09届菁英班试题及答案

09届菁英班招生试卷（菁英教育）学校：___________ 年级：___________ 姓名：___________ 性别：___________ 联系电话：___________得分：___________（本卷用时150分钟，满分150分，试卷共三页）一. 填空题（每题8分）1. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++151022y yz xz xy x 的整数解组数为__________。

2. 设m 为整数，若351224--+m m m 为素数p ，则p =_______。

3. 已知点P 是面积为122cm 的平行四边形ABCD 所在平面上一点，且PAB ∆的面积为22cm 。

则PCD ∆与平行四边形ABCD 的公共部分的面积最大值为_______。

4. 抛物线2ax y =与直线2,1,2,1====y y x x 围成的正方形有公共点。

则a 的取值范围是_____________。

5. 设n 为正整数，且满足12)1()2(2++-n n n 也是正整数，则满足所有此条件的n 之和是____。

6. 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程02=+-q px x 的两根，当这样的三角形只有一个时，q p ,满足的范围和关系是___________________。

7. 已知凸四边形ABCD 的面积为3，两对角线相交于点P ，,,,PAB PBC PCD PDA ∆∆∆∆的重心分别为1234,,,,M M M M 则四边形1234M M M M 的面积为_____________。

8. 已知函数c ax x f +=2)(，满足,6)2(1,2)1(4≤≤--≤≤-f f 则)3(f 的范围是_________。

9. 某市发出车牌号码均由6个数字（从0到9，允许重复）组成，该市规定任意2个车牌至少有2对同一数位上的数字不同（如038471和031471不能同时使用），则该市最多能发出__________张不同车牌。

10. 20092009⨯的棋盘（按国际象棋棋盘）上有若干只“怪车”，规定它可以吃掉横行、竖列和斜率为1-方向的棋子，现在要“控制”整个棋盘（即这些“怪车”放好后，再在任意空格里放一棋子，就要被某个怪车吃掉，怪车之间互不相吃），则最少需要______个怪车。

二. 解答题（一，二题每题15分；三，四题每题20分，要求过程严禁，详细）解答题有卷面分。

1. 凸四边形ABCD 中，对角线垂直，若直线AB 、AD 上分别有点M 、N ，使得MC ⊥CD ，NC ⊥CB ，求证：MN//BD 。

2. 已知：如图一，在直角坐标平面中，点O 为坐标原点．直线y ＝34x ＋8分别与x 、y 轴交于点P 、Q ，△ABC 的AB 边在x 轴上，BC ⊥x 轴，BC 与线段PQ 交于点M ，AB ＝BC ＝6，点P 是AB 的中点．（1）求BM 的长；（5分）（2）如图二，将△ABC 以点P 为旋转中心进行旋转，当△ABC 的某一条边同时与x 、y 轴都有交点（设与x 轴的交点为点E ，与y 轴的交点为点F ）时，△OEF 是否可能会与△OPQ 相似？如果△OEF 会与△OPQ 相似，那么请求出OE 的长；如果△OEF 不会与△OPQ 相似，那么请说明理由．图二3. 若y x ,为正整数，且x y x -+22能被xy 2整除，求证：x 为完全平方数。

4. （1）4⨯4的棋盘上将任意两格染黑，求证：必定可以将第三格染黑，使三个黑格构成轴对称图形，且对称轴平行于棋盘的边或对角线。

（2）证明或否定：对一正方形内或边界上任意两点，必定可以在该正方形内部或边界上找到一点，使三个点构成一轴对称图形，且对称轴平行于正方形的边或对角线。

09届菁英班招生试卷（菁英教育）学校：___________ 年级：___________ 姓名：___________ 性别：___________ 联系电话：___________得分：___________（本卷用时150分钟）一. 填空题（每题8分）1. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++151022y yz xz xy x 的整数解组数为__________。

答案：4 组2. 设m 为整数，若351224--+m m m 为素数p ，则p =_______。

答案：193. 已知点P 是面积为122cm 的平行四边形ABCD 所在平面上一点，且PAB ∆的面积为22cm 。

则PCD ∆与平行四边形ABCD 的公共部分的面积最大值为_______。

答案：7.54. 抛物线2ax y =与直线2,1,2,1====y y x x 围成的正方形有公共点。

则a 的取值范围是_____________。

答案：241≤≤a 5. 设n 为正整数，且满足12)1()2(2++-n n n 也是正整数，则满足所有此条件的n 之和是____。

答案：126. 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程02=+-q px x 的两根，当这样的三角形只有一个时，q p ,满足的范围和关系是___________________。

答案：p 2 = 4q > 0且p >0，或 p 2 ≥ 9q /2 > 0且p >07. 已知凸四边形ABCD 的面积为3，两对角线相交于点P ，,,,PAB PBC PCD PDA ∆∆∆∆的重心分别为1234,,,,M M M M 则四边形1234M M M M 的面积为_____________。

答案：32 8. 已知函数c ax x f +=2)(，满足,6)2(1,2)1(4≤≤--≤≤-f f 则)3(f 的范围是_________。

答案：2/3 ≤ f (3) ≤ 68/39. 某市发出车牌号码均由6个数字（从0到9，允许重复）组成，该市规定任意2个车牌至少有2对同一数位上的数字不同（如038471和031471不能同时使用），则该市最多能发出__________张不同车牌。

答案：105=10000010. 20092009⨯的棋盘（按国际象棋棋盘）上有若干只“怪车”，规定它可以吃掉横行、竖列和斜率为1-方向的棋子，现在要“控制”整个棋盘（即这些“怪车”放好后，再在任意空格里放一棋子，就要被某个怪车吃掉），则最少需要______个怪车。

答案：1339二. 解答题（一，二题每题15分；三，四题每题20分，要求过程严禁，详细）解答题有卷面分。

1. 凸四边形ABCD 中，对角线垂直，若直线AB 、AD 上分别有点M 、N ，使得MC ⊥CD ，NC ⊥CB ，求证：MN//BD 。

证明：由垂直的条件，可设∠DBC = α = ∠ACN ，∠BDC =β = ∠ACM ，∠BCM = γ = ∠NCD ，于是，MN//BD ⇔ AM/MB=AN/ND ⇔ S ∆AMC / S ∆BMC= S ∆ANC / S ∆DNC ⇔ ACsin β/BCsin γ = ACsin α/CDsin γ⇔ sin β/BC = sin α/CD ，最后一步是正弦定理，故结论 成立。

注：本题也可以用梅涅劳斯定理来证明：设BD 与CN 、CA 、CM 分别交于P 、O 、Q ，由射影定理：OQ ·OD= CO 2 = OP ·OB ，于是可以得到OP/OD = OQ/OB ⇒ OP/PD = OQ/BQ ，再用两次梅氏定理即可。

2. 已知：如图一，在直角坐标平面中，点O 为坐标原点．直线y ＝34x ＋8分别与x 、y 轴交于点P 、Q ，△ABC 的AB 边在x 轴上，BC ⊥x 轴，BC 与线段PQ 交于点M ，AB ＝BC ＝6，点P 是AB 的中点．（1）求BM 的长；（5分）（2）如图二，将△ABC 以点P 为旋转中心进行旋转，当△ABC 的某一条边同时与x 、y 轴都有交点（设与x 轴的交点为点E ，与y 轴的交点为点F ）时，△OEF 是否可能会与△OPQ 相似？如果△OEF 会与△OPQ 相似，那么请求出OE 的长；如果△OEF 不会与△OPQ 相似，那么请说明理由．图一 图二【解】（1）∵直线y ＝34x ＋8与x 、y 轴的交点分别为P （－6，0）、Q （0，8）， ∴OP ＝6，OQ ＝8，∵AB ＝BC ＝6，点P 是AB 的中点，∴PB ＝3．∵BC ⊥x 轴，BC 与PQ 交于点M ，∴BM ∥OQ ，∴PB ︰PO ＝BM ︰OQ ．∴3︰6＝BM ︰8，∴BM ＝4．（2）设OE ＝x ，则EP ＝6－x ．在Rt △OPQ 中，∵OP ＝6，OQ ＝8，∴PQ ＝22OQ OP +＝2286+＝10．当△ABC 的BC 边与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，且∠OEF ＝∠OPQ 时（如图三），则∴Rt △BEP ∽Rt △OEF ∽Rt △OPQ ，∴PB ︰QO ＝PE ︰QP ，即3︰8＝（6－x ）︰10，∴x ＝49 （此时，BF ＝BE ＋EF ＝49＋415＝6＝BC ，符合题意） 当△ABC 的BC 边与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，且∠OEF ＝∠OQP 时（如图四），则∴Rt △BEP ∽Rt △OEF ∽Rt △OQP ，∴PB ︰PO ＝PE ︰QP ，即3︰6＝（6－x ）︰10，∴x ＝1．（此时，BF ＝BE ＋EF ＝4＋45＝421＜6＝BC ，符合题意） 当△ABC 的AC 边与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，且∠OEF ＝∠OQP 时（如图五），令PQ 与AC 交于点N ，则∵∠NEP ＋∠OPQ ＝∠OEF ＋∠OPQ＝∠OQP ＋∠OPQ ＝90°，∴Rt △NEP ∽Rt △OEF ∽Rt △OQP ，∴PN ︰PO ＝PE ︰PQ ．∵在Rt △APN 中，∠A ＝45°，AP ＝3，∴PN ＝223， ∴223︰6＝（6－x ）︰10，∴x ＝22512-． （此时，AF ＝AN ＋NE ＋EF ＝223＋22＋822560-＝82360+＜62＝AC ，符合题意）综上所述，当OE 的长为49或1或22512-时，△ABC 的某一条边同时与x 、y 轴都有交点（设与x 轴的交点为点E ，与y 轴的交点为点F ），且△OEF 与△OPQ 相似．3. 若y x ,为正整数，且x y x -+22能被xy 2整除，求证：x 为完全平方数。

4. （1）4⨯4的棋盘上将任意两格染黑，求证：必定可以将第三格染黑，使三个黑格构成轴对称图形，且对称轴平行于棋盘的边或对角线。

（2）证明或否定：对一正方形内或边界上任意两点，必定可以在该正方形内部或边界上找到一点，使三个点构成一轴对称图形，且对称轴平行于正方形的边或对角线。