2015-2016学年高中数学 第2章 1离散型随机变量及其分布列课时作业 北师大版选修2-3
第2章 1 离散型随机变量及其分布列
§1 离散型随机变量及其分布列学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量的表示方法和性质.3.会求简单的离散型随机变量的分布列．知识点一 离散型随机变量 思考1 以上两个现象有何特点？ ①掷一枚均匀的骰子，出现的点数； ②在一块地里种下8颗树苗，成活的棵数． 答案 各现象的结果都可以用数表示．思考2 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？答案 可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上． 梳理 (1)随机变量将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X ，Y 来表示． (2)离散型随机变量如果随机变量X 的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．知识点二 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为X ，则X 可取哪些数字？X 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？ 答案 x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.梳理(1)离散型随机变量的分布列的定义设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)，①或把上式列成表为上表或①式称为离散型随机变量X的分布列．(2)离散型随机变量的性质①p i>0；②p1＋p2＋ (1)1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(√)2．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(×)3．在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(×)4．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(×)5．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(√)类型一离散型随机变量的概念例1写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的结果解(1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1，2，…，10)表示取出第k号球．(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．引申探究若将本例(3)的条件改为抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4”表示的试验结果．解设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.依题意得X＝x－y.则－5≤X≤5，即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．则X>4⇔X＝5，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．跟踪训练1①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③体积为1 000 cm3的球的半径长；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④考点随机变量及离散型随机变量的概念题点离散型随机变量的概念答案 B解析由题意知③中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而①②④是离散型随机变量．类型二离散型随机变量分布列的性质例2 设随机变量X 的分布列为P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a 的值； (2)求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； (3)求P ⎝⎛⎭⎫110<X <710. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率解 (1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)∵P ⎝⎛⎭⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1,2,3,4,5)， ∴P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)当110<X <710时，只有X ＝15，25，35时满足，故P ⎝⎛⎭⎫110<X <710 ＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35 ＝115＋215＋315＝25. 反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练2 (1)袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红，则X的分布列为________．(2)若离散型随机变量X 的分布列为：则常数c ＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率答案 (1)(2)13解析 (1)显然，P (X ＝0)＝C 26C 211＝311，所以P (X ＝1)＝1－311＝811，所以X 的分布列是(2)由随机变量分布列的性质可知：⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝1，0<9c 2－c <1，0<3－8c <1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－9c ＋2＝0，1－3718<c <0或19<c <1＋3718，14<c <38，解得c ＝13.类型三 求离散型随机变量的分布列命题角度1 求离散型随机变量y ＝f (ξ)的分布列 例3 设离散型随机变量X 的分布列如下表所示：求：(1)2X ＋1(2)|X －1|的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法 解 由条件中的分布列得：(1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为反思与感悟 (1)若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数，则η＝aξ＋b 也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f (x )是连续函数或单调函数，则η＝f (ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f (ξ)也为离散型随机变量．(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f (ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．跟踪训练3 已知随机变量X 的分布列为求随机变量Y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2X 的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法 解 由Y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2X ，得Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(X ＝4k ＋3，k ∈N )，0(X ＝2k ，k ∈N ＋)，1(X ＝4k ＋1，k ∈N ).P (Y ＝－1)＝P (X ＝3)＋P (X ＝7)＋P (X ＝11)＋...＝123＋127＋1211＋ (215)P (Y ＝0)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＋P (X ＝6)＋…＝122＋124＋126＋…＝13，P (Y ＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝5)＋P (X ＝9)＋…＝12＋125＋129＋…＝815.所以随机变量Y 的分布列为命题角度2 利用排列组合求分布例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知 17＝C 2nC 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6， 可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义． (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率． (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只．(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40.P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.所以X 的分布列为1．给出下列随机变量：①某机场候机室中一天的旅客数量为X ； ②某人投篮10次投中的次数X ；③某水文站观测到一天中长江的水位为X ； ④某立交桥一天内经过的车辆数为X . 其中是离散型随机变量的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 离散型随机变量的概念 答案 B解析 ③中，某水文站观测到一天中长江的水位X 的取值不可列出，所以③不是离散型随机变量．2．已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.13B.14C.12D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13.∴P (|X |＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝－1) ＝1－P (X ＝0)＝1－13＝23.3．已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)：则下列计算结果错误的是( ) A ．a ＝0.1 B ．P (X ≥2)＝0.7 C ．P (X ≥3)＝0.4D ．P (X ≤1)＝0.3 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 易得a ＝0.1，P (X ≥3)＝0.3，故C 错误．4．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝1)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 23解析 设试验成功的概率为p ， 则p ＋p 2＝1，∴p ＝23，∴P (ξ＝1)＝23.5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，则P(ξ＝1)＝1C16C16＝1 36；P(ξ＝2)＝3C16C16＝336＝112；P(ξ＝3)＝5C16C16＝5 36；P(ξ＝4)＝7C16C16＝7 36；P(ξ＝5)＝9C16C16＝936＝14；P(ξ＝6)＝11C16C16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X的线性组合Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．一、选择题1．下列变量中，不是离散型随机变量的是()A．某教学资源网1小时内被点击的次数B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数YC．某饮料公司出品的饮料，每瓶标量与实际量之差X1D．北京“鸟巢”在某一天的游客数量X考点随机变量及离散型随机变量的概念题点离散型随机变量的概念2．抛掷两枚骰子一次，X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X 的所有可能的取值为( ) A ．0≤X ≤5，x ∈N B ．－5≤X ≤0，x ∈Z C ．－1≤X ≤6，x ∈N D ．－5≤X ≤5，x ∈Z考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 答案 D解析 两次掷出点数均可取1～6所有整数， 所以X ∈[－5,5]，x ∈Z .3．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2D ．1≤x <2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.4．若随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2，3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝⎛⎭⎫1－15＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝⎛⎭⎫1－13＝54×23＝56. 5．设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y ＝X －2，则P (Y ＝2)等于( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6D ．0.7 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 所以P (Y ＝2)＝P (X ＝4)＝0.3.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求概率 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)． 故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.7．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C ．[－3,3]D ．[0,1]考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质，得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13.由⎩⎨⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.二、填空题8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 47解析 设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个．∴ξ的分布列为∴P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 9．已知离散型随机变量X 的分布列为则m 的值为________． 答案139解析 m ＝P (X ＝10)＝1－[P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋…＋P (X ＝9)]＝1－⎝⎛⎭⎫23＋232＋…＋239＝1－23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1391－13＝⎝⎛⎭⎫139＝139. 10．把3枚骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则有P (X <2)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2527解析 P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝5363＋C 13×5263＝2527. 11．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题12．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0， 所以事件A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为13.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获利分别为6 万元、2 万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X .求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 依题意得，X 的所有可能取值为6,2,1，－2.X ＝6,2,1，－2分别对应1件产品为一等品、二等品、三等品、次品这四个事件， 所以P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.所以X 的分布列为四、探究与拓展14．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一个球．若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，则从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为________． 考点 题点 答案解析 设黄球的个数为n ，则绿球个数为2n ，红球个数为4n ，球的总数为7n .X ＝1,0，－1. 所以P (X ＝1)＝4n 7n ＝47，P (X ＝0)＝n 7n ＝17，P (X ＝－1)＝2n 7n ＝27.15．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条．当2条棱相交时，ξ＝0；当2条棱平行时，ξ的值为2条棱之间的距离；当2条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)若2条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有8C 23对相交棱，∴P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若2条棱平行，则它们之间的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， ∴P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，∴随机变量ξ的分布列为。
2015_2016学年高中数学2.1离散型随机变量及其分布列课时作业含解析新人教B版选修2_3
【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.1离散型随机变量及其分布列课时作业 新人教B 版选修2-3一、选择题1．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )A ．5B ．9C ．10D ．25[答案] B[解析] 两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个． 2．设离散型随机变量ξ的概率分布如下：ξ 1 2 3 4P i161316p则p 的值为( ) A.12 B.16 C.13 D.14[答案] C[解析] 对于离散型随机变量分布列中的参数的确定，应根据随机变量取所有值时的概率和等于1来确定，故选C.3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k 15，k ＝1、2、3、4、5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝( )A.12 B.19 C.16 D.15[答案] D[解析] P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝115＋215＝15.故选D.4．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1、2、3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113D.2713[答案] D[解析] 设P (ξ＝i )＝p i ，则p 1＋p 2＋p 3＝13a ＋19a ＋127a ＝1，∴a ＝2713.故选D.5．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现次品的概率为( )A.2245 B.949C.47245D ．以上都不对[答案] C[解析] P ＝1－C 245C 250＝47245.故选C.6．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是( )A.1120B.724C.710 D.37[答案] B[解析] P ＝C 37·C 03C 310＝724.故选B.7．已知随机变量ξ的概率分布如下：则P (ξ＝10)＝A.239 B.2310 C.139 D.1310 [答案] C[解析] P (ξ＝10)＝m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋232＋…＋239＝1－23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1391－13＝139.故选C.二、填空题8．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0、1、2、3，则c ＝________.[答案]1225[解析] c ＋c 2＋c 3＋c 4＝1，∴c ＝1225.9．随机变量ξ的分布列为则ξ[答案]815三、解答题10．(2015·山东烟台模拟)为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：(1)从这18(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．[解析] (1)“从这18名队员中选出两名，两人来自于同一队”记作事件A ， 则P (A )＝C 24＋C 26＋C 23＋C 25C 218＝29. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2.∵P (ξ＝0)＝C 214C 218＝91153，P (ξ＝1)＝C 14C 114C 218＝56153，P (ξ＝2)＝C 24C 218＝6153，∴ξ的分布列为：P91153 56153 6153一、选择题1．设随机变量等可能取值1、2、3、…、n ，如果P (3<ξ≤5)＝0.2，那么( ) A ．n ＝4 B ．n ＝8 C ．n ＝10 D ．n ＝20[答案] C[解析] ∵ξ是等可能地取值，∴P (ξ＝k )＝1n(k ＝1,2，…，n )，∴P (3<ξ≤5)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝2n＝0.2，∴n ＝10.2．在12人的兴趣小组中有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P (ξ＝2)B ．P (ξ＝3)C ．P (ξ≤2)D ．P (ξ≤3)[答案] B3．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝k )＝ck k ＋1，k ＝1、2、3、4，其中c 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜ξ＜52的值为( )A.23 B.34 C.45 D.56 [答案] D [解析]c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝c ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＝45c ＝1.∴c ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜ξ＜52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.故选D.二、填空题4．随机变量ξ的分布列如表所示：ξ －2 0 2则P (|ξ|＝2)＝[答案] 23[解析] ∵a ＋13＋c ＝1，∴a ＋c ＝23，∴P (|ξ|＝2)＝a ＋c ＝23.5．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为________.[答案] 0.1 0.6 0.3[解析] P (ξ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝0.3.三、解答题6．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张中任抽2张，求：该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．[解析] X 的所有可能取值为：0,10,20,50,60. P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13；P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25；P (X ＝20)＝C 23C 210＝115；P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215；P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故X 的分布列为：7.某班有学生45B 型血的有8人，AB 型血的有15人，现抽1人，其血型是一个随机变量X ，(1)X 的可能取值是什么？(2)X 的分布列是什么？[解析] (1)将四种血型O 、A 、B 、AB 型分别编号为1、2、3、4，则X 的可能取值为1、2、3、4.(2)当X ＝1、2、3、4时，P 1＝1045＝29，P 2＝1245＝415，P 3＝845，P 4＝1545＝13，故其分布列为8.从一批有10不放回此批产品中，然后再取出一件产品，直到取出合格品为止，求抽取次数ξ的分布列．[解析] (1)P (ξ＝1)＝1013，P (ξ＝2)＝313×1012＝526，P (ξ＝3)＝313×212×1011＝5143，P (ξ＝4)＝313×212×111×1010＝1286.故ξ的分布列为。
高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习课练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解．(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生为A·B；都不发生为—A ·—B ；恰有一个发生为(—A ·B)∪(A·—B )；至多有一个发生为(—A ·—B )∪(—A ·B)∪(A·—B )．4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E (ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．(2)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D (aξ＋b )≠aD (ξ)＋b ，D (aξ＋b )≠aD (ξ)．6．对于正态分布，要特别注意N (μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x ＝μ.专题一 条件概率的求法条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．[例1] 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB .(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 27＝42， 根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 14×A 16＝24. 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 所以P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1242＝27.(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝27÷47＝12. 法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24， 所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1224＝12.归纳升华解决概率问题的步骤．第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.[变式训练] 已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次每次抽取1件，求下列事件的概率：(1)第一次取到次品，第二次取到正品； (2)两次都取到正品．解：设A ＝{第一次取到次品}，B ＝{第二次取到正品}．(1)因为100件产品中有4件次品，即有正品96件，所以第一次取到次品的概率为P (A )＝4100，第二次取到正品的概率为P (B |A )＝9699，所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B |A )＝4100×9699＝32825. (2)因为A ＝{第一次取到次品}，且P (A )＝1－P (A )＝96100， P (B |A )＝9599，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝96100×9599＝152165. 专题2 独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．[例2] 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率．(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值X 围．解析：(1)因为P 1＝23，P 2＝12，根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23()P 2·P 2＝89P 2－49P 22， 又ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ， 由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤1.[变式训练] 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率． (2)2人中恰有1人射中目标的概率． (3)2人中至少有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，与B ， A 与B ，与为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B 发生)．根据题意，知事件A 与B 互斥，所求的概率为P ＝P (A )＋P (B )＝P (A )P ()＋P ()P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“2人中有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A )＋P (B )]＝0.72＋0.26＝0.98.专题三 独立重复试验与二项分布二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式P n (k )＝C kn ·p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n ，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．[例3] 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，X 同学从中任取3道题解答． (1)求X 同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设X 同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示X 同学答对题的个数，求X 为1和3的概率．解：(1)设事件A ＝“ X 同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“X 同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (— A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (— A )＝56.(2)P (X ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝3)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫25·45＝36125. 归纳升华解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式P n (k )＝C k n ·p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．[变式训练] 口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为()A.80243B.100243C.80729D.100729解析：每次摸球中奖的概率为C 14C 15C 29＝2036＝59，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验， 所以3次摸球恰有1次中奖的概率P ＝C 13×59×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－592＝80243.答案：A专题四 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容． [例4] (2016·某某卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 P415715415随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出均值，然后利用D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 求出方差．[变式训练] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差．(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P （300≤X ＜900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.专题五 正态分布及简单应用高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键． [例5] 某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500，502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398(人)． 归纳升华正态分布概率的求法1．注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．[变式训练] 某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________．解析：设X 表示此镇农民的平均收入，则X ～N (5 000，2002)． 由P (5 000－200＜X ≤5 000＋200)＝0.682 6. 得P (5 000＜X ≤5 200)＝0.682 62＝0.341 3.故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%. 答案：34.13% 专题六 方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．[例6] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 解：记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P （A — B ）＝14，P （B — C ）＝112，P （AC ）＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）[1－P （B ）]＝14， ①P （B ）[1－P （C ）]＝112，②P （A ）P （C ）＝29. ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0.解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③可得P (A )＝13，P (B )＝14.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．则P (D )＝1－P (— D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.归纳升华(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p 1≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1，列出方程或不等式求出未知数．(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数． [变式训练] 若离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P9a 2－a3－8a求常数a 解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝23(舍去)或a ＝13.所以，随机变量的分布列为：ξ 0 1 P2313。
(完整版)离散型随机变量及其分布列测试题
离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D . X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2、甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξA.4.06.01⨯-k B.76.024.01⨯-k C.6.04.01⨯-k D.24.076.01⨯-k3、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6 C . 10 D. 无法确定4、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点 D . 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的6. 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3 B .5 C.6 D.107.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C .127 D.65 8.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ）A.21B.91C. 61D.51 9.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .10.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是： A.5)21( B .525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216B.0．36C.0．432 D .0．648 5.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243 B ．1027C ．516 D ．1024312.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A9160 B 21 C 185 D 2169113.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是:A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 14.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 15.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 16. .已知随机变量ξ的分布列为：若12)(2=<x P ξ，则实数x 的取值范围是（ ）A.94≤<xB.94<≤xC.94≥<x x 或D.94>≤x x 或17. 12.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ）A.2101012)85()83(⋅C B .83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C18. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475二、填空题：19.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____20. 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）21.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是 ①③ __（写出所有正确结论的序号）. 22.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ;4()m n m -三、解答题：23、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．24.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？24.（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =．25. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.•（1）X 的分布列为P （X=k ）=·，k=0，1，2，3，4，5，6.（2）Y 的概率分布为：Y 0 1 2 3P·· ·Y 4 5 6P··（3）0.912 解析:（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故X～B（6，）， 2分所以X的分布列为P（X=k）=·，k=0，1，2，3，4，5，6. 5分（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.P（Y=k）=·（k=0，1，2，3，4，5），而{Y=6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P（Y=6）=.8分因此Y的概率分布为：Y 0 1 2 3P···Y 4 5 6P··12分（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或…或X=6}， 14分 所以其概率为P （X≥1）==1-=≈0.912. 16分20．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X .22．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、D5、C6、B7、C8、B二、填空题： 18、 20三、解答题：18、解：设黄球的个数为n ，由题意知 绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X 24 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 4181 161 ．．． n 21 ．．．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为： X 1 2 P3414。
2015-2016学年高中数学 第2章 1离散型随机变量及其分布列课时作业
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 1离散型随机变量及其分布列课时作业 北师大版选修2-3一、选择题1．若随机变量X 的分布列如下表所示，则表中a ＝( )X ＝x i 1234P (X ＝x i )121616aA. B.1216C.D ．056[答案] B[解析] 根据随机变量的分布列的性质可得a ＝1－－－＝.121616162．离散型随机变量ξ所有可能值的集合为{－2,0,3,5}，且P (ξ＝－2)＝，P (ξ＝3)＝，P (ξ＝5)＝，则P (ξ＝0)的值为( )1412112A ．0 B. 14C. D.1618[答案] C[解析] 根据离散型随机变量分布列的性质有P (ξ＝－2)＋P (ξ＝0)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝1，所以＋P (ξ＝0)＋＋＝1.解得P (ξ＝0)＝.1412112163．随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝n )＝(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常an n ＋1 数，则P (<ξ<)的值为( )1252A. B. 2334C. D.4556[答案] D[解析] 因为P (ξ＝n )＝(n ＝1,2,3,4)，所以＋＋＋＝1，所以a n n ＋1 a 2a 6a 12a20a ＝，因为P (<ξ<)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝×＋×＝.故选D.54125254125416564．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，P (ξ＝0)等于( )A ．0B ．12C.D ．1323[答案] C[解析] 设ξ的分布列为ξ01Pp2p则“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p ，则成功率为2p .∴由p ＋2p ＝1得p ＝.应选C.135．已知离散型随机变量的分布列如下：X 0123P0.10.□00.150.4□其中□为丢失的数据，则丢失的数据分别为( )A ．2,0B ．2,5C ．3,0D ．3,5[答案] D[解析] 由题知，随机变量取所有值的概率之和等于1，可以得到应填的数据分别为3,5.故选D.二、填空题6．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ>8)＝________，P (6<ξ≤14)＝________.[答案] 2323[解析] 因为P (ξ＝5)＋P (ξ＝6)＋…＋P (ξ＝16)＝1，且P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)，所以P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)＝，则P (ξ>8)＝P (ξ＝9)112＋P (ξ＝10)＋…＋P (ξ＝16)＝×8＝.P (6<ξ≤14)＝p (ξ＝7)＋P (ξ＝8)11223＋…＋P (ξ＝14)＝×8＝.112237．设随机变量ξ的分布列为ξ1234P13m1416则m ＝________，η＝ξ－3的分布列为________．[答案] 14η－2－101P13141416[解析] 首先由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝1，得m ＝.再由随机变14量ξ和η＝ξ－3表示的试验结果是相同的，可以求出η＝ξ－3对应的概率，列出分布列．8．已知离散型随机变量的分布列如下：X 0123Pm0.3m320.45则m 的值为________．[答案] 0.1[解析] 由分布列的性质(2)，可得m ＋0.3＋m ＋0.45＝1，解得m ＝0.1.32三、解答题9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝Error!求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．[解析] (1)X 的分布列如下表：X 01P3747(2)P (X ＝0)＝＝，C23C12717P (X ＝1)＝1－＝.1767X 的分布列如下表：X 01P1767[反思总结] 两点分布是一种常见的分布，它的特点是：(1)X 的取值只有两种可能；(2)列两点分布列时要注意：保证其概率和为1.10.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条线路．(1)求3个旅游团选择3个不同线路的概率；(2)求选择甲线路的旅游团数的分布列．[解析] (1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为＝.A344338(2)设选择甲线路的旅游团数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P (ξ＝0)＝＝，P (ξ＝1)＝33432764＝，P (ξ＝2)＝＝，P (ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为C13·32432764C23·343964C3343164ξ＝k 0123P (ξ＝k )27642764964164一、选择题1．已知离散型随机变量X 的分布列为X 123…n Pk n k n k n…k n则k 的值为( )A. B ．1 12C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由分布列的性质可知＝1，∴k ＝1.nkn 2．设离散型随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝，k ＝1,2,3,4,5，则P (<X <)等于( )k151252A. B. C. D.12191615[答案] D[解析] P (<X <)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝＋＝.1252115215153．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，射击次数为X ，则“X ＝5”表示的试验结果为( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．前5次均未击中目标[答案] C[解析] 本题易错选为A ，其实“X ＝5”只能说明前4次均未击中目标，而第5次射击有可能击中目标，也有可能子弹打完而未击中目标．4．设X 是一个离散型随机变量，则下列不能够成为X 的概率分布列的一组数是( )A ．1,0B ．0.1,0.2,0.3,0.4C ．p,1－p (p 为实数)D.，，…，，(n ∈N ＋)11×212×31 n －1 ·n 1n [答案] C[解析] 随机变量的分布列具有两个性质：①非负性；②概率之和为1.可以根据这两个性质解决．A 、B 显然满足性质，适合．C 中，设p ＝3，显然1－p ＝－2<0不满足非负性．D 中有＋＋…＋＋11×212×31 n －1 ·n 1n ＝1－＋－＋…＋－＋＝1，1212131n －11n 1n 故选C.[反思总结] 在处理随机变量分布列的有关问题时，应充分利用分布列的性质求解．二、填空题5．袋中有4只红球和3只黑球，从中任取4只球，取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.[答案] 1335[解析] 可能的情形为：4红，3红1黑，2红2黑，1红3黑，对应的得分依次是4分，6分，8分，10分．P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝＋＝＋＝.C44C47C34C13C47135123513356．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝(c 为常数)，k ＝1,2,3，则ck k ＋1 P (0.5<ξ<2.5)＝________.[答案] 89[解析] 由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1，得c ＝，P (0.5<ξ<2.5)43＝1－P (ξ＝3)＝1－＝.433×489三、解答题7.设随机变量X 的分布列为P (X ＝)＝ak ，(k ＝1,2,3,4,5)．k5(1)求常数a 的值；(2)求P (X ≥)；35(3)P (<X <)．110710[分析] 分布列有两条重要的性质：P i ≥0，i ＝1,2，…；P 1＋P 2＋…＋P n ＝1利用这两条性质可求a 的值．(2)(3)由于X 的可能取值为、、、、1.所以满足X ≥或<X <的1525354535110710X 值，只能是在、、、、1中选取，且它们之间在一次实验中没有联系，只要求得满足条15253545件各概率之和即可．[解析] (1)由a ·1＋a ·2＋a ·3＋a ·4＋a ·5＝1得a ＝.115(2)因为分布列为P (X ＝)＝k (k ＝1、2、3、4、5)k5115解法一：P (X ≥)＝P (X ＝)＋P (X ＝)＋P (X ＝1)＝＋＋＝.35354531541551545解法二：P (X ≥)＝1－[P (X ＝)＋P (X ＝)]＝1－[＋]＝.35152511521545(3)因为<X <，只有X ＝、、时满足，故P (<X <)＝P (X ＝)＋P (X ＝)＋P (X ＝1107101525351107101525)＝＋＋＝.3511521531525[反思总结] 随机变量并不一定要取整数值．它的取值一般来源于实际问题，且有其特定的含义，因此，可以是R 中的任意值．但这并不意味着可以取任何值．它只能取分布列中的值．而随机变量取某值时，其所表示的某一实验发生的概率值，必须符合性质．8.设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0的实根的个数(重根按一个计)，求X 的分布列．[解析] 由题意，X 的可能取值为0,1,2.随机试验的所有可能结果构成的集合为{(b ，c )|b 、c ＝1,2，…，6}，元素总个数为36.X ＝0对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c <0，b 、c ＝1,2，…，6}，元素个数为17；X ＝1对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c ＝0，b 、c ＝1,2，…，6}，元素个数为2；X ＝2对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c >0，b 、c ＝1,2，…，6}，元素个数为17.由此可知，P (X ＝0)＝，P (X ＝1)＝，P (X ＝2)＝，17361181736故X 的分布列为X ＝x i 012P (X ＝x i )17361181736[反思总结] 本题将分布列和方程相结合，解题关键是理清方程有根的条件，进而计算出试验的所有基本事件数以及随机事件所包含的基本事件数．比如方程实根个数为1，则Δ＝0，利用它找到骰子之间的关系．。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列课时训练 理 新人教A版选修2-
2016-2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列课时训练理新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列课时训练理新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.1离散型随机变量及其分布列1．随机变量在随机试验中,我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的__________表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η,…表示．注意：（1)一般地,如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．(2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，0X =表示反面向上，1X =表示正面向上．(3）若X 是随机变量，Y aX b =+，,a b 是常数，则Y 也是随机变量．2．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为__________．注意：（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 3．离散型随机变量的分布列的表示一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为1x ,2x ，…，i x ，…，n x ,X 取每一个值i x (1,2,,)i n =的概率()i P X x ==__________,以表格的形式表示如下：我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了简单起见，也用等式()i i P X x p ==，1,2,,i n =表示X 的分布列．4．离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1)0i p ≥，1,2,,i n =；(2）1ni i p ==∑__________．注意：分布列的性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． 5．两点分布若随机变量X 的分布列具有下表的形式,则称X 服从两点分布,并称(1)p P X ==为成功概率．注意：(1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；（2）两点分布又称0—1分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 6．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件，其中恰有X 件次品，则()P X k ==__________，0,1,2,,k m =，即其中{min ,}m M n =,且n N ≤，M N ≤,,,n M N ∈*N ．如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．注意:m 为k 的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中的次品件数,即当n M ≤时，此时k （抽取的样本中的次品件数）的最大值m n =;当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n M >时，此时k 的最大值m M =．参考答案： 1．数字2．离散型随机变量3．i p4．1 5．1p -6．C C C k n kM N MnN--重点 离散型随机变量的概念、分布列的性质、两点分布、超几何分布 难点 超几何分布的应用、离散型随机变量分布列的求解易错对离散型随机变量的取值及概率、分布列的性质、超几何分布理解不透彻随机变量的理解（1）分析随机变量的取值所表示的事件时，应先分清事件的结果是什么，是如何与随机变量的取值对应的．（2）随机变量的取值实质上是试验的不同结果对应的数值,这些数值是预先知道的可能取值，但不知道究竟是哪一个值，这是“随机”的意义．一个不透明的箱子中装有标号分别为1,2,3,4,4的五个大小和形状完全相同的红球,现从中任取一个，这是一个随机现象． （1)写出该随机现象所有可能出现的结果； （2）试用随机变量来描述上述结果．【解析】（1)箱子中有五个红球,标号分别为1，2，3，4,4．因此从中任取一个，所有可能出现的结果为“取到标号为1的红球"“取到标号为2的红球”“取到标号为3的红球"“取到标号为4的红球”． (2）令X 表示取到的红球的标号，则X 的所有可能取值为1，2，3，4，对应着任取一个红球所有可能出现的结果,即“1X =”表示“取到标号为1的红球”，“2X =”表示“取到标号为2的红球”， “3X =”表示“取到标号为3的红球”，“4X =”表示“取到标号为4的红球”．【名师点睛】引进随机变量后，随机现象中所有可能出现的结果都可以通过随机变量的取值表达出来．需要注意的是本题中取到“标号为4的红球”对应的结果有两个，但对应的是随机变量的一个值，不能误认为随机变量有5个值：1,2，3，4，4．求离散型随机变量的分布列(1）同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的点数之差的绝对值X 的分布列；（2)袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的同样大小的6个白球，现从袋中随机取3个球，设η表示取出的3个球中的最小号码，求η的分布列．【解析】（1)易知掷两枚质地均匀的骰子朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X 的可能取值为0，1，2，3,4，5，如下表: X 的值 出现的点数情况数（1，1),（2，2)，（3，3）,（4,4)，（5,5)，（6，6)61(1,2），（2，3),(3,4),（4，5），(5，6),（2，1)，（3，2）,(4，3),(5，4),（6，5)102 （1，3），(2，4)，(3,5),（4,6)，（3，1），(4，2），（5,3）,(6，4) 83 (1，4），(2,5），（3，6），(4，1)，(5，2)，（6，3) 64 （1，5)，（2，6)，（5，1）,(6,2） 4 5（1，6），（6，1)2由古典概型可知X 的分布列为X12345P16518291619118（2）根据题意，随机变量η的所有可能取值为1，2，3，4．①1η=，最小号码为1,其他2个球在2，3,4，5，6中任取，所以2536C 1(1)C 2P η===；②2η=,最小号码为2，其他2个球在3，4，5，6中任取，所以2436C 3(2)C 10P η===； ③3η=,最小号码为3，其他2个球在4，5，6中任取，所以2336C 3(3)C 20P η===；④4η=，最小号码为4，其他2个球只能取编号为5,6的2个球，所以2236C 1(1)C 20P η===． 所以，随机变量η的分布列为η1234P12310320120【名师点睛】(1）由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和；（2）求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取值所对应的概率,应明确随机变量取每个值所表示的意义．离散型随机变量分布列性质的应用分布列的应用主要体现在分布列的性质上的应用，离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用:（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率;（3）可以根据性质判断所求的分布列是否正确．（1)设随机变量ξ的分布列为()6k P mk ξ==,1,2,3,4,5,6k =,求常数m 及1()2P ξ≥；(2）已知X 是离散型随机变量,其分布列如下,求n 的值及(0)P X >．X1-12P1313n 2n49【解析】（1）随机变量ξ的分布列为ξ16 131223561Pm2m 3m4m 5m 6m由234561m m m m m m +++++=,解得121m =． 故11256()()()()(1)1822367P P P P P m ξξξξξ≥==+=+=+===．（或：1116()1()()132637P P m ξξξ≥=-=-==-=）（2）由21143391n n +++=，解得13n =（负值舍去),故245(0)(1)(2)99P X P X P X n >==+=+==．两点分布的应用在两点分布中，只有两个对立的结果,知道一个结果的概率便可以求出另一个结果的概率．（1）不透明的袋中装有大小、形状完全相同的5个白球和4个红球，从中随机摸出两个球，记X =0,1,⎧⎨⎩两球颜色相同两球颜色不同，求随机变量X 的分布列;（2)已知一批200件的待出厂产品中有1件次品，现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量Y 表示抽取的2件产品中的次品数，求Y 的分布列．【解析】由题意知,X 服从两点分布，225429C C 4(0)C 9P X +===，115429C C 5(1)C 9P X ===， 所以随机变量X 的分布列为X0 1P49 59(2）由题意知,Y 服从两点分布,21992200C 99(0)C 100P Y ===，11992200C 1(1)C 100P Y ===，所以随机变量Y 的分布列为Y1P991001100超几何分布的应用生产方提供的某批产品共50箱，其中有2箱不合格品,采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测,若至多有1箱不合格品，便接收该批产品．问该批产品被接收的概率是多少？【思路分析】将50箱产品看作50件“产品"，2箱不合格品看作2件“次品"，任取5箱中不合格品的箱数可以看作是任取5件“产品”中所含的次品数，根据公式可求概率． 【解析】从中随机抽取5箱,用X 表示“5箱中不合格品的箱数”， 则X 服从参数为50N =,2M =，5n =的超几何分布．该批产品被接收的条件是5箱中没有不合格品或只有1箱不合格品， 所以被接收的概率为(1)P X ≤,故0514248248555050C C C C 243(1)(0)(1)C C 245P X P X P X ≤==+==+=，所以该批产品被接收的概率为243245．（或23248550C C 243(1)1(2)1C 245P X P X ≤=-==-=)【名师点睛】解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．求相关变量的分布列若随机变量Y 的分布列不易求，可以根据题意找出与随机变量Y 有关的随机变量X ，确定二者对应值及取对应值的概率的关系，将求随机变量Y 的分布列转化为求随机变量X 的分布列．已知随机变量ξ的分布列如下表所示,分别求出随机变量112ηξ=,22ηξ=的分布列．ξ2-1-0 1 2 4P11015115 130 12 110 【解析】由题易得1η的可能取值为1-，12-,0，12，1，2,且11(1)(2)10P P ηξ=-==-=，111()(1)25P P ηξ=-==-=,11(0)(0)15P P ηξ====， 111()(1)230P P ηξ====,11(1)(2)2P P ηξ====，11(2)(4)10P P ηξ====,所以1η的分布列为1η1-12-12 1 2P1101511513012110由题易得2η的可能取值为0，1，4，16， 且21(0)(0)15P P ηξ====,27(1)(1)(1)30P P P ηξξ===-+==， 23(4)(2)(2)5P P P ηξξ===-+==，21(16)(4)10P P ηξ====，所以2η的分布列为2η1416P11573035110某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ1234 5 P0.120.240.180.210.25商场经销一件该商品,采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款，其利润为300元．若η表示经销一件该商品的利润，求η的分布列． 【解析】由题易得η的可能取值为200，250，300,则(200)(1)0.12P P ηξ====,(250)(2)(3)0.240.180.42P P P ηξξ===+==+=, (300)(4)(5)0.210.250.46P P P ηξξ===+==+=，所以η的分布列为η200250 300P0.120.420.46【名师点睛】求随机变量分布列的重要基础是计算概率．就本题而言,是两个关联变量的分布列问题，可以看到解决问题的关键是利用互斥事件的概率计算公式．未找准随机变量的取值而致错现有10张奖券，其中8张2元的,2张5元的，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【错解】记所得金额为ξ元,则ξ的可能取值为6,12，且38310C 7(6)C 15P ξ===，8(12)1(6)15P P ξξ==-==，所以ξ的分布列为ξ612P715815【错因分析】产生错解的原因是没能找准随机变量ξ的可能取值，事实上任取3张的结果有3种:3张2元,2张2元、1张5元，1张2元、2张5元，可得ξ的可能取值有3个,分别为6，9，12．【正解】记所得金额为ξ元，则ξ的可能取值为6，9，12，且38310C 7(6)C 15P ξ===，2182310C C 7(9)C 15P ξ===,1282310C C 1(12)C 15P ξ===，所以ξ的分布列为ξ6 9 12P715 715 115错解随机变量的取值概率而致错从4名男生和2名女生中任意选择3人参加比赛，设被选中的女生的人数为X ．（1）求X 的分布列;（2）求所选女生的人数至多为1的概率．【错解】(1）由题设可得X 的可能取值为0，1，2,且3436A 1(0)A 5P X ===，214236A A 1(1)A 5P X ===，3(2)1(0)(1)5P X P X P X ==-=-==,所以X 的分布列为X 012P151535（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为1X ≤,其概率为2(1)(0)(1)5P X P X P X ≤==+==． 【错因分析】产生错解的原因是对随机变量的取值概率求解错误,事实上随机变量X 服从参数为6N =，2M =,3n =的超几何分布．【正解】（1）由题设可得X 的可能取值为0，1，2，且3436C 1(0)C 5P X ===，122436C C 3(1)C 5P X ===，212436C C 1(2)C 5P X ===， 所以X 的分布列为X 012P153515（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为1X ≤，其概率为4(1)(0)(1)5P X P X P X ≤==+==．未掌握离散型随机变量分布列的性质而致错已知X 是一个离散型随机变量,其分布列如下,则常数a =______________．X12P38a -29a a -【错解】由离散型随机变量分布列的性质可得2(38)(9)1a a a -+-=，解得13a =或23，故填13或23． 【错因分析】错解中仅注意到随机变量X 的分布列满足概率和为121p p +=,但忽略了01i p ≤≤(1,2)i =．【正解】由离散型随机变量分布列的性质可得22(38)(9)10381091a a a a a a -+-=≤-⎧≤≤-≤⎪⎨⎪⎩，解得13a =，故填13．未弄清随机变量取值概率的实质而致错已知随机变量X 的分布列如下，求随机变量12Y X =的分布列． X 4- 2- 0 2 6 P0.10.2 0.30.10.3【错解】由12Y X =可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，3,所以Y 的分布列为 Y2- 1- 0 1 3 P 0.05 0.10.150.050.15【错因分析】错解中误认为12Y X =的取值概率变为原来的12，没有弄清随机变量取值概率的实质． 【正解】由12Y X =可得Y 的可能取值为2-,1-，0，1，3，相应的概率不变，所以Y 的分布列为Y 2- 1- 0 1 3 P0.10.2 0.30.10.3对超几何分布的概念理解不透彻而致错盒中装有12个零件，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个,若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X 的分布列． 【错解】由题意可知，X 服从超几何分布,其中12N =，3M =，3n =，所以在取得正品之前已取出次品数X 的分布列为339312C C (0,1,2,3)C ()k k P X k k -===，所以已取出次品数X 的分布列为 X123P21552755272201220【错因分析】错解中未理解超几何分布的概念．本题是不放回抽样，“1X =”表示“第一次取到次品,第二次取到正品”，“2X =”表示“前两次都取到次品，第三次取到正品"，属于排列问题．而超几何分布是一次性抽取若干件产品，属于组合问题． 【正解】由题易得X 的可能取值为0，1，2，3．19112()C 30C 4P X ===,1139212C C 9()1A 44P X ===，2139312A C 92A 2()20P X ===，3139412A C 13A 2()20P X ===，所以已取出次品数X 的分布列为X123P3494492201220【名师点睛】求随机变量的分布列的关键是熟练掌握排列、组合知识,求出随机变量每个取值的概率,注意概率的取值范围（非负），在由概率之和为1求参数问题中要把求出的参数代回分布列进行检验．1．下列随机变量中是离散型随机变量的为 A ．某人早晨在车站等出租车的时间XB ．以测量仪的最小单位计数,测量的舍入误差XC ．连续不断地射击，首次命中目标所需要的射击次数XD ．沿数轴随机运动的质点在数轴上的位置X2．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2,3,4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值的个数是 A ．5B ．9C ．10D ．253．随机变量X 所有可能取值的集合是{2,0,3,5}-，1(5)12P X ==,则(0)P X =的值为 A ．0BC4．已知随机变量X 的分布列为，1,2,3,4,5k =，则A BC 5．某地区15个村庄中有7个村庄交通不便,现从中任意选10个村庄，用ξ表示这10个村庄中A ．()6P ξ=B ．(6)P ξ≤C ．(4)P ξ=D ．(4)P ξ≤6．已知X 是一个离散型随机变量,其分布列为则常数q 等于 A ．1B C D 7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量η去描述1次试验的成功次数，则(0)P η==______________．8．袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球,取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则(7)P ξ≤=______________．9．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．（1）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A ，求事件A 发生的概率； (2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列．10．已知随机变量X 的分布列如下，则(|2|1)P X -==A D 11．若随机变量η的分布列如下：则当()0.8P x η<=时，实数x 的取值范围是 A ．(,2]-∞B ．(1,2)C ．[1,2]D ．(1,2]12．一盒子中有12个乒乓球,其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则(4)P X ==A B C D 13．随机变量X 的概率分布列为()(1)aP X n n n =+=（n =1，2，3，4)，其中a 是常数,则P (12X <<52)的值为 A ．23 B ．34C ．45D ．5614．已知随机变量ξ的所有可能取值为1x ，2x ，3123()x x x x <<,若1()1P x ξα==-，2()1P x ξβ==-，33()4P x ξ==，则αβ的最大值为______________． 15．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量（单位:克）,重量的分组区间为(490,495]，（495,500］，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如下图所示:（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．16．为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如下表所示：（1)从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率；（2）现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表,进行大赛前的发言,设选出的2人中宏志班的学生人数为X，求随机变量X的分布列．17．【2016新课标全国I理节选】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1）求X 的分布列;（2）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值．1．C 【解析】选项A 、B 、D 中的随机变量X 可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．故选C ．2．B 【解析】号码之和可能为2,3，4，5，6，7,8，9,10，共9个．故选B ．3．C 【解析】因为随机变量X 所有可能取值的集合是{2,0,3,5}-，且1(2)4P X =-=，1(3)2P X ==1(5)12P X ==，所以1(0)1(2)(3)(5)6P X P X P X P X ==-=--=-==,故选C ． 4．D 【解析】由题易得15()22P X <<511521)2()1(=+==+==x P x P ,故选D ．5．C 【解析】由超几何分布的概率计算公式可得()4P ξ=C ．6．CC ．7．13【解析】本题符合两点分布，先求η的出分布列，再根据分布列的性质可求(0)P η=．设失败率为p ，则成功率为2p ,所以η的分布列为则“0η=”表示试验失败,“1η=”表示试验成功，由21p p +=可得13p =，故1(0)3P η==．8,若得分不大于7，则4个球都是红球，此时4ξ=，或3个红球、1个黑球，此时6ξ=．又4447C 1(4)C 35P ξ===，314347C C 12(6)C 35P ξ===,故13(7)(4)(6)35P P P ξξξ≤==+==． 9．（1(2）分布列见解析． 【思路分析】（1）“至少有一件通过检测”的反面是“没有一件通过检测"，即三件都不通过，利用互斥事件的概率可得；（2)求X 的分布列,首先要确定变量X 的取值，由于10件中有6件一等品，因此X的所有可能取值为0,1,2,3,由古典概型概率公式可得各概率,从而得分布列．【解析】（1所以随机选取3件产品, （2）由题可知X 的所有可能取值为0,1,2,3．3046310C C 1(0)C 30P X ===，2146310C C 3(1)C 10P X ===，1246310C C 1(2)C 2P X ===,0346310C C 1(3)C 6P X ===．则随机变量X 的分布列为X123P130310121610．C 【解析】由分布列的性质可得1643m +++=，解得14m =．又(|2|1)(1)P X P X -===+115(3)6412P X ==+=．故选C ． 11．D 【解析】由题中所给分布列，可得(2)(1)(0)(1)0.8P P P P =-+=-+=+==ηηηη，(2)P η=-+(1)(0)(1)(2)0.9P P P P ηηηη=-+=+=+==，故12x <≤．故选D ．12．C 【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中,当盒中旧球的个数为4X =时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球,即取出的3个球中有2个旧球、1个新球,所以2139312C C 27(4)C 220P X ===,故选C ．13．D 【解析】由题意可得，2a ＋6a ＋12a ＋120a =,解得54a =,故P (12X <<52)1()P X ==+()2P X =2a =＋6a =23a =56，故选D ．14．4964【解析】由题可得33()1(1)(1)14P x ξαβαβ==----=+-=,所以74αβ+=,且314α≤<，314β≤<，所以249()264αβαβ+≤=，当且仅当78αβ==时取等号．15．（1）12;(2)分布列见解析．【解析】（1）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为400.0550.015()⨯⨯+⨯=400.312⨯=．（2）Y 的可能取值为0,1，2,且Y 服从参数为40N =,12M =,2n =的超几何分布， 故021228240C C 630C 1()30P Y ===，111228240(C C 281C )65P Y ===，201228240C C 112C 1()30P Y ===， 所以Y 的分布列为16．(12)分布列见解析． 【思路分析】（1）利用组合知识得到有关事件的基本事件个数，再利用古典概型的概率公式进行求解;（2）先写出随机变量的所有可能取值，再利用超几何分布的概率公式求出每个变量发生的概率,列表可得分布列．【解析】(1）从这60名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为260C 1770=，且这2人在同一班级的基本事件个数为222220151510CC C C 445+++=，（2）由题意可得X 的所有可能的取值为0，1，2，所以X 的分布列为17．（1）分布列见解析；（2）19．【解析】(1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9,10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ； 16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ;2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ;08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ；04.02.02.0)22(=⨯==X P ．所以X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0（2）由（1)知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19．老师：“楚向阳同学，你认为太阳和月亮哪个更重要？”楚阳向：“月亮更重要."老师:“为什么呢?”楚阳向：“月亮能给黑夜带来光明，而太阳好像没什么用，总是在大白天出来．”。
第二章 2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)
2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学习目标 1.在对具体问题的分析中，理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.知识点 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为x ，则x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示x 与p 的对应关系吗？ 答案 (1)x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.(2)1.离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ； (2)∑i ＝1np i ＝1.类型一 离散型随机变量的分布列的性质的应用例1 设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ai (i ＝1,2,3,4)，求： (1)P ({X ＝1}∪{X ＝3})； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <52.解 题中所给的分布列为由离散型随机变量分布列的性质得a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，解得a ＝110.(1)P ({X ＝1}∪{X ＝3})＝P (X ＝1)＋P (X ＝3) ＝110＋310＝25. (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. 反思与感悟 1.本例利用方程的思想求出常数a 的值. 2.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的.(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练1(1)下面是某同学求得的离散型随机变量X 的分布列.试说明该同学的计算结果是否正确.(2)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为①求q 的值； ②求P (ξ<0)，P (ξ≤0).解 (1)因为P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝12＋14＋16＝1112，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确.(2)①由分布列的性质得，1－2q ≥0，q 2≥0，12＋(1－2q )＋q 2＝1， ∴q ＝1－22. ②P (ξ<0)＝P (ξ＝－1)＝12，P (ξ≤0)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝0) ＝12＋1－2⎝⎛⎭⎫1－22＝2－12. 类型二 求离散型随机变量的分布列例2 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列.解 随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 11C 22，事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25， 从而有P (X ＝3)＝C 11C 22C 36＝120，P (X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为：反思与感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义. (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率. (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证.跟踪训练2 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X 的分布列. 解 X 的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P (X ＝1)＝15，第2次取到白球的概率为P (X ＝2)＝4×15×4＝15，第3次取到白球的概率为P (X ＝3)＝4×3×15×4×3＝15，第4次取到白球的概率为P (X ＝4)＝4×3×2×15×4×3×2＝15，第5次取到白球的概率为P (X ＝5)＝4×3×2×1×15×4×3×2×1＝15，所以X 的分布列为类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例3 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.(1)求袋中原有的白球的个数. (2)求随机变量ξ的分布列. (3)求甲取到白球的概率.解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6.可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球. (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为：(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率.跟踪训练3 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只.(1)求选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率.(2)若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列.解 (1)选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40.P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.X 的分布列为1.已知随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)等于( ) A.239 B.2310 C.139 D.1310 答案 C解析 P (X ＝10)＝1－23－…－239＝139.2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k15(k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52等于( ) A.12 B.19 C.16 D.15 答案 D解析 由12<ξ<52知ξ＝1,2.P (ξ＝1)＝115，P (ξ＝2)＝215，∴P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝15. 3.将一枚硬币扔三次，设X 为正面向上的次数，则P (0<X <3)＝________. 答案 0.75解析 P (0<X <3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝3) ＝1－123－123＝0.75.4.将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列. 解 由题意知ξ＝i (i ＝1,2,3,4,5,6)， 则P (ξ＝1)＝1C 16C 16＝136；P (ξ＝2)＝3C 16C 16＝336＝112；P (ξ＝3)＝5C 16C 16＝536；P (ξ＝4)＝7C 16C 16＝736；P (ξ＝5)＝9C 16C 16＝936＝14；P (ξ＝6)＝11C 16C 16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1.离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.一、选择题1.随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 的值为( )A.1110B.155 C.110 D.55 答案 B解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10， 且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)， ∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1， ∴55a ＝1，∴a ＝155.2.若随机变量X 的概率分布列为：P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝⎛⎭⎫1－15＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝⎛⎭⎫1－13＝54×23＝56. 3.若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A.x ≤1 B.1≤x ≤2 C.1<x ≤2 D.1≤x <2答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2. 4.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.56 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13.∵f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得：ξ＝1， ∴P (ξ＝1)＝13.5.已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C.[－3,3] D.[0,1]答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎨⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.6.抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( )A.16B.13C.12D.23 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4).抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)， 故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.二、填空题7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________. 答案 47解析 设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个.∴分布列为P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 8.由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知X 取奇数值时的概率是________. 答案 0.6解析 由离散型随机变量的分布列的性质可求得P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故X 取奇数值时的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.9.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能值为________. 答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1表示甲抢到1题但答错了， 若乙两题都答错，则甲获胜； 甲获胜还有以下可能：X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错. X ＝1时，甲抢到1题，且答对或甲抢到3题，且1错2对. X ＝2时，甲抢到2题均答对. X ＝3时，甲抢到3题均答对.10.将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________. 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题11.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab .求这名运动员投中3分的概率.解 由题中条件知，2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16.12.设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列.解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}.由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以事件A 包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0). (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为：13.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.解(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝1 4；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.故X的分布列为。
数学：第二章《随机变量及其分布》测试(1)(新人教A版选修2-3)
高中新课标选修（2-3）第二章随机变量及其分布测试题一、选择题1．将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（）Ａ．第一次出现的点数Ｂ．第二次出现的点数Ｃ．两次出现点数之和Ｄ．两次出现相同点的种数答案：C2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310为（）Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率答案：BX表示击中目标的次数，则(2)P X≥等于（）Ａ．81125Ｂ．54125Ｃ．36125Ｄ．27125答案：A4．采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（）Ａ．12Ｂ．13Ｃ．15Ｄ．16答案：D5．设~(100.8)X B，，则(21)D X+等于（）答案：Ｃ6．在一次反恐）答案：Ｄ7．设1~24X N⎛⎫-⎪⎝⎭，，则X落在(][)3.50.5---+，，∞∞内的概率是（）Ａ．95.4%Ｂ．99.7%Ｃ．4.6%Ｄ．0.3%答案：Ｄ8．设随机变量X0 1 2 30．1 0．10.2-0.4-答案：Ｃ9．任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则DX等于（）Ａ．67Ｂ．2449Ｃ．3649Ｄ．4849答案：Ｂ10．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（ ）Ａ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ11．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（ ）Ａ．甲多 Ｂ．乙多 Ｃ．一样多 Ｄ．不确定 答案：Ｃ，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布：200 300 400 5000．200．350．30 0．15若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ）Ａ．706元 Ｂ．690元 Ｃ．754元 Ｄ．720元答案：Ａ 二、填空题13．事件A B C ，，相互独立，若111()()()688P A B P B C P A B C ===，，····，则()P B = ．答案：1214．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若(4)0.3P X <=，则EX 等于 ． 15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．答案：215⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 16．某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是过去200例类似项目开发的实施结果． 则该公司一年后估计可获收益的均值是 元． 答案：4760 三、解答题17．掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X 的分布列，并求其均值和方差．解：3X =-，1-，1，3，且1111(3)2228P X =-=⨯⨯=；213113(1)228P X C ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭，213113(1)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；1111(3)222P X ==⨯⨯=，1303EX DX ==，∴18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求（1）恰有1人译出密码的概率；（2）若达到译出密码的概率为99100，至少需要多少乙这样的人． 解：设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ， 则11()()34P A P B ==，．（1）13215()()343412P P A B P A B =+=⨯+⨯=··．（2）n 个乙这样的人都译不出密码的概率为114n⎛⎫- ⎪⎝⎭．199114100n⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴≥．解得17n ≥．达到译出密码的概率为99100，至少需要17人. 19．生产工艺工程中产品的尺寸偏差2(mm)~(02)X N ，，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率． 解：由题意2~(02)X N ，，求得(4)(44)0.9544P X P X =-=≤≤≤． 设Y 表示5件产品中合格品个数，则~(50.9544)Y B ，．0.18920.79190.981≈+≈．20．甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示(01)p <<：选手甲乙丙概率若三人各射击一次，恰有k 名选手击中目标的概率记为()0123k P P X k k ===，，，，． (1) 求X 的分布列；（2）若击中目标人数的均值是2，求P 的值．解：（1）201(1)2P p =-；2211111(1)2(1)2222P P p p p =-+-=-+·， 2221112(1)222P p p p p p =-+=-+··，2312P p =， X ∴的分布列为 0123（2）22221111110(1)1232222222EX p p p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222p +=∴，34p =∴．21．张华同学上学途中必须经过A B C D ，，，四个交通岗，其中在A B ，岗遇到红灯的概率均为12，在C D ，岗遇到红灯的概率均为13．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．（1）若3x ≥，就会迟到，求张华不迟到的概率；（2）求EX ． 解：（1）2221122111121(3)232336P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·····； 22111(4)2336P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·．故张华不迟到的概率为29(2)1(3)(4)36P X P X P X =-=-==≤． （2）X 的分布列为123411131150123493366363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴.22．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的． （1）求这位射手在三次射击中命中目标的概率； （2）求这位射手在这次射击比赛中得分的均值． 解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A B C ，，，三次都未击中目标为事件D ，依题意1()2P A =，设在x m 处击中目标的概率为()P x ，则2()k P x x =，且212100k=， 5000k =∴，即25000()P x x =， 250002()1509P B ==∴，250001()2008P C ==，17749()298144P D =⨯⨯=． （1） 由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率()()()P P A P AB P A B C =++ (11212195)111229298144⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭···． （2）依题意，设射手甲得分为X ，则1(3)2P X ==， 121(2)299P X ==⨯=，1717(1)298144P X ==⨯⨯=，49(0)144P X ==， 117492558532102914414414448EX =⨯+⨯+⨯+⨯==∴．。
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【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 1离散型随机变量及其分布列课时作业 北师大版选修2-3一、选择题1．若随机变量X 的分布列如下表所示，则表中a ＝( )X ＝x i 1234P (X ＝x i )121616aA. B.1216C.D ．056[答案] B[解析] 根据随机变量的分布列的性质可得a ＝1－－－＝.121616162．离散型随机变量ξ所有可能值的集合为{－2,0,3,5}，且P (ξ＝－2)＝，P (ξ＝3)＝，P (ξ＝5)＝，则P (ξ＝0)的值为( )1412112A ．0 B. 14C. D.1618[答案] C[解析] 根据离散型随机变量分布列的性质有P (ξ＝－2)＋P (ξ＝0)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝1，所以＋P (ξ＝0)＋＋＝1.解得P (ξ＝0)＝.1412112163．随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝n )＝(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常an n ＋1 数，则P (<ξ<)的值为( )1252A. B. 2334C. D.4556[答案] D[解析] 因为P (ξ＝n )＝(n ＝1,2,3,4)，所以＋＋＋＝1，所以a n n ＋1 a 2a 6a 12a20a ＝，因为P (<ξ<)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝×＋×＝.故选D.54125254125416564．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，P (ξ＝0)等于( )A ．0B ．12C.D ．1323[答案] C[解析] 设ξ的分布列为ξ01Pp2p则“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p ，则成功率为2p .∴由p ＋2p ＝1得p ＝.应选C.135．已知离散型随机变量的分布列如下：X 0123P0.10.□00.150.4□其中□为丢失的数据，则丢失的数据分别为( )A ．2,0B ．2,5C ．3,0D ．3,5[答案] D[解析] 由题知，随机变量取所有值的概率之和等于1，可以得到应填的数据分别为3,5.故选D.二、填空题6．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ>8)＝________，P (6<ξ≤14)＝________.[答案] 2323[解析] 因为P (ξ＝5)＋P (ξ＝6)＋…＋P (ξ＝16)＝1，且P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)，所以P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)＝，则P (ξ>8)＝P (ξ＝9)112＋P (ξ＝10)＋…＋P (ξ＝16)＝×8＝.P (6<ξ≤14)＝p (ξ＝7)＋P (ξ＝8)11223＋…＋P (ξ＝14)＝×8＝.112237．设随机变量ξ的分布列为ξ1234P13m1416则m ＝________，η＝ξ－3的分布列为________．[答案] 14η－2－101P13141416[解析] 首先由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝1，得m ＝.再由随机变14量ξ和η＝ξ－3表示的试验结果是相同的，可以求出η＝ξ－3对应的概率，列出分布列．8．已知离散型随机变量的分布列如下：X 0123Pm0.3m320.45则m 的值为________．[答案] 0.1[解析] 由分布列的性质(2)，可得m ＋0.3＋m ＋0.45＝1，解得m ＝0.1.32三、解答题9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝Error!求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．[解析] (1)X 的分布列如下表：X 01P3747(2)P (X ＝0)＝＝，C23C12717P (X ＝1)＝1－＝.1767X 的分布列如下表：X 01P1767[反思总结] 两点分布是一种常见的分布，它的特点是：(1)X 的取值只有两种可能；(2)列两点分布列时要注意：保证其概率和为1.10.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条线路．(1)求3个旅游团选择3个不同线路的概率；(2)求选择甲线路的旅游团数的分布列．[解析] (1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为＝.A344338(2)设选择甲线路的旅游团数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P (ξ＝0)＝＝，P (ξ＝1)＝33432764＝，P (ξ＝2)＝＝，P (ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为C13·32432764C23·343964C3343164ξ＝k 0123P (ξ＝k )27642764964164一、选择题1．已知离散型随机变量X 的分布列为X 123…n Pk n k n k n…k n则k 的值为( )A. B ．1 12C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由分布列的性质可知＝1，∴k ＝1.nkn 2．设离散型随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝，k ＝1,2,3,4,5，则P (<X <)等于( )k151252A. B. C. D.12191615[答案] D[解析] P (<X <)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝＋＝.1252115215153．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，射击次数为X ，则“X ＝5”表示的试验结果为( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．前5次均未击中目标[答案] C[解析] 本题易错选为A ，其实“X ＝5”只能说明前4次均未击中目标，而第5次射击有可能击中目标，也有可能子弹打完而未击中目标．4．设X 是一个离散型随机变量，则下列不能够成为X 的概率分布列的一组数是( )A ．1,0B ．0.1,0.2,0.3,0.4C ．p,1－p (p 为实数)D.，，…，，(n ∈N ＋)11×212×31 n －1 ·n 1n [答案] C[解析] 随机变量的分布列具有两个性质：①非负性；②概率之和为1.可以根据这两个性质解决．A 、B 显然满足性质，适合．C 中，设p ＝3，显然1－p ＝－2<0不满足非负性．D 中有＋＋…＋＋11×212×31 n －1 ·n 1n ＝1－＋－＋…＋－＋＝1，1212131n －11n 1n 故选C.[反思总结] 在处理随机变量分布列的有关问题时，应充分利用分布列的性质求解．二、填空题5．袋中有4只红球和3只黑球，从中任取4只球，取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.[答案] 1335[解析] 可能的情形为：4红，3红1黑，2红2黑，1红3黑，对应的得分依次是4分，6分，8分，10分．P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝＋＝＋＝.C44C47C34C13C47135123513356．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝(c 为常数)，k ＝1,2,3，则ck k ＋1 P (0.5<ξ<2.5)＝________.[答案] 89[解析] 由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1，得c ＝，P (0.5<ξ<2.5)43＝1－P (ξ＝3)＝1－＝.433×489三、解答题7.设随机变量X 的分布列为P (X ＝)＝ak ，(k ＝1,2,3,4,5)．k5(1)求常数a 的值；(2)求P (X ≥)；35(3)P (<X <)．110710[分析] 分布列有两条重要的性质：P i ≥0，i ＝1,2，…；P 1＋P 2＋…＋P n ＝1利用这两条性质可求a 的值．(2)(3)由于X 的可能取值为、、、、1.所以满足X ≥或<X <的1525354535110710X 值，只能是在、、、、1中选取，且它们之间在一次实验中没有联系，只要求得满足条15253545件各概率之和即可．[解析] (1)由a ·1＋a ·2＋a ·3＋a ·4＋a ·5＝1得a ＝.115(2)因为分布列为P (X ＝)＝k (k ＝1、2、3、4、5)k5115解法一：P (X ≥)＝P (X ＝)＋P (X ＝)＋P (X ＝1)＝＋＋＝.35354531541551545解法二：P (X ≥)＝1－[P (X ＝)＋P (X ＝)]＝1－[＋]＝.35152511521545(3)因为<X <，只有X ＝、、时满足，故P (<X <)＝P (X ＝)＋P (X ＝)＋P (X ＝1107101525351107101525)＝＋＋＝.3511521531525[反思总结] 随机变量并不一定要取整数值．它的取值一般来源于实际问题，且有其特定的含义，因此，可以是R 中的任意值．但这并不意味着可以取任何值．它只能取分布列中的值．而随机变量取某值时，其所表示的某一实验发生的概率值，必须符合性质．8.设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0的实根的个数(重根按一个计)，求X 的分布列．[解析] 由题意，X 的可能取值为0,1,2.随机试验的所有可能结果构成的集合为{(b ，c )|b 、c ＝1,2，…，6}，元素总个数为36.X ＝0对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c <0，b 、c ＝1,2，…，6}，元素个数为17；X ＝1对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c ＝0，b 、c ＝1,2，…，6}，元素个数为2；X ＝2对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c >0，b 、c ＝1,2，…，6}，元素个数为17.由此可知，P (X ＝0)＝，P (X ＝1)＝，P (X ＝2)＝，17361181736故X 的分布列为X ＝x i 012P (X ＝x i )17361181736[反思总结] 本题将分布列和方程相结合，解题关键是理清方程有根的条件，进而计算出试验的所有基本事件数以及随机事件所包含的基本事件数．比如方程实根个数为1，则Δ＝0，利用它找到骰子之间的关系．。