重庆市部分重点中学2010年高三理科数学开学考试试题

重庆市部分重点中学2009-2010学年度高三开学考试数学试题理科试卷考试时间：120分钟 满分：150分参考公式： 球的表面积公式24R S π=，其中表示球的半径球的体积公式334R V π=，其中表示球的半径一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分． 1．12coslog 12sinlog 22ππ+的值为（ ）（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-2．设为虚数单位，复数imiz 212+-=的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（ ） （A ）2 （B ）23（C ） （D ）23-3．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（ ）（A ）2:3 （B ）1:1 （C ）3:2 （D ）3:24．已知向量),(n a p n =，)1,(1+=+n a q n ，（*N n ∈），若31=a ，q p //，则数列}{n a 的通项n a 等于（ ） （A ）2+n （B ）53+n （C ）n 3 （D ）n 5 5．下列命题正确的是（ ）（A ）直线b a ,与直线所成角相等，则b a // （B ）直线b a ,与平面成相等角，则b a // （C ）平面βα,与平面均垂直，则βα//（D ）直线b a ,均在平面外，且α⊥a ，b a ⊥，则α//b6．直线过点)1,1(-A 且与线段)11(0323≤≤-=--x y x 相交，的倾斜角的取值范围是（ ） （A ）]2,4[ππ （B ）]49,2[ππ （C ）),2[]4,0[πππ⋃ （D ）],2[]4,0(πππ⋃ 7．n S 为数列}{n a 的前项和, 若)(22*N n a S n n ∈-=，则数列}{n a 的通项公式为（ ） （A ）2)21(-=n n a （B ）132-⋅=n n a （C ）n n a 2=（D ）12-=n n a8．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度 15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，看台上第一排和最后一排的距离610米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（ ） （A ）53（米/秒） （B ）53（米/秒） （C ）56（米/秒） （D ）51（米/秒）9．已知1||=OA ，3||=OB ，0=⋅OB OA ，点在A O B ∠内，且 30=∠AOC ，设OB n OA m OC += （R n m ∈,），则nm等于（ ） （A ）31（B ）3 （C ）33 （D ）310．若0,,>c b a ，且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为（ ） （A ）13- （B ）13+ （C ）232+ （D ）232- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥0242c y x y x x ，且目标函数y x z +=3的最小值是5，则的最大值为12．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 若 13a =，4c =，60A =，则b =__________．13. 已知函数2 1()(2) 1ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 .14．已知数列{}n b 满足11=b ，x b =2（∈x N *），*11||(2,)n n n b b b n n N +-=-≥∈.①若2=x ，则该数列前10项和为 ；②若前100项中恰好含有30项为0，则x 的值为 . 15.设函数(),()f x g x 的定义域分别为D J ,D E ．且D J D E ，若对于任意x ∈D J ,都有()(),g x f x =则称函数()g x为()f x 在D E 上的一个延拓函数.设()ln (0),()f x x x x g x =>为()f x 在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的一个延拓函数，且()g x 是奇函数，则()g x =________________________；设()21(0)x f x x =-≤,()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数，且且()g x 是偶函数，则()g x =________________________.三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分13分）已知x x a x x f cos sin 34cos 4)(2+-=，将)(x f 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于12π=x 对称．（1）求实数，并求出)(x f 取得最大值时的集合； （2）求)(x f 的最小正周期，并求)(x f 在]6,4[ππ-上的值域．17．（本题满分13分）如图，正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为2,为棱1CC 的中点． （1）求异面直线AC 与BD 所成角的余弦值； （2）求证：直线⊥1AB 平面BD A 1；（3）求直线11C A 与平面BD A 1所成角的正弦值．A A 1CC 1D18．（本题满分13分）设点为坐标原点，曲线016222=+-++y x y x 上有两点Q P ,满足关于直线04=++my x 对称，又满足0=⋅OQ OP ．（1）求的值；（2）求直线PQ 的方程．19．（本题满分12分）已知等差数列}{n a 的首项11=a ，且公差0>d ，其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列}{n b 的第二项、第三项、第四项．（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（2）设数列}{n c 对任意自然数均有12211+=+++n n n a b c b cb c 成立，求n n c a c a c a +++ 2211的值．20．（本题满分12分） 已知函数axxx x f -+=1ln )(，其中为大于零的常数． （1）若函数)(x f 在),1[+∞上单调递增，求的取值范围； （2）求函数)(x f 在区间]2,1[上的最小值； （3）求证：对于任意的*N n ∈且1>n 时，都有nn 13121ln +++>成立．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =25a =，116n n n a a a +-=+（2n ≥，*n N ∈），若数列{}1n n a a λ++是等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：当k 为奇数时，111143k k k a a +++<； （3）求证：1211112n a a a +++< （*n N ∈）.AA 1C C 1 DOz高三数学（理科）答案一、选择题1、B2、D3、A4、C5、D6、C7、C8、A9、B 10、D二、填空题 11、10 12．23y x =-- 13． 9，6或7 14．1或3 15. ||ln ||,21x x x -- 三、解答题16、解：（I ）由已知x x a x x f cos sin 34cos 4)(2+-=关于3x π=对称2(0)()3f f π⇒=41231a a ⇒-=--⇒=, 2)62sin(4)(--=πx x f ，………4分 当且仅当22623x k x k k z πππππ-=+⇒=+∈，时取最大值，所以，取得最大值时的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=z k k x x 3ππ.…………6分（II ）)(x f 的最小正周期为；2[,]2[,]46636x x πππππ∈-⇒-∈-， 11sin(2)62x π∴-≤-≤， (8)分)(x f 在[,]46ππ-上的值域为[]6-，0.…………10分17、解：如图建立空间直角坐标系，……1分则在棱长均为2的正三棱柱中，各点坐标为：(0,0,3)A ， (1,0,0)B ，(1,0,0)C -，1(0,2,3)A ，1(1,2,0)B ，(1,1,0)D -，则 （1）(1,0,3),(2,1,0)AC BD =--=-……………3分cos ,AC BD AC BD AC BD⋅<>=(1,0,3)(2,1,0)5525--⋅-==……………5分（2）11(1,2,3),(1,2,3),AB BA =-=-由1110,0,AB BA AB BD ⋅=⋅=知111,,AB A B AB BD ⊥⊥又1AB 与BD 是平面1A BD 内的两条相交直线，故1AB⊥平面1A BD ；…………8分（3）设直线11AC 与平面1A BD 所成角为(0)2πθθ≤≤，由（2）知1AB 是平面1A BD 的法向量，而11AC A C =则有111sin cos ,AB AC AC AB AB ACθ⋅=<>=⋅2.4= ………12分18、（1）曲线方程为9)3()1(22=-++y x ，表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.……2分,04,对称在圆上且关于直线点=++my x Q P∴圆心（－1，3）在直线上，代入直线方程得=－1 …………4分（2）∵直线PQ 与直线y=x +4垂直，b x y PQ y x Q y x P +-=∴方程设),,(),,(2211将直线b x y +-=代入圆方程. 得.016)4(2222=+-+-+b b x b x232232,0)16(24)4(422+<<->+-⨯⨯--=∆b b b b 得……6分 由韦达定理得216),4(22121+-=⋅--=+b b x x b x x …………8分b b b x x x x b b y y 4216)(22121221++-=⋅++-=⋅11220,0OF OQ x y x y ⋅=∴+=…………10分…………12分19、（1）解：由已知，有2(1)(113)(14)d d d ++=+，又0d >，故2d = …………2分再设等比数列{}n b 首项1b ，公比为1(0)q b q 与均不为，则12139b q b q =⎧⎨=⎩解得113b q =⎧⎨=⎩121,3.n n n a n b -∴=-=…………………………5分（2）由知≥2时，31121231n n n c c c c a b b b b --+++⋅⋅⋅+=，则 12nn n nc a a b +=-=，1223n nn c b -==⋅（≥2）………………7分 而1123c b a ==，∴13,(1)23,(2)n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩……………………9分 . 1 ).2 3 2 , 2 3 2 ( 1 . 0 4 1 6 2+ - = ∴ + - ∈ = = + + - x y b b bb 所求的直线方程解得 即 3121123(),n n nc c c c a n N b b b b ++++⋅⋅⋅+=∈故1122n n nS a c a c a c =++⋅⋅⋅+＝12132332532(21)3n n -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+-⋅3nS ＝2392332532(21)3nn +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+-⋅∴n S ＝(22)33n n -⋅+*()n N ∈ ……………12分20、解：).0(1)(2>-='x axax x f ……………2分 （1）由已知，得),1[0)(+∞≥'在x f 上恒成立， 即),1[1+∞≥在xa 上恒成立又当,11,),1[≤+∞∈xx 时),1[.1+∞≥∴的取值范围为即a a ……………4分 （2）当1≥a 时，0)(>'x f 在（1，2）上恒成立，这时)(x f 在[1，2]上为增函数， 0)1()(min ==∴f x f .当,210≤<a0)(<'x f 在（1，2）上恒成立，这时)(x f 在[1，2]上为减函数,.212ln )2()(min af x f -==∴当121<<a 时， 令).2,1(1,0)(∈=='ax x f 得又有对于)1,1[a x ∈ ,0)(]2,1(,0)(>'∈<'x f a x x f 有对于.111ln )1()(min aa a f x f -+==∴ ……………6分综上，)(x f 在[1，2]上的最小值为:①当;212ln )(,210a x f a mim -=≤<时 ②当121<<a 时，.111ln )(min aa x f -+=③当0)(,1min =≥x f a 时 . ………8分（3）由（1），知函数),1[ln 11)(+∞+-=在x xx f 上为增函数，当.11,1>->n n n 时),1()1(f n n f >-∴ 即1,,1)1ln(ln *>∈>--n N n nn n 且对于恒成立,]1ln 2[ln ]2ln 3[ln )]2ln()1[ln()]1ln([ln ln -+-++---+--= n n n n n.2131111+++-+> n n,1,*时且对于>∈∴n N n nn 13121ln +++>恒成立. ……12分21．解（1）∵数列{}1n n a a λ++是等比数列∴()()11111111616611n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλ--+-----+++++++===+++++应为常数 ∴61λλ=+ 得2λ=或3λ=- 当2λ=时，可得{}12n n a a ++为首项是21215a a +=，公比为3的等比数列，则113152-+⋅=+n n n a a ①当3λ=-时，{}13n n a a +-为首项是10312-=-a a ，公比为2-的等比数列，∴()113102n n n a a -+-=-- ② ①－②得， ()32nn n a =-- ………4分（注：也可由①利用待定系数或同除12n +得通项公式）（2）当k 为奇数时，11111342312313411+++++--++=-+k k k k k k k k a a ()()()()11111134872768403323233232kkk kk k k k k k k k k k ++++++⎡⎤⎛⎫⋅-⋅⎢⎥⎪⎝⎭-⨯+⨯⎢⎥⎣⎦==<⋅+-+- ∴ 113411++<+k k k a a ………8分 （3）由（Ⅱ）知k 为奇数时，11131313411++++=<+k k k k k a a ………10分 ①当n 为偶数时， 2121111111111333232n n n a a a ⎛⎫+++<+++=-< ⎪⎝⎭ ②当n 为奇数时，121211111111+++++<+++n n n a a a a a a a 2111111111333232n n ++⎛⎫+++=-< ⎪⎝⎭ ………13分。