高中数学选修2-1 抛物线导学案加课后作业及参考答案
高中数学人教版选修2-1课后训练2-4-1 抛物线及其标准方程 Word版含解析
课后课时精练一、选择题．若抛物线＝(>)的焦点与椭圆＋＝的右焦点重合，则的值为( )．－．．－．解析：因为抛物线的焦点坐标为(，)，椭圆的右焦点坐标为()，依题意得＝，得＝，故选.答案：．若抛物线＝上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为( ) ．() ．(，－)．(，±) ．(－，±)解析：设(，)，因为点到焦点的距离等于它到准线＝－的距离，所以＝，＝±，故选.答案：．焦点在直线－－＝上的抛物线的标准方程为( )．＝或＝．＝或＝．＝或＝－．＝或＝－解析：直线－－＝与轴，轴的交点分别是()，(，－)，所以抛物线的焦点为()或(，－)，因此，所求抛物线的标准方程为＝或＝－.答案：．已知是抛物线＝的焦点，是该抛物线上的动点，则线段的中点的轨迹方程是( ) . ＝－ . ＝－. ＝－. ＝－解析：本题主要考查利用相关点法求轨迹方程．抛物线方程可化为：＝，焦点()，设线段的中点的坐标为(，)，(，)，则＝，＝－，代入抛物线方程得：()＝(－)，即＝－，故选.答案：. [·辽宁高考]已知点(－)在抛物线：＝的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为( ). －. －. －. －解析：本题考查抛物线方程、抛物线的简单几何性质、直线的斜率等基础知识，考查考生的运算求解能力．因为点在抛物线的准线上，所以－＝－，所以该抛物线的焦点()，所以＝＝－，选.答案：. [·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线＝－上一定点(－)和两个动点，，当⊥时，点的横坐标的取值范围是( ). (－∞，－)∪[，＋∞). [－]. [，＋∞). (－∞，－]∪[，＋∞)解析：设(，－)，(，－)，∵⊥，∴·＝－，即＋(－)－＋＝，∵∈，，是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(－)＋(－)≥，即＋－≥，解得≤－或≥.∴点的横坐标的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)，故选.答案：二、填空题。
高中北师大版数学选修2-1学案：3.2.2 抛物线的简单性质 含答案
解析：(1)由题意得，点 P 到准线的距离为 d1＋1，设抛物线的焦点
为 F，则 d1＋1＝|PF|，∴ d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1，又焦点
52
52
到直线的距离为 d＝ ，∴ d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥ －1.
2
2
(2)本题可转化为在抛物线 y2＝4x 上找一个点 P，使得点 P 到点
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲
线．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点．当抛物线的
方程为标准方程时，抛物线的顶点是坐标原点．
(4)离心率：抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，
叫作抛物线的离心率．可见，抛物线的离心率为 e＝1.
(5)通径：通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线 y2＝2px(p>0)两交
若 y 轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为 x2＝2py(p>0)， ∵ 点(2,4)在抛物线上，∴ 22＝8p，
1 ∴ p＝ ，∴ 抛物线方程为 x2＝y.
2 ∴ 所求抛物线的标准方程为 y2＝8x 或 x2＝y.
1．抛物线的几何性质的几个注意点： (1)抛物线的几何性质和椭圆比较起来，差别较大，它的离心率等 于 1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中 心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆为有心圆锥曲线． (2)给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向、焦点 坐标、对称轴和准线方程；反过来，也能根据各种类型的抛物线的示 意图，说出抛物线的类型．
【思路探究】 由题中条件知抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)， 将点 M(4，－8)的坐标代入即可得答案．
高中北师大版数学选修2-1学案：3.2.1 抛物线及其标准方程 含答案
72 .
4
1
72
( ) 故当点 P 的坐标为 ，－1 时，d 有最小值
.
2
4
方法 2：因为 Error!无实根，所以直线与抛物线没有公共点．
设与直线 x＋y＋4＝0 平行的直线为 x＋y＋m＝0.
Error! ①消去 x 得 y2＋2y＋2m＝0，设此直线与抛物线相切，即
只有一个公共点．
1 所以 Δ ＝4－8m＝0，所以 m＝ .
在抛物线 y2＝2x 上求一点 P，使其到直线 l：x＋y＋4＝0 的距离最
小，并求最小距离．
y20 解：方法 1：设 P(x0，y0)是抛物线上的点，则 x0＝ ，P 到直线 x＋
2
y＋4＝0 的距离为 d＝
|x0＋y0＋4|
＝ 2
y20
| | ＋y0＋4 2
＝ 2
y0＋1 2＋7 ≥
22 2
7
＝ 2
【解】 将 x＝12 代入 x2＝4y 得 y＝36>6，∴ 点 A 在抛物线外部， 抛物线焦点为 F(0,1)，准线 l：y＝－1，过 P 作 PB⊥l 于点 B，交 x 轴
于点 C，则|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1＝|PA|＋|PF|－1.由下图可知，当
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【解】
能通过．理由如下：建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，
当 x＝3 时，y＝－3，即点(3，－3)在抛物线上．代入得 2p＝3，故
抛物线方程为 x2＝－3y.
已知集装箱的宽为 3 m，
3
3
当 x＝ 时，y＝－ ，而桥高为 5 m，
2
4
31
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 圆锥曲线
2.1 抛物线及其标准方程[学习目标] 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.知识点一 抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 知识点二 抛物线标准方程的几种形式思考 (1)2(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？ 答案 (1)焦点到准线的距离.(2)不一定.当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线.题型一 求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝－8x .(2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3， ∴m ＝92或n ＝43.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0). 跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ， 得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0). 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 题型二 抛物线定义的应用例2 如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标.解 如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求|P A |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|P A |＋d 的最小值的问题. 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部.设抛物线上动点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l时，|P A |＋d 最小，最小值为72.即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2.∴点P 坐标为(2,2).反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪训练2 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B.2C.5D.92答案 A解析 如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PF |， 则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值， 则当A 、P 、F 三点共线时，|P A |＋|PF |取得最小值. 又A (0，2)，F (12，0)，∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF | ＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.题型三 抛物线的实际应用例3 如图所示，一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值.解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4， 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， ∵点B 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ·⎝⎛⎭⎫－a 4，解得p ＝a 2， ∴抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .∴点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，∵a 取整数， ∴a 的最小整数值为13.反思与感悟 以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.跟踪训练3 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以隧道的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)? 解 (1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，如图所示，因为点C (5，－5)在抛物线上，解得p ＝52，所以该抛物线的方程为x 2＝－5y . (2)设车辆高h 米，则|DB |＝h ＋0.5， 故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.1.抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( )A.x ＝132B.x ＝12C.y ＝2D.y ＝4答案 C解析 将y ＝－18x 2化为标准形式x 2＝－8y ，由此可知准线方程为y ＝2.2.过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A.8B.16C.32D.61 答案 B解析 由y 2＝8x 得焦点坐标为(2,0)， 由此直线方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝x －2联立得x 2－12x ＋4＝0， 设交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由方程知x 1＋x 2＝12，∴弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝±8x答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .4.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.2B.3C.115D.3716答案 A解析 易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线， 如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度， 其中F (1,0)为抛物线y 2＝4x 的焦点. 由图可知，距离和的最小值， 即F 到直线l 1的距离 d ＝|4＋6|(－3)2＋42＝2.5.若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.答案 4解析 由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2p216＝1，由此c 2＝3＋p 216，左焦点为(－3＋p 216，0)， 由y 2＝2px 得准线为x ＝－p2，∴－3＋p 216＝－p 2， ∴p ＝4.1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).。
选修2-1数学课后习题答案(全)
新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章 常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真； （2）假； （3）真； （4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+-- ()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题.逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题.否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等. 逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不 相等.这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题1.1 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径. 原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒； （2）⇒； （3）⇒； （4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是q 的必要条件.2、（1）p 是q 的必要条件； （2）p 是q 的充分条件；（3）p 是q 的充要条件； （4）p 是q 的充要条件.习题1.2 A 组（P12）1、略.2、（1）假； （2）真； （3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件； （2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件； （4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222a b r +=.习题1.2 B 组（P13）1、（1）充分条件； （2）必要条件； （3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222a b c ab ac bc ++=++，那么2220a b c ab ac bc ++---=. 所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以，0a b -=，0a c -=，0b c -=.即 a b c ==，所以，ABC ∆是等边三角形.（2）必要性：如果ABC ∆是等边三角形，那么a b c ==所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以2220a b c ab ac bc ++---=所以222a b c ab ac bc ++=++1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真； （2）假.2、（1）真； （2）假.3、（1）225+≠，真命题； （2）3不是方程290x -=的根，假命题；（31≠-，真命题.习题1.3 A 组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈，真命题； （2）4{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；（3）2是偶数或3不是素数，真命题； （4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）假命题.3、（1不是有理数，真命题； （2）5是15的约数，真命题；（3）23≥，假命题； （4）8715+=，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题1.3 B 组（P18）（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0； （3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题1.4 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题； 逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}. 6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C ==.新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t -==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t t x y -==. 由2t x =得2t x =，代入42t y -=， 得422x y -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2)此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.所以，13y y x x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y == 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形， 利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=，即2230x y x +-=. 其他同解法一.习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y a b+=.因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341a b+= 因此，430ab a b --= 由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y . 由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为 AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别 作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =. 连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF +=+ 所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF=. 2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=. 3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c .（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++. 由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=.所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值.4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得 直线AM 的斜率 1AM y k x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BMy k x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B）为圆心，以线段2OA （或1OA ） 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F .点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F OA =所以，2OF c =. 同样有1OF c =.2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)；（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-. 3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x+=. 4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=. 5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12， 12>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁； （2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5， 因为35>，所以，椭圆221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49） 1、解：由点(,)M x y10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆. 它的方程是2212516y x +=. 2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略. 4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率2e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=； （3）221259x y +=，或221259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =. 代入椭圆的方程，得21154x +=，解得2x =±. 所以，点P的坐标是(1)2±±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =.所以，QO QA QO QP OP r +=+==.又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+. 把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=--（1）由0∆>，得m -<<当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x m x +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=. 这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上. 9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km.习题2.2 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y += 所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--=配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+……① 当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12……③化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤ 将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y += ……⑥ 由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，. 12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12， 所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =所以236927b =-=. 于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF PM d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得 12= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y += 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，.4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，(4,0)F 因为,,R S T 是线段OF 的四等分点，,,R S T '''是线段CF 的四等分点， 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''. 直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==. 所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n+=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=， 所以，点N 在221169x y +=上. 因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上. 2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-= 又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±. 5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -= 3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=. 设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a -=.解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=. 5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =.所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题2.3 B 组（P62）1、221169x y -= 2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy . 设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得 222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k-=-，解得 2k =. 当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =； 3、（1）a ，2pa -. （2），(6,- 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72）1、（1）2165y x =； （2）220x y =；（3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则AB ===4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =±因为22AB y ==⨯== 所以，3a =因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-； （2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p .设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32p x =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan 60k =︒=. 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y =由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M 的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=，化简得 2640x x -+=，解得 3x=±则 321y ==±因为OB k ，OA k=所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为 m.习题2.2 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p的抛物线. 2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-=因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称. 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan30y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠± 第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a +=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=，22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =所以b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. 2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122c r r e a R r r -==++. 3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆. （3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上.而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……① 222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得2k >，或2k <- 因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点， 所以，k的取值范围为k >k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )32py x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =，22)y p =把12)y p =代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)32p y x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 3m =±所以，直线l 的方程为23y x =±9、解：设点A的坐标为11(,)x y，点B的坐标为22(,)x y，点M的坐标为(,)x y.并设经过点M的直线l的方程为1(2)y k x-=-，即12y kx k=+-.把12y kx k=+-代入双曲线的方程2212yx-=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k------=2(20)k-≠. ……①所以，122(12)22x x k kxk+-==-由题意，得2(12)22k kk-=-，解得4k=当4k=时，方程①成为21456510x x-+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解.所以，直线l的方程为47y x=-.10、解：设点C的坐标为(,)x y.由已知，得直线AC的斜率(5)5ACyk xx=≠-+直线BC的斜率(5)5BCyk xx=≠-由题意，得AC BCk k m=. 所以，(5)55y ym xx x⨯=≠±+-化简得，221(5)2525x yxm-=≠±当0m<时，点C的轨迹是椭圆(1)m≠-，或者圆(1)m=-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m>时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x=上的点P的坐标为(,)x y，则24y x=.点P到直线3y x=+的距离d===当2y=时，d. 此时1x=，点P的坐标是(1,2).12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱顶为原点、拱高所在直线为y轴（向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程为22x py=-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=.2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a =-.由题意，得2b bac a =，所以，b c =，a =.由已知及1F A a c =+，得a c +=所以 (1c +=+ c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=. 3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=. 由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……②（第4题）12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p = 当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p = 4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p=+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠± 所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=. 因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--. 练习（P89）1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==. 3.练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=（第7题）PRS B CAQ O（第3题）所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥.所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=. 2CD CD CD =⋅222222()()CA AB BD CA AB BD CA AB BDa b c =++⋅++=++=++所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面， 于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾.2、共面2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,153DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅.习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==.向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=； （2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-；（3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11()22GF AC a ==；（4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11()22EF BD a ==；（5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11()22FG AC a ==；（6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos60cos6042414DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =.9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-， 所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N . 1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =- 所以2312CM ==，21312D N == 111114cos ,994CM D N --<>==- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19. 11、31(,,3)22- 习题3.1 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.1122EF EH AB OC ⋅=⋅11()()44OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =. ∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠∴ OB OC OA OC ⋅=⋅∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ BD α⊥.∴ BD i ⊥，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点.∴ BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β； （3）292247u v u v⋅=-，α与β相交，交角的余弦等于292247.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥. 因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++（第3题）222222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅ 222211()22111cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以 22cos AA d mn θ'=.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O . ∵ 11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥ 习题3.2 A 组（P111）1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，212MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，212MN AD ⋅==1cos 2θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3AC DB ⋅== 所以 1cos 3θ=-. 因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-= 所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cos 2θ===sin θ=点O 到平面ABC 的距离sin 1OH OA θ===. 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向， 建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O，D ，1(0,,0)2B，3(0,,0)2C，A . ∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，184DO DA ⋅=，cos 2θ=. ∴ AD 与平面BCD 所成角等于45︒. （2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，则1(,,1)(,,1)(0,,02x y AB x y ⋅=⋅=，(,,1)(,,1)0x y AD x y ⋅=⋅=. 解得 1x =，y =显然(0,0,1)为平面BCD 的法向量.(0,0,1)1⋅=，cos θ==因此，二面角A BD C --的余弦cos cos()απθ=-=7、解：设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(1,2,)AB x y z =-+.因为AB ∥α，所以123412x y z-+==-. 因为226AB α==26=.解得5x =-，6y =，24z =，或7x =，10y =-，24z =-.8、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(,,0)A a a -，(,,0)B a a ，(,,0)C a a -，(,,0)D a a --，(0,0,)V h ，(,,)222a a hE -.（1）222233(,,)(,,)6222222cos ,10a a h a a h h a BE DE h a BE DE--⋅-<>==+.（2）223(,,)(,,)02222a a h h VC BE a a h a ⋅=--⋅--=-=，222h a = 222222641cos ,10123h a a BE DE h a a --<>===-+9、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，111(,,)222O -，1(0,0,1)A ，1(1,0,1)D -，1(0,0,)2M .因为10OM AA ⋅=，10OM BD ⋅=，所以1OM AA ⊥，1OM BD ⊥，2OM ==. 10、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,7,0)B ，(0,0,24)C ，(,,)D x y z .因为(,7,)(0,7,0)0BD AB x y z ⋅=-⋅=，所以7y =.由24BD ==，25CD ==解得12z =，x =1cos 2BD AC BD ACθ⋅==⋅，60θ=︒ 因此，线段BD 与平面α所成的角等于9030θ︒-=︒.11、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,4)O '，(4,0,4)A '，(0,3,4)B '，3(2,,4)2D ，(0,3,)P z .由3(0,3,)(2,,4)02OP BD z ⋅=⋅-=，解得98z =. 所以，938tan 38PB OB θ===.12、解：不妨设这条线段MN 长为2，则点M 到二面角的棱的距离1MP =，点N 到二面角的棱的距离1NQ =，QM PN ==PQ =22cos 2PQ MNPQ PQ MNθ⋅====⋅， 45θ=︒. 习题3.2 B 组（P113） 1、解：12222ABC S ∆=⨯⨯=， ()224502AD BE AB BD BE ⋅=+⋅=︒+=，202cos AD BE AD AD θ⋅==，20AD =，204BD ==. 184233ABCD V =⨯⨯=2、解：（1）以点B 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,0,1)C ，(1,1,0)F，,0,1)M -，,0)N .。
高中数学 选修2-1 北师大版 抛物线及其标准方程 作业(含答案)
1．明确抛物线方程有四种形式，记住并理解：“一次项定轴，正负定方向”． 2．重视抛物线定义的灵活应用，并重视抛物线解题时“数形结合”的作用． 3．在采用待定系数法求抛物线标准方程时，如果不知道开口方向，可将抛物线方程设成y 2＝2mx (或x 2＝2my )，m ∈R ，m ≠0，此时焦点到准线的距离为|m |.4．根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一定要先化为标准形式，找出2p ，进而求出p 和p2的值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐标和准线方程．————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————[A 级 基础夯实]1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：抛物线的开口向左，焦点在x 轴的负半轴上，2p ＝8，得p2＝2，故焦点坐标为(－2,0)．答案：B2．抛物线x 2＝4y 上一点P 的纵坐标为4，则点P 到抛物线焦点的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵x 2＝4y ，设P (x p,4)， 故|PF |＝4＋1＝5. 答案：D3．抛物线y 2＝2x 的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：由y 2＝2x ，知p 2＝12，所以准线方程x ＝－p 2＝－12，故选D.答案：D4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |的值为________．解析：∵y 2＝4x ，∴p ＝2.∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：85．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m ＝________.解析：由已知，可设抛物线方程为x 2＝－2py .由抛物线定义有2＋p2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4.答案：±46．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)； (2)准线方程为y ＝23；(3)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5； (4)过点P (－2，－4)．解析：(1)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且－p2＝－2，则p ＝4，所以，所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y .(2)因为抛物线的准线在y 轴正半轴上，且p 2＝23，则p ＝43，所以，所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(3)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝－10x .(4)如图所示，因为点P 在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程为y 2＝－2p 1x (p 1＞0)或x 2＝－2p 2y (p 2＞0)．分别将点P 的坐标代入上述方程，解得p 1＝4，p 2＝12.因此，满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y 2＝－8x 和x 2＝－y .[B 级 能力提升]7．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.答案：C8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：由已知得B 点的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B ⎝⎛⎭⎫p 4，1，将其代入y 2＝2px 得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，则B 点到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝342.答案：3429．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A (72，4)，求|P A |＋d 的最小值．解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，且点P到准线的距离为d ，所以d ＝|PF |，则|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5.∴|P A |＋d 的最小值是5.10．河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一条小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面的部分高34 m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？解析：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85.∴x 2＝－165y .。
高中数学选修2-1北师大版 抛物线及其标准方程 学案3(含答案)
§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程自主整理1.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作__________.这个定点F叫作抛物线的__________,这条定直线l叫作抛物线的__________.2.方程y2=±2px,x2=±2py(p＞0)叫作抛物线的__________方程.3.抛物线y2=2px(p＞0)的焦点坐标是__________,它的准线方程是__________,开口方向是__________.4.抛物线y2=-2px(p＞0)的焦点坐标是__________,它的准线方程是__________,开口方向是__________.5.抛物线x2=2py(p＞0)的焦点坐标是__________,它的准线方程是__________,开口方向是__________.6.抛物线x2=-2py(p＞0)的焦点坐标是__________,它的准线方程是__________,开口方向是__________.高手笔记次项系数为负时,不要出现错误.3.只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式.4.抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.如抛物线x2=-2y,一次项变量y≤0,所以抛物线开口向下.名师解惑1.对抛物线的四种类型的标准方程的理解与认识剖析:一条抛物线由于建立坐标系的形式不同,得到标准方程的形式也不同,其中标准方程中p 的大小,确定了抛物线的形状.标准方程有四种形式:y 2=2px,y 2=-2px,x 2=2py,x 2=-2py(p ＞0).在求抛物线方程时,由于标准方程有四种形式,易混淆,可先根据题目的条件作出草图,确定方程的形式,再求参数p,若不能确定是哪一种形式的标准方程,应写出四种形式的标准方程来,不要遗漏某一种情况.2.对标准方程中的参数p 的理解剖析:标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离,p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件.参数p 的几何意义在解题时常常用到,特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值,才易于确定焦点坐标和准线方程. 讲练互动【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0上.解析:要求抛物线的标准方程，需根据条件确定其类型,设出方程的形式,然后求出参数p. 答案:(1)当抛物线的焦点在x 轴上时,设抛物线方程为y 2=-2px(p ＞0). 由抛物线过(-3,2)知,22=-2p×(-3),p=32. 所以所求的抛物线方程为y 2=34-x. 当抛物线的焦点在y 轴上时,设抛物线方程为x 2=2py(p ＞0). 由抛物线过(-3,2)知,(-3)2=4p,p=49. 所以所求的抛物线方程为x 2=29y. (2)直线x-2y-4=0与x 轴的交点为(4,0),与y 轴的交点为(0,-2),故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). 当焦点为(4,0)时,设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0),2p=4,p=8. 所以抛物线方程为y 2=16x.当焦点为(0,-2)时,设抛物线方程为x 2=-2py(p ＞0),2p-=-2,p=4. 所以抛物线方程为x 2=-8y. 绿色通道在求抛物线标准方程时,焦点的位置不易确定,可作出草图,结合图形,设出方程,利用待定系数法分情况求解.在(2)中,根据抛物线标准方程的要求,可知直线x-2y-4=0与坐标轴的交点一定是抛物线的焦点,依此便求出焦点坐标,进而分类求解. 变式训练1.求顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线且截直线2x-y+1=0所得弦长为15的抛物线方程. 答案:设所求抛物线方程为y 2=ax(a≠0),① 直线方程变形为y=2x+1.② 设抛物线截直线所得弦为AB,②代入①,整理得4x 2+(4-a)x+1=0,则 |AB|=15]414)44)[(21(22=⨯--+a .解得a=12,或a=-4.所以所求抛物线方程为y 2=12x,或y 2=-4x.【例2】已知抛物线y 2=2x 的焦点是F,点P 是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求｜PA ｜+｜PF ｜的最小值,并求出取最小值时P 点坐标.解析:由定义知,抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d,由图可知,求|PA|+|PF|的问题可转化为求|PA|+d 的问题.答案:将x=3代入抛物线方程y 2=2x,得y=±6. 因为6>2,所以A 在抛物线内部.设抛物线上点P 到准线l:x=21的距离为d,由定义知｜PA ｜+｜PF ｜=｜PA ｜+d.由图可知, 当PA ⊥l 时，｜PA ｜+d 最小，最小值为27,即|PA|+|PF|的最小值为27.此时P 点纵坐标为2,代入y 2=2x,得x=2.所以点P 的坐标为(2,2). 绿色通道本题涉及到抛物线上的点P 到焦点的距离,即|PF|,常考虑用定义转化,定义是解决问题的基础和灵魂,要善于考虑定义和应用定义解题. 变式训练2.已知点M(-2,4)及焦点为F 的抛物线y=81x 2,在此抛物线上求一点P,使|PM|+|PF|的值最小. 答案:如右图所示,设抛物线上的点P 到准线的距离为|PQ|. 由抛物线的定义,知|PF|=|PQ|, ∴|PF|+|PM|=|PQ|+|PM|.当P,Q,M 三点共线时,|PM|+|PF|最小. 由M(-2,4),可设P(-2,y 0),代入y=81x 2,得y 0=21,故P 点的坐标为(-2,21). 【例3】一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如图所示,已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍,若拱宽为a m,求能使卡车通过的a 的最小整数值.解析:要求拱宽a 的最小值,需建立适当的坐标系,写出抛物线的方程,然后利用方程求解.答案:以拱顶为原点,拱高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,如图,设抛物线方程为x 2=-2py(p ＞0),则点B 的坐标为(2a ,4a-),由点B 在抛物线上, 所以(2a )2=-2p·(4a -),p=2a ，所以抛物线方程为x 2=-ay.将点E(0.8,y)代入抛物线方程,得y= a64.0-. 所以点E 到拱底AB 的距离为4a -|y|=4a -a64.0＞3.解得a ＞12.21,因为a 取整数,所以a 的最小值为13. 绿色通道解决实际应用问题的关键是转化为数学问题,首先应考虑建立恰当的直角坐标系,得出抛物线方程,利用抛物线的知识解决问题. 变式训练3.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处(如图),已知灯口的直径是24 cm,灯深10 cm,那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是多少?答案:取反射镜的轴即抛物线的轴为x 轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如题图所示.因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A 的坐标是(10,12).设抛物线的方程为y 2=2px(p ＞0). 由点A(10,12)在抛物线上,得122=2p×10, 所以p=7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm. 教材链接 【思考交流】1.观察下图,你能用数学语言来描述吗?请与同学交流.答:动圆圆心到定点(动圆恒过的定律)的距离与它到定直线(动圆的公共切线)的距离相等,它的集合是抛物线.2.一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同,你能否归纳出开口向左,向上,向下,顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线标准方程?并分别写出它们的准线方程.答:顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线,开口向左,向上,向下的标准方程分别是y 2=-2px,x 2=2py,x 2=-2py(p ＞0),顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线,开口向左,向上,向下的准线方程分别是x=2p ,y=2p ,y=2p .。
2020秋高中数学人教A版选修2-1学案：2.4.1 抛物线及其标准方程 Word版含解析
姓名，年级：时间：2.4。
1 抛物线及其标准方程自主预习·探新知情景引入如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔,上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？新知导学1．抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)__距离相等__的点的轨迹叫做抛物线，__定点F__叫做抛物线的焦点，__定直线l__叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程的几种形式同一条抛物线在坐标平面内的位置不同，方程也不同,顶点在原点,以坐标轴为对称轴的抛物线有四种形式．请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、焦点坐标及准线方程图形焦点准线方程__F(错误!,0）____x＝－错误!____y2＝2px（p〉0)____F(－错误!,0)____x＝错误!____y2＝－2px（p>0)____F(0，错误!)____y＝－p2____x2＝2py（p>0)____F(0，－p2）____y＝错误!____x2＝－2py(p〉0)__过抛物线焦点的直线与抛物线相交,被抛物线所截得的线段，称为抛物线的__焦点弦__。
4．通径通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A、B两点，线段AB 称为抛物线的通径，通径｜AB｜的长等于__2p__.预习自测1．抛物线y＝－4x2的准线方程为( D )A．x＝1 B．y＝1C．x＝错误!D．y＝错误![解析］抛物线y＝－4x2的方程可化为x2＝－错误!y，可得p＝错误!，∴准线方程为y＝错误!.故选D．2．(2020·福州市八县（市）协作校期末)y＝2x2的焦点坐标是( D ) A．(1,0）B．(错误!，0)C．(0，错误!）D．(0,错误!)[解析］∵由题意知,p＝错误!，错误!＝错误!，∴焦点坐标是（0，错误!）．故选D．3．已知抛物线y2＝mx的焦点坐标为（2，0)，则m的值为( D )A．12B．2C．4 D．8［解析] ∵抛物线y2＝mx的焦点坐标为（2,0），∴m〉0,且2p＝m.又错误!＝2,∴p＝4,∴m＝8.4．（2019－2020学年内蒙古赤峰市宁城县期末测试)顶点在原点，焦点是（0，2)的抛物线的方程是( B ）A．y2＝8x B．x2＝8yC．x＝8y2D．y＝8x2[解析] 由题意，抛物线的顶点在原点，焦点为F（0,2)，则设抛物线方程为x2＝2py，p＞0，所以，错误!＝2，即p＝4，故抛物线方程为：x2＝8y。
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抛物线及其标准方程导学案【学习要求】1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2．会求简单的抛物线的方程.【学法指导】通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.【知识要点】1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程探究点一抛物线定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.问题1画出的曲线是什么形状？问题2|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？问题3点D在移动过程中，满足什么条件？问题 4在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？例1方程[]22)1()3(2-++yx＝|x－y＋3|表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线跟踪训练1（1）若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是() A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线（2）若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线探究点二抛物线的标准方程问题 1结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？问题2抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？问题3根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.（1）y2＝－6x；（2）3x2＋5y＝0；（3）y＝4x2；（4）y2＝a2x (a≠0).跟踪训练2（1）抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为()A．⎝⎛⎭⎫716，0B．⎝⎛⎭⎫－74，0C．⎝⎛⎭⎫－716，0D．⎝⎛⎭⎫0，－74（2）抛物线y＝－14x2的准线方程是()A．x＝116B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2例3分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）准线方程为2y＋4＝0；（2）过点(3，－4)；（3）焦点在直线x＋3y＋15＝0上.跟踪训练3（1）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()A．y2＝x或x2＝y B．y2＝x或x2＝8yC．x2＝－8y或y2＝x D．x2＝y或y2＝－8x（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程.探究点三 抛物线定义的应用例4 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. （1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 跟踪训练4 （1）抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．0（2）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92【当堂检测】1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是 ( )A ．a ＋p2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) A ．2B ．3C ．115D ．37164．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________【课堂小结】1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).【拓展提高】1．若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x =2．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果621=+x x ，那么AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．43．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x4．抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为【课后作业】一、基础过关1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0)2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．44．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线和一条射线C ．椭圆D ．抛物线 5．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.6．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________.7．求经过A (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标. 二、能力提升8．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( )A ．12B ．1C ．32D ．29．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.11．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程.12．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？三、探究与拓展13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.抛物线的简单几何性质（一）导学案【学习要求】1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.【知识要点】1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝2直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴，此时直线与抛物线有个公共点.【问题探究】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？问题 2通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？例1若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．⎝⎛⎭⎫14，±24B．⎝⎛⎭⎫18，±24C．⎝⎛⎭⎫14，24D．⎝⎛⎭⎫18，24跟踪训练1抛物线y2＝2px (p>0)上一点M的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________探究点二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.跟踪训练2已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.探究点三直线与抛物线的位置关系问题结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？例3已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？跟踪训练3过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程.【当堂检测】1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A ．p 2B ．pC ．2pD ．无法确定2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－12，12B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为 ( )A ．(1,2)B ．(0,0)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1,4)4．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_______【课堂小结】1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.【拓展提高】1．若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．422．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4OA AF •=-，则点A 的坐标为（ ）A ．)22,2(±B ．)2,1(±C ．)2,1(D ．)22,2(3．已知直线l ：y ＝－x ＋1和抛物线C ：x y 42=，设直线与抛物线的交点为B A 、，求AB 的长。