4≤x ≤4，
得－4≤x <－1或3<x ≤4.
令f ′(x )<0，结合－4≤x ≤4，
得－1<x <3.
∴函数f (x )在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数．
12．已知函数f (x )＝ax －a x
－2ln x (a ≥0)，若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围． 解：∵f ′(x )＝a ＋a x 2－2x
， 要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
则在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或恒小于等于0.
当a ＝0时，f ′(x )＝－2x
<0在(0，＋∞)内恒成立；
当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，
则a －1a ≥0，解得a ≥1. 综上，a 的取值范围为{a |a ≥1或a ＝0}．。