人教A版高中数学必修5第二章数列2.2等差数列导学案(3)

∴
an
＝
1 ＝
bn
1 4n＋
1
，
n∈
N*
.
.
1
1
1
11
∴ a1＝ 5， a2＝
9，∴
a1a2＝
. 45
令
an＝4n＋ 1＝45，
∴ n＝11.
即 a1a2＝a11，∴ a1a2 是数列 { an} 中的项，是第 11 项．
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1．判断一个数列 { an} 是否是等差数列，关键是看 an＋1－ an 是否是一个与 n 无关的常数． 2．由等差数列的通项公式 an＝ a1＋ ( n－1) d 可以看出，只要知道首项 a1 和公差 d，就可 以求出通项公式，反过来，在 a1、d、n、an 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可 以求出另一个量． 3．三个数成等差数列可设为： a－ d， a， a＋ d 或 a， a＋ d， a＋ 2d；四个数成等差数列 可设为： a－ 3d， a－ d，a＋ d， a＋3d 或 a，a＋ d， a＋ 2d， a＋ 3d.
n 的取
则 n＝3,5,6,9,11,21,41 共 7 个．
14．已知数列
{ an} 满足
1 a1＝ 5 ，且当
n>1， n∈ N* 时，有
an－1 2an－1＋ 1 an ＝ 1－ 2an ，设
1
bn＝
， an
n∈N* .
(1) 求证：数列 { bn} 为等差数列．
(2) 试问 a1a2 是否是数列 { an} 中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
)
A． an＝ 2n－ 2 ( n∈ N*)
.
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B． an＝ 2n＋ 4
(
n∈
*
N
)
C． an＝－ 2n＋ 12 ( n∈ N* )
D． an＝－ 2n＋ 10 ( n∈ N* )
答案 D
解析
a2· a4＝ 12， 由 a2＋ a4＝ 8，
d<0，
a2＝ 6， ?
a4＝ 2，
a1＝ 8， ?
1
an－ 2
－an－ 2＝ 2 an－ 2
1 ＝ 2.
∴
bn
＋1－
bn＝
1 2，
n∈
N*
.
1
1
∴ { bn} 是等差数列，首项为 ，公差为 .
2
2
11
1
(2) 解
b1＝
a1
－
2＝
2
，
d＝
. 2
11
n
∴ bn＝b1＋ ( n－ 1) d＝ 2＋ 2( n－ 1) ＝ 2.
1n
2
∴ an－ 2＝ 2，∴ an＝2＋ n.
(1) 求证：数列 { bn} 是等差数列； (2) 求数列 { an} 的通项公式．
4 (1) 证明 ∵ an＝ 4－ an－1 ( n≥2) ，
4 ∴ an＋1＝ 4－ an (
n∈ N*) ．
1
1
1
1
∴ bn＋1－ bn＝ an＋1－ 2－an－ 2＝
4 － an－ 2＝ 2
2－
an
an an－ 2
答案 3 8．一个等差数列的前三项为：
1 答案 an＝ 4n＋ 1
a, 2a－ 1,3 － a. 则这个数列的通项公式为 ________．
5 解析 ∵a＋ (3 － a) ＝ 2(2 a－ 1) ，∴ a＝ .
4
53 7
∴这个等差数列的前三项依次为
4，
2，
. 4
1
5
1n
∴ d＝4， an＝ 4＋ ( n－1) × 4＝ 4＋ 1.
能力提升 13．一个等差数列的首项为 a1＝ 1，末项 an＝ 41 ( n≥3) 且公差为整数，那么项数 值个数是 ( ) A． 6 B ．7 C ． 8 D ．不确定 答案 B 解析 由 an＝ a1＋ ( n－ 1) d，得 41＝ 1＋( n－ 1) d，
40 d＝n－ 1为整数，且 n≥3.
40，求这四个数．
a－ 3d ＋ a－ d ＋ a＋d ＋ a＋ 3d ＝26，
a－ d a＋ d ＝40，
.
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4a＝ 26， ∴ a2－ d2＝ 40.
13 a＝ 2 ， 解得
3 d＝
2
13 a＝ 2 ， 或
3 d＝－ .
2
所以这四个数为 2,5,8,11
或 11,8,5,2.
4
1
12．已知数列 { an} 满足 a1＝4， an＝ 4－ an－ 1 ( n≥2) ，令 bn＝ an－ 2.
4
n－ m 4
＝ 3. n－ m
10．首项为－ 24 的等差数列， 从第 10 项起开始为正数， 则公差的取值范围是 ________．
8 答案 3<d≤３
解析 设 an＝－ 24＋ ( n－ 1) d，
a9＝－ 24＋8d≤０
8
由 a10＝－ 24＋ 9d>0
解得： 3<d≤3.
三、解答题 11．已知成等差数列的四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 解 设这四个数为 a－ 3d， a－ d， a＋ d， a＋ 3d，则由题设得
3．若等差数列的首项为 a1，公差为 d，则其通项 an＝ a1＋( n－ 1) d. 4．等差数列 { an} 中，若公差 d>0，则数列 { an} 为递增数列；若公差 d<0，则数列 { an} 为
递减数列．
一、选择题
1．已知等差数列 { an} 的通项公式 an＝3－ 2n，则它的公差 d 为 (
(1) 证明
当
n>1，
n∈
N*
时，
an－ an
1
＝
2an－ 1－
1＋ 1 2an
?
1－ 2an 2an－1 ＋1 an ＝ an－1
1
111
1
?
an
－
2＝
2
＋
an－
?
1
an－
an－
＝
1
4
?
bn－ bn－1＝ 4，且
b1 ＝a1＝ 5.
∴ { bn} 是等差数列，且公差为 4，首项为 5.
(2) 解 由 (1) 知 bn＝ b1＋ ( n－ 1) d＝ 5＋ 4( n－ 1) ＝ 4n＋ 1.
C． 51
D
． 52
答案 D
a
4．一个等差数列的前 4 项是 a，x， b, 2x，则 b等于 (
)
1
1
A. 4
B.
2
1
2
C.
D.
3
3
答案 C
2x＝ a＋ b，
x
3
解析 2b＝ x＋ 2x， ∴ a＝2， b＝ 2x.
a1 ∴ b＝3.
5．设 { an} 是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是 (
d＝－ 2，
所以 an＝ a1＋ ( n－1) d，即 an＝ 8＋ ( n－1) ×( － 2) ，
得 an＝－ 2n＋ 10.
二、填空题
1
1
7．已知 a＝
， b＝
，则 a、b 的等差中项是
3＋ 2
3－ 2
________________________________________________________________________ ．
)
A． 1 B ．2 C ． 4 D ． 6
答案 B
解析 设前三项分别为 a－ d，a，a＋ d，则 a－ d＋ a＋ a＋ d＝ 12 且 a( a－ d)( a＋ d) ＝48，
解得 a＝ 4 且 d＝± 2，又 { an} 递2.
6．等差数列 { an} 的公差 d<0，且 a2· a4＝12，a2＋ a4＝8，则数列 { an} 的通项公式是 (
.
)
A． 2
B
C．－ 2
D
．3 ．－ 3
答案 C
2．△ ABC中，三内角 A、B、 C成等差数列，则角 B等于 ( )
A．30°
B
．60°
C．90°
D
．120°
答案 B
3．在数列 { an} 中， a1＝ 2,2 an＋1＝ 2an＋ 1( n∈ N*) ，则 a101 的值为 (
)
A． 49
B
． 50
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§2.2 等差数列 ( 一)
课时目标 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式．
1．如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d 表示．
a＋b 2．若三个数 a， A， b 构成等差数列，则 A叫做 a 与 b 的等差中项，并且 A＝ 2 .
d1
9．若 m≠n，两个等差数列
m、 a1、 a2、 n 与 m、 b1、 b2、 b3、n 的公差为
d1 和
d2，则
的 d2
值为 ________．
4 答案 3
1 解析 n－ m＝ 3d1，d1＝ ( n－ m) ．
3
1 又 n－m＝ 4d2， d2＝4( n－ m) ．
1 d1 3 ∴ d2＝ 1