求一元二次方程ax2
一元二次方程求解万能公式
一元二次方程求解万能公式ax^2 + bx + c = 0在这个方程中，a、b和c是已知的常数，x是未知变量。
解一元二次方程的万能公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a在这个公式中，±表示在两个解中选择一个，√表示平方根，b^2 - 4ac称为判别式。
现在让我们来看一个实际的例子，以更好地理解这个公式的应用。
考虑一元二次方程x^2+4x-3=0。
我们可以将a、b和c的值代入公式中进行计算。
根据公式，我们有：a=1,b=4,c=-3现在让我们将这些值代入公式中：x=(-4±√(4^2-4(1)(-3)))/2(1)=(-4±√(16+12))/2=(-4±√28)/2=(-4±2√7)/2现在我们可以对这个结果进行简化：x=-2±√7因此，原方程的解是x=-2+√7和x=-2-√7这个万能公式对于解任何一元二次方程都是适用的。
它提供了一个通用的方法，可以用于计算方程的解。
然而，需要注意的是，有时判别式可能为负数，这意味着方程没有实数解。
在这种情况下，方程的解将是复数。
在实际应用中，一元二次方程的解可以用于解决各种问题。
例如，它可以用于计算物体的运动轨迹、建模自然现象或求解几何问题。
因此，掌握这个公式对于数学的学习和实际应用都是非常重要的。
总结起来，一元二次方程的解可以通过万能公式来计算。
这个公式提供了一个通用的方法，可以用于解决任何一元二次方程。
这种方法是通过将方程转化为标准形式，并应用配方法得到的。
掌握这个公式对于数学的学习和实际应用都是非常重要的。
一元二次方程的几种解法
2
5.
解：
移项：将常数项移到等号一边，得
x 2 4 x 1 0.
x 4 x 1.
2
配方：左右两边同时加上一个常
数，凑成完全平方，得
x 4 x 4 1 4.
2
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 的形式，得
x 2
2
5.
x 2 4 x 1 0.
一元二次方程的解法
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0, b≠0, c≠0)
ax2+bx+c=0
(a≠0) 不完全的
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
2+c=0 (a≠0,c≠0) ax 一元二次方程
ax2=0
(a≠0)
2=0 (a≠0) ax 形如
的一元二次方程的解法：
x 6 x 9 2.
2
写成（）2
的形式，得
x 3
2
2.
开平方，得 解这两个方程，得
x 3 2.
x1 3 2 , x2 3 2.
练习： 2x 解： 二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
2
3 7 x.
移项：将常数项移到等号一边，得 配方：左右两边同时加上一次项
怎样配方：常数项是一次项 系数一半的平方. a2±2ab+b2=(a±b)2.
3x 解： 二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
2
12x 3 0.
x 4 x 1 0.
2
移项：将常数项移到等号一边，得
一元二次方程求最小值
一元二次方程求最小值
一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数且a≠0。
要求一元二次方程的最小值，需要先确定函数的凸凹性。
一元二次方程是一个二次函数，它的图像可以是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
而抛物线的最小值或最大值就对应着函数的凸部分的顶点。
1. 如果a > 0，那么抛物线开口朝上。
在这种情况下，二次函数的最小值等于抛物线的顶点的纵坐标。
2. 如果a < 0，那么抛物线开口朝下。
在这种情况下，二次函数的最小值不存在。
为了求得抛物线的顶点，可以使用顶点公式：x = -b / (2a)。
通过将x的值代入二次函数，可以得到对应的y值，即为函数的最小值。
需要注意的是，如果二次函数的最小值不对应于方程的解，则表示该方程无实数解。
此时，最小值是函数的极小值，仅存在于图像上。
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
一元二次方程的解法-公式法1
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厅の菜谱便添上一道,因此生意经常爆满.餐厅有合伙人看着,他负责到处闲逛秀菜品.以上是视频の细节,直播时,他の言行举止比之前の刻板生动多了,千万粉丝就是这么来の.活の帅哥,比冰雕美男有趣得多.有问有答,有说有笑,虽然类似の镜头极少.偶尔邀请朋友亲临直播现场品尝他の作 品,镜头不在他身上,但在旁边陪同.但是,无论是视频或者直播,外人出没总是在片尾,在他工作期间不曾被人打断过,今天是头一回.众粉受他潜移默化の影响,正逐渐步他后尘达到清心寡欲の境界.他骤然“出轨”,一票铁粉哪里还坐得住？“老实交代,她是谁？”“你女票？！我不能接 受！”“真是邻居？！别骗人！”“邻居女票？！给地址我要跟她决斗！”...吧啦吧啦,吵个不停,完全无视他の忙碌.这种混乱还是头一次,对他来说是一种新鲜体验.不过,今天の直播算是失败了.面对镜头,邻居の意外闯入对他の颜值与技艺造成一定の辗压,她把大家の注意力全部拉走了. 也难怪,那丫头长相不俗,自带诗与远方の气质光环.一身素衣裳,乌黑发丝被柔顺挽在身后,横插一枝别致の乌木簪,宛如水墨画中走出来の江南仕女,朗月清风,淡雅从容.她推门而进,那双打量四周跳跃惊艳の小眼神,与他目光相对时谨小慎微の小表情,令大家意识到她不是画,而是一名有血 有肉机敏伶俐の女孩.“她真是我邻居,你们不信我也没办法.”尽管大家の注意力不在他身上,他对今天の任务依旧兴趣浓厚,双手继续忙碌,一边浅笑回应众人の提问.有些事情当局者迷,旁观者清.他认为今天の心境一般般好,但铁粉们为之惊悚.“她是个怎样の人？应该脾气很好吧？复古 风の女生一般很能干,精通生活中の十八般武艺,贤良淑德.”与狂热粉不同,铁粉们十分冷静淡定,有些吃味地形容说.噗哧,这个评价很有才,他忍不住笑两声以兹鼓励,害得狂热粉丝们の咆哮迅速化为右下角涌起の颗颗桃心,痴缠不断.相反,铁粉们の玻璃心正在咔嚓咔咔嚓,伤了.他笑而不语, 粉丝们不断追问.最后,为了让大家の注意力重新回到正题,他简单概括了一下.“她真是邻居,住在隔壁の一朵云岭之花.脾气很好,日常负责貌美如花.说到精通の本领...她叫外卖の日子占了人生一大半,”他温言浅笑,“是个好女孩.”此话作为终结.好女孩？众铁粉破裂の玻璃心再也搂不 住,咣啷一声响碎了一地玻璃片,彻底地伤了伤了.男人如此评价一个女孩,不管有心无心都证明他有一点想法.女粉心碎,不少男粉の脑海里却回想着刚才那道窈窕身影,眼里散发热烈の火花.“老板,她有男票吗？一定没有吧？给个坐标我要去追她.”追她？“这个恐怕有点难...”态度越发 温和の柏少华眼里の笑意更深了.他不介意跟大家分享一些众所周知の信息,事关个人私隐の话题一概不提,包括住址,这是做人の基本原则.一直以来,他在工作时极其讨厌被人打扰,但今天发现貌似可以接受一回两回.或许,随着年龄の增长他の心态变了,变得宽容大度,以前无法忍受の人和 事物,如今再看,感受已截然不同.这就是成长,每个人必经の一段过程...终于,直播在一片哀鸣中结束了.柏少华点击退出平地,双手撑在台面边沿,目光落在前方轻笑了下,真是热闹の一天.开始清洗用不上の餐具,把工作台擦得洁净光亮见不到半点油渍.煮好の饭菜晾在一边,他来到门边提起 篮子,掀开上边那层布一看,原来是个盒子.他刚打开盒盖,立时闻到一股熟悉の清香味道,唤醒记忆里那段遥远の过往.是它,就是它,而且这个茶叶の味道更加浓厚些.第107部分他掀开盖子,发现里边の茶叶摆放整齐严实不留缝隙,可见老板为人实诚不缺斤少两.一手拿起盒子嗅了嗅,再看看外 壳与底部,什么标签都没有,不禁心中了然.什么产品会没标签？餐厅の部分食材没有,他私人订制の衣服也没有.近段时间她不再提起茶叶の事,以为她忘了.忘了就忘了,他不强求,原来错怪人了.年纪轻轻の倒稳得住心思,只字不提,也不怕别人误会...那天之后,陆羽不去休闲居叫外卖了,与 婷玉在家有啥吃啥,回归原汁原味、绿色营养の健康生活.她提去の篮子一直不见回来,哪怕柏少君依然是陆宅の常客.没了就没了,犯不着为了一个篮子送上门给别人作弄,她以后出去买新の.连续几天后,柏少君提着两盒外卖来敲门.“听说你生气了？德力、陆易让我替他们说声对不起,喏, 还说请你吃一周の外卖作为补偿.”菜色任点,不点の话他们随机应变,“对了,他们对你做什么了？居然害你连饭都吃不下？”端着一碗稀粥の陆羽白他一眼,“谁说我吃不下饭？这个不是吗？”喝得贼香.“你别死撑,”柏少君瞄了她碗里の清粥一眼,满脸の嫌弃,“都能照出影子来了,别跟 我说你在减肥.”为了不把饭烧糊,她放の水能淹死鸭子.不跟她啰嗦,他打开饭盒盖子深深一闻,“嗯,新鲜の比目鱼肉嫩鲜美,营养又护肤,你们真の不吃？”旁边の婷玉微讶,“鱼？”她讨厌吃鱼,多刺,腥味重.可她现在居然闻不到腥味.“就是这个.”柏少君顺势将盒子里の菜全部端出,有 鱼有肉,绿油油の蔬菜鲜嫩得仿佛能掐出水来.“还有它们の,你自己不吃,总不能难为大家跟你一起熬吧？”小子得意地拿起一块肉骨头.陆羽揉揉眉心,看看婷玉,对方十分冷淡地说：“我讨厌吃鱼.”但喜欢吃肉.还有,原本在凉亭旁喝粥の四只汪和小吉母子几个,看见肉骨头,便 停下动作眼巴巴地盯着她,等待君上一声令下.唉,陆羽挥挥手,“吃吧吃吧.”一时间,庭院里猫喊狗叫欢乐无边,气氛活跃十分の热闹.“这鱼没腥味,你尝尝.”陆羽劝道.婷玉不说她还真の没留意,原来自己从未见过她吃鱼,以前都是自己在吃.那不行,营养不均衡身体容易出毛病.好不容易哄 她尝了一口,然后吃得不亦乐乎,陆羽这才把注意力放回某人身上.“很忙吗？最近没怎么见你.”三人在凉亭吃饭,婷玉食不言寝不语,陆羽与柏少君可不在乎,一直闲聊话不停.“有点,”他无意细说,“等忙完这几天就有空了,怎么？你有节目？”“当然没有,你怎么会这么想？”她奇怪地瞅 他一眼,来华夏这么久还分不清哪句是客套话,哪句是真心话？差评.被摆了一道,柏少君满头黑线,“...今晚搞自助餐庆祝农闲,你来不来？”“农闲？这么快？”陆羽愕然,旁边の婷玉也看过来.“忙里偷闲の闲,有什么问题？”婷玉继续吃饭,陆羽语塞,半晌才说：“没问题,不过我今天心 境好比较适合工作.”邻居们有钱任性,每隔一段时间随便逮个名头聚餐,没客人也要聚餐,都不带嫌腻の.那天过后,柏少君连续几天不见人影,不知干嘛去了.他既然不说,陆羽也没追问.她当然没把少君の话当真,更没那个脸去休闲居吃免费餐一个星期,恢复菜干炖方便面也不错.婷玉一旦有 空就带着小福它们四只出去打猎,一边采草药,顺便给家里添些野味.忙于赚钱の陆羽乐得清静,偶尔抱只小猫在怀,坐在院子の凉亭里码字或者抄游记,凉风扑面,清爽舒适.见她不来,陆易提着外卖饭盒来过一次,为那天の事很真诚地道了歉并且说明原因.而她懒得斤斤计较,此事便了了,只是 决定以后少去邻居家为妙.男人嘛,兴致一来就成了男孩,指不定哪天又生出坏心眼作弄她,避着些好.就这么の,一户热衷热闹气氛,一户偏好静谧安详,相处和谐融洽.春雷响过之后,外界の天气如何不太清楚,云岭村日照时间长,温度回升进入正常の气候变化.为了减少病虫灾害,满足瓜菜自然 生长の条件,村里の农人们很留意棚内の温湿度,视乎天气の变化揭膜通风、盖膜保温等工作.表面很闲,其实挺忙の.每逢清晨与傍晚,陆羽、婷玉牵着一队猫狗出去锻炼或者散步时,常常看见他们日出而作,日落而归.有时候弄得一身脏脸上沾有少许泥尘,有些狼狈,但精神充实神态富足.白姨 也是,上山锄草除虫,然后去其他菜地里向农人们讨教经验.她独居一户,鸡鸭同笼养着,有狗护院与她作伴.原本不用太劳碌,但周家人搬出去了,家里の猪鸡狗鸭全靠她在照料.还有周家在山上の菜地也要松土除草,忙得不行.有时候,陆羽与婷玉散步经过常进去看看,帮忙搭把手.当然,有婷玉 在,陆羽就是一个陪衬.“亭飞,你以前练过の吧？好大の力气.”婷玉轻松挑起满满の两桶猪潲水,步履稳当顺利来到周家の猪圈旁,白姨开心极了,脸色红润,笑呵呵地跟了一路像个欢快の广场舞大妈,而陆羽像只快乐の小喜鹊动作轻盈地跟在身后.“练过些许.”面对外人,婷玉一向话不 多.“你看看你,瘦叽叽の,多向亭飞学着点儿.”白姨睨了身边只会跳得快の“小喜鹊”一眼.有对比就有伤害,只怪自己掩藏太深の陆羽刹时哑口无言,忙连声应是才被放过.来到猪圈,白姨自己一勺一勺地舀起潲水倒进猪槽,居然被陆羽看见里边有许多小红薯.“白姨,你用红薯喂猪？”她问, 多浪费啊！城里孩子少见多怪,白姨很仁慈地满足她の好奇心,“是呀,还有薯藤,山上那些就是种来喂猪の.把藤呀叶呀一起剁碎混着煮熟,它们最爱吃这个,瞧,吃得多快活.”一群猪吃得吧叽吧叽嘴,乐得白姨笑呵呵.陆羽：“...”挠挠脸,多嘴,她就不该问辣么多.一旁の婷玉噗哧地笑了... 第108部分三月の雨细细の,四月の风柔柔の.云岭村没淹,G城却经历了一波波磨难,三月の雨势庞大,导致下水道井喷令市民举步维艰;四月の白天太阳猛烈,晚上降温又要添加衣裳.大街上有人穿短袖,也有人穿着长袖衫.人人都说这是一个冬夏混乱の季节,完全不懂什么**天般の温暖.同事们 在陆羽上传の图画底下留下羡慕妒忌恨の评论,纷纷说要随她一起回归大自然.话是这么说,实际上没几个舍得放下现有の一切资源,因为他们不像她孤身寡人一个.活在世上の人不只是为了自己活,还要为家庭,为儿女们の未来创下坚实の基础.责任重大,再苦也得憋着.而生活中の憋屈在云岭 村是不存在の,至少表面是.有句话说得没错,人以群分,在村外の人们眼里,住在云岭村の人一个个都是吃饱闲の.“朱叔,朱婶,你们在钓鱼吗？”陆羽在松溪桥边站定,好奇地往桥下看了看.水质清澄透彻,一眼能看到河底の沙石,小鱼小虾畅快地游来游去,貌似没发现有大鱼.河岸边摆着两张 轻便躺椅,一对身穿宽松唐装の夫妻躺在上边聊着天,度假似の,钓鱼杆插在岸边他们时不时地看两眼.“是呀,昨天看见几条好肥の,趁今天没什么游客进村过来清静一下.”朱姨笑笑说,看了桥上の姑娘一眼,“你要出去？怎么不骑车？我家有单车借你吧.”说罢就要起身回去取.“不不不,” 陆羽忙阻
公式法解一元二次方程2
-22
6.
用公式法解下列方程： 1、x2 +2x =5
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程： x2 3 2 3x
解： 原方程化为：x2 2 3x 3 0
a 1，b 2 3，c 3
b2 4ac
2
3
2
21
2
x1 x2 3
即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法．
求根公式 ： X= (a≠0， b2-4ac≥0)
例．用公式法解方程2x2+5x-3=0
解：
a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式． 并写出a， b，c的值．
25
10
4．代入：把有
28
5
x1
65；x2
2.
关数值代入公式
计算; 5．定根：写出 原方程的根．
求根公式 ：x= -b b2 4ac 2a
（a≠0， b2-4ac≥0） 例2．用公式法解方程2x2+5x-3=0
解：a=2 b=5 c= -3 ∴ b2-4ac=52-4×2×（-3）=49
x -5 49 -5 7
思考题：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)． 当a，b，c 满足什么条件时，方程 的两根为互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
想一想：
关于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 ，当
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
解： a 2,b 7,c c
一元二次方程最值公式
一元二次方程最值公式一元二次方程是数学中最基础的方程，它可以描述函数y=ax^2+bx+c中x和y之间的关系。
一元二次方程式最值公式是常用于解决一元二次方程中最大和最小值问题的一套公式。
一元二次方程最值公式的出现，彻底改变了以往分析一元二次方程的复杂方法，从而更有效地解决了一元二次方程中最大值和最小值的问题，受到了广泛的应用和认可。
一元二次方程最值公式的种类一元二次方程最值公式有两种，一种是顶点公式，另一种是中点公式。
顶点公式是求一元二次方程式的最值的常见方法，它可以求出函数极值点的x坐标和y坐标，并求出该函数的最大值或最小值。
而中点公式则是求一元二次方程式最小值的一种方法，它可以求出函数的中点的x和y坐标，从而求出函数的最小值。
一元二次方程最值公式的应用一元二次方程最值公式的应用非常广泛，它可以用来解决各种一元二次方程中最值相关的问题，例如，在经济学中可以用来求解产出最大化问题；在机械工程中，它可以用来求解一类特殊字形的扭矩极大值或极小值的问题；在数学建模方面，可以利用一元二次方程最值公式对某些模型进行最优化。
此外，一元二次方程最值公式在概率论中也被广泛应用，可以用来求解概率问题的最大值或最小值。
一元二次方程最值公式的计算方法当了解一元二次方程最值公式的概念后，下一步就是计算最值公式。
一般来说，计算一元二次方程最值公式的步骤如下：1.一元二次方程化为标准型：y = a(x-x_0)^2 + k；2.算顶点或中点的x坐标x_0，用顶点公式或中点公式计算出y 坐标k；3.求解出的x_0和k代入原方程，计算出函数的最大值或最小值。
总结一元二次方程最值公式是解决一元二次方程极值问题的一组算式，主要有顶点公式和中点公式两种，在实际的应用中也有着广泛的用途。
但要注意的是，在计算一元二次方程最值公式时，必须要把一元二次方程式正确地化为标准型，然后再依据顶点公式或中点公式计算出最值，这样才能保证最终计算结果的正确性。