裂项相消法
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裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
通项分解（裂项）倍数的关系。
通常用于代数，分数，有时候也用于整数。
裂项相消法是数列求和中第二大求和方法，其使用频率仅此于错位相减法。
裂项相消法是高中数列求和的方法之一，它是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
总结裂项相消类型：
裂项相消法的概念不难，过程也简单，其难点主要在于如何判断来使用裂项相消法。
裂项相消法的八大类型：等差型、无理行、指数型、对数型。
三角函数型、阶乘和组合数公式型、抽象型、混合型。
裂项相消法是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
比如1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]、1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。
只剩下有限的几项。
余下的项具有如下的特点，余下的项前后的位置前后是对称的。
余下的项前后的正负性是相反。
裂项相消法的八种类型
裂项相消法的八种类型一、首项相消法对于一元二次方程，如果方程的首项（即二次项）能够通过裂项相消的方式相消除，就可以简化方程的求解过程。
例如：1.x²+7x+10=0，首项x²可裂为(x+a)(x+b)，将方程变为(x+a)(x+b)+7(x+a)+10=0。
接下来可以求出a和b的值，并解出方程。
二、末项相消法对于一元二次方程，如果方程的末项（即常数项）能够通过裂项相消的方式相消除，就可以简化方程的求解过程。
例如：1. x² + 5x + 6 = 0，末项6可以裂为(ax + c)(bx + d)，将方程变为 (ax + c)(bx + d) = 0。
接下来可以求出a、b、c和d的值，并解出方程。
三、完全平方差公式法对于一元二次方程，如果方程能够通过完全平方差公式的方式进行裂项相消，可以大大简化方程的求解过程。
例如：1.x²+8x+16=0，这是一个完全平方差公式的例子，方程可以变为(x+4)²=0。
结果可直接解得x=-4四、平方差公式法对于一些特殊的高次方程，可以通过平方差公式的方式进行裂项相消，从而简化方程的求解过程。
例如：1.x⁴-16=0，可以将方程写为(x²)²-4²=0。
通过平方差公式，可以得到两个解：x²-4=0，解为x=±2、因此，方程的解为x=±2五、差平方公式法对于一些特殊的高次方程，可以通过差平方公式的方式进行裂项相消，从而简化方程的求解过程。
例如：1.x⁴+16=0，可以将方程写为(x²)²+4²=0。
通过差平方公式，可以得到这个方程无实数解。
六、因式分解法对于一些特殊的高次方程，可以通过因式分解的方式进行裂项相消，从而简化方程的求解过程。
例如：1.x³-1=0，可以用立方差公式进行因式分解，得到方程(x-1)(x²+x+1)=0。
知识点裂项相消法
知识点裂项相消法1.基本原理：裂项相消法的基本思想是将有理函数分解成若干个部分分式的和，其中每个部分分式的分母是一次因式的幂。
具体而言，对于一个有理函数P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是多项式，且Q(x)可分解为一些一次因式的乘积。
假设Q(x)可分解为Q(x)=(x-a)^n(x-b)^m...(x-z)^p，则有理函数P(x)/Q(x)可以分解成以下形式的部分分式相加的形式：P(x)/Q(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)^2+...+An/(x-a)^n+B1/(x-b)+B2/(x-b)^2+...+Bm/(x-b)^m+...+Z1/(x-z)+Z2/(x-z)^2+...+Zp/(x-z)^p.其中，A1,A2,...,An,B1,B2,...,Bm,...,Z1,Z2,...,Zp是待定常数。
2.应用：裂项相消法主要用于求解有理函数的积分和微分。
在求解积分时，通过将有理函数分解成部分分式，可以将原来的复杂积分问题转化为一系列简单的积分。
同样地，在求解微分方程时，将有理函数分解成部分分式相加的形式可以简化微分方程的求解过程。
3.求解过程：下面我们通过一个例子来演示裂项相消法的求解过程。
假设我们要求解积分∫(x^2+4)/(x+1)(x+2)dx。
首先，我们需要将被积函数(x^2+4)/(x+1)(x+2)分解为若干个部分分式相加的形式。
首先，我们将(x^2+4)除以(x+1)(x+2)得到一个商函数和一个余数：(x^2+4)/(x+1)(x+2)=x-1+6/(x+1)(x+2).然后，我们将6/(x+1)(x+2)继续分解为部分分式的和：6/(x+1)(x+2)=A/(x+1)+B/(x+2).通过通分得到：将A(x+2)+B(x+1)展开，得到：由于等式两边的系数必须相等，所以有：A+B=0,解这个方程组可以得到：A=2,因此，我们有：6/(x+1)(x+2)=2/(x+1)-2/(x+2).综合上述结果，我们可以得到：∫(x^2+4)/(x+1)(x+2)dx=∫(x-1+2/(x+1)-2/(x+2))dx=∫(x-1)dx+∫2/(x+1)dx-∫2/(x+2)dx=x^2/2-x+2ln，x+1，-2ln，x+2，+C.其中，C是常数。
裂项相消法
裂项相消法
裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的形式，裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法。
先根据通项公式找裂项公式，然后逐项写开，消去。
裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
通项分解（裂项）倍数的关系。
通常用于代数，分数，有时候也用于整数。
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项。
裂项相消法的公式
裂项相消法的公式裂项相消法是一种求解代数式的方法，可以通过对某些项进行分解，从而实现消去相同的项，从而简化计算。
该方法适用于多项式和分式，下面详细介绍一下这种方法的公式和应用。
公式：对于多项式和分式中的一些项，如果它们的差是一个常数，那么我们可以借助裂项相消法将它们消去。
具体而言，我们可以将这些项的和或差表示为如下形式：a / (x - p) +b / (x - q)其中，a和b是常数，p和q是两个不同的实数。
注意，这里的x是变量，不等于p或q。
这个式子可以用通分的方式表示为：(a(x - q) + b(x - p)) / ((x - p)(x - q))可以看出，这个式子的分母是(x - p)(x - q)，而分子是a(x - q) + b(x - p)，其中的(x - p)和(x - q)是“相消”的项，因此可以约掉，留下(a(x - q) + b(x - p))这一常数。
应用：裂项相消法可以用于简化多项式和分式中的表达式，让计算变得更加简便。
例如，我们可以用这个方法来计算以下式子的值：1 / (x - 2) +2 / (x + 1)首先，我们可以将这个式子表示为通分的形式：(1(x + 1) + 2(x - 2)) / ((x - 2)(x + 1))展开后，可以得到：(3x - 3) / (x^2 - x - 2)可以看出，这个结果已经比原式简化了很多。
在具体计算时，我们只需要将原式表示为上述形式，然后将分母进行分解，最终得到一个简单的代数式。
总之，裂项相消法是一种非常实用的方法，适用于求解各种代数式。
通过它，我们可以将原本复杂的计算问题转化为简单的分解和化简过程，让数学计算变得更加轻松。
分数裂项的公式
分数裂项的公式
裂项法表达式：1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]。
裂项相消公式有n·n!=(n+1)!-n!；
1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]等。
数列的裂项相消法，就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。
三小特征：
1、分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
2、分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足用户相连2个分母上的因数“首尾
相接”。
3、分母上几个因数间的高就是一个定值。
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”。
知识点1——裂项相消法
{an}满足：a1, a2 a1, a3 a2 , , an an1, 是首 项、公差均为2的等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an；
(Ⅱ)令bn
(2n 1) 3n an
(n
N *)，求数列{bn}的前
n项和Tn .
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功. (Ⅰ )ana1(a2a1)(a3a2) (anan1)
分析： (1)研究通项公式：an
n, 2
bn
2 anan1
8 n(n1)
8(1 1 ) n n1
① 为 什 么 会 有 这 个 式 子 ？ 怎 样 得 到 的 ？
(2)求和：Sn b1b2 b3 bn
8[(11)(11)(11) (1 1 )]
2 23 34
n n1
8(1 1 ) 8n . n1 n1
11[数(1学学1)习就(1是1要)让学生(体1会到思考1 ) 6的快2乐3，真5正做5到：7尽享宁静2n与思1考2之n1
1乐，1随(1时倾听1 来)自1内心深处的呼唤！ 6 2 3 2n1 3
综上所述：对于任意的 n N *，都有 1 1 1 1
a 1(a 1 1 ) a 2(a 2 1 ) an(an 1 ) 3
事实上在研究时视分母为两个因式的积寻找它们的差与分子的倍数关系即逆用分数减法运算得到即nnnnnnnn由于这个常数与无关故分母的两个因式可以是等差数列中的两项
数列求和
——裂项相消法 注重实用理性，缺乏终极思考.
高中数学是由若干个分支构成，每个分支 都自成体系，具有鲜明的特点. 每个分支又由 许多个知识点组成. 高考命题经常在这些知识 点处进行，为此我们必须对重要的知识点进行 强化处理，提高学生解决相关问题的能力.
裂项相消法求数列的前n项和
数列求和的常见方法
公式法 裂项相消法 错位相减法 分组求和法 并项求和法 倒序相加法
回顾
裂项相消法
裂项法，是分解与组合思想在数列求和中的具体 应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重 新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目 的。
回顾
常见的裂项求和
an＝n(n1＋1)＝1n－n＋1 1 an＝n(n1＋k)＝1k1n－n＋1 k an＝n(n＋11)(n＋2) ＝n(n1＋1)－(n＋1)1(n＋2)
余下的项具有的特点 易错点
强化训练
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，有 2Sn＝n2＋n (n∈N*). (1)求数列的通项公式 an； (2)若 bn＝(－1)n＋1a1n＋an1＋1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
归纳总结
看
2裂
验
消
课后作业
1．已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2a2＝S2＋12， a3＝2. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 bn＝log2an＋3，数列bnb1n＋1的前 n 项和为 Tn，求满 足 Tn＞13的正整数 n 的最小值.
an＝
1 n＋ n＋1
＝
n＋1－
n
an＝
1 n＋
n＋k
＝1k(
n＋1－
n)
应用感悟
【例 1】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 满足：Sn＝32an＋n－ 3． （1）求证：数列{an－1}是等比数列； （2）令 cn＝log3(a1－1)＋log3(a2－1)＋…＋log3(an－1)，令 dn ＝c1n，求数列{dn}的前 n 项和 Tn. 解：（1）∵ ∴S当n＝n≥32a2n＋时n，－S3n－1＝32an－1＋n－4
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裂项相消法
焦洁
一、学习目标：
1、理解裂项相消法思想。
2、使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。
3、在自学与探究中体验数学方法的形成过程。
二、教学重点与难点
裂项相消法的应用与计算过程
三、教学过程
思考与讨论：
什么数列可用裂项相消法求和？
如何裂项？你有好的方法吗？
如何相消？你能发现其中的规律吗？
利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？
()
1-n n 14313212111++⨯+⨯+⨯ ：例 预设情景一：学生在看到问题后就认识到要裂项
直接提问学生要怎么拆？思考拆的对不对，怎样验证？ （逆运算，通分） 预设情景二：学生不知道要裂项，而要把分母相乘，再通分
经简单计算发现让学生体会到这种方式巨大的计算量，请学生思考为什么通分，引导学生通过其他方法来减少项数，观察原式，继而寻找规律，引导学生把 ()分出来变成两项。
和中的分出来变成两项，和中的分出来变成两项，和中的1
111131************++⨯⨯n n n n 对三个分数3
1 21 321⨯进行观察，由于分母不相同不易比较，于是通分变成如下3
22 323 321⨯⨯⨯，再观察不难发现，后两式相减即为前式。
于是总结出裂项的方法()1
1-11131-21321+=+=⨯n n n n ，。
思考拆的对不对，怎样验证 （逆运算，通分）
把每一项都拆开，观察特点，一负一正相抵消。
问题：n 1能不能消，1
1+n 能不能消，为什么。
回顾解题过程，总结解题步骤：1、裂项 （加检验） 2、消 3、找余项
()()12n 1-2n 17
515313112+++⨯+⨯+⨯ ：例 让学生先自己完成，分享结果，提问大家是不是如下拆法31-11311=⨯，要求
同学检验，强调检验的重要性。
问题：怎么拆？怎么拆？8
31521⨯⨯ 总结：分母之间差几就在前面乘几分之一
合作交流
○1你能证明1
11)1(1+-=+n n n n 吗？ ○2猜想：()
21+n n =_____________________ 验证：
=+-211n n ___________________ 结论：=+)
2(1n n ____________________ ○3一般地: ()k n n +1
=________________ 巩固提高
当堂检测
1、()()________321217
51531=++++⨯+⨯n n 2、
_______)2(1751641531=+++⨯+⨯+⨯n n __（只需把消完后的项列出，无需化简）
课堂小结
裂项相消法求和：
对于通项公式可拆成两项的数列，我们通常采用裂项相消法逐项消去前后项求数列的和。
裂项相消法求和的一般步骤：求通项——裂项——相消——求和。
四、教学反思。