高二文科 2016年第一学期末数学测试题
2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷 Word版含答案
2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 如果直线032=-+y ax 与20x y -=垂直，那么a 等于_______.11. 已知双曲线2213y x -=，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为_____________ .12. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为_________.13. 如图，在四边形ABCD 中，1AD DC CB ===， AB =，对角线AC 将ACD △沿AC 所在直线翻折，当AD BC ⊥时，线段BD 的长度 为______.ABCD正（主）视图 侧（左）视图14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）已知圆C 经过)1,1(),3,1(-B A 两点，且圆心在直线x y =上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点)2,2(-，且与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.17．（本小题满分13分）如图，在平面ABCD 中，⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ，ADE △是等边三角形，22AD DC AB ===，,F G 分别为,AD DE 的中点. (Ⅰ)求证: EF ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求四棱锥E ABCD -的体积；(Ⅲ)判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.A BCDPE EDAB CGF18．（本小题满分13分）过椭圆2212x y +=右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,C D ，与直线2=x 交于点E .(Ⅰ)若直线l 的斜率为2，求||CD ；(Ⅱ)设O 为坐标原点，若:1:3ODE OCE S S ∆∆=，求直线l 的方程． 19．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =,M N 分别为BC 和1AA 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点.(Ⅰ)求证:平面APM ⊥平面11BBC C ；(Ⅱ)若P 为线段1BB 的中点，求证://CN 平面AMP ； (Ⅲ)试判断直线1BC 与PA 能否垂直. 若能垂直，求出PB 的值；若不能垂直，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知抛物线22y x =，两点(1,0)M ，(3,0)N . （Ⅰ）求点M 到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M 的直线l 交抛物线于两点,A B ，若抛物线上存在一点R ，使得,,,A B N R 四点构成平行四边形，求直线l 的斜率.NA MPCBA 1 C 1B 1北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. C ；5. D ；6. A ；7. B ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11. 2；y =； 12. 4；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）ABCDPE O解：(Ⅰ)设圆C 的圆心坐标为),(a a ，依题意，有2222)1()1()3()1(-++=-+-a a a a ， ……………2分即22451a a a -+=+,解得1=a ， ……………4分所以222(11)(31)4r =-+-=， ……………5分 所以圆C 的方程为4)1()1(22=-+-y x . ……………6分 (Ⅱ)依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1. ……………8分所以直线2x =符合题意. ……………9分 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为)2(2-=+x k y ， 即022=---k y kx ， 则11|3|2=++k k ， ……………11分解得43k =-， ……………12分 所以直线l 的方程为)2(342--=+x y ，即0234=-+y x ， ……………13分综上，直线l 的方程为2x = 或0234=-+y x .17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为F 为等边ADE △的边AD 的中点，所以 EF AD ⊥. ……………2分 因为⊥AB 平面ADE ，⊂AB 平面ABCD 所以平面ADE ⊥平面ABCD . ……………4分 所以EF ⊥平面ABCD . ……………5分 (Ⅱ)解：因为⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ， 所以//AB CD ，90ADC ∠=，四边形ABCD 是直角梯形， ……………7分 又22AD DC AB ===， 所以1(21)232ABCD S =⋅+⋅=梯形，……………8分又EF =所以13E ABCDABCD V S EF -=⋅=……………9分 (Ⅲ)结论: 直线//AG 平面BCE .证明: 取CE 的中点H ，连结,GH BH ， 因为G 是DE 的中点，所以//GH DC ，且 GH =12DC . ……………11分 DABCGFHE所以//GH AB ，且1GH AB ==，所以四边形ABHG 为平行四边形，//AG BH ， ……………12分 又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE .所以//AG 平面BCE . ……………13分18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，1=c ，)0,1(F ，直线l 的方程为22-=x y . ……………1分设11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立⎩⎨⎧-==+222222x y y x ，消y 得291660x x -+=， ……………3分91621=+x x ，9621=x x ， ……………4分 所以||CD = ……………5分9==. ……………6分 (Ⅱ)依题意，设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立⎩⎨⎧-==+kkx y y x 2222，消y 得0)22(4)212222=-+-+k x k x k （， ……………7分2221214k k x x +=+……①， 22212122k k x x +-=……②……………8分 因为:1:3ODE OCE S S =△△，所以 :1:3DE CE =， 3CE DE =，所以 1223(2)x x -=-，整理得 2134x x -=……③ ……………10分由①③得 212121k x k -=+，2223121k x k +=+， ……………11分 代入②，解得1±=k ， ……………12分 所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. ……………13分19.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥. ……………1分又因为11//BB AA ，且1AA⊥底面ABC ， 所以1BB ⊥底面ABC .NA MPCBA 1 C 1B 1 Q所以1BB AM ⊥， ……………3分 所以AM ⊥平面11BBC C .所以平面AMP ⊥平面11BBC C .……………5分 (Ⅱ)证明：连结BN ，交AP 于Q ，连结MQ ,NP .因为,N P 分别为11,AA BB 中点，所以//AN BP ，且AN BP =.所以四边形ANPB 为平行四边形， ……………7分Q 为BN 中点，所以MQ 为CBN △的中位线，所以//CN MQ . ……………8分 又CN ⊄平面AMP ，MQ ⊂平面AMP ，所以//CN 平面AMP . ……………9分 (Ⅲ) 解：假设直线1BC 与直线PA 能够垂直，又因为1BC AM ⊥，所以⊥1BC 平面APM ，所以1BC PM ⊥. ……………10分 设PB x =，x ∈.当1BC PM ⊥时，11BPM BC B ∠=∠，所以Rt PBM △∽11Rt B C B △，所以111C B PB MB BB =. ……………12分因为111MB C B BB ===，解得3x =. ……………13分 因此直线1BC 与直线PA 不可能垂直. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线22y x =的准线方程为12x =-. ……………2分 所以，点M 到抛物线准线的距离为131()22--=. ……………4分（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2(1),2y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(22)0k x k x k -++=， ……………5分 所以212222k x x k++=，121x x =. ……………6分 ①,N R 在直线AB 异侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AB NR 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，22223R k x k +=+，222R k x k-=. 12122(2)R y y y k x x k=+=+-=. ……………8分将(,)R R x y 代入抛物线方程，得22R R y x =，即222422k k k -=⨯，解得0k =，不符合题意. ……………10分 ②若,N R 在直线AB 同侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AR BN 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，213R x x x =-+，21R y y y =-. ……………12分 代入抛物线方程，得22121()2(3)y y x x -=-+，又2112y x =，2222y x =，所以2222121()2(3)22y y y y -=-+，注意到212y y =-=-，解得211y =，11y =±. ……………13分当11y =时，112x =，2k =-；当11y =-时，112x =，2k =.所以2k =±. ……………14分。
2016年秋期高中二年级期末测试文科数学试题
2016年秋期高二年级期末测试题文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码；请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 第Ⅰ卷一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题32,10x R x x ∀∈-+≤“”的否定是(A) 不存在32,10x R x x ∈-+≤ (B) 32000,10x R x x ∃∈-+≥ (C) 32000,10x R x x ∃∈-+> (D) 32,10x R x x ∀∈-+>2．某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161,380]的人数为 (A) 10(B) 11 (C) 12(D) 133．若直线210x y ++=与直线20ax y +-=互相垂直，那么a 的值等于(A) 2- (B) 23-(C) 13- (D) 1 4．已知双曲线221y x m-= (0)m >的渐近线方程y =，则m 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1558石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得381粒内夹谷42粒，则这批米内夹谷约为 (A) 146石 (B) 172石 (C) 341石 (D) 1358石6．如图是甲、乙汽车S 4店7个月销售汽车数量（单位：台）的茎叶图，若x 是4与6的等差中项,y 是2和8的等比中项，设甲店销售汽车的众数是a ，乙店销售汽车中位数为b ，则a ＋b 的值为(A) 168 (B) 169 (C) 170 (D) 171 7．若集合{}21xA x =>，集合{}lg 0B x x =>，则“”x A ∈是“”x B ∈的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件58x 6902y 611611987乙甲第6题图8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线24y x =的交点为点,A B ，且直线AB 过双曲线与抛物线的公共焦点F ，则双曲线的实轴长为(A)1(B)(C) 1(D) 2-9．天气预报说,在今后三天中，每天下雨的概率均为4.0，有人用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，他用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，产生3个随机数作为一组，产生20组随机数如下：027 556 488 730 113 537 989 907 966 191925 271 932 812 458 569 683 431 257 393,以此预测这三天中至少有两天下雨的概率大约是(A) 0.30 (B) 0.33 (C) 0.375 (D) 0.35 10．若点(),a b 是直线33-=x y 上的点，则()221a b ++的最小值是(A) 0 （B ）3(C)2(D) 3 11．已知点,A B 是抛物线24y x =上的两点，点(3,2)M 是线段AB 的中点，则AB 的值为(A) 4 （B） (C) 8(D)12．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，点,M N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使1(,0)2MH NH k k ∈-,则离心率e 的取值范围为(A) 2 （B）(0,2(C)(D)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.(注意．．: 在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 13．执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为.第13题图14．如图，古铜钱外圆内方，外圆直径为cm 4，中间是边长为1cm 的正方形孔，随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是 . 15．已知圆:C 22(1)(2)25x y -+-=，直线:l (21)(1)740m x m y m +++--=，若直线l 被圆C 截得的弦长最短，则m 的值为__________.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点12,F F 是椭圆的左右焦点，点A 是椭圆上的点，12AF F ∆的内切圆的圆心为M ，122+2MF MF MA +=若0， 则椭圆的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）(注意．．: 在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知三角形的三个顶点()()()5,0,3,3,0,2A B C --,设BC 边中点为M . （Ⅰ）求BC 边所在直线的方程； （Ⅱ）求过点M 且平行边AC 的直线方程.18.（本小题满分12分）(注意．．: 在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（第x 周）和市场占有率（y ﹪）的几组相关数据如下表：（Ⅰ）根据表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程∧∧∧+=a x b y ； （Ⅱ）根据上述线性回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过40.0﹪（最后结果精确到整数）. 参考公式：1221ni ii nii x y n x yb xn x--Λ=-=-=-∑∑，ˆˆay bx =-19．（本小题满分12分）(注意．．: 在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知p ：实数x 满足221)(8200x x x +≤（--）， q ：实数x 满足22210x x m +≤-- (0)m >，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．第14题图20．（本小题满分12分）(注意．．: 在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 某园艺公司种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成如下的频数分布表：（Ⅰ）在这批树苗中任取一棵，其高度在80厘米以上的概率大约是多少？这批树苗的平均高度大约是多少？（Ⅱ）为了进一步获得研究资料，标记[)50,40组中的树苗为B A ,，[]100,90组中的树苗为F E D C ,,,，现从[)50,40组中移出一棵树苗，从[]100,90组中移出两棵树苗进行试验研究，则[)50,40组的树苗A 和[]100,90组的树苗C 同时被移出的概率是多少？ 21．（本小题满分12分）(注意．．: 在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22142x y -=有相同的焦点，且椭圆C 过点(2,1)P ，若直线l 与直线OP 平行且与椭圆C 相交于点,A B ． (Ⅰ) 求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ) 求三角形OAB 面积的最大值.22．（本小题满分12分）(注意．．: 在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知点(,)M x y 是平面直角坐标系中的动点，(4,0)A -，(1,0)B -，在ABM ∆中，2MA MB =.(Ⅰ) 求点M 的轨迹C 的方程及求ABM ∆的周长的取值范围； (Ⅱ) 直线MB 与轨迹C 的另一交点为'M ，求'AMBAM BS S ∆∆的取值范围.2016年秋期高二年级期末测试文科数学参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBACBBBDDDCA12、解析：设00(,)H x y ，(,0),(,0)M a N a -，则：∵2200221x y a b +=∴2220022x a y a b -=-，∴2222002a y x a b-=- ∴222000022222000021(,0)2MH NHy y y y b k k a y x a x a x a a b=⨯===-∈-+--- ∴2221(,1)2c b e a a ==-∈二、填空题（每小题5分，共20分） 13．81； 14．14π ； 15．34- ； 16．2316、解析：取线段2AF 的中点N ，则：∵12220MF MF MA ++=，∴122222()4FM MF MA MF MA MN =+=+= ∴点1,,F M N 三点共线，且14FM MN =，12F N AF ⊥ ∴11222F A F F AF ==，∴12122223F F F A AF c e a +===三、解答题（共70分）.17. 解：（Ⅰ）过,,C(0,2)B（3-3）的直线的两点式方程为20,3230y x --=---整理得5360x y +-=这就是BC 边所在直线方程. …………………………………………(5分) （Ⅱ）由中点坐标公式可得点31(,)22M -.又边AC 所在直线斜率为2020(5)5-=--，∴由点斜式方程，得方程为123()(),252y x --=-整理，得：410110x y --=为所求直线方程 …………………………………………(10分)18. 解：（Ⅰ）由题中的数据可知：1.0=-y ，3=-x ， ………………………………….（2分）,036.01036.035543211.03517.0514.041.0306.0203.012222222121==⨯-++++⨯⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=--=-==--Λ∑∑xn xy x n yx b ni ini ii ……………………………（5分）0.10.03630.008a y b x Λ-Λ-=-=-⨯=- ……………………………（6分）所以y 关于x 的线性回归方程：0.0360.008.y x Λ=- ……………………………….（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0.0360.0080.40y x Λ=->，解得12≥x ，所以自上市起经过12个周，该款旗舰机型市场占有率能超过40.0﹪ …………………….（12分）19. 解： p ：2210,8200,(2)(10)0,x x x x x +>∴--≤+-≤得210x -≤≤……(3分)∴p⌝：210x x <->或 ………………(5分)q ：因式分解，得[][](1)(1)0x m x m -+--≤，又0,m >11,m x m ∴-≤≤+……(8分):11q x m x m ∴⌝<->+或 ………………(10分)p q ⌝⌝是的必要不充分条件，12,9.110m m m -≤-⎧∴≥⎨+≥⎩得 ………………(12分)20. 解：（Ⅰ）在这批树苗中任取一棵，其高度在80厘米以上的概率大约是5017……………(3分)这批树苗的平均高度大约是2.74504955013855016755011655045550245=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(cm) ……………….(6分)（Ⅱ）从[)50,40组中移出一棵树苗，从[]100,90组中移出两棵树苗的所有可能为ACD ，ACE ，ACF ，ADE ，ADF ，AEF ，BCD ，BCE ，BCF ，BDE ，BDF ，BEF 共12种，………………..(9分)其中[)50,40组的树苗A 和[]100,90组的树苗C 同时被移出的可能为ACD ，ACE ，ACF ，共3种. ……………………….(10分)设[)50,40组的树苗A 和[]100,90组的树苗C 同时被移出为事件M ，则41123)(==M P ……(12分)21. 解：(Ⅰ)由已知有22224116a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，∴228,2a b == ∴椭圆C 的标准方程为22182x y +=. .................................(4分) (Ⅱ)∵12OP k =,∴设直线l 方程为1(0)2y x m m =+≠ 代入22182x y +=得：222240x mx m ++-= .................................(8分) ∴当0∆>，即204m <<时，设1122(,),(,)A x yB x y ，则：212122,24x x m x x m +=-=-∴22121142222OABm m S m x x ∆+-=⨯-==≤= （当且仅当22m =时，取等号）∴OAB S ∆的最大值为2. ..................................(12分)22. 解：(Ⅰ)=，∴点M 的轨迹方程为224(0)x y y +=≠. .................................(3分) ∵在ABM ∆中，(,)(2)M x y x <，则ABM ∆的周长3333(6,12)AB MA MB MB =++=+=+=+∴ABM ∆的周长的取值范围(6,12). .................................(6分)(Ⅱ)设直线MB 的方程为1x my =-，代入224(0)x y y +=≠得：22(1)230m y my +--= ∴设11(,)M x y ，'22(,)M x y ，则：12221my y m +=+，1122231y y y m y λ=-=+，设 ∴2212122221121()41041022(,2]3(1)33(1)3y y y y m y y y y m m ++=+=-=--=-+∈--++λλ.................................(9分)∴1(3,)3∈--λ,∴'12112(,3)132AMB AM BAB y S S AB y ∆∆⨯==∈⨯λ∴'AMBAM BS S ∆∆的取值范围为1(,3)3. .................................(12分)。
2016-2017学年高二(上)期末数学复习试卷一(文科)
2016年秋季高二上学期期末数学复习试卷一（文科）（考试时间120分钟，满分150分）★祝考试顺利★一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.）1．抛物线y=4x2的准线方程是（D）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣2．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（D）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．A．08 B．07 C．02 D．013．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（A）A．③④B．①②④C．②④D．①③④4．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（D）A．7 B．8 C．9 D．155．下列说法错误的是（B）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题6．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（B）A．154 B．153 C．152 D．1517．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0；q：x=x0是f（x）的极值点，则p 是q的（C）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充条件D．既非充分条件也非必要条件8．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C）A．24 B．18 C．16 D．129．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（B）A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（C）A．B．C．D．11．f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（A）A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）12．过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（A）A．B．C．D．2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)13．三进制数121化为十进制数为16．（3）14．若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=6．16．以下五个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆．其中真命题的序号为①②（写出所有真命题的序号）三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：若￢p是￢q的充分不必要条件，∴命题q是命题p的充分不必要条件．设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0}={x|a＜x＜3a}，B={x|}={x|2＜x≤3}，则由题意可得B⊊A．∴，解得1＜a≤2 ,实数a的取值范围为（1，2]．18．(本题满分12分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．解：（1）酒精含量（mg/100ml）在[20，30）的为=0.015，在[30，40）的为=0.020，在[40，50）的为=0.005，在[50，60）的为=0.20，在[60，70）的为=0.010，在[70，80）的为=0.015，在[80，90）的为=0.010，在[90，100]的为=0.005；绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示：…（2）检测数据中醉酒驾驶（酒精含量在80mg/100ml （含80）以上时）的频率是；…根据频率分布直方图，小矩形图最高的是[30，40）和[50，60）， 估计检测数据中酒精含量的众数是35与55；…估计检测数据中酒精含量的平均数是0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020×10×55+0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55．…19．(本题满分12分）某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A 、B 、C 刚好是边长为3cm 的等边三角形的三个顶点．（Ⅰ） 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a 和b ）进行技术分析．求事件“|a ﹣b |＞1”的概率．（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC 区域射击（不会打到△ABC 外），则此次射击的着弹点距A 、B 、C 的距离都超过1cm 的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）解：（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x 1，x 2，x 3，后三次成绩依次记为y 1，y 2，y 3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y2，y3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，}，{x3，y1}，{x3，y2}，{x3，y3}，共15个,其中可使|a﹣b|＞1发生的是后9个基本事件．故．…（Ⅱ）因为着弹点若与A、B、C的距离都超过1cm，则着弹点就不能落在分别以A，B，C为中心，半径为1cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外．…因为部分的面积为，…故所求概率为P=．…20．(本题满分12分）一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？解：设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为（8﹣2x）cm，宽为（5﹣2x）cm，可得体积V=（8﹣2x）（5﹣2x）x=4x3﹣26x2+40x，（0＜x＜），V′=12x2﹣52x+40，令V′=0，可得x=1或x=（舍去），当0＜x＜1时，导数V′＞0，函数V递增；当1＜x＜时，导数V′＜0，函数V递减可得函数V在x=1处取得极大值，且为最大值18．即小正方形边长为1cm时，盒子容积最大为18cm3．21．(本题满分12分）已知两点，若一动点Q在运动过程中总满足|AQ|+|CQ|=4，O为坐标原点．（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（2）设过点B（0，﹣2）的直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积为1时，求此直线的方程．解：（1）由题意知|PQ|=|AQ|，又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…∴|CQ|+|AQ|=4>|AC|=2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，… 2a=4，即a=2，2c=2，即c=，∴b2=4﹣3=1，∴点Q的轨迹E的方程为．…（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x轴，所以可设直线为：y=kx﹣2，…M（x1，y1），N（x2，y2），将y=kx﹣2代入（1+4k2）x2﹣．∴…|x 1﹣x 2|===1．…解得k=，满足△＞0．∴﹣2．…22．(本题满分12分）函数f （x ）=xlnx ，g （x ）=x 3+ax 2﹣x +2（1）如果函数g （x ）单调减区间为（，1），求函数g （x ）解析式；（2）在（1）的条件下，求函数y=g （x ）图象过点p （1，1）的切线方程；（3）若∃x 0∈（0，+∞），使关于x 的不等式2f （x ）≥g ′（x ）+2成立，求实数a 取值范围．解：（1）∵g'（x ）=3x 2+2ax ﹣1，若函数g （x ）单调减区间为（，1），由g'（x ）=3x 2+2ax ﹣1＜0，解为，∴是方程g'（x ）=0的两个根，∴，∴g （x ）=x 3﹣x 2﹣x +2…（2）设切点为（x 0，y 0），则切线方程为，将（1，1）代入得．所以切线方程为y=﹣x +2或y=1…（3）要使关于x 的不等式2f （x ）≥g ′（x ）+2成立，即2xlnx ≥3x 2+2ax ﹣1+2成立．所以2ax ≤2xlnx ﹣3x 2﹣1，在x ＞0时有解，所以最大值，令，则，当0＜x ＜1时，h'（x ）＞0，h （x ）单增，当x ＞1时，h'（x ）＜0，h （x ）单减．∴x=1时，h （x ）max=﹣4，∴2a ≤﹣4，即a ≤﹣2…。
2016年高二文科数学上学期期末试卷
2016年高二文科数学上学期期末试卷及解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知命题p：∀x∈R，log2x=2015，则￢p为( )A.∀x∉R，log2x=2015B.∀x∈R，log2x≠2015C.∃x0∈R，log2x0=2015D.∃x0∈R，log2x0≠20152.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A.5，10，15，20，25B.2，4，8，16，32C.5，6，7，8，9D.6，16，26，36，463.如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( )A. B. C. D.4.双曲线的渐近线方程为( )A.x±2y=0B.2x±y=0C.D.5.甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等;③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③6.用秦九韶算法求多项式f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7的值，则f(2)的值为( )A.98B.105C.112D.1197.运行如图的程序后，输出的结果为( )A. B. C. D.8.已知椭圆过点P(﹣2，1)作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为( )A.2x﹣y﹣3=0B. 2x﹣y﹣1=0C.x﹣2y﹣4=0D.x﹣2y+4=09.已知g(x)为函数f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是( )A. B. C. D.10.已知倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则△OAB(其中O为坐标原点)的面积为( )A.2B.C.D.811.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)=ax•g(x)(a>0，且a≠1;②g(x)≠0;③f′(x)•g(x)若 + = ，则实数a的值为( )A. B.2 C. D.2或12.如图，直线x=m与抛物线x2=4y交于点A，与圆(y﹣1)2+x2=4的实线部分(即在抛物线开口内的圆弧)交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是( )A.(2，4)B.(4，6)C.[2，4]D.[4，6]二、填空题：本大题共四小题，每小题5分.13.将十进制数2016(10)化为八进制数为.14.已知变量x与y的取值如下表：x 2 3 5 6y 7 8﹣a 9+a 12从散点图可以看出y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归直线方程必经过的定点为.15.已知P为圆M：(x+2)2+y2=4上的动点，N(2，0)，线段PN的垂直平分线与直线PM的交点为Q，点Q的轨迹方程为.16.已知函数f(x)=xex，现有下列五种说法：①函数f(x)为奇函数;②函数f(x)的减区间为(﹣∞，1)，增区间为(1，+∞);③函数f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为1;④函数f(x)的最小值为 .其中说法正确的序号是(请写出所有正确说法的序号).三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设命题p：|x﹣2|>1;命题q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18.某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组[60，65)的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[60，65)内的频率，并补全频率分布直方图;(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人?(3)根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数.19.(1)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，若输出的s 的取值范围记为集合A，求集合A;(2)命题p：a∈A，其中集合A为第(1)题中的s的取值范围;命题q：函数有极值;若p∧q为真命题，求实数a的取值范围.20.已知双曲线C：﹣ =1(a>0，b>0).(1)有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4.若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为a，b，求双曲线C 的离心率小于的概率;(2)在区间[1，6]内取两个数依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于的概率.[来源:]21.已知椭圆C：的中心在坐标原点O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若斜率为k的直线l经过点M(4，0)，与椭圆C相交于A，B两点，且，求k的取值范围.22.已知函数 .(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;(2)当a>0时，若函数f(x)在[1，e]上的最小值记为g(a)，请写出g(a)的函数表达式.2015-2016学年福建省三明市A片区高中联盟校高二(上)期末数学试卷(文科)2016年高二文科数学上学期期末试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知命题p：∀x∈R，log2x=2015，则￢p为( )A.∀x∉R，log2x=2015B.∀x∈R，log2x≠2015C.∃x0∈R，log2x0=2015D.∃x0∈R，log2x0≠2015【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x0∈R，log2x0≠2015，故选：D.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键.2.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A.5，10，15，20，25B.2，4，8，16，32C.5，6，7，8，9D.6，16，26，36，46【分析】利用系统抽样的性质求解.【解答】解：∵要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，∴所选取的5袋奶粉的编号应该分别在1～10，11～20，21～30，30～40，41～50中各一袋，且所选取的5袋奶粉的编号间隔相等，由此能排除A、B、C，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是D.故选：D.【点评】本题考查用系统抽样方法确定所选取样本的编号的求法，是基础题，解题时要注意系统抽样的性质的合理运用.3.如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( )A. B. C. D.【分析】利用列举法求出基本事件空间，由此能求出结果.【解答】解：一个家庭有两个小孩，基本事件为：{男男}，{女女}，{男女}，{女男}，∴两个孩子是一男一女的概率为p= .故选：C.【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.4.双曲线的渐近线方程为( )A.x±2y=0B.2x±y=0C.D.【分析】由双曲线﹣ =1(a，b>0)的渐近线方程为y=± x，即可得到所求双曲线的渐近线方程.【解答】解：由双曲线﹣ =1(a，b>0)的渐近线方程为y=± x，可得双曲线的渐近线方程为y=± x.故选：D.【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题.5.甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等;③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是( )[来源:Z_xx_]A.①②B.②③C.①③D.①②③【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲、乙两同学成绩的中位数、平均数与方差即可.【解答】解：根据茎叶图中的数据，得;甲同学成绩的中位数是90，乙同学成绩的中位数是90，中位数相等，①错误;甲同学的平均分是 = (87+89+90+91+93)=90，乙同学的平均分是 = (88+89+90+91+92)=90，平均分相等，②正确;甲同学成绩的方差是 = [(﹣3)2+(﹣1)2+02+12+32]=4，乙同学成绩的方差是 = [(﹣2)2+(﹣1)2+02+12+22]=2， > ，③正确;综上，正确的命题是②③.故选：B.【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数、平均数与方差的应用问题，是基础题.6.用秦九韶算法求多项式f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7的值，则f(2)的值为( )A.98B.105C.112D.119【分析】f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7=(((4x+3)x+2)x+1)x+7，即可得出.【解答】解：f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7=(((4x+3)x+2)x+1)x+7，∴f(2)=(((4×2+3)×2+2)×2+1)×2+7=105，故选：B.【点评】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7.运行如图的程序后，输出的结果为( )A. B. C. D.【分析】根据程序语言的运行过程，得出程序运行后输出的S= + + + + ;计算S的值即可.【解答】解：根据程序语言的运行过程，得该程序运行后输出的是S= + + + + ;计算S=(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )=1﹣ = .所以输出S= .故选：C.【点评】本题利用程序语言考查了数列求和的应用问题，是基础题目.8.已知椭圆过点P(﹣2，1)作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为( )A.2x﹣y﹣3=0B.2x﹣y﹣1=0C.x﹣2y﹣4=0D.x﹣2y+4=0【分析】判断点P在椭圆内，设弦的端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，代入椭圆方程，运用作差法，结合直线的斜率公式和斜率公式，可得斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程.【解答】解：将P(﹣2，1)代入椭圆方程可得： + <1，即点P在椭圆内，设弦的端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，可得 + =1， + =1，相减可得 + =0，则弦所在直线的斜率为 =﹣，由中点坐标公式可得，x1+x2=﹣4，y1+y2=2，可得斜率为﹣ = ，即有直线的方程为y﹣1= (x+2)，即为x﹣2y+4=0.故选：D.【点评】本题考查椭圆的方程的运用，直线方程的求法，注意运用点差法，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题.9.已知g(x)为函数f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是( )A. B. C. D.【分析】利用导数与函数之间的关系.把握住导数的正负确定出函数的单调区间，根据变化趋势选出恰当的图象.确定出答案.【解答】解：∵f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)，∴g(x)=f′(x)=6ax2﹣6ax﹣12a=6a ﹣，对称轴x= ，而f′(﹣1)=f′(2)=0，根据f′(x)>0时，y=f(x)递增;f′(x)<0时，y=f(x)递减可得.①中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确;而②④中的对称轴不是，③中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间不吻合，故错误，故选：A.【点评】本题考查函数与其导函数的关系，函数的递增区间即为导函数为正的区间，函数的递减区间即为导函数为负的区间，根据这个依赖性可以确定出函数图形吻合的是哪一个.10.已知倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则△OAB(其中O为坐标原点)的面积为( )A.2B.C.D.8【分析】先确定抛物线的焦点坐标，可得直线l的方程，与抛物线方程联立，求弦AB的长，再求出原点到直线的距离，即可求得△OAB的面积.【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F(1，0)，∵直线l：y=x+b经过抛物线的焦点，∴b=﹣1，∴直线l：y=x﹣1，由抛物线的定义：|AB|=xA+xB+2，将直线与抛物线方程联立，消去y可得x2﹣6x+1=0，∴xA+xB=6，∴|AB|=8，∵原点到直线的距离为d= ，∴S= =2 .故选：B.【点评】本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出弦AB的长.11.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)=ax•g(x)(a>0，且a≠1;②g(x)≠0;③f′(x)•g(x)若 + = ，则实数a的值为( )A. B.2 C. D.2或【分析】先根据 + = ，得到含a的式子，求出a的两个值，再由已知，利用导数判断函数 =ax的单调性求a的范围，判断a的两个之中哪个成立即可.【解答】解：由 + = ，得a1+a﹣1= ，所以a=2或a= .又由f(x)•g′(x)>f′(x)•g(x)，即f(x)g′(x)﹣f′(x)g(x)>0，也就是[ ]′=﹣ <0，说明函数 =ax是减函数，即0故选：A.【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察.12.如图，直线x=m与抛物线x2=4y交于点A，与圆(y﹣1)2+x2=4的实线部分(即在抛物线开口内的圆弧)交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是( )A.(2，4)B.(4，6)C.[2，4]D.[4，6]【分析】圆(y﹣1)2+x2=4的圆心为(0，1)，与抛物线的焦点重合，可得|FB|=2，|AF|=yA+1，|AB|=yB﹣yA，即可得出三角形ABF的周长=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3，利用1【解答】解：圆(y﹣1)2+x2=4的圆心为(0，1)，与抛物线的焦点重合，∴|FB|=2，|AF|=yA+1，|AB|=yB﹣yA，∴三角形ABF的周长=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3，∵1∴三角形ABF的周长的取值范围是(4，6).故选：B.【点评】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共四小题，每小题5分.13.将十进制数2016(10)化为八进制数为3740(8) .【分析】将十进制数2016转化为八进制数，利用除K取余法直接计算得解.【解答】解：2016÷8=252 0252÷8=31 (4)31÷8=3 (7)3÷8=0 (3)∴化成8进制是3740(8).故答案为：3740(8).【点评】本题考查带余除法，进位制的转化，由十进制数转化为八进制数，用除K取余法计算即可，属于基础题.14.已知变量x与y的取值如下表：x 2 3 5 6y 7 8﹣a 9+a 12从散点图可以看出y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归直线方程必经过的定点为(4，9) .【分析】由最小二乘法原理可知线性回归方程必经过数据中心( ).【解答】解： = =4， = =9，∴线性回归方程必经过(4，9).故答案为(4，9).【点评】本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题.15.已知P为圆M：(x+2)2+y2=4上的动点，N(2，0)，线段PN的垂直平分线与直线PM的交点为Q，点Q的轨迹方程为x2﹣ =1 .【分析】由中垂线的性质可知|QN|=|PQ|，故而||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2，所以Q的轨迹为以M，N为焦点的双曲线.【解答】解：∵Q在PN的中垂线上，∴|QN|=|PQ|，∴||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2，∴Q的轨迹为以M，N为焦点的双曲线.设双曲线方程为，则，又∵a2+b2=c2，∴a2=1，b2=3，∴点Q的轨迹方程为x2﹣ =1.故答案为x2﹣ =1.【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题.16.已知函数f(x)=xex，现有下列五种说法：①函数f(x)为奇函数;②函数f(x)的减区间为(﹣∞，1)，增区间为(1，+∞);③函数f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为1;④函数f(x)的最小值为 .其中说法正确的序号是③④(请写出所有正确说法的序号).【分析】根据奇函数的定义判断①，求出函数的导数，得到函数的单调区间，判断②③④即可.【解答】解：①f(﹣x)=(﹣x)• ≠﹣f(x)，不是奇函数，故①错误;②f′(x)=(1+x)ex，当x∈(﹣∞，﹣1)时，f′(x)<0，当x∈(﹣1，+∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(﹣1，+∞)，单调递减区间为(﹣∞，﹣1)，故②错误;③∵f′(x)=(1+x)ex，∴f′(0)=1，即函数f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为1;故③正确;④f(x)的单调递增区间为(﹣1，+∞)，单调递减区间为(﹣∞，﹣1)，∴f(x)的最小值是f(﹣1)=﹣，故④正确;故答案为：③④.【点评】本题考查了利用导研究函数的单调性极值与最值问题，考查函数的奇偶性问题，是一道基础题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设命题p：|x﹣2|>1;命题q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【分析】由p：|x﹣2|>1，解出x的范围.由q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0，解出x的范围.由于¬p是¬q的必要不充分条件，可得p是q 的充分不必要条件.【解答】解：由p：|x﹣2|>1，解得x<1或x>3.…(3分)由q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x﹣a)[x﹣(a+1)]≥0，解得x≤a或x≥a+1.…(6分)∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件.…(8分)∴ ，则1≤a≤2.∴实数a的取值范围是[1，2].(10分)【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组[60，65)的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[60，65)内的频率，并补全频率分布直方图;(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人?(3)根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数.【分析】(1)利用频率分布直方图的性质能求出求出体重在[60，65)内的频率，由此能补全的频率分布直方图.(2)设男生总人数为n，由，可得n=1000，从而体重超过65kg的总人数300，由此能求出各组应分别抽取的人数.(3)利用频率分布直方图能估计高二男生的体重的中位数与平均数.【解答】解：(1)体重在[60，65)内的频率=1﹣(0.03+0.07+0.03+0.02+0.01)×5=0.2= ，补全的频率分布直方图如图所示.…(4分)(2)设男生总人数为n，由，可得n=1000体重超过65kg的总人数为(0.03+0.02+0.01)×5×1000=300在[65，70)的人数为0.03×5×1000=150，应抽取的人数为，在[65，70)的人数为0.02×5×1000=100，应抽取的人数为，在[75，80)的人数为0.01×5×1000=50，应抽取的人数为 .所以在[65，70)，[70，75)，[75，80]三段人数分别为3，2，1.…(8分)(3)中位数为60kg平均数为(52.5×0.03+57.5×0.07+62.5×0.04+67.5×0.03+72.5×0.02+77.5×0.01)×5=6 1.75(kg)…(12分)【点评】本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的作法，考查中位数、平均数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样、频率分布直方图的性质的合理运用.19.(1)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，若输出的s 的取值范围记为集合A，求集合A;(2)命题p：a∈A，其中集合A为第(1)题中的s的取值范围;命题q：函数有极值;若p∧q为真命题，求实数a的取值范围.【分析】(1)由程序框图可知，分段函数的对称轴为t=2，在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，解得smax=3，smin=2，即可解得集合A.(2)函数有极值，等价于f′(x)=x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根，即△=(2a)2﹣4>0，由此能求出命题p：a<﹣1或a>1，利用p∧q为真命题，建立不等式组，即可解得实数a的取值范围.【解答】(本题满分为12分)解：(1)由程序框图可知，当﹣1≤t<1时，s=2t，则s∈[﹣2，2)，当1≤t≤3时，s=﹣(t﹣2)2+3，∵该函数的对称轴为t=2，∴该函数在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减.∴smax=3，smin=2，∴s∈[2，3].综上知，s∈[﹣2，3]，集合A=[﹣2，3].…(4分)(2)∵函数有极值，且f′(x)=x2+2ax+1，∴f′(x)=0有两个不相等的实数根，即△=(2a)2﹣4>0，解得a<﹣1或a>1，即命题p：a<﹣1或a>1.…(8分)∵p∧q为真命题，∴则，解得﹣2≤a<﹣1或1∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1)∪(1，3].…(12分)【点评】本题主要考查了选择结构的程序框图，考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.20.已知双曲线C：﹣ =1(a>0，b>0).(1)有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4.若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为a，b，求双曲线C 的离心率小于的概率;(2)在区间[1，6]内取两个数依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于的概率.【分析】(1)由双曲线C的离心率小于，得到0(2)由a∈[1，6]，b∈[1，6]，以a为横轴，以b为纵轴建立直角坐标系，由几何概型能求出双曲线C的离心率小于的概率.【解答】解：(1)双曲线的离心率 .因为∴ .…(2分)因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件(a，b)共有16个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).设“双曲线C的离心率小于”为事件A，则事件A所包含的基本事件为：(1，1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共有12个.故双曲线C的离心率小于的概率为.…(7分)(2)∵a∈[1，6]，b∈[1，6]∴所以以a为横轴，以b为纵轴建立直角坐标系，如图所示，S阴影= =21，由几何概型可知，双曲线C的离心率小于的概率为.…(12分)【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用.21.已知椭圆C：的中心在坐标原点O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若斜率为k的直线l经过点M(4，0)，与椭圆C相交于A，B两点，且，求k的取值范围.【分析】(1)由已知得2c=2，a=2，由此能求出椭圆C的标准方程.(2)设直线l的方程为y=k(x﹣4)，与椭圆联立，得((3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，能求出k的取值范围.【解答】解：(1)∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，∴2c=2，a=2，∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为.…(4分)(2)设直线l的方程为y=k(x﹣4)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立，消去y可得((3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0∵直线l与椭圆C相交于A，B两点，∴△>0由△=(32k2)2﹣4(3+4k2)(64k2﹣12)>0解得设A(x1，y1)，B(x2，y2)则，…(7分)解得∴∴k的取值范围是﹣或.…(12分)【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用.22.已知函数 .(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;(2)当a>0时，若函数f(x)在[1，e]上的最小值记为g(a)，请写出g(a)的函数表达式.【分析】(1)求出函数的导数，求出f(1)，f′(1)的值，代入切线方程即可;(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出区间上的最小值即可.【解答】解：(1)∵ ，∴当a=1时，，f(1)=3，k=f′(1)=﹣2，曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y﹣3=﹣2(x﹣1)即2x+y﹣5=0.…(3分)(2) ，∵a>0，x>0，由f′(x)>0得x>2a，由f′(x)<0得0∴f(x)在(0，2a]上为减函数，在(2a，+∞)上为增函数.…(5分)①当0<2a≤1即0∴g(a)=f(1)=2a2+1在(0，2a]上为减函数，在(2a，+∞)上为增函数.…(7分)②当1<2a∴g(a)=f(2a)=﹣aln(2a)+3a…(9分)③当2a≥e即a≥ 时，f(x)在[1，e]上为减函数，∴ …(11分)综上所述，…(12分)【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题.。
2016年上学期高二期末试卷(文)
2016年上学期高二期末试卷数学（文科）（考试时量：120分钟 满分150分）一、单选题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.函数)1(log 2-=x y 的定义域为( )A ．RB ．()1,∞-C ．()+∞,1D ．),1[+∞2.直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则m 的值为( )A ．2B ．2-C ．18D ．18-3.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是( )A ．6，12，18B ．7，11，19C ．6，13，17D ．7，12，174.函数()sin(2)2f x x π=+图象的对称轴方程可以为( )A ．4x π=- B ．4x π= C ．8x π= D ．2x π=-5.已知实数1a ，2a ，3a ，4a ，5a 构成等比数列，其中12a =，532a =，则公比q 的值为( )A ．2B ．2-C ．2或2-D ．46.在复平面内，复数2(1)1i i+++对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7.按右图的流程图可得结果为( )A ．19B ．67C ．51D ．709.给定函数：①2)(x x f =，②12)(+-=x x f ，③xx f 3)(=，④x x f ln )(=，其中满足)()()(b f a f b a f ÷=-的函数是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④10.在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AD=2AB ．若E 、F 分别为线段A 1D 1、CC 1的中点，则直线EF 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为( )A C ．13690(3)y y +=≤11. 若直线b x y +=与曲线224x x y -+-有公共点,则b 的取值范围是( )A ．]221,1[+-B ．]221,221[+-C ．]3,21[-D ．[1-12.在△ABC 中，若2sin sin cos 2A B C =则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分。
2016.1高二文科答案
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B2. D3.C4. A5.C6.C7. B8. B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2,10x x ∃∈-≤R 10. 1:4 11. 12i -+12.y = 13. 14. ①③注：12题第一空2分，第二空3分；14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解： 连结BD .因为 PD ⊥底面ABCD ，所以 PD BD ⊥. 【 2分】 因为 底面ABCD 是正方形，2AB =，所以 BD =【 3分】 在直角三角形PDB 中，PB ==.【 5分】 （Ⅱ）解：因为 PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，从而△PDA ，△PDC 为全等的直角三角形， 【 7分】所以 PA PC ==【 8分】由（Ⅰ）知 PB = 所以 22222AB PA PB BC PC +==+，从而 △PAB ，△PCB 为全等的直角三角形. 【10分】 所以，四棱锥P ABCD -的表面积22PDA PAB ABCD S S S S ∆∆=++正方形 【11分】 2112222AD PD AB PA AB =⨯⋅+⨯⋅+8=+【13分】 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：圆C 的半径 ||5OC ==， 【 3分】 从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=． 【 5分】 （Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ，所以 1||||42AD AB ==． 【 7分】在直角三角形ADC 中，||3CD ==． 【 9分】 由点到直线的距离公式，得||||5m CD ==， 【11分】 所以||35m =，【12分】 解得 15m =±． 【13分】17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于O ，连接EO ．因为 ,E O 分别为QD 和BD 的中点，则EO ∥QB ．【 2分】又 EO ⊂平面AEC ，QB ⊄平面AEC ， 【 3分】所以 QB ∥平面AEC ． 【 4分】（Ⅱ）证明： 因为矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，所以CD ⊥平面ADPQ ．【 6分】 又AE ⊂平面ADPQ ， 所以CD AE ⊥． 【 7分】 因为AD AQ =，E 是QD 的中点， 所以AE QD ⊥． 【 8分】 所以AE ⊥平面QDC ． 【 9分】 所以平面QDC ⊥平面AEC ．【10分】 （Ⅲ）解：多面体ABCEQ 为四棱锥Q ABCD -截去三棱锥E ACD -所得， 【12分】所以3311221443ABCEQ Q ABCD E ACD Q ABCD V V V V ---=-==⨯⨯⨯⨯=． 【14分】 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 【 2分】 所以 122p -=-， 解得1p =， 【 4分】所以 抛物线的方程为22y x =. 【 5分】 （Ⅱ）证明：设11(,)M x y ，22(,)N x y .将(2)y k x =-代入22y x =，消去y 整理得 22222(21)40k x k x k -++=. 【 7分】 所以 124x x =. 【 8分】由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得 2212124y y x x =， 【 9分】注意到1y ，2y 异号，所以 124y y =-. 【10分】 所以直线OM 与直线ON 的斜率之积为12121y y x x ⋅=-， 【12分】 即 OM ON ⊥. 【13分】19.（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：取FC 中点N .在图1中，由D ，N 分别为AC ，FC 中点，所以 DN ∥EF . 【 2分】 在图2中，由M ，N 分别为1A C ，FC 中点， 所以 MN ∥1A F ， 【 4分】 所以 平面DMN ∥平面1A EF ， 【 5分】所以 DM ∥平面1A EF . 【 6分】 （Ⅱ）解：直线1A B 与直线CD 不可能垂直. 【 7分】因为平面1A BD ⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，EF BD ⊥，所以 EF ⊥平面1A BD ， 【 8分】 所以1A B EF ⊥. 【 9分】 假设有1A B CD ⊥，注意到CD 与EF 是平面BCD 内的两条相交直线，则有1A B ⊥平面BCD . （1） 【10分】 又因为平面1A BD ⊥平面BCD ，1A E ⊂平面1A BD ，1A E BD ⊥，所以 1A E ⊥平面BCD .（2） 【11分】 而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾！ 所以直线1A B 与直线CD 不可能垂直. 【13分】20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得1b =， 【 1分】且 22222134c a e a a -===， 【 3分】解得 24a =． 【 4分】所以，椭圆C 的方程是2214x y +=． 【 5分】 （Ⅱ）证法一：易知，直线PQ 的斜率存在，设其方程为y kx m =+． 【 6分】将直线PQ 的方程代入2244x y +=，消去y ，整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=． 【 8分】 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 122814kmx x k+=-+，21224414m x x k -⋅=+．（1） 【 9分】 因为 BP BQ ⊥，且直线,BP BQ 的斜率均存在，所以1212111y y x x --⋅=-， 整理得 121212()10x x y y y y +-++=．（2） 【10分】因为 11y kx m =+，22y kx m =+，所以 1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x mk x x m =+++．（3）将（3）代入（2），整理得221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m ++-++-=．（4） 【11分】将（1）代入（4），整理得 25230m m --=． 【13分】解得 35m =-，或1m =（舍去）． 所以，直线PQ 恒过定点3(0,)5-． 【14分】证法二：直线,BP BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为1y kx =+． 【 6分】 将直线BP 的方程代入2244x y +=，消去y ，得 22(14)80k x kx ++=． 【 8分】 解得 0x =，或2814kx k -=+． 【 9分】设 11(,)P x y ，所以12814kx k -=+，211214114k y kx k -=+=+，所以 222814(,)1414k k P k k--++． 【10分】 以1k-替换点P 坐标中的k ，可得 22284(,)44k k Q k k -++． 【11分】 从而，直线PQ 的方程是 222222222148141488144144144k ky x k k k k k k kk k k --+++=-----++++．依题意，若直线PQ 过定点，则定点必定在y 轴上． 【13分】 在上述方程中，令0x =，解得35y =-．所以，直线PQ 恒过定点3(0,)5-． 【14分】。
2016-2017年高二数学(文)期末试卷及答案
2016/2017学年度(上)高二期末考试数学试卷(文科)一、选择题（每小题5分，共60分） 1．抛物线241x y =的准线方程是( )A ．1-=yB ．1=yC ．161-=xD ．161=x2．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞)B ．(0，2)C ．(1，+∞)D ．(0，1)3．若双曲线E ：116922=-y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于 ( ) A ．11B ．9C ．5D ．3或94．已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．一动圆P 过定点M (-4，0)，且与已知圆N ：(x -4)2+y 2=16相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 ( ) A ．)2(112422≥=-x y xB ．)2(112422≤=-x y xC ．112422=-y xD ．112422=-x y 6．设P 为曲线f (x )=x 3+x -2上的点,且曲线在P 处的切线平行于直线y =4x -1,则P 点的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(-1,-4)D ．(2,8)或(-1,-4)7．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，点A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |= ( ) A ．3B ．6C ．9D ．128．若ab ≠0，则ax -y +b =0和bx 2+ay 2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的 ( )9．抛物线y ＝x 2到直线 2x －y ＝4距离最近的点的坐标是 ( ) A ．)45,23(B ．(1，1)C ．)49,23(D ．(2，4) 10. 函数x e y x =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡221，上的最小值为 ( )A ．e 2B ．221e C ．e1D ．e11．已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为 ( ) A ．43 B ．23 C ．1 D ．212．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A 、B 两点,连接AF 、BF . 若|AB |=10,|BF |=8，cos ∠ABF =45,则C 的离心率为 ( ) A.35B.57 C.45D.67二、填空题（每小题5分，共20分）13．若抛物线y ²=-2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为________. 14．已知函数f (x )=31x 3+ax 2+x +1有两个极值点,则实数a 的取值范围是 . 15．过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________.16．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，左、右顶点为A 1、A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B 、C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为__________. 三、解答题（共70分） 17. （本小题满分10分）(1)是否存在实数m ，使2x +m <0是x 2-2x -3>0的充分条件？(2)是否存在实数m ，使2x +m <0是x 2-2x -3>0的必要条件？18. （本小题满分12分）已知直线l 1为曲线y =x 2+x -2在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另外一条切线,且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程.(2)求由直线l 1,l 2和x 轴围成的三角形的面积.19. （本小题满分12分）双曲线C 的中心在原点，右焦点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,332F ，渐近线方程为x y 3±=. (1)求双曲线C 的方程；(2)设点P 是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m 、n .证明n m ⋅是定值.20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为2，且10=⋅OA FA .(1)求此抛物线C 的方程.(2)过点(4，0)作直线l 交抛物线C 于M 、N 两点，求证：OM ⊥ON21. （本小题满分12分）已知函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=，若函数)(x f 在1=x 处有极值4-.(1)求)(x f 的单调递增区间；(2)求函数)(x f 在[]2,1-上的最大值和最小值.22. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个顶点为A(2，0)，离心率为22.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M、N.(1)求椭圆C的方程.(2)当△AMN的面积为310时，求k的值.高二期末数学（文科）试卷答案一.选择题（每小题5分，共60分） 1-6ADBBCC 7-12BCBDDB 二．填空题（每小题5分，共20分）13 （-9,6）或（-9，-6） 14 ()()∞+⋃-∞-，11, 15 3516 1± 二．解答题（共70分） 17. (1)欲使得是的充分条件, 则只要或,则只要即,故存在实数时, 使是的充分条件.(2)欲使是的必要条件,则只要或,则这是不可能的,故不存在实数m 时, 使是的必要条件.18. （1）由题意得y′=2x+1.因为直线l 1为曲线y=x 2+x-2在点（1，0）处的切线， 直线l 1的方程为y=3x-3.设直线l 2过曲线y=x 2+x-2上的点B （b ，b 2+b-2），则l 2的方程为y-(b 2+b-2)=(2b+1)(x-b). 因为l 1⊥l 2，则有k 2=2b+1=-，b=-，所以直线l 2的方程为y=-x-.（2）解方程组得.所以直线l 1、l 2的交点坐标为（，-）.l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、(-，0）.所以所求三角形的面积为S=××|-|=.19. （1）易知 双曲线的方程是1322=-y x . （2）设P ()00,y x ，已知渐近线的方程为：x y 3±= 该点到一条渐近线的距离为：13300+-=y x m到另一条渐近线的距离为13300++=y x n412232020=⨯-=⋅y x n m 是定值.20.（1）根据题意，设抛物线的方程为（），因为抛物线上一点的横坐标为，设，因此有， ......1分因为，所以，因此，......3分解得，所以抛物线的方程为； ......5分（2）当直线的斜率不存在时，此时的方程是：，因此M，N，因此NO M O⋅，所以OM ⊥ON ； ......7分当直线的斜率存在时，设直线的方程是，因此，得，设M，N，则，，， ......9分所以NO M O⋅，所以OM ⊥ON 。
学年度第一学期高二年级期末统一考试试题 文科
后输出的结果是
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15.若抛物线 y 2 2 px( p 0) 上的点 A（2，m）到焦点的距离为 6，则 p =________.
16.一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为 1
米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆 5001 颗，正方形内切圆区域有豆 3938
20. (本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率；
（Ⅱ）在所给的坐标系中画出[80 ,150] 上的频率分布直方图；
（Ⅲ）根据题中的信息估计总体：①120 分及以上的学生人数；②成绩在 [126 ,150]
中的概率.
解:（Ⅰ）①，②，③，④处的数字分别为 3 ， 0.025 ， 0.100 ， 1 ；
------------------------------4 分
（Ⅱ）在所给的坐标系中画出[80 ,150] 上的频率分布直方图； （Ⅲ）根据题中的信息估计总体：①120 分及以上的学生人数；②成绩在 [126 ,150]
中的概率.
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20. (本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率；
时，发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清，若记分员计算无误，则数字 x 应该是
A．2
B．3
C．4
D．5
11.给出下列四个命题：
① 如果命题“ p ”与命题“ p q ”都是真命题，那么命题 q 一定是真命题； ② 命题“若 a 0 ，则 ab 0 ”的否命题是：“若 a 0 ，则 ab 0 ”；
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3
x2 y2 22. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2， a b 离心率为 3，直线 y＝2 与 C 的两个交点间的距离为 6. (1)求 a，b； (2) 设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|， |AB|，|BF2|成等比数列．
5.中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( 6 5 A. 6 B. 5 C. D. 2 2
)
2 2 6.已知椭圆 x ＋ y ＝1(a>b>0)，M 为椭圆上一动点，F1 为椭圆的左焦点，则线段 MF1 的中点 2 a b2 P 的轨迹是( ) A．椭圆 B．圆 C．双曲线的一支 D．线段
1Hale Waihona Puke 用水量 y4.54
3
2.5
由散点图可知， 用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系， 其回归方程是y＝－0.7x＋a， 则 a 等于( ) A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25 → → 11. 设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则 点 A 的坐标为 ( ) A．(2，±2 2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2 2) 12. 已知 F1、 F2 为双曲线 C： x2－y2＝1 的左、 右焦点， 点 P 在 C 上， ∠F1PF2＝60°， 则|PF1|· |PF2| ＝( ) A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分) 13. 已知抛物线经过点 P(4，－2)，则其标准方程是________． 14. 在等腰直角三角形 ABC 中，在直角 ACB 内部任意作一条射线 CM ，与线段 AB 交 于点 M ，则 AM AC 的概率 ．
2
19. (本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC⊥BC， AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D 为 AB 的中点，且 CD⊥DA1. (1)求证：BB1⊥平面 ABC； (2)求证：BC1∥平面 CA1D； (3)求三棱锥 B1－A1DC 的体积．
20. (本小题满分 12 分) 设抛物线 C：y2＝4x，F 为 C 的焦点，过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点． (1)设 l 的斜率为 1，求|AB|的大小； → → (2)求证：OA·OB是一个定值．
7．阅读如下程序框图，如果输出 i＝5，那么在空白矩形框中应填入的 语句为( ) A．S＝2i－2 B．S＝2i－1 C．S＝2i D．S＝2i＋4 ８.已知抛物线的方程为 y＝2ax2，且过点(1，4)，则焦点坐标为( ) 1 1 A．(0， ) B．( ，0) C．(1，0) D．(0，1) 16 16 1 9. 已知椭圆的中心在原点，离心率 e＝ ，且它的一个焦点与抛物线 y2 2 ＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 x2 A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋y2＝1 D. ＋y2＝1 4 3 8 6 2 4 10．下表是某厂 1～4 月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 月份 x 1 2 3 4
高二文科 2016 年第一学期末数学测试题
一、选择题(本大题共 12 小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列各命题中为真命题的是( A．∀x∈R，x≥0 C．∃x∈R，x2≤－1 ) B．如果 x<5，则 x<2 D．∀x∈R，x2＋1≠0
2．盒中有 10 个铁钉，其中 8 个是合格的，2 个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的 概率是( ) 1 1 4 1 A. B. C. D. 5 4 5 10 1 2 3． 在区间(0,1)内任取一个数 a， 能使方程 x ＋2ax＋ ＝0 有两个不相等的实根的概率为( ) 2 2－ 2 1 1 2 A. B. C. D. 2 4 2 2 4. “a＝1”是“函数 f(x)＝x2－2ax＋3 在区间[1，＋∞)上递增”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 )
4
y x2 2 1(a b 0) 的两个焦点是 F1、F2，以| F1F2 |为边作正三角形，若椭圆恰 2 a b 好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为__________ .
2
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15.椭圆
16. 直线 y＝kx－2 与抛物线 y2＝8x 交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则 k 的值是____________. 三、解答题 18. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x)＝3x2－ 2x，数列 {an}的前 n 项和为 Sn，点列 (n， Sn)(n∈N*)均在函数 y＝f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； 3 m (2)设 bn＝ ， Tn 是数列{bn}的前 n 项和， 求使得 Tn< 对所有 n∈N*都成立的最小正 20 anan＋1 整数 m. m 为 10.