裂项相消法

裂项相消法

焦洁

一、学习目标：

1、理解裂项相消法思想。

2、使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。

3、在自学与探究中体验数学方法的形成过程。

二、教学重点与难点

裂项相消法的应用与计算过程

三、教学过程

思考与讨论：

什么数列可用裂项相消法求和？

如何裂项？你有好的方法吗？

如何相消？你能发现其中的规律吗？

利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？

()

1-n n 14313212111++⨯+⨯+⨯ ：例 预设情景一：学生在看到问题后就认识到要裂项

直接提问学生要怎么拆？思考拆的对不对，怎样验证？ （逆运算，通分） 预设情景二：学生不知道要裂项，而要把分母相乘，再通分

经简单计算发现让学生体会到这种方式巨大的计算量，请学生思考为什么通分，引导学生通过其他方法来减少项数，观察原式，继而寻找规律，引导学生把 ()分出来变成两项。和中的分出来变成两项，和中的分出来变成两项，和中的1

111131************++⨯⨯n n n n 对三个分数3

1 21 321⨯进行观察，由于分母不相同不易比较，于是通分变成如下3

22 323 321⨯⨯⨯，再观察不难发现，后两式相减即为前式。于是总结出裂项的方法()1

1-11131-21321+=+=⨯n n n n ，。

思考拆的对不对，怎样验证 （逆运算，通分）

把每一项都拆开，观察特点，一负一正相抵消。

问题：n 1能不能消，1

1+n 能不能消，为什么。 回顾解题过程，总结解题步骤：1、裂项 （加检验） 2、消 3、找余项

()()12n 1-2n 17

515313112+++⨯+⨯+⨯ ：例 让学生先自己完成，分享结果，提问大家是不是如下拆法31-11311=⨯，要求

同学检验，强调检验的重要性。

问题：怎么拆？怎么拆？8

31521⨯⨯ 总结：分母之间差几就在前面乘几分之一

合作交流

○1你能证明1

11)1(1+-=+n n n n 吗？ ○2猜想：()

21+n n =_____________________ 验证：

=+-211n n ___________________ 结论：=+)

2(1n n ____________________ ○3一般地: ()k n n +1

=________________ 巩固提高

当堂检测

1、()()________321217

51531=++++⨯+⨯n n 2、

_______)2(1751641531=+++⨯+⨯+⨯n n __（只需把消完后的项列出，无需化简）

课堂小结

裂项相消法求和：

对于通项公式可拆成两项的数列，我们通常采用裂项相消法逐项消去前后项求数列的和。

裂项相消法求和的一般步骤：求通项——裂项——相消——求和。

四、教学反思