高中数学选修2-1学案

目录目录 (1)第一章常用逻辑用语 (1)§1.1 命题及四种命题 (1)§1.2.1 充分条件与必要条件 (2)§1.2.2 充要条件 (3)§1.3简单的逻辑联结词 (4)§1.4 全称量词与存在量词 (6)第一章单元测试题 (8)第二章圆锥曲线 (9)§2.1 曲线与方程 (9)§2.2.1椭圆及其标准方程 (11)§2.2.2 椭圆及其简单几何性质 (12)§2.3.1双曲线及其标准方程 (13)§2.3.2双曲线的简单几何性质 (15)§2.4.1抛物线及其标准方程 (17)§2.4.2 抛物线的简单几何性质 (19)第三章空间向量与立体几何 (21)§3.1.1空间向量及其运算 (21)§3.1.2 空间向量的数乘运算 (23)§3.1.3．空间向量的数量积 (26)§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 (28)§3.1.5 空间向量运算的坐标表示 (30)§3.2立体几何中的向量方法 (33)参考答案 (35)第一章 常用逻辑用语§1.1 命题及四种命题【学习目标】1. 掌握命题、真命题及假命题的概念；2. 四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题.【学习过程】1、 复习1：什么是陈述句？复习2：什么是定理?什么是公理?2、.在数学中,我们把用 、 、或 表达的，可以 的 叫做命题.其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题练习：下列语句中：（1）若直线//a b ，则直线a 和直线b 无公共点；（2）247+=（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若21x =，则1x =；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除.其中真命题有 ，假命题有3、命题的数学形式：“若p ，则q ”，命题中的p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 .【学习评价】1.下列语名中不是命题的是（ ）.A.20x >B.正弦函数是周期函数C.{1,2,3,4,5}x ∈D.125>2.设M 、N 是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）.A.如果M N ⊆，那么M N M ⋂=B.如果M N N ⋂=，那么M N ⊆C.如果M N ⊆，那么M N M ⋃=D.M N N ⋃=，那么N M ⊆3.下面命题已写成“若p ，则q ”的形式的是（ ）.A.能被5整除的数的末位是5B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上C.若一个等式的两边都乘以同一个数，则所得的结果仍是等式D.圆心到圆的切线的距离等于半径4. 命题“若0x >且0y >，则0xy >”的否命题是（ ）.A.若0,0x y ≤≤，则0xy ≤B.若0,0x y >>，则0xy ≤C.若,x y 至少有一个不大于0，则0xy <D.若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤5. 命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方根等于0”的（ ）.A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.等价命题6. ）.A. B.C. D.7、下列语句中：（1）2+2）1002是个大数（3）好人一生平安（4）968能被11整除，其中是命题的序号是8、将“偶函数的图象关于y 轴对称”写成“若p ，则q ”的形式，则p ： ，q ：9、 若1x >，则21x >的逆命题是否命题是10、命题“若a b >，则221a b ≥-”的否命题为【总结与提高】§1.2.1 充分条件与必要条件【学习目标】1. 理解必要条件和充分条件的意义；2. 能判断两个命题之间的关系.【学习过程】复习1：请同学们画出四种命题的相互关系图.复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.【学习评价】1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）.A.平行四边形对角线相等B.四边形两组对边相等C.四边形的对角线互相平分D.四边形的对角线垂直2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）.A.0x y +=B.220x y +>C.0x y -=D.330x y +≠3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）.A.存在一条直线,//,//a a a αβB.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.6. 判断下列命题的真假（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“||||ab >”是“22a b >”的必要条件. 7. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q .(1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件?(2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?8下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：1x =，q ：1x -（2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤；（3）p ：2x =，q ：3x -=（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.【总结与提高】§1.2.2 充要条件【学习目标】1. 理解充要条件的概念；2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.【学习过程】复习1：什么是充分条件和必要条件?复习2：p ：一个四边形是矩形q ：四边形的对角线相等.p 是q 的什么条件?【学习评价】1. 下列命题为真命题的是（ ）.A.a b >是22a b >的充分条件B.||||a b >是22a b >的充要条件C.21x =是1x =的充分条件D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件2.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102x -<< C.132x -<< D.16x -<< 5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.(1).3x >是5x >的(2).3x =是2230x x --=的( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的6、下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；(2) p : 0,0,x y >> q :0xy >(3) p : a b > ， q :a c b c +>+7、已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d .求证:d r =是直线l 与O 相切的充要条件.8、已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2 和3的倍数.那么p 是q 的什么条件?q 又是p 的什么条件?9、求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件.10、证明：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件【总结与提高】§1.3简单的逻辑联结词【学习目标】1. 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义；2. 掌握,,p q p q p ∧∨⌝的真假性的判断；3. 正确理解p ⌝的意义，区别p ⌝与p 的否命题；4. 掌握,,p q p q p ∧∨⌝的真假性的判断，关键在于p 与q 的真假的判断.【学习过程】复习1：什么是充要条件?复习2：已知{|A x x =满足条件}p ,{|B x x =满足条件}q(1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件；(2) 如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件；(3) 如果A B =,那么p 是q 的什么条件.【学习评价】1. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题P ：在ABC ∆中，C B ∠>∠是sin sin C B >的充要条件；命题q ：a b >是22ac bc >的充分不必要条件，则（ ）.A.p 真q 假B.p 假q 假C.“p 或q ”为假D.“p 且q ”为真3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于60︒；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（ ）.A.1B.2C.3D.44.命题p ：0不是自然数，命题q ：π是无理数，在命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”“非q ”中假命题是 ，真命题是 .5. 已知p ：2||6x x -≥，q ：,,x Z p q q ∈∧⌝都是假命题，则x 的值组成的集合为6. 写出下列命题，并判断他们的真假：（1）p q ∨，这里p ：4{2,3}∈，q ：2{2,3}∈；（2）p q ∧，这里p ：4{2,3}∈，q ：2{2,3}∈；(3) p q ∨，这里p ：2是偶数，q ：3不是素数；(4) p q ∧，这里p ：2是偶数，q ：3不是素数.7.写出下列命题的否定，并判断他们的真假：（1）p ：sin y x =是周期函数；（2）p ：32<（3）空集是集合A 的子集.8.判断下列命题的真假：（1）52>且73> （2）78≥（3）34>或34<9.将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假：（1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线相等；（2）p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分；（3）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数10.判断下列命题的真假(1) 22≤；(2) 集合A 是A B 的子集或是A B 的子集；(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.【总结与提高】§1.4 全称量词与存在量词【学习目标】1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；2. 掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断.【学习过程】探究任务一：全称量词的意义问题：1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？（1）3x >；（2）21x +是整数；（3）对所有的,3x R x ∈>；（4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数.2. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？(1)213x +=；(2)x 能被2和3整除；（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除.新知：1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为：,()x M p x ∀∈，读作：2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题.其基本形式00,()x M p x ∃∈，读作：【学习评价】1. 下列命题为特称命题的是（ ）.A.偶函数的图像关于y 轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线都是平行线D.存在实数大于等于32.下列特称命题中真命题的个数是（ ）.(1),0x R x ∃∈≤；(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数；（3）{|x x x ∃∈是无理数}，2x 是无理数.A.0个B.1个C.2个D.4个3.下列命题中假命题的个数（ ）.(1)2,11x R x ∀∈+≥； （2）,213x R x ∃∈+=；（3）,x Z ∃∈x 能被2和3整除； （4）2,230x R x x ∃∈++=A.0个B.1个C.2个D.4个4.下列命题中（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是 特称命题是 .5. 用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题.(1)实数的平方大于等于0：（2）存在一对实数使2330x y ++<成立：6. 判断下列全称命题的真假：（1）每个指数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数.7. 判定下列特称命题的真假：（1）00,0x R x ∃∈≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数.【总结与提高】第一章单元测试题一、选择题1．下列命题不是“∃x 0∈R，x 20>3”的表述方法的是( )A ．有一个x 0∈R，使x 20>3B ．有些x 0∈R，使x 20>3C ．任选一个x ∈R，使x 2>3D ．至少有一个x 0∈R，使x 20>32．下列命题是真命题的是( )A ．∀x ∈R，x 2＋2x ＋1＝0B ．∃x 0∈R，－x 0＋1≥0C ．∀x ∈N *，log 2x >0D ．∃x 0∈R，cos x 0<2x 0－x 20－33．下列命题是全称真命题的是( )A ．∀x ∈R，x 2>0B ．∀x ∈Q，x 2∈QC ．∃x 0∈Z，x 20>1D ．∀x ，y ∈R，x 2＋y 2>04．下列语句不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高二(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个向量都有大小5．给出下列命题：①存在实数x 0，使x 20>1；②全等三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a ，使ax 2－ax ＋1＝0的根为负数．其中特称命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列命题正确的是( )A ．对所有的正实数t, t 为正且t <tB ．存在实数x 0，使x 20－3x 0－4＝0C ．不存在实数x ，使x <4且x 2＋5x －24＝0D ．存在实数x 0，使得|x 0＋1|≤1且x 20>4二、填空题7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题．(1)________x ∈R，使x 2＋2x ＋1≥0；(2)________α，β∈R，使cos(α－β)＝cos α－cos β；(3)________a ，b ∈R，使方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝1a 2x ＝2，有唯一解．8．将下列命题用含有“∀”或“∃”的符号语言来表示．(1)任意一个整数都是有理数，________.(2)实数的绝对值不小于0，________.(3)存在一实数x 0，使x 30＋1＝0，________.三、解答题9．判断下列命题是否是全称命题或特称命题？若是，并判断其真假．(1)∃x 0，x 0－2≤0；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)三角形两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．10．试用不同的表述写出全称命题“矩形都是正方形”．【总结与提高】第二章圆锥曲线§2.1 曲线与方程【学习目标】1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．【学习过程】曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程(,)0F x y=之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C上的点的坐标，都是的解；2．以方程(,)0F x y=的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y=的曲线．F x y=叫做这条曲线C的方程；曲线C叫做这个方程(,)0注意：1︒如果……，那么……；2︒“点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；4︒曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．【学习评价】1．方程|x|－1＝1－(y－1)2所表示的曲线是( )A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆2．如图所示，已知两点A(－2，0)、B(1,0)，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为坐标原点，则点P的轨迹方程是( ) A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0)D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)3．与圆x2＋y2－4x＝0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( ) A．y2＝8x B．y2＝8x(x＞0)和y＝0C．y2＝8x(x＞0) D．y2＝8x(x＞0)和y＝0(x<0)4．如图，设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( ) A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y225＝1C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 二、填空题5．两条直线ax ＋y ＋1＝0和x －ay －1＝0(a ≠±1)的交点的轨迹方程是________．6．设F 1、F 2是双曲线x 2－y 2＝4的两焦点，Q 是双曲线上任意一点，从F 1引∠F 1QF 2平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹方程是________．7．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，过原点的直线与圆C 相交于A 、B 两点，则A 、B 两点中点M 的轨迹方程是________． 三、解答题8．已知点F (0，－14)，P 点在直线y ＝－4上方，且P 到点F 和直线y ＝－4的距离之和为174. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)设动点P 的轨迹是C ，曲线C 交y 轴于点M ，在曲线C 上是否存在两点A 、B ，使∠AMB ＝π2.9．A 、B 分别是直线y ＝ba x 和y ＝－b ax 上的动点．O 是坐标原点，且|OA |·|OB |＝a 2＋b 2(a ，b 为常数值，b ≠0)．求线段AB 的中点P 的轨迹方程．【总结与提高】§2.2.1椭圆及其标准方程【学习目标】1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 【学习过程】思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ． 【学习评价】 一、选择题：（6分⨯4） 1.椭圆3222=+y x 的焦距为A.1B.2C.3D.6 2.若椭圆13222=+m y mx 的焦距为4，则m = A.1 B.2 C.3 D.43.焦点为(0,-1)，(0,1)的椭圆方程可以是 A.112222=++a y a x B.112222=++a y a x C.112222=-+a y a x D.112222=+-a y a x4.椭圆12522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离 A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题（8分⨯5）5.如果方程16222=++a y ax 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是__________.6.已知21,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若12||||22=+B F A F ，则.____||=AB .7.椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点21,F F 的连线互相垂直，则21F PF ∆的面积__.8.椭圆12922=+y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，若,4||1=PF 则_____,||2=PF .____21=∠PF F9.已知椭圆上一点与两个焦点的距离之和为10，焦距是函数166)(2--=x x x f 的零点，则椭圆的标准方程为__________________________________.【总结与提高】§2.2.2 椭圆及其简单几何性质【学习目标】1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 【学习过程】问题1：椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称； 顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）； 长轴，其长为 ；短轴，其长为 ； 离心率：刻画椭圆 程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a =，且01e <<．试试：椭圆221169y x +=的几何性质呢？反思：b a 或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？【学习评价】1．若椭圆x 2k ＋2＋y 24＝1的离心率e ＝13，则k 的值为________． 2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是____________．3．已知椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则该椭圆的标准方程为____________．4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P .若△F 1F 2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．5．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．6．已知两椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)，则它们有相同的________．7．若F 1、F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，则在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为________．8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦距的一半为c ，直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则该椭圆的离心率为________．9．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是____________．【总结与提高】§2.3.1双曲线及其标准方程【学习目标】1．掌握双曲线的定义； 2．掌握双曲线的标准方程． 【学习过程】 双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。