柯西判别法及其推广探讨
柯西定理与留数定理的应用
柯西定理与留数定理的应用柯西定理和留数定理是复变函数理论中的两个重要定理，它们在数学分析、电磁学、流体力学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍柯西定理和留数定理的基本概念，并讨论它们在实际问题中的应用。
1.柯西定理柯西定理是复变函数中的一个核心定理，它建立了复变函数在闭合区域内的全纯性与边界上的积分之间的联系。
若$f(z)$是沿逆时针方向取正的简单闭曲线$\Gamma$内的解析函数，那么对于闭合曲线$\Gamma$围成的任一区域$D$内的任意一点$z_0$，都有如下公式成立：$$f(z_0)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_\Gamma \dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z$$其中，积分路径$\Gamma$也围成区域$D$。
这个公式又叫做柯西积分定理。
柯西定理的应用很广泛，比如在研究解析函数的全纯性的时候，柯西定理可以通过积分的方式得到函数的导数，从而进一步研究它的全纯性。
此外，在实际问题中，我们也经常会用到柯西积分定理。
2.留数定理在柯西定理的基础上，留数定理将解析函数的全局性转化为它的局部性质，关注函数在离散点的特征。
留数定理是复变函数中的一个重要定理，它描述了解析函数在离散点处的奇异性，并提供了求解积分的有效方法。
设$f(z)$在点$a$的领域内除去点$a$外是解析函数，则$f(z)$在$a$处的留数为$$\operatorname{Res}(f,a)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_\Gammaf(z)\mathrm{d}z$$其中，积分路径$\Gamma$是围绕点$a$以逆时针方向旋转的一个充分小的圆。
留数定理的一个重要应用是求解积分。
对于一个有理函数$f(z)$，可以通过分解分母，分别计算每个分式的留数，将它们加起来得到整个积分的值。
此外，在实际问题中，留数定理也可以解决一些看似棘手的问题。
比如，在电路分析中，我们可以通过留数定理求解电路中的电流和电压分布。
数项级数的敛散性判别法
数项级数的敛散性判别法§1柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理：比较原理I：设u，vnn1n1n都是正项级数，存在c0，使uncvn(n1,2,3,...)n（i）若vn1收敛，则un1n也收敛；（ii）若un1n发散，则vn1n也发散．比较原理II（极限形式）设u，vnn1n1n均为正项级数，若limunl(0,)nvn则u、vnn1n1n同敛散．根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法．定理1（柯西判别法1）设un1n为正项级数，（i）若从某一项起（即存在N，当nN时）有nunq1（q为常数），则un1n收敛；（ii）若从某项起，nun1，则un发散．n1证（i）若当nN时，有nunq1，即unqn，而级数qn1n收敛，根据比较原理I知级数un1n也收敛．（ii）若从某项起，nun1，imun0则un1，故ln，由级数收敛的必要条件知un1n1发散．定理证毕．定理2（柯西判别法2）设un1n为正项级数，limnn则：（i）当r1时，ununr，n1收敛；（ii）当r1（或r）时，un发散；（iii）当r1时，法则失效．n1例1判别下列正项级数的敛散性123(1)()2()3357nn()2n1；(2)nen=1nn(3)n某n（为任何实数，某0）．n=11解(1)因为rlimun1n2n，所以原级数收敛．(2)因为rnlimnunlimnnen，所以原级数发散．(3)对任意，rlimnun某．当0某1时收敛；当某1时发散；当某1时，1，即1时收敛；当1此时级数是p级数，要对p进行讨论，当时，即1时发散．1nn例2判别级数n[2(1)]的敛散性．n13解由于n12(1)nnlimunlimnn[2(1)]limnn3n3n不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为n12(1)21nnnun[2(1)]q1n3n33由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列an单调减少，且是否收敛？并说明理由．1n(1)a发散，试问级数na1n1n1nn2解答案：级数1a1n1nn收敛，证明如下：由于an单调减少且an0,根据单调有界准则知极限liman存在．设limana,则nna0．如果a0,则由莱布尼兹判别法知n(1)a(1)an发散矛盾，收敛，这与nnn1n1故a0．再由an单调减少，故ana0,取q0nun11，a111q1an1a1n根据柯西判别法1知1n1an1收敛．下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法．定理3（广义柯西判别法1）设un1n为正项级数，如果它的通项un的anbanba0次根的极限等于r，即limnunr．则当r1时，级数收敛；当r1时，级数发散；当r1级数可能收敛也可能发散．证因为limanbunr，即对任给正数，存在正整数N1，当nN1时，有nranbunr（1）对于任给常数b，总存在N2，当有nN2时有anb0（2）取Nma某N1,N2，当nN时，式（1）和式（2）同时成立．当r1时，取足够小，使rq1．由上述讨论，存在N，当nN时，式（1）anb和式（2）同时成立，那么有unq，正项级数qn1anbqb(qn1an)收敛（因为其为等比级数且公比0q1），由比较审敛法知，级数nun1n收敛．当r1时，取足够小，使rq1，由上面的讨论，存在N，当nN时，式（1）anb和式（2）同时成立，则unq，正项级数qn1anbqb(qn1an)发散，由比较审敛法知，3级数un1n发散．当r1时，取un11anbulimlim1．a0,b，那么，对任何为常数，有而npp/(anb)nnnn11发散，收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕．2nnn1n11例4判别级数n13n1解因为lim2n1unlimn2n1的收敛性．101,由广义柯西判别法1知，级数n3n11n13n12n1收敛．注例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多．定理4（广义柯西判别法2）设un1n为正项级数，如果它的一般项un的nm（m是大于m1的正整数）次根的极限等于r，即limnunr．则当r1时，级数收敛；当r1时，n级数发散；当r1时，级数可能收敛也可能发散．证因为limnunr，即对任给的正数，存在正整数N，当nN时有mnrnunrm当r1时，取足够小，使rq1．由上面的讨论，存在N，当nN时，有unq．因为qnmnm又正项级数q收敛（因q(0,1)），由比较审敛法知qnq，nnn1n1m收敛，所以un1n收敛．当r1时，取足够小，使rq1．由上面的讨论，存在N，当nN时，有unqnm1，那么limun0，所以级数un发散．nn1当r1时，同样取unP1p0，那么npPlimnmn111limlimn1/nm1nmnpnnn4这说明r1时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．注广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取a1,b0，在广义柯西判别法2中，取m1便得定理2（柯西判别法2）．例5判断级数2n1n12nn2的收敛性．n2解因为limnunlimnnn收敛．2n2n1limn11，由广义柯西判别法2知原级数n2n12定理5（广义柯西判别法3）设wnunvn,un0,vn0,(n1,2,n)，若vnlimunu，limv．则当uv1时，级数wn收敛；当uv1时，级数wn发nnvn1n1n1散[2]．为证明定理5，需要一些预备知识：Stolz定理设an、bn为两个数列，数列bn在某顶之后单调递增,且limbn，若limnanan1a（或），则limnl（或）．l，nbbnbnn1nn命题1设数列某n．若lim某nl，则lim证令an某1某2某1某2nn某nllim某n。
柯西不等式的应用及推广
。
由此证明了 且得等号成立的条件为：
.这等价于连比式 [8]。
3.2 判别式法
当 或 时，不等式显然成立
令 ，当 中至少有一个不为零时，可知A>0
构造二次函数 ，展开得： 故 的判别式
移项得 ，得证。
3.3 数学归纳法
) 当n=1时，有 ，不等式成立。
当n=2时，
因为 ，故有
当且仅当 ，即 时等号成立。
ii）假设n=k时不等式成立，即
当且仅当 时等号成立。
那么当n=k+1时，
当且仅当 , , 时等号成立，
即 时等号成立。
于是n=k+1时不等式成立。
由 ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。
3.4 基本不等式法
运用基本不等式 。
记 , , , 。
则柯西不等式就等价于 ，也等价于 。
，当且仅当 ，即 时等号成立；
，当且仅当 ，即 时等号成立；
……
，当且仅当 ，即 时等号成立。
把以上 个式子相加得
。
当且仅当 时等号成立，则等价命题成立。
故柯西不等式成立。
3.5 运用推广不等式
若 为正数， 为非负数， ，实数 ，则
（当且仅当 时等号成立）。
在以上推广不等式中取 。
有 。
化简得， 。
当 为零或几个为零（ 处于对称位置），不等式显然成立。
2 柯西不等式的诠释
柯西是18世纪法国、巴黎著名的数学家，他的一生获得了多项重要的成果。本文介绍的柯西不等式便是他的一个非常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进行了深刻的研究，其中包括数论、代数、数学分析和微分方程等，为数学的发展做出的突出的贡献。
瑕积分收敛的柯西判别法推论2
(1)当－ 1 0，即 1时它是定积分； (2)当－ 1 0，即 1时它是瑕积分，x 0是瑕点。
由于 lim x
x 0 1－
x 1 1,由推论3可知 1 x
当0 p 1 1 ，即 0, 1时，I ( )收敛； 当p 1 1 ，即 0, 1时，I ( )发散。
由例3和例6的结论知，右边两个反常积分不能同时收敛，故可知
1 dx 当 0 q 1时收敛；而当 q 1时发散。 0 xq
结论：反常积分
＋ 0
1 dx对任意实数 p 均发散。 p x
(2) 利用公式
a是f ( x)的瑕点，则 公式： 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，点
b
（是一个极限值）；当 瑕积分 f ( x) dx发散时它只是一个记号 。
a
b
同理可以给出另外几种情形的定义：
(1) 若点b是f ( x)的瑕点( f ( x)在点b的任一左邻域无界）
b a
f ( x)dx lim f ( x) dx _
u b a
u
(2) 若点c (a , b )是 f ( x)的瑕点( f ( x)在点c的任一邻域无界）
§ 11.1.2 无界函数的积分
瑕点的定义
定义1：函数f ( x)在点x0的近旁是无界的，则称 x0为函数f ( x)的 瑕点。
一、无界函数广义积分的定义
设f ( x)在(a, b]上有定义，点 a是f ( x)的瑕点( f ( x)在点a的任一右邻域 定义2： 无界） , 但在任何闭区间 [u , b ] (a , b ]上有界且可积。若存在 极限
b a
柯西收敛准则的证明与推广
学年论文（本科）学 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学专业 年 级 姓 名论文题目 柯西收敛准则的证明与推广 指导教师 职称 教授成 绩2010年 06月04日学号：目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1柯西收敛准则 (1)1.1柯西收敛准则的证明 (1)1.2柯西收敛准则的应用 (3)2柯西收敛准则的推广 (5)2.1判断数列﹑函数﹑正项级数发散 (5)2.2用柯西收敛准则可简单解决一些复杂问题 (5)2.3柯西收敛准则与实数完备性中的基本定理密切相关 (6)参考文献 (8)柯西收敛准则的证明与推广摘 要：本文给出了柯西收敛准则的定义，并通过例题对其进行了证明与推广. 关键词：柯西收敛准则;数列;函数;正项级数.Prove and Generalize Cauchy ’s T est for ConvergenceAbstract : This article gave the definition of Cauchy’s test for convergence, how to use Cauchy ’s test for convergence to prove and generalize by examples.Key words : Cauchy ’s test for convergence; array; function; positive term series.前言“柯西收敛准则”是数学分析中的一个重要定理之一,这一定理的提出为研究数列极限﹑函数极限﹑正项级数收敛提供了新的思路和方法.在有了极限的定义之后,为了判断具体某一数列或函数是否有极限,人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy ）获得了完善的结果,总结成了“柯西收敛准则”.下面我们将以定理的形式来叙述并证明﹑应用它.1柯西收敛准则1.1柯西收敛准则的证明定理 1 数列的柯西收敛准则: 数列{an}收敛的充要条件是:对任给的ε>0,存在正整数N,使得当,m n >N,时有||n m a a -<ε.证 (必要性)设lim n x a A →∞=由数列极限的定义,对任给的ε>0,存在N>0,当,m n N >时有||2m a A ε-<, ||2n a A ε-<因而||||||22m n m n a a a A a A εεε-≤-+-<+=.(充分性)按假设,对任给的0ε>,存在0N >,使得对一切n N >有||n N a a ε-≤,即在区间[],N N a a εε-+内含有中几乎所有的项（这里及以下为叙述简单起见,我们用“{}n a 中几乎所有的项”表示“{}n a 中除有限项外的所有项”）. 据此,令12ε=,则存在1N ,在区间11,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦内含有中几乎所有的项.记这个区间为1,1αβ⎡⎤⎣⎦.再令212ε=.则存在2N ,在区间2211,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦内含有中几乎所有的项.记2,2αβ⎡⎤⎣⎦=2,22211,22N N a a αβ⎡⎤⎡⎤-+⋂⎣⎦⎢⎥⎣⎦，它也含有 {}n a 中几乎所有的项,且满足1,12,2αβαβ⎡⎤⎡⎤⊃⎣⎦⎣⎦及2212βα-≤. 继续依次令ε=312，…, 12n ,…,照以上方法得一闭区间{,n n αβ⎡⎤⎣⎦},其中每个区间都含有{}n a 中几乎所有的项,且满足,1,1n n n n αβαβ++⎡⎤⎡⎤⊃⎣⎦⎣⎦()110,2n n n n βα--≤→→∞ 即 []{,}n n αβ是区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数 ,n n ξαβ⎡⎤∈⎣⎦ （n=1,2,…）. 现在证明ξ就是数列{}n a 的极限,事实上,又区间套定理的推论,对任给的ε>0,存在N>0,使得当n>N 时有,n n αβ⎡⎤⎣⎦();U ξε⊂,因此在();U ξε内含有{}n a 中除有限项外的所有项,这就证明了lim n x a ξ→∞=.定理2 函数的柯西收敛准则: 设函数f 在()0'0;U x δ内有定义,()0lim x x f x →存在的充要条件是:任给ε>0,存在正数'()δδ<,使得对任何()'"00,;x x U x δ∈有()()'"||f x f x ε-<证 (必要性) 设()0lim x x f x →=A,则对任给的ε>0,存在正数'()δδ<,使得对任()00;x U x δ∈有()||2f x A ε-<.于是对任何()0"''0,;x x x Uδ∈有()()()()'"'"||||||22f x f x f x A f x A εε-≤-+-<+=ε .(充分性) 设数列()00{};n x U x δ⊂,按假设,对任给0ε>,存在正数'()δδ<,使得对任何"',x x ∈()00;U x δ,有()()'"||f x f x -<ε,由于()0n x x n →→∞,对上述的δ>0,存在N ，使得当,n m N >时有()00,;m n x x U x δ∈从而有|()()|n m f x f x ε-<.于是,按数列的柯西收敛准则,数列(){}n f x 的极限存在,记为A,即()lim n x f x A →∞=.定理3 正项级数的柯西收敛准则:给定正项级数n U ∑，其收敛的充要条件是任给ε>0,总存在自然数N,使得当正整数m>n 和任意自然数p 都有|12...|m m m p U U ε++++++<U .证 (充分性)给定一正项级数n U ∑,设其部分和数列为{}n s ，对任意0ε>,总存在正整数N,使得当m>N 时都有则设n=m p +>m,则12||...|n m m m m p s s U U ε+++-=+++<|U .则 lim n n s →∞存在,从而n U ∑收敛.(必要性)由n U ∑收敛,则lim n n s →∞存在,由{}n s 数列极限存在得则对任意正整数N,存在吗n>m>N,使得||n m s s ε-<,设0p n m =->,则12||...|n m m m m p s s U U ε+++-=+++<|U ,故正项级数得柯西收敛准则得证.1.2柯西收敛准则的应用用数列的柯西收敛准则证明数列收敛.例 1 证明任一无限十进小数120.......n bb b α=的n 位不足近似（n=1,2,…）所组成的数列1121222.,,...,..., (101010101010)n n b b b b b b+++ 满足柯西条件（从而收敛）,其中k b 为0，1，2，…，9中的一个数，k=1，2,…. 证 记an=122 (101010)n n b b b ++.不妨设n>m,则有 121211911||...1...10101010101011111101010m m n n m m m n m n m m n m m b b b a a m+++++---⎛⎫-=+++≤+++ ⎪⎝⎭⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭任给的ε>0,取N=1ε,则对一切n>m>N 有||n m a a -<ε.这就证明了数列（2）满足柯西条件.用柯西收敛准则求函数极限.例2 设数列()00{};n x U x δ⊂,数列(){}n f x 的极限存在,记为A,设另一数列()0'0{};n y U x δ⊂且0lim n x y x →∞= 且()lim n x f y →∞存在,记为B,现证B=A.证 设数列()00{};n x U x δ⊂,按假设,对任给0ε>,存在正数'()δδ<,使得对任何"',x x ∈()00;U x δ,有()()'"||f x f x -<ε,由于()0n x x n →→∞,对上述的δ>0,存在N ，使得当,n m N >时有()00,;m n x x U x δ∈从而有|()()|n m f x f x ε-<.于是,按数列的柯西收敛准则,数列(){}n f x 的极限存在,记为A,即()lim n x f x A →∞=.考虑数列{1122}:,,,,...,,,...n n n z x y x y x y 易见()0'0{};n z U x δ⊂且0lim n n z x →∞=.故如上所证(){}n f z 也收敛.于是,作为(){}n f z 的两个子列,(){}n f x 与(){}n f y 必有相同的极限,所以有归结原则推得 ()0lim x x f x A →=.用正项级数的柯西收敛准则证明正项级数收敛.例 3[1] 证明级数n U ∑收敛的充要条件是:任给正数ε,存在某正整数N,对一切n>N,总有1|...|N N n U U U ++++< ε.证 必要性 当n U ∑收敛,则由柯西收敛准则可知 对任意ε>0,存在1N N +∈,使得n>m>1N 时有12...|m m n U U ε+++++<|U ,取1N N >+,则任意n>N,有1|...|N N n U U U ++++<ε.充分性 若任意ε>0,存在N N +∈,对任意n>N,总有1|...|2N N n U U U ε++++<则对任意m>N,及p N +∈有1211...||...||...|22m m m p N N N p N N n U U U U U U U U εεε+++++++++≤+++++++<+=|U ,则由柯西准则知n U ∑收敛.2 柯西收敛准则的推广2.1 判断数列﹑函数﹑正项级数发散数列的发散:数列{}n a 发散的充要条件:对存在0ε>0，对任意正整数N 总有当,m n >N 时有0||n m a a ε-≥.函数的发散:极限()0lim x x f x →不存在的充要条件是:存在0ε>0,对任意δ>0（无论δ多么小）,总可找到()'"00,;x x U x δ⊂,使得()()'"0||f x f x ε-≥.正项级数的发散:n U ∑发散的充要条件是：存在0ε>0,对任意自然数N,有正整数m>N 和自然数p,使得120...|m m m p U U ε++++++≥|U .2.2 用柯西收敛准则可简单解决一些复杂问题数学中有一些数列极限题我们可以根据其定义或数列有界判断其敛散性，但有时用定义或数列有界难以解决,这时用柯西准则就容易解决问题.例 4 证明()111111 (234)n na n+-=-+-++有极限.证 对于任意的数,m n 属于正整数.m n >.()()2111|||...|1n m n ma a n m++---=+++,当m-n 为奇数时()()2111|||...|1n m n ma a n m++---=+++()()()1111|...|||011n n n m m n m<++=-→→∞+-.由柯西收敛原理得{}n a 收敛. 当m-n 为偶数时()()()()()()211111111|||...||...|||011121n m n ma a n n mn n m m n m m++---=++<++=--→→∞++---.由柯西收敛原理得{}n a 收敛. 综上得{}n a 收敛，即{}n a 存在极限.2.3 柯西收敛准则与实数完备性中的基本定理密切相关 例5[2] 聚点定理证明柯西收敛准则.证 令{}n a 为收敛准则,则其必有极限,令{}n a 的极限为A,故存在正整数N,当,m n N >是有||/2n a A H -<,||/2m a A H -<（H 为大于0的任意正数）所以||||||||/2/2n m n m n m a a a A A a a A a A H H H -<-+-<-+-<+=.若{}n a 中至多含有有限个不同的点,则以某项起{}n a 含有无限多个相同的点,即{}n a 为常数列,否则{}n a 不满足柯西条件.若{}n a 含有无限多个不相同的点,则根据聚点定理{}n a 至少含有一个聚点.假设含有两个聚点12,d d 且12d d <，令21d d ε=-，所以在1(;/3),U d ε2(;/3)U d ε内都含有{}n a 中无限多个点,这与存在N 当,m n N >时||n m a a H -<矛盾,故只含有一个聚点,令其为1d ,所以当,m n N >,||/2n m a a H -<（H 为大于0的任意正数）时存在na属于1(;/3)U d ε且11||||||/2/2n n m m a d a a a d H H H -<-+-<+=. 故{}n a 收敛于1d .例 6[3] 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证 设S 为非空有上界数集.有实数的阿基米德性,对任何正数α,存在正数k α,使得αλ=k α为S 的上界,而(1)k ααλαα-=-不是S 的上界,即存在'S α∈,使得()'1k ααα>-.分别取1,1,2,...,n nα==则对每一个整数n,存在相应的n λ,使得n λ为S 的上界，而1n n λ-不是S 的上界,故存在'S α∈,使得'1n a nλ>- （6）又对正整数m,m λ是S 的上界,故有'm λα≥,结合（6）式得1n m nλλ-<;同理有1m n mλλ-<.从而得11||max(,).m n m nλλ-<于是,对任给的0ε>,存在N>0,使得当,m n N >时有||n m λλε-<.有柯西收敛准则,数列{}n λ收敛.记lim n n λλ→∞= . （7）现在证明λ就是S 的一个上确界.首先，对任何a S ∈和正整数n 有n a λ≤，由（7）式得a λ≤,即λ是S 的一个上界.其次,对任何0δ>，由()10n n→→∞及（7）式，对充分大的n 同时有12n δ<，n λ>2δλ-. 又因1n n λ-不是S 的上界,故存在'S α∈,使得'1n a nλ>-.结合上式得'22a δδλλδ>--=-.这说明λ为S 的上确界.同理可证:若S为非空有下界数集,则必存在下确界.柯西收敛准则在数学分析中应用范围广泛,应用前景广阔.单调有界数列极限与柯西收敛准则等价,且柯西收敛准则与函数列一致连续性、聚点定理、有限覆盖定理、海涅定理、广义积分等领域都有联系.其在数学分析中扮演非比寻常的角色.参考文献:[1]何国良.正项级数敛散性的判别法[J].青海师专学报,2005,（04）.[2]陈祥平.柯西收敛准则与实数完备性[J].济宁师范专科学校学报,2005,(05).[3]数学分析上册.华东师范大学第三版[M].北京,北京出版社,2001.学年论文成绩评定表10。
柯西审敛原理范文
柯西审敛原理范文柯西审敛原理是数学分析中的一条重要定理，也被称为柯西审敛准则或柯西收敛原理。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪提出的。
柯西审敛原理给出了一种判定序列的收敛性的有力工具，对于数学分析和实际问题的研究具有重要意义。
证明的关键是要找到两个项的索引n和m，使得它们都大于等于N。
由于n和m都大于等于N，所以通过对n和m的选择可以保证序列的任意两项的差的绝对值小于ε。
具体证明的步骤如下：1. 假设序列{an}收敛于实数A，根据序列收敛的定义，对于任意给定的正实数ε，存在一个正整数N1，使得当n>N1时，an-A，<ε/22. 考虑一对正整数n和m，使得n,m>N1、这样，根据收敛的定义，an-A，<ε/2，am-A，<ε/23. 利用三角不等式，有：，an - am， = ，(an-A) - (am-A)，≤ ，an-A， + ，am-A，< ε/2 + ε/2 = ε。
这里利用了三角不等式的性质：，a+b，≤ ，a， + ，b。
4. 因此，对于给定的ε>0，存在N=max{N1, N2}，使得当n,m>N时，an - am，<ε。
这里N2=min{N1，使得序列{an}的前n项的索引}。
从上面的证明可以看出，要使得序列满足柯西审敛准则，关键是要找到两个项的索引n和m，使得它们都大于等于一些正整数N。
通过选择合适的正整数N，可以使得序列的任意两项的差的绝对值小于任意正实数ε。
柯西审敛原理的重要意义在于，它为判断一个序列是否收敛提供了一个简单而有效的准则。
只需要验证序列是否满足柯西审敛准则即可确定序列是否收敛。
这为数学分析和实际问题的研究提供了一种判定序列收敛性的强有力工具。
总之，柯西审敛原理给出了判定序列收敛性的一个重要定理。
通过满足柯西收敛准则，可以判定序列是否收敛。
这个原理在数学分析和实际问题的研究中具有广泛的应用价值。
柯西不等式的证明、推广和应用
专 题 研 究
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பைடு நூலகம்
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柯 西不等式的证明、 推广和应用
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◎张 可 贤 （浙 江省 杭 州财 税 会 计 学校 ３０ ０ １ ０ ０）
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【 摘要】 文详细讨论 了柯西不等式的多种不 同的证 明 本
方 法 ， 柯 西 不 等 式进 行 了深 入 理 解 ， 进 一步 地 去 研 究 了 对 并 柯 西 不 等 式 的 几 种 特 殊 的推 广 形 式 ， 且 通 过 列 举 一 系 列 而 范例 揭 示 柯 西 不 等 式 在代 数 、 何 、 最 值 、 导 公 式 、 际 几 求 推 国 数 学 竞 赛 等 各 方 面 的 广 泛 应 用．
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柯西判别法和达朗贝尔判别法的一个注记
柯西判别法和达朗贝尔判别法的一
个注记
柯西判别法：柯西判别法是一种基于统计学的分类方法，它可以用来鉴别不同物种或集群的样本。
该方法假定每个类中的各属性拥有正态分布，并在多元正态分布假设的基础上估计每个类的概率密度函数。
柯西判别法可以用于解决多类分类问题，也可以用于二类分类问题，但在此情况下它的精度要低于贝叶斯分类器。
达朗贝尔判别法：达朗贝尔判别法是一种基于统计学的分类方法，它可以用来鉴别不同物种或集群的样本。
该方法依赖于达朗贝尔数据处理原理，它将每个类的概率密度函数表示为类内每个特征的均值和协方差矩阵，并以这种方式计算每个样本的类别分数，然后比较它们，以检测最接近的类。
达朗贝尔判别法可以用于解决多类分类问题，也可以用于二元分类问题，并且在二类分类问题中具有较高的精度。
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重 庆科技 学 院学报 （ 自然科学 版 ）
２ １ 年 ６月 ０１
柯 西 判 别 法及 其 推广 探 讨
孙 珍
（ 康 学院 ，安康 ７５ ０ ） 安 ２ ０ ０
摘 要 ： 朗 贝 尔判 别 法 和柯 西 判 别 法 是判 断正 向级 数 敛 散性 的基 本 方 法 ， 者 相 比 ， 西 判 别 法 更 加 有 效 。 由柯 西 达 两 柯 判 别 法 可推 ｍ计 算 正 项 收敛 级 数 和 的估 值 方 法 ， 对 此 方 法进 行 了证 明 。 并 关 键词 ： 穷 级 数 ； 西判 别 法 ： 和 ； 值 无 柯 求 估 中 图分 类 号 ： ７ ． ０１ ３１ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ３ １ ８ （ ０ ） ３ ０ ８ — １ １７ — ９ ０ ２ １ ０ — １５ ０ １
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收 稿 日期 ：０１ ～ ｌ ０ ２ ０ １ 一１
基 金 项 目 ： 康 学 院 重点 扶 持 学 科 《 础 数 学 》Ａ Ｘ ０ Ｏ ）安 康 学 院 重 点项 目（０ ８ｋｙ ２ ） 安 基 （Ｚ Ｚ １７ ； ２ ０ ａ ｘ０ ９
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时考 虑带路 时 的环流 问题 ， 以保证 电网安全运 行 。
【 ２ ］胡 国根 ． 力 系统 过 电 压 分 析 与 计 算 【 ． 汉 ： 中理 工 电 Ｍ］武 华
大 学 出版社 ． ９ ７ １９ ．
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１ 一
由式 （ ） １ 和式 （ ） 题得 证 。 ２命
２ 柯 西 判 别 法 及 其 推 广 应 用
定理２（ 西法） 若ｌ 柯 ｉ ｍ
ｌ ＋ ｎ ＋ｌ
同理 可证 明推 论 （ ） ２。
一ｒｒ ｌｒ 常数 ， ：， ， ＜ 为 令
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数， 能 由柯 西 判别 法来 判 断 ， 西判 别法 较 之达 朗 也 柯 贝尔 判别法 更有效 。另外， 对于无穷 级数求 和或求 和 的近似值 一直是 十分 困难 的。 通过柯 西判 别法 的进
一
（） ｛ 递增时，数∑ 误差界 ２当 百｝ 级 的 对为：
（ ｝ ｝ ｛ ， ） 。 证 明 推论 （ ） 一 方 面 ， 充分 大 时 ， １： 当ｎ 由｛
达 朗贝尔 判别 法 和柯 西判 别法 是判 断 正项 无穷
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作 者简 介 ： 珍 （ ７ 一）女 ， 东 齐河 人 ， 孙 １ ７ ， 山 ９ 安康 学 院数 学 系 教 师 ， 究 方 向 为 积分 几何 与 凸体 理 论 。 研
・
１ ５ ８ ・
张华 ． 张经纬 ：Ｏ Ｖ 旁路 带路环 流 引起 跳 闸故 障分析 ｌｋ
４ 结 语
参 考 文献
递 减 至ｒ， 可得 ＋ ｒ ， … ＞
那 么
步推 广给 出一 种计算 正项 收敛 无穷级 数 和估值 的
｝
有效 方法 。本 文对 该方 法进行 了证 明 ， 举例 说 明 并
１ 预 备 知 识
定义 差 界对 ） 称递 减序 列对（ ， ｝ ｛ ｛ ） ） 为级
跳 闸故 障 出现在 无 功 负荷 较 重 ， 旁路 设 计 时 而
未考 虑无功 电流 影响 的变 电站 ， 因此 ． 同类变 电站 在
［ 何 仰 赞 ， 增银 ． 力 系统 分 析 ［ ． 汉 ： 中理 工 大 学 出 １ 】 温 电 ＭＩ 武 华
版 社 ． ９ ８ １９．
无功 补偿 方 面应 尽量 做 到 无功 就 地 补偿 ， 同时 设计
间长度 — ０ Ｌ— 。
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