第2章 复变函数的积分
第二章复变函数的积分
f (z)dz lim f (k )(zk zk1)
l
积分n函 数k1
积分路径 一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.
2、复变函数积分计算方法
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1) n k 1
l
1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
2）参数积分法
若积分曲线的参数方程z=z(t) ( ),dz z'(t)dt
则
f (z)dz f [z(t)]z'(t)dt
l
（极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧时的情况）
通常思路：
积分路径l为圆弧： 宗量用指数形式表示：
z z0
z z0 ei
n
n
f (z)dz f (z)dz;l lk
l
k 1 lk
k 1
f (z)dz f (z)dz
lAB
lBA
f (z)dz
l
f (z) dz ; dz
dx2 dy2 ds
l
Ms; M f (z) , s l的长度
用来求积分的估计值
r
1
z3 z
2
dz
z3 z r 1 z2
dz
（1）
z3
z r 1 z2
dz M
dz M
z r
ds Ms
z r
（2）
由（1）（2）式，得：
z3 dz Ms
z r 1 z2
M
1
r
3
r
2
s ds 2 r z r
数学物理方法第二章复变函数的积分
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即
l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1 x
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o
第二章复变函数的积分
第二章 复变函数的积分在微积分学中，微分法与积分法是研究函数性质的重要方法。
同样，在复变函数中，积分法也跟微分法一样是研究复变函数性质十分重要的方法和解决实际问题的有力工具。
§2.1 复变函数积分的概念一、复变函数的积分设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。
若选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向，那么就把C 理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。
设曲线C 的两个端点为A 与B ，如果从A 到B 的方向作为C 的正方向，那么从B 到A 的方向就是C 的负方向，并把它记作-C 。
在今后的讨论中，常把两个端点中的一个作为起点，另一个作为终点。
除特殊声明外，正方向总是指从起点到终点的方向。
关于简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P 顺此方向沿该曲线前进时，临近P 点的曲线内部始终位于P 点的左方。
与之相反的方向就是曲线的负方向。
若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤t （2.1） t 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。
定义2.1 设函数)(z f w =定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为：B z z z z z A n n ==-,...,,,1210 在每个小弧段上任取一点k ζ（图3.1），作和∑=∆=nk k k n z f S 1)(ζ其中1--=∆k k k z z z ，记=∆k s 的长度，}Δ{max 1k nk s δ≤≤=。
当n 无限增加，且δ趋于零时，如果不论对C 的分法及k ζ的取法如何，当n S 有唯一极限，那么称这个极限值为函数)(z f 沿曲线C 的积分，记作∑⎰=→=nk k kδCz ζf dz z f 1Δ)(lim )( （2.2）图2.1C 称为积分路径，⎰Cdz z f )(表示沿C 的正方向的积分，⎰-C dz z f )(表示沿C的负方向的积分。
数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式，它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
38
解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
第1篇 复变函数论-第2章 复变函数积分
Anhui University 在上一章学习了复变函数，重点介绍了解析函数的许多性质，这些性质都是在可导和可微的基础上得出的。
第2章复变函数积分()(,)(,) 若函数在区域内解析则有：f z u x y iv x y D =+1. 解析函数的调和性：解析函数的实部与虚部均满足二维拉普拉斯方程：（由C-R 条件可证明）。
220,0.xx yy xx yy u u u u v v v v ∆≡∇=+=∆≡∇=+=2. 解析函数的共轭性：解析函数的实部与虚部由C-R 方程联系，称为解析函数的共轭性。
具体说只要知道解析函数的实部或者虚部就可求得解析函数。
3. 解析函数的实部与虚部是彼此相互正交的曲线。
0),(),(=∇⋅∇y x v y x u为了深入理解复变函数，本章用积分理论来分析复变函数积分。
基本内容：1、掌握复积分的概念、性质和计算方法；2、掌握解析函数的基本定理－Cauchy定理及其应用；3、掌握解析函数的基本公式－Cauchy公式及其应用2.1 复数函数积分一. 复积分的定义1max 0()lim ()k n k k n C k z f z dz f z ζ→∞=∆→=∆∑∫记作：()w f z l =为被积函数，为积分路径。
二. 复积分存在的条件1max 0()lim ()k n k kn l k z f z dz f z ζ→∞=∆→=∆∑∫由上式可知：一个复积分的实质是两个实积分的和。
实积分存在的条件：(,)(,)分段光滑，，在上连续l u x y v x y l因此复积分存在的条件：分段光滑，在上连续。
()l f z l注1：所说的曲线总是指光滑或逐段光滑曲线。
注2：边界的正方向：规定当观察者沿曲线边界前进时，所围的区域始终在观察者的左手边，则前进的方向为正方向。
rzz<−单连通区域Rzzr<−<复连通区域正方向正方向三. 复积分的性质(1)()d ()d l lf z z f z z −=−∫∫反转积分路径：(2)()d ()d ;() l l kf z z k f z z k =∫∫为复常数(3)[()()]d ()d ()d ;l l l f z g z z f z z g z z ±=±∫∫∫121()(),,k n n k L l f z dz f z dz n l l l ==∑∫∫"（4），若曲线L由段线段组成被积函数的线性可叠加性积分路径的可叠加性(5)|()||()|||L L f z dz f z dz ≤⋅∫∫(6) , () () ()d ()d .设曲线的长度为函数在上满足那么l l l L f z l f z M f z z f z s ML ≤≤≤∫∫积分估值定理四. 计算方法1. 用定义计算2. 通过计算实积分结果表明：被积函数与积分路径有关。
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式一、复变函数的积分定义复变函数f(z)的积分定义为：∫f(z)dz = ∫[u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∫[u(x, y)dy + v(x, y)dx]其中，u(x,y)和v(x,y)为复变函数f(z)的实部和虚部分别对x和y 的偏导数。
1.第一类曲线积分公式设C是定义在[a,b]上的光滑曲线，而f(z)是C上的复变函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(z(t))z'(t)dt其中，z(t)表示C上的参数方程，z'(t)表示z(t)对t的导数。
2.第二类曲线积分公式设C是封闭的简单光滑曲线，内部有有向单位法向量n，并设f(z)是C内的解析函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = 2πi Res[f(z), a]其中，a表示C内的任意一个孤立奇点，Res[f(z), a]表示f(z)在a 处的留数。
3.圆弧积分公式对于参数方程z(t) = a + re^(it)，其中t∈[θ1, θ2]，a为圆心，r为半径，则复变函数f(z)沿圆弧C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(a + re^(it))ire^(it)dt4.辐角积分公式设f(z)是C所在区域的解析函数，它在z=a处有极点，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = i∫R[f(z) - f(a)]dz其中，C是以a为圆心的环形曲线，R是C所围成的圆环区域。
5.亚纯函数积分公式设f(z)是C所在区域的亚纯函数，它在z=a处有一级极点∫f(z)dz = 2πiI(C, a)其中，I(C,a)为C围绕a的索引。
三、复变函数积分计算技巧1.选择适当的路径进行积分，常常选择直线、弧线或封闭曲线。
2.利用柯西-黎曼条件和柯西-黎曼方程进行变量转换和求导。
3.利用留数定理计算包括奇点与不同路径的积分。
4.利用对称性和奇偶性简化积分计算。
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
数学物理方法第2章复变函数积分-2016
49
50
【例2.3.2】试计算积分，
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状： (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点．
方程z4+1=0有四个根：z=exp[i (p+2kp)/4]， k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有 z1与z4位于积分回路之内
51
2. 复通区域的柯西公式
设f (z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点， 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向．
32
证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。
33
推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连 续变形时，其积分值不变．
证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线，如图2.9所示．由式 (2.2.21a) 可得
移项后，改变l2的积分方向，即有
复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证
43
由于e可任意地小，(q2-q1)为常量，式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义，可得
44
2. 大圆弧引理
若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上
这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便． 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式．
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ，则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 ， c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理，沿l的积分等于沿C1与C2积分之和， 后两个积分可按柯西公式算出，即
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n
n
两端取极限得
f ( z)dz
l
n பைடு நூலகம் 1
l
f ( z ) ds
性质5
因为
f (
k 1
n
k
) sk M sk ML
性质6 [证毕]
C
所以
C
f ( z )dz f ( z ) ds ML
5
第2章 复变函数的积分
2.1.3 复积分计算的参数方程法
l f (z)dz 0
B
l
•
推广单连通域柯西积分定理
若函数f ( z )在围线 l 上连续，在围线 l 所围的 区域 B 上解析 f ( z )dz =0
l
18
第2章 复变函数的积分
例2.2.1 计算积分
1
1 2
z i
z ( z 1)
2
dz .
解
1 1 1 1 , 2 z ( z 1) z 2 z i z i 1
1 2 i i 2
19
第2章 复变函数的积分
y
2. 复连通域柯西（Cauchy）积分定理
如何计算
z 2
1 d z. z 1
l1
l4 l 3
1 根据例2.1.3可知 z 1 z 1 dz 2 i 1 1 z 2 z 1 dz z 1 z 1 dz ???
o
1
2
x
l2
令 l l1 l2 l3 l4 , 则 1 1 1 1 1 l z 1 dz l1 z 1 dz l2 z 1 dz l3 z 1 dz l4 z 1 dz 0
l4
1 1 dz l3 z 1 dz z 1
(0 2π),
y
z
r z
0
当 n 0 时,
当 n 0 时,
2π 1 o l ( z z0 )n1 dz i 0 d 2 i; 1 i 2π l ( z z0 )n1 dz r n 0 (cos n i sin n )d 0
2 i, n 1 证明： ( z z0 ) dz , l 0, n 1
n
例2.2.2
其中 l 是包围 z z0 的任一围线。
解
在l 内作围线 l1 ： z0 z
根据复连通域柯西定理，有
( z z ) dz
n l 0
l1
y
2 i , n 1 ( z z0 ) dz 0, n 1
则
l
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
l l
若 l 的参数方程为: z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) ( t )
l
f ( z)dz [u(t ) x(t ) v(t ) y(t )]dt i [v(t ) x(t ) u(t ) y(t )]dt
x
2 i, 1 所以 r ( z z0 )n1 dz 0, z z0
n 0, n 0.
重要结论：积分值与路径 圆周的中心和半径无关.
12
第2章 复变函数的积分
小结
本节学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质。 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相 似的性质，重点掌握复积分的一般方法.
y x2
o
1
x
9
第2章 复变函数的积分
例2.1.2 计算
zdz, 其中 l 为 :
l
(1) 从原点到点 3 4i 的直线段；
(2) 从原点沿 x 轴到点 3 再到 3 4i 的折线.
解 (1) l 的参数方程为: z (3 4i) t , 0 t 1
z(t ) 3 4i
[u(t ) iv(t )] [ x(t ) iy(t )]dt
f [ z(t )]z(t )dt
6
第2章 复变函数的积分
例2.1.1 计算
Re zdz,
l
其中 l 为:
(1) 从原点到点 1 i 的直线段; (2) 抛物线 y x 2 上从原点到点 1 i 的弧段; (3) 从原点沿 x 轴到点 1 再到 1 i 的折线.
1
第2章 复变函数的积分
2.1 复变函数的积分 2.2 柯西积分定理
2.3 不定积分 2.4 柯西积分公式
2
第2章 复变函数的积分
2.1 复变函数的积分
2.1.1 积分的定义
设分段光滑曲线 l 的起点为 A、终点为 B，f ( z) 在 l 上有定义,
若 lim f ( k )( zk zk 1 ) lim f ( k )zk ( max{sk }) 存在， n n 1 k n
l1
1 1 1 dz l2 z 1 dz l2 z 1 dz z 1
20
第2章 复变函数的积分
设 l 为围线，l1、2、 、n 是在 l 内部的围线，它们互不 l l 包含也互不相交，则称 l l1 l2 ln 为复围线，所围成 的区域 B为复连通区域。
2
n Bz n zn1
x
积分存在的条件： f (z) 在曲线 l 上连续
3
第2章 复变函数的积分
2.1.2 复积分的性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) (2) (3)
l
f ( z )dz f ( z )dz;
l l
kf ( z)dz k f ( z)dz; [ f ( z) g ( z)]dz f ( z)dz g ( z)dz;
1 1
o
3
x
由(1) 和(2)可知：积分与路径无关
11
第2章 复变函数的积分
1 , r 例2.1.3 求 l ( z z0 )n1 dz（n 为整数） l 为以 z0 为中心、 为半径 的正向圆周.
解
i 积分路径的参数方程为 z z0 re 2π 1 irei l ( z z0 )n1 dz 0 r n1ei(n1) d i 2π in n e d r 0
于是 Re z t , dz (1 i2t )dt ,
(0 t 1),
t 2i 3 1 2 l Re zdz 0 t (1 i2t )dt 2 3 t 2 3 i; 0
1
2
1
y
1 i
y x2
o
1
x
8
第2章 复变函数的积分
(3) 积分路径由两段直线段构成 • x 轴上直线段的参数方程为 z (t ) t
13
第2章 复变函数的积分
思考
复函数的积分 f ( z )dz 与一元函数定积分是否一致?
l
14
第2章 复变函数的积分 2.2 柯西（Cauchy ）积分定理
问题：研究复积分与路径的无关性
积分与路径无关 围线的积分值为零
l1
f ( z )dz f ( z )dz
l2
l
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0
zdz (3 4i) tdt
2 l 0
1
(3 4i)
2
tdt
0
1
y
4
3 4i
(3 4i)2 7 12i 2 2
o
3
x
10
第2章 复变函数的积分
(2) 积分路径由两段直线段构成 • x 轴上直线段的参数方程为 z (t ) 3t (0 t 1),
于是 z(t ) 3
3 到 3+ 4i 直线段的参数方程为 z (t ) 3 i4t (0 t 1),
于是 z(t ) i4
y
4
3 4i
1 l zdz 0 3t 3dt 0 (3 i4t) i4dt 2 i 9 16 7 12i 12i 2 2 2
解 (1) 积分路径的参数方程为 z(t ) t it
(0 t 1),
y
于是 Re z t , dz (1 i)dt ,
1 l Re zdz 0 t (1 i)dt 2 (1 i);
1
1 i
o
1
x
7
第2章 复变函数的积分
z(t ) t it 2 (2) 积分路径的参数方程为
n
l
z l 0
1
o
x
23
•
l
l
B
单连通域
B
复连通域
17
第2章 复变函数的积分
1. 单连通域柯西（Cauchy）积分定理
若函数 f ( z ) 在闭单连通域 B 上解析 对 B 内的任何一条围线 l , 有
• 等价形式
f ( z)dz 0.
l
若函数f ( z)在围线 l 所围的闭区域 B B l 上解析
因为 1 1 1 和 都在 z i 上解析, 根据柯西定理得 z z i 2
1
1 2
z i
z ( z 1)
2
dz
1 2
z i
1 2
1 1 1 1 1 dz z 2 z i 2 z i