2021届北京市第四中学顺义分校高一第一学期数学期末试题
北京市顺义区高一上学期期末质量监测数学试题(解析版)
北京市顺义区高一上学期期末质量监测数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}1,2A ={}2,3,4B =A B = A ． B ．C ．D ．{}1,2{}2,3{}2{}3,4【答案】C【分析】根据交集的概念，直接求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以. {}1,2A ={}2,3,4B ={}2A B ⋂=故选：C.2．已知函数，那么的定义域是（ ）()()3log 2f x x =-()f x A ． B ． {0}x x >∣{2}xx <∣C ． D ． {}2x x ≠∣{2}xx >∣【答案】D【分析】根据真数大于0求解可得. 【详解】由解得, 20x ->2x >所以函数的定义域为. ()f x {}2x x 故选：D3．命题：“”的否定为（ ） p 2,2x x ∀∈>R A ． B ． 2R,2x x ∃∈≤2R,2x x ∃∈>C ． D ．2R,2x x ∀∈≤2R,2x x ∃∉≤【答案】A【分析】根据全称量词命题的否定形式直接判断可得. 【详解】全称量词命题的否定为特称量词命题， 所以的否定为. 2,2x x ∀∈>R 2,2x x ∃∈≤R 故选：A4．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） ()0,∞+A ．B ． 3log y x =y =C ．D ．3x y =2y x =-【答案】D【分析】由解析式直接得到函数的单调性，选出正确答案. 【详解】在上单调递增，A 错误； 3log y x =()0,∞+上单调递增，B 错误；y =()0,∞+在上单调递增，C 错误；3x y =()0,∞+在上单调递增，在上单调递减，D 正确.2y x =-(),0∞-()0,∞+故选：D5．已知函数.在下列区间中，包含零点的是（ ）()1e 44xf x x -=+-()f x A ． B ． C ． D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】A【分析】依次求出的符号，由零点存在定理判断即可.()()()()0,1,2,3f f f f 【详解】，由零点存在定理可知，包含()()()()21040,110,2e 40,3e 80ef f f f =-<=>=+>=+>()f x 零点的是. ()0,1故选：A6．已知，则（ ） 12211log ,2,22a b c ⎛=== ⎪⎝⎭A ．B ． a b c <<a c b <<C ．D ．c<a<b b<c<a 【答案】B【分析】由对数运算直接求出，由为增函数可得，即可判断. 10a =-<2x y =0c b <<【详解】，由为增函数可知，即.21log 102a ==-<2x y =12022<<0a c b <<<故选：B7．已知，则是的（ ） a b >c d >a c b d +>+A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由不等式的可加性可以直接推出；反之，可以赋值验证不成立. a c b d +>+c d >【详解】已知，若，由不等式的可加性，则成立；a b >c d >a c b d +>+已知，若成立，则不一定成立，例如，令，，a b >a c b d +>+c d >10,1a b ==0,1c d ==10a c +=，，满足，，但. 2b d +=a b >a c b d +>+c d <所以是的充分不必要条件. c d >a c b d +>+故选：A.8．若函数的图象关于直线对称，则的值可以是（ ）()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x t =t A ． B ． C ． D ．6π3π512π2π【答案】C 【分析】令,，然后对赋值可得. ππ2π32x k -=+k ∈Z k 【详解】由，，得 ππ2π32x k -=+k ∈Z 5ππ,122k x k =+∈Z 取可得. 0k =5π12x =故选：C9．已知，且存在使得，则()()()221,R f x x a x b a b =--+∈ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()cos cos πf f θθ=-a的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．1-【答案】B【分析】利用诱导公式得到，代入函数解析式即可得到，从而()()cos cos f f θθ=-()21cos 0a θ-=求出的值.a 【详解】解：因为存在使得，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()cos cos πf f θθ=-即存在使得，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()cos cos f f θθ=-即，()()222cos 1cos 2cos 1cos a b a b θθθθ--+=+-+即，()21cos 0a θ-=因为，所以，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭(]cos 0,1θ∈所以，所以. 10a -=1a =故选：B二、解答题10．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成.设制作扇子的扇形面积为，圆面中剩下部分的面积为，当时，1S 2S 120.618S S =≈扇面看上去形状较为美观.那么，此时制作扇子的扇形圆心角约为（ ） A ． B ．C ．D ．π5π63π42π3【答案】C【分析】设扇子的扇形的圆心角为，圆面中剩下部分的圆心角为，半径为，根据扇形的面积1α2αr 公式得到，再由，求出，即可得解. 12α122παα+=1α【详解】解：设扇子的扇形的圆心角为，圆面中剩下部分的圆心角为，半径为1α2αr 则，即， 212221120.61812r S Sr αα==≈12α又，122παα+= ，∴222πα+=故，)21πα=所以，；12(3πα==13π(3180137.54α=⨯︒≈︒≈故选：C ．11．已知函数A ，集合. ()f x ={29}B xx =<<∣(1)求集合A ； (2)求. ,A B B R ⋃ð【答案】(1)； [)3,+∞(2)，. ()2,+∞(][),29, -∞+∞【分析】（1）定义域满足即可； 30x -≥（2）按定义直接进行并集、补集运算即可【详解】（1）由已知得，，∴； {30}A xx ∣=-≥[)3,A =+∞（2），∴.()2,9B =()(][)2,,,29,A B B R ⋃=+∞=-∞+∞ð12．已知函数其中，.()2ln ,1e,22, 1.x x f x x x x <≤⎧=⎨-++≤⎩e 2.71828= (1)求与的值； ()e f ()1f -(2)求的最大值.()f x 【答案】(1),. (e)f 1=(1)1f -=-(2) 3【分析】（1）根据分段函数的解析式可求出结果； （2）利用函数的单调性分段求出最大值，再比较可得结果. 【详解】（1）,(e)f ln e=1=.2(1)(1)2(1)21f -=--+⋅-+=-（2）当时，为增函数，，1e x <≤()ln f x x =max ()(e)1f x f ==当时，为增函数，，1x ≤()()222213f x x x x =-++=--+()()max 13f x f ==因为，所以的最大值为.31>()f x 313．已知函数，满足()()ππ2sin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭()0f =(1)求的值；ϕ(2)求函数的单调递增区间. ()f x 【答案】(1)π3(2)()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据()0f =（2）由（1）可得的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. ()f x【详解】（1）解：因为且， ()()2sin 2x x f ϕ=+()0f =所以，即，又，所以.()02sin f ϕ==sin ϕ=ππ22ϕ-<<π3ϕ=（2）解：由（1）可得，()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，解得，()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤+≤+∈()5ππππZ 1212k x k k -+≤≤+∈所以函数的单调递增区间为.()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦14．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位xOy αx 圆交于第一象限的点.14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求的值；1y (2)将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转角后与单位圆交于点，再从条件①､条αO β()22,Q x y 件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的值. 22y x ①；②；③. π2β=πβ=3π2β=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)35(2)若选①，则；若选②，则；若选③，则. 2243y x =-2234y x =2243y x =-【分析】（1）根据点为单位圆上位于第一象限的点，直接求解即可；14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭（2）根据三角函数的定义，先得到，，，；再结3sin 5α=4cos 5α=()2sin y αβ+=()2cos x αβ+=合所选条件，利用诱导公式，即可求解.【详解】（1）（1）因为角的终边与单位圆交于第一象限的点，α14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭所以，解得；22114150y y ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩135y =（2）（2）由（1）根据三角函数的定义可得，，，，3sin 5α=4cos 5α=()2sin y αβ+=；()2cos x αβ+=若选条件①， π2β=则； 22πsin cos 42πsin 3cos 2y x αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭===--⎛⎫+ ⎪⎝⎭若选条件②，πβ=则； ()()22sin πsin 3cos πcos 4y x αααα+-===+-若选条件③， 3π2β=则. 223πsin cos 423πsin 3cos 2y x αααα⎛⎫+ ⎪-⎝⎭===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭15．悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.这类悬链线对应的函数表达式为是非零常数，无理数.()e e (,x xf x a b a b -=+e 2.71828)= (1)当时，判断的奇偶性并说明理由；1,1a b ==-()f x (2)如果为上的单调函数，请写出一组符合条件的值； ()f x R ,a b (3)如果的最小值为2，求的最小值. ()f x a b +【答案】(1)奇函数，理由见解析； (2)（均可） 1,1a b ==-0ab ≤(3)2【分析】（1）由奇偶函数的定义判断即可；（2）为上的单调函数，则或单调性相同即可，结合指数函数单调性()f x R 0ab =e ,e x x y a y b -==判断即可；（3）当时，单调无最小值，再结合均值不等式分别讨论、时是0ab ≤()f x 0,0a b >>0,0a b <<否有最小值，即可得a 、b 的关系式，从而进一步求的最小值. a b +【详解】（1）为奇函数. 理由如下：()f x 当时，，，∵，∴为奇函数.1,1a b ==-()e e x x f x -=-x ∈R ()()e e x xx f x f --==--()f x （2）∵为上的单调函数，则或单调性相同即可，故. ()f x R 0ab =e ,e x x y a y b -==0ab ≤一组符合条件的值为（均可）.,a b 1,1a b ==-0ab ≤（3）的最小值为2，由（2）得当时，单调无最小值，故.()f x 0ab ≤()f x 0ab >当时，时取等号，且当0,0a b >>()e e x x f x a b -=+=≥2e xba=1ab =时，的最小值为2，此时，当且仅当时取等号；()f x 2a b +≥=1a b ==当时，，无最小值，不合题意. 0,0a b <<()()e e x x f x a b -=----=≤综上，的最小值为2.a b +16．已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. A ,x y A ∈,x y A xy A +∈∈A (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； {}{}0,1,0,1B C ==-(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；p 12,A A 12A A ⋃命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂(3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. A R,R A ≠R A ð【答案】(1)集合都是封闭集，理由见解析； {}{}0,1,0,1B C ==-(2)命题为假命题，命题q 为真命题，理由见解析； p (3)见解析.【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可；(2) 对命题举反例说明即可；p 12{|2,Z},{|3,Z}A x x k k A x x k k ==∈==∈对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断q 12,()a b A A ∈⋂12,A A 1212(),()a b A A ab A A +∈⋂∈⋂为正确；(3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的. A Q =R Q ðR Q ð【详解】（1）解：对于集合 因为， {}0,B =000,000B B +=∈⨯=∈所以是封闭集；{}0B =对于集合，因为，，{}1,0,1C =-101,100C C -+=-∈-⨯=∈110,111C C -+=∈-⨯=-∈，011,010C C +=∈⨯=∈所以集合是封闭集；{}1,0,1C =-（2）解：对命题：令，p 12{|2,Z},{|3,Z}A x x k k A x x k k ==∈==∈则集合是封闭集，如，但不是封闭集，故错误；12,A A 12{0,2},{0,3}A A =-=12{0,2,3}A A =-⋃对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， q 12,()a b A A ∈⋂1,a b A ∈1A 所以， 11,a b A ab A +∈∈同理可得， 22,a b A ab A +∈∈所以， 1212(),()a b A A ab A A +∈⋂∈⋂所以是封闭集，故正确；12A A ⋂（3）证明：因为非空集合是封闭集合，且 A R,A ≠所以， R R ,R A A ≠∅≠ðð假设是封闭集，R A ð由(2)的命题可知：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集， q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂又因为， R ()A A ⋂=∅ð所以不是封闭集. R A ð得证.三、双空题17．计算：（1）__________；（2）__________. 16log 2=4cos 3π=【答案】##0.25 ##-0.51412-【分析】（1）由对数运算性质即可求. （2）由诱导公式即可求.【详解】（1）；1416161611log 2log 16=log 16=44=（2）. 41cos cos πcos 3332πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭故答案为：；.1412-四、填空题18．不等式的解集是__________. 223x x -+≤-【答案】或 3{|2x x ≥1}x ≤-【分析】将不等式变形为，即可求出不等式的解集. ()()2310x x -+≥【详解】解：不等式，即，即， 223x x -+≤-2230x x --≥()()2310x x -+≥解得或， 32x ≥1x ≤-所以不等式的解集为或. 3{|2x x ≥1}x ≤-故答案为：或 3{|2x x ≥1}x ≤-19．函数的最小正周期是_________. ()2sin 3y x =【答案】23π【分析】直接由周期公式得解．【详解】函数的最小正周期是： ()2sin 3y x =2233T ππ==故填：23π【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题．()sin y A x B =++ωϕ20．A ､B ､C 三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为y (0)x x >，则下列结论中，所有正确结论的序号是__________.12221,log ,xA B C y y x y x =-==①当时，A 总走在最前面； 1x >②当时，C 总走在最前面； 01x <<③当时，一定走在前面. >4x B C 【答案】①②【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论. 【详解】在同一坐标系内画出的函数图象，12221,log ,x A B Cy y x y x =-==当时，指数函数的增长速度>幂函数的增长速度>对数函数的增长速1x >21xA y =-12B y x =12C y x =度，当时，，故当时，A 总走在最前面，①正确； 1x =121211,1A Cy y =-===1x >当时，由图象可知：C 总走在最前面，②正确；01x <<当时，， 4x =122422log ,4B Cy y ====当时，， 16x =1221644log ,16B Cy y ====由于幂函数的增长速度>对数函数的增长速度， 12B y x =12Cy x =故时，B 走在C 前面，416x <<当时，走在后面，③错误.>16x B C 故答案为：①②21．下表是某班10个学生的一次测试成绩，对单科成绩分别评等级： 学生学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 140 136 136 135 134 133 128 127 124m语文成绩 102 110 111 126 102 134 9795 98n在这10名学生中，已知数学成绩为“A 等”的有8人，语文成绩为“A 等”的有7人，数学与语文两科成绩全是“A 等”的有6人，则下列说法中，所有正确说法的序号是__________.①当时，；127m >98n <②当时，；127m <98n >③恰有1名学生两科均不是“A 等”；④学号1~6的学生两科成绩全“A 等”.【答案】①③④【分析】根据各科成绩排名及“A 等”成绩的人数，分别讨论、、时数学成绩127m >127m =127m <为“A 等”的情况，、、时语文成绩为“A 等”的情况，98n >98n =98n <最后再结合符合的情况分类讨论数学与语文成绩全是“A 等”的情况，即可得出所有符合的情形，最后依次对各序号判断即可.【详解】当，数学成绩为“A 等”的8人从高到低为号； 127m >123456710、、、、、、、当，数学成绩为“A 等”不为8人，不合题意；127m =当，数学成绩为“A 等”的8人为号. 127m <12345678、、、、、、、当，语文成绩为“A 等”的7人为号； 98n >12345610、、、、、、当，语文成绩为“A 等”不为7人，不合题意；98n =当，语文成绩为“A 等”的7人为号. 98n <1234569、、、、、、故当，时，数学与语文两科成绩全是“A 等”的有号，共7人，不合题127m >98n >12345610、、、、、、意；当，时，数学与语文两科成绩全是“A 等”的有号，共6人，符合题意； 127m >98n <123456、、、、、当，时，数学与语文两科成绩全是“A 等”的有号，共6人，符合题意； 127m <98n >123456、、、、、当，时，数学与语文两科成绩全是“A 等”的有号，共6人，符合题意. 127m <98n <123456、、、、、综上可知：对①，当时，，①对；127m >98n <对②，当时，，②错；127m <98n ¹对③，当，、，、，时，两科均不是“A 等”的学生依次127m >98n <127m <98n >127m <98n <为8、9、10号，均恰有1名，③对；对④，学号1~6的学生两科成绩全“A 等”，④对.故答案为：①③④。
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北京市顺义区2021届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设集合()(){}=310M x x x -+<，{}04N x x =<<，则M N =（ ）A. ()0,3B. ()1,4-C. 0,1D. ()1,3-【答案】A 【解析】 【分析】先化简M ,再和N 求交集.【详解】解：()(){}{}=310|13M x x x x x -+<=-<<, 又因为{}04N x x =<< 所以{}|03M N x x =<<,即()0,3.故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题. 2.设复数121iz i+=-，则z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先把复数化成z a bi =+的形式,即可得出对于的象限.【详解】解：()()()()21211212213131112222i i i i i i i z i i i i ++++++-+=====-+--+ 所以z 在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B【点睛】本题考查复数的运算和几何意义,属于基础题. 3.若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解. 【详解】解：33log 0.2log 10a =<=,0.20221b =>=, 2000.20.21c <<==,所以01a c b ,即a c b <<. 故选：A【点睛】本题考查三个数大小的比较,是基础题,要注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用.4.若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ） A. 2ab >B. 2a b +<C.11a b< D.2b aa b+> 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质,特殊值排除法和基本不等式解题. 【详解】因为：1b a >> 对于A ：当34,23ab ,所以34223ab ,故A 错误；对于B ：因为1b a >>,所以2a b +>,故B 错误； 对于C ：因为1b a >>,所以1101b a<<<,故C 错误；对于D ：因为1b a >>,所以2b a a b +≥=, 又因为1b a >>,则b aa b ≠,故不取等,即2b a a b+>,故D 正确；【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力.5.抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（ ）A. 22B. 8C. 4D. 1【答案】B 【解析】 【分析】分别求出抛物线与双曲线的焦点,两焦点为同一焦点,即可得出p 的值. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭, 双曲线22x y p -=,为221x y p p-=, 则22c p =,2c p =,焦点为：()2,0p 或()2,0p -,所以有22pp =,解得0p =或8p =,又因为0p >, 所以8p =. 故选：B【点睛】本题考查抛物线与双曲线的焦点,是基础题.6. 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是A. 43+B. 12C. 43D. 8【解析】试题分析：由三视图知：原几何体是一个正四棱锥，正四棱锥的底面边长为2，所，所以该几何体的侧面积为1=224=82s ⨯⨯⨯． 考点：三视图；四棱锥的侧面积．点评：解决这类题的关键是准确分析出几何体的结构特征，发挥自己的空间想象力，把立体图形和平面图形进行对照，找出几何体中的数量关系．7.设非零向量,a b 满足()2a b a -⊥，则“a b =”是“a 与b 的夹角为3π”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先根据()2a b a -⊥求出当“a b =”时a 与b 的夹角,再判断命题间的关系. 【详解】因为设非零向量,a b 满足()2a b a -⊥,所以()20a b a -⋅=,即220a b a -⋅=，即22cos 0a b a a b -⋅<⋅>= 若 “a b =”时，1cos 2a b <⋅>=,3a b π<⋅>=, 即a 与b 的夹角为3π. 反之，若a 与b 的夹角为3π，则222cos 0a b a a b a b a a b -⋅<⋅>=-⋅=⇒=，所以“a b =”是“a 与b 的夹角为3π”充分必要条件.故选：C【点睛】本题考查向量垂直的定义和命题间的基本关系,属于基础题. 8.当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]50,2,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.(][)20,1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,由二次函数的性质分析可得()()21f x mx =-为二次函数,在区间10,m ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数,在区间1,1m为增函数,分01m <≤和1m 两种情况,结合图象分析两个函数的单调性与值域,即可得出正实数m 的取值范围.【详解】解：当[]0,1x ∈时,又因为m 为正实数, 函数()()21f x mx =-的图象二次函数, 在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间1,1m 为增函数; 函数()22m mg x x x =+=+,是斜率为1的一次函数. 最小值为min2mg x ,最大值为max12m g x ; ①当11m≥时,即01m <≤时, 函数()()21f x mx =-在区间0,1 为减函数,()2mg x x =+在区间0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()2012mm ⨯-≥,解得2m ≤, 所以01m <≤ ②当101m<<时,即1m 时,函数()()21f x mx =-在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间1,1m 为增函数, ()2mg x x =+在区间0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点 ()()()()10011m f g f g ⎧>⎪≥⎨⎪<⎩,()()2201021112m m m m ⎧⨯-≥+⎪⎪⎨⎪⨯-≥+⎪⎩ 解得12m <≤或52m >综上所述：正实数m 的取值范围为(]50,2,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭. 故选:B【点睛】本题考查函数的交点问题,涉及函数单调性的应用,关键是确定实数m 的分类讨论. 二、填空题9.sin 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭____ 【答案】12- 【解析】 【分析】根据诱导公式三将角化为正角,再计算对应的三角函数值. 【详解】解：1sin sin 662ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：12-【点睛】本题考查诱导公式和特殊角的三角函数.10.设n S 为公比1q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和,且13a ，22a ，3a 成等差数列，则q =__________,42S S =________. 【答案】 (1). 3 (2). 10 【解析】 【分析】先设等比数列的通项公式11n n a a q -=,再根据13a ,22a ,3a 成等差数列,利用等差中项列方程,求出公比,再代入42S S 即可解出本题.【详解】解：设等比数列的通项公式11n n a a q -=,又因为13a ,22a ,3a 成等差数列,所以213322a a a =+⨯,即211143q a a a q =+,又因为等比数列中10a ≠,则243q q =+,解得1q =或3q =,又因为1q ≠,所以3q =.所以()()4144422221111380110113811a q S q q S q a q q-----=====-----. 故答案为：(1).3 (2). 10【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差中项以及等比数列的前n 项和公式,属于基础题.11.若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.【答案】0【解析】 【分析】先令()1y f x =-等于0,再根据分段函数分情况求解. 【详解】解：要求函数()1y f x =-的零点,则令()10y f x =-=,即1f x,又因为：()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,①当0x ≤时,()xf x e =,1x e =,解得0x =.②当0x >时,()21f x x =-,211x -=,解得x =,所以x =.综上所以,函数()1y f x =-的零点是0.故答案为：0【点睛】本题考查函数的零点,以及已知函数值求分段函数的定义域,属于基础题. 12.在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则b =_________.【答案】5 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解. 【详解】解：因为在ABC ∆中,8ac =,7a c +=,3B π=,由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-, 2222cos3b ac ac ac ,22172828252b所以5b =. 故答案为：5【点睛】本题题考查余弦定理求三角形的边,属于基础题.13.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,当AOB ∆的面积达到最大时,k =________. 【答案】±1【解析】 【分析】由圆的方程找出圆心O 坐标和半径r ,同时把直线的方程整理为一般式方程,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心O 到直线的距离d ,即为圆O 中弦AB 的弦心距,根据垂径定理得到垂足为弦AB 的中点,由圆的半径,弦心距及弦的一半构成的直角三角形,利用勾股定理表示出弦AB 的长度,然后利用三角形的面积公式底乘以高除2,用含有d 的式子表示出三角形AOB ∆的面积,2a b+<求出面积的最大值,以及面积取得最大值时d 的值,从而列出关于k 的方程,求出方程的解即可得到面积最大时k 的值. 【详解】解：由圆22:1O x y +=, 得到圆心坐标为()0,0O ,半径1r =, 把直线的方程为:1l y kx =+,整理为一般式方程得：:10l kx y -+=, .圆心()0,0O 到直线AB 的距离211dk弦AB 的长度AB ==2222111212111AOBk k Sk k k k k, 又因为1122k kkk,12AOBS当且仅当1kk时取等号,AOB S 取得最大值,最大值为12. 解得1k =± 故答案为：±1【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有：圆的标准方程,直线的一般式方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,以及基本不等式的应用,当直线与圆相交时,常常由弦长的一半,弦心距,以及圆的半径构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.14.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本; ②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; ③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; ④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据图象可知盈利额y 与观影人数x 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.【详解】解:由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+,0,0k b ><,即k 为票价,当0k =时,y b =,则b -为固定成本, 由图象(2)知,直线向上平移,k 不变,即票价不变,b 变大,则b -变小,成本减小.故①错误,②正确;由图象(3)知,直线与y 轴的交点不变,直线斜率变大,k 变大,即提高票价,b 不变,则b -不变,成本不变.故③正确,④错误;故答案为:②③【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及k 和b 对一次函数图象的影响,是基础题. 三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.函数23()sin cos 3sin 2f x x x x ωωω=⋅-+（0>ω）的部分图象如图所示.（1）求ω的值； （2）求()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值. 【答案】（1）1ω=（2）最大值为1，最小值为3【解析】 【分析】 先用降幂公式将23()sin cos 32f x x x x ωωω=⋅+化为()1333sin 222f x x x ωω=-+,再利用三角函数的和差公式化为()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,根据图象可得最小正周期,利用2T |2|πω=求出ω即可. （2）由,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,得出2,33x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,即可求出3sin 2,132x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,则得到最大最小值.【详解】解：（1）23()sin cos 3f x x x x ωωω=⋅-+11cos 232sin cos 322x x x ωωω-=⋅⋅-⋅+1333sin 2cos 22222x x ωω=-++13sin 2cos 222x x ωω=+ sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期25T 2(0)|2|63πππωω⎛⎫==-> ⎪⎝⎭∴1ω= （2）∵,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2,33x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦∴3sin 2,132x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ∴求()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为1,最小值为3-【点睛】本题考查根据三角函数图象求函数解析式,以及求三角函数在给定区间内的最大最小值.16.已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD AB =,E 是PB 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ;（2）求二面角E AD B --的大小;（3）试判断AE 所在直线与平面PCD 是否平行,并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）45︒（3）AE 与平面PCD 不平行,详见解析 【解析】 【分析】（1）先根据条件证BC ⊥平面PCD ,又因为BC ⊂平面PBC ,所以可以证得平面PBC ⊥平面PCD .（2）根据条件得,,DA DC DP 两两垂直,以此建立空间直角坐标系,求出平面ADB的法向量(0,0,1)DP =,设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =,求出法向量(0,1,1)n =-,根据公式求出两个法向量的余弦值,即可得出二面角E AD B --的大小.（3）依题意可证AD ⊥平面PCD ,则平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =,又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭,则AE 与DA 不垂直,证得AE 与平面PCD 不平行.【详解】（1）证明：∵ABCD 是正方形BC CD ∴⊥ ∵PD ⊥平面ABCD , BC ⊂平面ABCD ∴PD BC ⊥ ∵PD CD D ⋂=,PD CD ⊂平面PCD ∴BC ⊥平面PCD 又∵BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PCD（2）∵PD ⊥平面ABCD , ,AD CD ⊂平面ABCD ∴,PD AD PD CD ⊥⊥ 又∵ABCD 是正方形∴AD CD ⊥ ∴,,DA DC DP 两两垂直∴以D 为原点如图建系,设1PD AB∴0,0,0D （）,(1,0,0)A ,(0,1,0)C ,(1,1,0)B ,(0,0,1)P , 111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭∴111(1,0,0),,,222DA DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭又∵PD ⊥平面ABCD∴平面ADB 的法向量(0,0,1)DP = 设平面ADE 的法向量(,,)n x y z = 则DA n ⊥,DE n ⊥∴01110222DA n x DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令1z =,得1,0y x =-=∴(0,1,1)n =- ∴2cos ,2||||12DP n DP n DP n ⋅<>===⋅⋅∴二面角E AD B --的大小为45︒（3）∵PD AD ⊥,AD CD ⊥ ,PD CD D ⋂= 又,PD CD ⊂平面PCD ,∴AD ⊥平面PCD ∴平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭∴AE 与DA 不垂直,∴AE 与平面PCD 不平行【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查用向量法求二面角的夹角,是立体几何中的基础题,掌握证明的条件是解题的关键.17.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100]，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）180人（2）0.1（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据样本总人数100人,中男生有55人,则可算出女生45人.再根据总人数是400人,按样本中的女生人数与样本总人数的比例即可估算出的估计总体中女生人数. （2）由表可用1减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+=,根据二项分布列出频率分布列,计算数学期望【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人 ∴估计总体中女生人数45400180100⨯=人 （2）设“不及格”为事件A ,则“及格”为事件A∴()1()1(0.20.40.20.1)0.1P A P A =-=-+++=（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+= 依题意可知：~(3,0.3)X B3(0)0.7P B ==,1123(1)0.30.7P X C == 22133(2)0.30.7,(3)0.3P X C X P ====所以,X 的分布列为()30.30.9E X np ==⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差. 18.已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈（1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤. 【答案】（1）230x y +-=（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将2a =代入函数2()2ln f x x a x =-,对函数求导,将1x =代入导函数求斜率,将1x =代入原函数求切点,最后用点斜式求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程；（2）先求导得()22()(0)x a f x x x-'=>,讨论当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,则()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值.当0a >时,令()0f x '=得x =x =分别讨论(x ∈时和 )x ∈+∞时的单调性,得出所以()f x 存在最小值,ln Q f a a a ==-.再对新函数求导,根据单调性即可得出最大值为1,则1Q ≤得证.【详解】解：（1）2a =时,22()4ln ,(1)1f x x x f =-=4()2f x x x'=-切线斜率(1)242k f '==-=-曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为：12(1)y x -=--即：230x y +-=（2）()222()2(0)x a a f x x x x x-'=-=> ①当0a ≤时,()0f x '≥恒成立()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值②当0a >时,由()0f x '=得x =x =(x ∈时,()0f x '<,()f x 在(单调递减)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x )+∞单调递增所以()f x 存在最小值,ln Q f a a a ==-下面证明1Q ≤.设函数()ln (0),()1(ln 1)ln g a a a a a g a a a '=->=-+=-由()0g a '=得1a =,易知()g a 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减 所以()g a 的最大值为(1)1g = 所以()1g a ≤恒成立,1Q ≤得证.【点睛】本题考查利用导数求切线方程,以及含有参数的不等式的证明，利用导数求极值,属于中档题,分类讨论是关键.19.已知椭圆C ：223412x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论. 【答案】（1）12（2）以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0和()7,0,证明见解析 【解析】 【分析】（1）先将223412x y +=转化为22143x y +=,根据椭圆的性质得到,,a b c ,即可求出离心率.（2）根据椭圆方程求出(2,0),(2,0)A B -,设()00,P x y ,则2200:3412C x y +=①,分别求出直线AP 和BP 的方程,再分别与4x =相交于点 M 0064,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭和N 0024,2y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,设以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0Q x ,则MQ NQ ⊥,即0MQ NQ ⋅=得()()()22100124022y x x x -+=+-②,将①代入②得()2149x -= 解得11x =或17x =,得出MN 为直径的圆是过定点()1,0和()7,0.【详解】解：（1）由223412x y +=得22143x y +=,那么224,3a b ==所以2221c a b =-=解得2a =,1c =所以离心率12c e a == （2）由题可知(2,0),(2,0)A B -,设()00,P x y ,则2200:3412C x y +=① 直线AP 的方程：00(2)2y y x x =++令4x =,得0062M y y x =+,从而M 点坐标为0064,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭直线BP 的方程：00(2)2y y x x =-- 令4x =,得0022N y y x =-,从而N 点坐标为0024,2y x ⎛⎫⎪-⎝⎭设以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0Q x ,则MQ NQ ⊥由0MQ NQ ⋅=得()()()22100124022y x x x -+=+-② 由①式得()2220001236994y x x =-=-,代入②得()2149x -=解得11x =或17x =所以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0和()7,0.【点睛】本题考查已知椭圆的方程求离心率和证明椭圆中的定点问题,属于中档题.20.若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈,必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ,且1241,3,1,a a a ===67819a a a ++=,求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是等比数列,141b c ==,4164b c ==,n n n a b c =+.判断{}n a 是否具有性质P ,并说明理由； （3）设{}n b 是无穷数列,已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）315a =（2）{}n a 不具有性质P ,详见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据{}n a 具有性质P ,且14=1a a =,可得25=3a a =,又因为36a a =,471a a ==,583a a ==,则367845a a a a a a =++--,代入数据即可得结果.（2）141b c ==,4164b c ==得出{}n b 的公差和{}n c 的公比,即可设{}n b 和{}n c 的通项公式,得出421204nn n n a b c n -=+=-+.因为1465a a ==,则238a =,53414a =,得出25a a ≠,所以{}n a 不具有性质P .（3）先证充分性：当{}n b 为常数列时,11sin n n a b a +=+.对任意给定的1a ,只要p q a a =,则由11sin sin p q b a b a +=+,必有11p q a a ++=.充分性得证.再证必要性：用反证法证明.假设{}n b 不是常数列,则存在k *∈N ,使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==,而1k b b +≠.证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ,使得121k a a a +==⋅⋅⋅=,但21k k a a ++≠.设()sin f x x x b =--,取m *∈N ,使得m b π>,再根据条件类推,得出{}n a 不具有性质P ,矛盾.必要性得证即可得出结论.【详解】解：（1）因为14=1a a =,所以25=3a a =,36a a =,471a a ==,583a a ==. 所以678313a a a a ++=++,又因为67819a a a ++=,解得315a = （2）{}n b 的公差为21,所以()12112120n b n n =+-=-,{}n c 的公比为14,所以1416444n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭所以421204n n n n a b c n -=+=-+.所以1465a a ==,238a =,53414a =,因为25a a ≠, 所以{}n a 不具有性质P . （3）证明充分性： 当{}n b 常数列时,11sin n n a b a +=+.对任意给定的1a ,只要p q a a =,则由11sin sin p q b a b a +=+,必有11p q a a ++=. 充分性得证.证明必要性：用反证法证明.假设{}n b 不是常数列,则存在k *∈N , 使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==,而1k b b +≠.下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ,使得121k a a a +==⋅⋅⋅=,但21k k a a ++≠.优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 设()sin f x x x b =--,取m *∈N ,使得m b π>,则()0f m m b ππ=->,()0f m m b ππ-=--<,故存在c 使得()0f c =.取1a c =,因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤）,所以21sin a b c c a =+==,依此类推,得121k a a a c +==⋅⋅⋅==.但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+,即21k k a a ++≠.所以{}n a 不具有性质P ,矛盾.必要性得证.综上,“对任意1a ,{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”【点睛】本题考查数列新定义,考查等差、等比数列的定义,考查数列为基础的证明题.。
2020-2021学年北京市顺义区高三(上)期末数学试卷(一模)(附答案详解)
2020-2021学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷（一模）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合M={x|(x−1)(x+2)<0}，N={x|x≥−1}，则M∩N=()A. (−2,1)B. [−1,1)C. [−1,+∞)D. (−1,1)2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,1)，则1z=()A. 38−18i B. 110−310i C. 34−14i D. 310−110i3.在(√x+1x)6的展开式中，常数项为()A. 15B. 30C. 20D. 404.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 13B. 16C. 1D. 235.我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯()A. 32盏B. 64盏C. 128盏D. 196盏6.设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若C的一条渐近线的斜率为23，则C的离心率为()A. √133B. √132C. √53D. √527.已知a，b∈R，且a>|b|，则下列不等式中不恒成立的是()A. a>bB. a+b>0C. 1a >1bD. a2>b28.已知两条直线m，n和平面α，且n//α，则“m⊥n”是“m⊥α”的()A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件9. 在△ABC 中，b =3,c =√3a,B =π6，则cosC =( )A. √32B. 12C. −√32D. −1210. 已知函数f(x)=3x −1+ax x.若存在x 0∈(−∞,−1)，使得f(x 0)=0，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,43)B. (0,43)C. (−∞,0)D. (43,+∞)二、单空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. tan(−π4)= ______ ．12. 设抛物线y 2=mx 的焦点为F(1,0)，则m = ______ ；若点A 在抛物线上，且|AF|=3，则点A 的坐标为______ ．13. 已知函数f(x)=ax 2+bx +c ，能说明f(x)既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的一组整数a ，b ，c 的值依次是______ ．14. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =√22，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为______ ；|a ⃗ −x b ⃗ |(x ∈R)的最小值为______ ． 15. 已知椭圆C ：x 216+y 28=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x =m(−4<m <4)与椭圆C 相交于点A ，B.给出下列三个命题：①存在唯一一个m ，使得△AF 1F 2为等腰直角三角形； ②存在唯一一个m ，使得△ABF 1为等腰直角三角形； ③存在m ，使△ABF 1的周长最大． 其中，所有真命题的序号为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =AA 1，E 是A 1C 1的中点．(Ⅰ)求证：AB ⊥CE ；(Ⅱ)求二面角B −CE −A 的余弦值．17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数g(x)=f(x−π6)−2cos2x在区间[0,π2]上的最小值．18.为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：注：1.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．(Ⅰ)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；(Ⅱ)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)用“ξ=1”和“ξ=0”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“η=1”和“η=0”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差D(ξ)与D(η)的大小.(结论不要求证明)19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(0,1)和N(√3,12)．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为2√55.求证：以AB为直径的圆经过点O．20.已知函数f(x)=x2−alnx(a>0)．(Ⅰ)若a=2，求曲线y=f(x)的斜率等于3的切线方程；,e]上恰有两个零点，求a的取值范围．(Ⅱ)若f(x)在区间[1e21.已知{a n}是无穷数列.给出两个性质：①对于{a n}中任意两项a i，a j(i>j)，在{a n}中都存在一项a m，使得2a i−a j=a m；②对于{a n}中任意项a n(n≥3)，在{a n}中都存在两项a k，a l(k>l)，使得a n=2a k−a l．(Ⅰ)若a n=2n(n=1,2,…)，判断数列{a n}是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若a n=n(n=1,2，…)，判断数列{a n}是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{a n}是递增数列，a1=0，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n}为等差数列．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵M={x|−2<x<1}，N={x|x≥−1}，∴M∩N=[−1,1)．故选：B．可求出集合M，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,1)，∴1z =13+i=3−i(3+i)(3−i)=3−i10=310−110i．故选：D．由复数的几何意义得1z =13+i，再由复数的运算法则能求出结果．本题考查复数的求法，考查复数的几何意义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：(√x+1x )6的展开式的通项为T r+1=C6r(√x)6−r(1x)r=C6r x3−32r，令3−32r=0，得r=2，所以常数项为C62=15．故选：A．求出二项展开式的通项，令x的指数为0，求得r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，以及特定性的求法，属于基础题．【解析】解：由题意可知几何体是三棱锥，是长方体的一个角，所以几何体的体积为：13×12×1×1×2=13．故选：A．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意可得，每层的灯数形成等比数列{a n}，公比q=2，且S7=254，则a1(1−27)1−2=254，解得a1=2．∴a7=2×26=128．故选：C．由题意可知，每层的灯数形成等比数列{a n}，公比q=2，S7=254，由等比数列的求和公式列式求解a1，再求a7得结论．本题考查了等比数列的通项公式与前n项和，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若C的一条渐近线的斜率为23，可得ba =23，所以e=ca =√1+b2a2=√1+49=√133．故选：A．利用双曲线的渐近线的斜率，推出a、b关系，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的应用，离心率的求法，是基础题．【解析】解：对于A，因为a>|b|，所以a>b恒成立；对于B，因为a>|b|，所以a>0，当b>0，则a+b>0；当b≤0，则a>−b，即a+b>0，综上，a+b>0恒成立；对于C，当b>0，则a>|b|，即a>b>0，则1a <1b，故C不恒成立；对于D，因为a>|b|，所以a2>b2恒成立．故选：C．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：因为n//α，m⊥n，所以m与α可能平行，也可能相交，故“m⊥n”不能推出“m⊥α”，而m⊥α，则m垂直平面内任一直线，而n//α，所以m⊥n．所以两条直线m，n和平面α，且n//α，则“m⊥n”是“m⊥α”的必要而不充分条件．故选：C．根据n//α，m⊥n，则m与α可能平行，也可能相交，故“m⊥n”不能推出“m⊥α”，再根据充分条件、必要条件的定义可得结论．本题主要考查了空间线面位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：因为b=3,c=√3a,B=π6，所以由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，可得：9=a2+3a2−2a⋅√3a⋅√32，整理可得a=3，c=3√3，可得cosC=a2+b2−c22ab =9+9−272×3×3=−12．故选：D．由已知利用余弦定理可求a，c的值，进而根据余弦定理可求cos C的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：函数f(x)=3x−1+axx =3x−1x−a，令f(x)=0，解得a=3x−1x；设g(x)=3x−1x，其中x∈(−∞,−1)，所以g(x)是定义域(−∞,−1)上的单调增函数，所以0<g(x)<g(−1)=43．若存在x0∈(−∞,−1)，使得f(x0)=0，则实数a的取值范围是(0,43).故选：B．令f(x)=0解得a=3x−1x ，构造函数g(x)=3x−1x，求出g(x)在定义域(−∞,−1)的值域，即可求出a的取值范围．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了特称命题的应用问题，是中档题．11.【答案】−1【解析】解：tan(−π4)=−tanπ4=−1，故答案为：−1利用三角函数的诱导公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合诱导公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．12.【答案】4 (2,±2√2)【解析】解：抛物线y2=mx的焦点为F(1,0)，可得m4=1，解得m=4；点A 在抛物线y 2=4x 上，且|AF|=3，设点A 的横坐标为x ，则x +1=3，x =2， 把x =2代入抛物线方程，可得A 的纵坐标为：±2√2． 所以A(2,±2√2). 故答案为：4；(2,±2√2).利用抛物线的焦点坐标，求解m 即可；利用抛物线的定义，转化求解A 的坐标． 本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是基础题．13.【答案】−1，0，1(答案不唯一)【解析】解：根据题意，a ≠0时，函数f(x)=ax 2+bx +c ，为二次函数， 若f(x)是偶函数，则其对称轴x =−b2a =0，则b =0， 又在区间(0,+∞)上单调递减，必有a <0， 综合可得：a <0且b =0，故满足题意的一组整数a ，b ，c 的值依次是−1，0，1(答案不唯一)． 故答案为：−1，0，1(答案不唯一)．根据题意，a ≠0时，函数f(x)=ax 2+bx +c ，为二次函数，结合二次函数的性质可得a <0且b =0，据此写出一组符合题意整数即可．本题考查二次函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的性质，属于基础题．14.【答案】4 √2【解析】解：∵cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√22，且<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π]，∴a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为π4；∵|a ⃗ −x b ⃗ |=√(a ⃗ −x b ⃗ )2=√x 2−√2x +1=√22)12，∴x =√22时，|a ⃗ −x b ⃗ |取最小值√22．故答案为：π4,√22． 根据条件可求出cos <a ⃗ ,b ⃗ >的值，进而可得出a ⃗ ,b ⃗ 夹角的大小；可求出|a ⃗ −x b ⃗ |=√x 2−√2x +1，然后配方即可求出|a ⃗ −x b⃗ |的最小值． 本题考查了向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，向量数量积的运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】①③【解析】解：由方程知a=4，b=2√2，c=√16−8=√8=2√2，当m=0时，∠F1AF2最大，此时∠AF1F2=∠AF2F1=45°，所以∠F1AF2的最大值为90°，又AF1=AF2，所以△AF1F2为等腰直角三角形，即存在唯一一个m=0，使得△AF1F2为等腰直角三角形，故①正确；当m=0时，∠AF1F2=45°，由椭圆的对称性可得∠BF1F2=∠AF1F2=45°，AF1=BF1，所以∠AF1B=90°，此时△ABF1为等腰直角三角形，当m≠0时，若△ABF1为等腰直角三角形，则−4<m<−2√2，∈(−4,−2√2)，此时点A的坐标为(m,−m−2√2)，代椭圆方程，解得m=−8√23时，△ABF1为等腰直角三角形，故②错误；故当m=0或−8√23由椭圆的定义得，△ABF1的周长=|AB|+|AF1|+|BF1|=|AB|+(2a−|AF2|)+(2a−|BEF2)=4a+|AB|−|AF2|−|BF2|，因为|AF2|+|BF2|≥|AB|，所以|AB|−|AF2|−|BF2|≤0，当AB过点F2时取等号，所以|AB|+|AF1|+|BF1|=4a+|AB|−|AF2|−|BF2|≤4a，即直线x=m过椭圆的右焦点F2时，△ABF1的周长最大，此时直线AB的方程为x=m=c=2√2，满足−4<m<4，所以存在m，使△ABF1的周长最大，故③正确．故答案为：①③．当m=0时，∠F1AF2最大，求出△AF1F2为等腰直角三角形即可判断①；求出△ABF1为等腰直角三角形时，m的值，即可判断②；利用椭圆定义可得ABF1的周长最大值，结合m的取值范围即可判断③．本题主要考查椭圆的性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力，是中档题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为CC 1⊥平面ABC ，所以CC 1⊥AB.-----------------(2分)又AB ⊥AC ，AC ∩CC 1=C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，CC 1⊂平面AA 1C 1C ，所以AB ⊥平面AA 1C 1C .-----------------(4分) 因为CE ⊂平面AA 1C 1C ， 所以AB ⊥CE.-----------------(5分)(Ⅱ)解：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1//AA 1， 因为由CC 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥平面ABC ． 所以AB ，AC ，AA 1两两垂直．如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，------------(6分)所以A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(0,2，0)，E(0,1，2)． 设平面BCE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)， 所以{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0. 即{−2x +2y =0−y +2z =0．令z =1，则x =2，y =2．所以平面BCE 的一个法向量为n ⃗ =(2,2,1).-------------------(9分) 因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以平面ACE 的一个法向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0).-----------------(10分) 所以cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=23.-----------------------------(13分) 所以二面角B −CE −A 的余弦值为23．【解析】(Ⅰ)证明CC1⊥AB，结合AB⊥AC，推出AB⊥平面AA1C1C，然后证明AB⊥CE．(Ⅱ)说明AB，AC，AA1两两垂直．以A为原点，建立空间直角坐标系A−xyz，求出平面BCE的法向量，平面BCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B−CE−A的余弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题设图象知，周期T=2(2π3−π6)=π，因为T=2πω，所以ω=2πT=2，而由题意知A=2，所以f(x)=2sin(2x+φ)，因为函数f(x)的图象过点(π6,2)，所以f(π6)=2sin(π3+φ)=2．所以π3+φ=π2+2kπ(k∈Z).所以φ=π6+2kπ(k∈Z)又因为0<φ<π2，所以φ=π6．故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π6)．(Ⅱ)g(x)=2sin[2(x−π6)+π6]−2cos2x=2sin(2x−π6)−2cos2x=2(√32sin2x−12cos2x−cos2x)，=2√3(sin2x⋅12−cos2x⋅√32)=2√3sin(2x−π3)，因为0≤x≤π2，所以−π3≤2x−π3≤2π3．所以当2x−π3=−π3时，即x=0时，g(x)取到最小值，且最小值为−3．【解析】(Ⅰ)由函数图象可求A，可求周期，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ，可得f(x)的解析式．(Ⅱ)利用三角函数恒等变换的应用可求g(x)=2√3sin(2x−π3)，由题意可求−π3≤2x−π3≤2π3，利用正弦函数的性质即可求解其最小值．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，考查了正弦函数的性质，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意知，是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为300×0.7=210-----(2分)故此顾客是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是2102000=21200.--------(4分) (Ⅱ)X 的取值为0，1，2.---------------------------------(5分)设事件M 为“从A 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”， 事件N 为“从E 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”， 且事件M 与￢N 相互独立．根据题意，P(M)估计为0.3，P(N)估计为0.6．则 P(X =0)=P(M −N −)=(1−P(M))(1−P(N))=0.7×0.4=0.28----(6分)P(X =1)=P(MN −)+P(M −N)=P(M)(1−P(N))+(1−P(M))=0.3×0.4+0.7×0.6=0.54---------(7分)P(X =2)=P(MN)=P(M)P(N)=0.3×0.6=0.18--------------(8分) 所以X 的分布列为：-------(10分)X 的期望是：E(X)=0×0.28+1×0.54+2×0.18=0.9.----(12分) (Ⅲ)D(ξ)<D(η).-------------------------------------------(14分)【解析】(Ⅰ)求出C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数，然后求解顾客是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率．(Ⅱ)X 的取值为0，1，2，设事件M 为“从A 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，事件N 为“从E 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，说明事件M 与￢N 相互独立．然后求解X 的概率，得到分布列，然后求解期望．(Ⅲ)判断D(ξ)<D(η)．本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)因为椭圆经过点(0,1)，所以b =1，又因为椭圆经过点(√3,12)，所以3a 2+14=1，解得a =2， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1，(Ⅱ)证明：由{y =kx +m x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0，由题意，△>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 所以x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，因为原点O 到直线l 的距离为2√55，所以d =√1+k2=2√55， 即5m 2=4(1+k 2)，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)4m 2−44k 2+1−km 8km 4k 2+1+m 2=5m 2−4k 2−44k 2+1=0，所以OA ⊥OB ．因此以AB 为直径的圆过原点O ．【解析】(Ⅰ)根据题意可得所以b =1，3a 2+1b 2=1，解得a =2，进而可得椭圆的方程． (Ⅱ)联立直线l 与椭圆的方程可得关于x 的一元二次方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，由点到直线的距离公式可得原点O 到直线l 的距离d =√1+k 2=2√55，解得5m 2=4(1+k 2)，计算OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2为0，即可得出结论． 本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，定点问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=x 2−2lnx ，f′(x)=2x −2x ，设切点为(x 0,x 02−2lnx 0)，则f′(x 0)=2x 0−2x 0=3，解得x 0=2或x 0=−12(舍)，所以f(2)=4−2ln2.切点为(2,4−2ln2)，所以所求切线方程为y −4+2ln2=3(x −2)， 即3x −y −2−2ln2=0． (Ⅱ)因为f′(x)=2x −ax =2x 2−a x，由a >0及定义域为(0,+∞)，令f′(x)=0，得x =√2a 2．①当√2a 2≤1e ，即0<a ≤2e 2时，在(1e ,e)上f′(x)>0，所以f(x)在[1e ,e]上单调递增． 此时f(x)在[1e ,e]上不可能存在两个零点；②当√2a 2≥e ，即a ≥2e 2时，在(1e ,e)上f′(x)<0，所以f(x)在[1e ,e]上单调递减． 此时f(x)在[1e ,e]上不可能存在两个零点；③当1e <√2a 2<e ，即2e 2<a <2e 2时，要使f(x)在区间[1e ,e]上恰有两个零点，则{ f(√2a 2)=12a[1−2ln(√2a2)]<0f(1e)=a +1e 2≥0f(e)=e 2−a ≥0，即{a ≤e 2a >2e，此时2e <a ≤e 2．综上，实数a 的取值范围是(2e,e 2].【解析】(Ⅰ)求出导函数，设切点为(x 0,x 02−2lnx 0)，利用导数的几何意义求出切线斜率，由题意可求得x 0，从而可得切点坐标，利用点斜式即可求得切线方程；(Ⅱ)令f′(x)=0，得x =√2a2.对√2a2分类讨论，求出函数f(x)的单调性，再由零f(x)在区间[1e ,e]上恰有两个零点，即可求解a 的取值范围．本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，考查方程思想与分类讨论思想的应用，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)数列{a n }不满足性质①，理由如下：取数列{a n }中的a 1=2，a 2=4，所以2a 2−a 1=6． 由2m =6，解得m =log 26，显然m 不是整数． 所以在数列{a n }中不存在a m ，使得2a 2−a 1=a m ， 故数列{a n }不满足性质①；(Ⅱ)数列{a n }同时满足性质①和性质②，理由如下：对于{a n}中任意两项a i，a j(i>j)，记a m=2i−j，因此a m=2a i−a j，从而数列{a n}满足性质①；对于{a n}中任意项a n(n≥3)，记a k=a n−1，a l=a n−2(k>l)，显然有a n=2a k−a l，从而数列{a n}满足性质②；综上，数列{a n}同时满足性质①和性质②．(Ⅲ)证明：{a n}是递增数列，a1=0，则a2>0，根据性质①2a2−a1=2a2∈{a n}，2(2a2)−a2=3a2∈{a n}，2(3a2)−2a2=4a2∈{a n}…，由数学归纳法原理，可以证明{na2|n∈N}={0,a2,2a2,3a2,…}⊆{a n}，另一个方面，我们用反证法证明{a n}⊆{na2|n∈N}={0,a2,2a2,3a2,…}，假设x=ta2(t>0)是{a n}中最小的不能写成a2的整倍数的项，根据性质②，存在两项a k，a l(k>l)，使得x=2a k−a l，我们记a k=ya2，a l=za2，其中y>z>0，可知：ta2=x=2ya2−za2=(2y−z)a2，易知t=2y−z=(y−z)+y>y>z>0，根据x=ta2(t>0)的最小性，可知道y，z∈N∗，可以得到t=2y−z∈N∗，与t不是正整数矛盾．综上所述，{a n}是首项为0，公差为a2的等差数列．【解析】(Ⅰ)取数列{a n}中的a1=2，a2=4，通过计算发现在数列{a n}中不存在a m，使得2a2−a1=a m，由此确定答案；(Ⅱ)直接在数列{a n}中任意两项a i，a j(i>j)，记a m=2i−j，判断是否满足性质①，{a n}中任意项a n(n≥3)，记a k=a n−1，a l=a n−2(k>l)，判断是否满足②，从而得到答案；(Ⅲ){a n}是递增数列，a1=0，则a2>0，利用性质①，由数学归纳法原理，可以证明{na2|n∈N}=：{0,a2,2a2,3a2,…}⊆{a n}，然后再利用反证法证明{a n}⊆{na2|n∈N}=：{0,a2,2a2,3a2,…}，从而可以证明{a n}是首项为0，公差为a2的等差数列．本题考查了新定义问题，涉及了等差数列的证明，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．属于难题．。
北京市各区中学2021学年度高一上学期期末测试数学试题(二)【含解析】
北京市各区中学2021学年度高一上学期期末测试数学试题（二）【含解析】姓名：__________ 班级：__________学号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（共21题）1、已知函数. 若存在实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．2、已知集合，，则集合（）A ．B ．C ．D ．3、下列各角中与终边相同的角是（）A ．B ．C ．D ．4、已知为第三象限角，则下列判断正确的是（）A． B ．C ．D ．5、已知函数：① ，② ，③ ，则其中最小正周期为的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6、已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（）A ．(0 ，1)B ．(1 ，2)C ．(2 ，3)D ．( 3 ，4)7、“ ” 是“ ” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8、已知函数，则（）A ．是奇函数，且在上单调递增B ．是奇函数，且在上单调递减C ．是偶函数，且在上单调递增D ．是偶函数，且在上单调递减9、为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度10、函数（且）在 R 上单调递减，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．11、如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“ - 函数”. 若函数是“ - 函数” ，则实数的取值范围是（）A． B ．C ．D ．12、已知全集，，则（）A ．B ．C ．D ．13、设命题，则为（）A ．B ．C ．D ．14、已知实数 a ， b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．B ．C ．D ．15、三个实数，，的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．16、函数的零点所在的大致区间是（）A ．B ．C ．D ．17、“ ” 是“ ” 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件18、单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，分钟转一圈，分钟之后从起始位置转过的角是（）A ．B ．C ．D ．19、在平面直角坐标系中，角、角的终边关于直线对称，若，则（）A ．B ．C ．D ．20、中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：. 它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中叫做信噪比 . 当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计. 按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比从 1000 提升至10000 ，则 C 大约增加了（）A ．11%B ．22%C ．33%D ．100%21、如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点、、分别是半径、及扇形弧上的三个动点（不同于、、三点），则关于的周长说法正确的是（）A ．有最大值，有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值二、填空题（共17题）1、已知命题，则为 _______.2、已知函数，则函数在区间上的平均变化率为 _______3、已知向量，，且与共线，则实数______ .4、_____.5、若，是第二象限的角，则=_____.6、已知正 n 边形的边长为 a ，其外接圆的半径为R ，内切圆的半径为r. 给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号是 ______.7、_______________ .8、函数的定义域是 ___________.9、已知是第三象限角，且，___________.10、若函数在其定义域上单增，且零点为 2 ，则满足条件的一个可能是____________.( 写出满足条件的一个即可 )11、已知函数的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数的说法：① ；② ；③ ；④ ，不等式的解集为.其中正确的说法有 _________.( 写出所有正确说法的序号)12、已知，则的最小值为 _____ ，当取得最小值时的值为 ______ .13、某学校开展了“ 国学” 系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10 人进行国学素养测试，这10 名同学的性别和测试成绩( 百分制) 的茎叶图如图所示. 则男生成绩的75% 分位数为______ ；已知高一年级中男生总数为80 人，试估计高一年级学生总数为________ .14、已知函数（Ⅰ ）若，则函数的零点是 ________ ；（Ⅱ ）如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数 . 在给出的①；② ；③ 三个数中，为函数的包容数是 ________ ．（填出所有正确答案的序号）15、已知某扇形的圆心角是，圆心角所对的弧长也是，则该扇形的半径为 ___ ；面积为_____.16、果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金 3000 元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为 _______ ；的取值范围是 ________.17、已知是定义域为 R 的奇函数，对任意的实数恒成立，且当时，. 则①当时，_________________ ；②______________三、解答题（共12题）1、已知全集，或，.（ I ）当时，求，，；（ II ）若，求实数 a 的取值范围.2、已知关于的方程有两个不等实根 .（Ⅰ ）求实数的取值范围；（Ⅱ ）设方程的两个实根为，且，求实数的值；（Ⅲ ）请写出一个整数的值，使得方程有两个正整数的根 . （结论不需要证明）3、某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时 . 为了解学生的锻炼情况，对该班全部34 名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表:锻炼时长（小时） 5 6 7 8 9男生人数（人） 1 2 4 3 4女生人数（人） 3 8 6 2 1（Ⅰ ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长;（Ⅱ ）若从锻炼8 小时的学生中任选 2 人参加一项活动，求选到男生和女生各 1 人的概率；（Ⅲ ）试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小 . （直接写出结果）4、已知函数且.（ 1 ）试判断函数的奇偶性；（ 2 ）当时，求函数的值域；（ 3 ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．5、已知集合. 对于，定义：与的差为；与之间的距离为.（ 1 ）当时，设，求；（ 2 ）若对于任意的，有，求的值并证明：.6、已知函数.（ 1 ）写出函数的振幅、周期、初相；（ 2 ）用“ 五点法” 作出在一个周期内的图象（先列表，再画图） .7、已知锐角、的终边与单位圆的交点分别为，.（Ⅰ ）求及的值；（Ⅱ ）求.8、（ 1 ）若，求的值；（ 2 ）已知锐角满足，若，求的值 . 9、已知函数.（Ⅰ ）求的最小正周期；（Ⅱ ）求的单调区间；（Ⅲ ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围 .10、已知函数，再从① ，；② ，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题 .（ 1 ）求；（ 2 ）写出的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；（ 3 ）求函数在上的最大值和最小值 .11、已知函数．（ 1 ）证明：为偶函数；（ 2 ）用定义证明：是上的增函数；（ 3 ）求满足不等式的的范围 .12、已知集合，，.（ 1 ）求，；（ 2 ）若，求实数 a 的取值范围.============参考答案============一、选择题1、 A【分析】由函数解析式可得函数在上单调递增，依题意可得，即可得到为方程的两不相等的非负实数根，利用根的判别式及韦达定理计算可得；【详解】解：因为，所以在上单调递增，要使得函数在区间上的值域为，所以，即，所以为方程的两不相等的非负实数根，所以，解得，即故选： A2、 C【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】已知集合，，则.故选： C.3、 A【分析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项 .【详解】，，，，因此，只有 A 选项中的角与终边相同 .故选： A.4、 D【分析】根据为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项 .【详解】是第三象限角，，，，故 AB 不正确；，故 C 不正确；，故 D 正确.故选： D5、 B【分析】②③ 可由图象分析最小正周期【详解】① 最小正周期为② 的图象，在轴右侧部分与一样，又因为其为偶函数，图象关于轴对称，由图象可知它不是周期函数 .③ 的图象，可由的图象，保持轴上半部分不变，轴下半部分图象向上翻折得到 . 由图象可知，其最小正周期为故选： B.6、 C【分析】可判断函数单调性，将区间端点代入解析式，函数值为一正一负，该区间就必有零点 . 【详解】为上增函数由零点存在定理可知，在区间 (2 ，3) 存在零点.故选： C7、 A【分析】解正弦方程，结合题意即可容易判断 .【详解】“ ” 是“ ” 的因为，故可得或，则“ ” 是“ ” 的充分不必要条件.故选： A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（ 1 ）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（ 2 ）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（ 3 ）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（ 4 ）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．8、 D【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，利用复合函数的单调性可判断出函数在上的单调性 .【详解】对于函数，有，解得，函数的定义域为，因为，所以，函数为偶函数，因为，内层函数在上为减函数，外层函数为增函数，所以，函数在上为减函数 .故选： D.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（ 1 ）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；（ 2 ）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（ 3 ）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（ 4 ）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“ 同增异减” 的规则进行判定.9、 B【分析】由，利用三角函数图象变换规律可得出结论 .【详解】，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左平移个单位长度，故选： B.10、 D【分析】根据函数单调递减，得到每段都单调递减，并注意分界点左右的函数值大小，列出不等式组求解，即可得出结果 .【详解】因为函数（且）在 R 上单调递减，所以，解得，即实数的取值范围是.故选： D.11、 A【分析】根据题中的新定义转化为，即，根据的值域求的取值范围 .【详解】，，函数是“ - 函数” ，对任意的，均有，即，，即，又，或.故选： A【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键是读懂新定义，并使用新定义，并能转化为函数值域解决问题 .12、 B【分析】根据集合的运算直接求解即可【详解】由全集，则故选： B13、 C【分析】特称命题的否定是全称命题，先否定量词，再否定结论 . 【详解】命题，则为：故选： C14、 A【分析】根据图象可得，逐一分析选项，即可得答案 . 【详解】对于 A ：由图象可得，所以，故 A 正确；对于 B ：因为，所以，所以 B 错误；对于 C ：因为，所以，故 C 错误；对于 D ：当时，满足，此时，所以，即，故 D 错误，故选： A15、 B【分析】利用对数函数的单调性得出与的大小关系，利用指数函数的单调性得出与的大小关系，由此可得出、、的大小关系 .【详解】，，，因此，.故选： B.16、 A【分析】利用零点存在性定理结合可得解 .【详解】函数为增函数，且，，由零点存在性定理可知函数的零点所在的一个区间为.故选： A.【点睛】思路点晴：应用零点存在性定理求解 .17、 B【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．【详解】推不出，所以“ ” 是“ ” 非充分条件，推出，“ ” 是“ ” 必要条件.故选：．【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．18、 D【分析】根据题意可出关于的等式，即可求得结果 .【详解】设分钟之后从起始位置转过的角，由题意可得，解得. 故选： D.19、 D【分析】由题意可知，点在角的终边上，由此可求得的值 .【详解】由三角函数的定义可知，点在角的终边上，由于角、角的终边关于直线对称，则点在角的终边上，所以，.故选： D.20、 C【分析】根据题意，分别表示出等于 1000 和10000 时对应的，相比即可求得答案 . 【详解】由题意得比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计.所以，所以，所以 C 大约增加了33%.故选： C21、 C【分析】作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，利用、、、四点共线时，的周长取得最小值可得出结论 .【详解】如下图所示，作出关于的对称点，作出点关于的对称点，连接、，由对称性可知，，由于，则，，则，所以，的周长为，当且仅当、、、四点共线时，等号成立，但的周长无最大值 .因此，的周长有最小值，无最大值 .故选： C.【点睛】思路点睛：本题考查三角形周长的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用四点共线时取得最值来求解 .二、填空题1、【分析】根据全称命题的否定，可直接得出结果 .【详解】命题的否定为：.故答案为：2、 12【分析】根据平均变化率的定义计算可得答案 .【详解】由定义可知，平均变化率为.3、【分析】先得出，再根据向量共线的坐标表示列出方程，即可求出结果 . 【详解】因为向量，，所以，又与共线，所以，解得.故答案为：4、.利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解 .【详解】.故答案为：.5、【分析】先由同角三角函数基本关系，求出，再由二倍角的正切公式，即可求出结果 .【详解】因为，是第二象限的角，所以，则，因此.故答案为：6、①③【分析】首先根据正边形的某个边，作出内切圆和外接圆的半径的图形，分析与角的关系，判断选项 .如图，是正边形的外接圆的半径，是内切圆的半径，设，，，在中，，，综上可知正确的选项是①③.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，根据正边形的某个边，作出示意图，同时相邻的与的夹角是，下面的问题就迎刃而解 .7、【分析】根据诱导公式三将角化为正角 , 再计算对应的三角函数值.【详解】.故答案为：.8、且【分析】根据真数大于 0 ，分母不为0 ，即可求得答案.【详解】由题意得，解得且，所以定义域为：且故答案为：且9、【分析】由平方关系结合角所在象限可得，将条件代入可得答案 . 【详解】已知是第三象限角，，则故答案为：10、【分析】根据函数的单调性及零点，写出满足题意的一个函数即可 .【详解】根据在其定义域上单增，且零点为 2 ，即，可写出一个函数.故答案为：11、①③【分析】根据图象，可求得的值，即可判断① 的正误；根据图中数据及在上的单调性，可判断② 的正误；分别讨论和两种情况，求得解析式，检验即可判断③ 的正误；根据不等式解集，即求的根，根据解析式，即可判断④ 的正误，即可得答案.【详解】对于① ：由图象可得：，所以，故① 正确；对于② ：，且在上为单调递增函数，所以，所以，故② 错误；对于③ ：当时，，，满足图象；当时，，，斜率，满足图象，故③ 正确；对于④ ：由题意得的解集为，即的根为，根据解析式可得，当时，令，解得，所以解集为，故④ 错误.故答案为：①③12、【分析】利用基本不等式求出最小值以及取得最小值时的值．【详解】，当且仅当时取等号故答案为：13、200【分析】根据 75% 分位数的求法，结合题中数据，即可得答案；根据分层抽样的定义，即可求得高一年级学生总数.【详解】将男生成绩从小到大排列可得： 64 、76 、77 、78 ，共 4 个数据，且，所以男生成绩的 75% 分位数为；设高一年级学生总数为 n ，因为用分层抽样方法抽取 10 人中，男生有 4 人，且高一年级中男生总数为80 人，所以，解得，故答案为：； 200.14、②③【分析】（Ⅰ ）根据函数解析式，令，再分类讨论，分别计算可得；（Ⅱ ）由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论三种情况，由指数函数的单调性和一次函数的单调性，求得值域，即可判断．【详解】解：（Ⅰ ）当，，令，即或解得，故函数的零点为（Ⅱ ）由题意可得的值域为的值域的子集，当时，由时，；由时，，，不满足题意；当时，由时，；由时，，，，，满足题意；当时，由时，，；由时，，，满足题意．综上可得函数的包容数是②③ ．故答案为：；②③【点睛】本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力．15、【分析】利用扇形的弧长公式可求得扇形的半径，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积 . 【详解】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，可得，该扇形的面积为.故答案为：；.16、【分析】根据题意，直接列式，根据题意求的最小值和最大值，得到的取值范围 .【详解】由题意可知函数关系式是，由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故答案为：；17、【分析】当时，，根据已知区间的解析式，由函数的奇偶性及，即可求出时的解析式；再由题中条件，求出函数周期，进而可得出. 【详解】当时，，由题意，；又是定义域为 R 的奇函数，，所以，则，因此；由可得，所以，所以以为周期，则.故答案为：；.三、解答题1、（ I ），或，；（ II ）或【分析】（ I ）利用集合的交并补运算的定义求解即可；（ II ），即，列不等式可得实数 a 的取值范围．【详解】（ I ）当时，或，，则，或，，；（ II ），即则或，即实数 a 的取值范围是或2、（Ⅰ ）；（Ⅱ ）；（Ⅲ ）【分析】（Ⅰ ）依题意，解得即可；（Ⅱ ）利用韦达定理得到，再代入方程，解得即可；（Ⅲ ）依题意找出合适的即可；【详解】解：（Ⅰ ）因为方程有两个不相等实数根，所以，即，解得，即（Ⅱ ）因为方程的两个实根为，所以，，又，所以，解得或，又，所以（Ⅲ ）当时，方程，解得，满足条件；3、（Ⅰ ）小时（Ⅱ ）（Ⅲ ）【分析】（Ⅰ ）由表中数据计算平均数即可；（Ⅱ ）列举出任选2 人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可；（Ⅲ ）根据数据的离散程度结合方差的性质得出【详解】（Ⅰ ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为小时（Ⅱ ）由表中数据可知，锻炼8 小时的学生中男生有人，记为，女生有人，记为从中任选 2 人的所有情况为，，，共种，其中选到男生和女生各 1 人的共有种故选到男生和女生各 1 人的概率（Ⅲ ）【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解 .4、（ 1 ）偶函数；（ 2 ）；（ 3 ）.【分析】（ 1 ）先求得函数的定义域为R ，再由，可判断函数是奇偶性；（ 2 ）由，所以，以及对数函数的单调性可得函数的值域；（ 3 ）对任意，恒成立，等价于，分，和，分别求得函数的最值，可求得实数的取值范围 .【详解】（ 1 ）因为且，所以其定义域为 R ，又，所以函数是偶函数；（ 2 ）当时，，因为，所以，所以函数的值域为；（ 3 ）对任意，恒成立，等价于，当，因为，所以，所以，解得，当，因为，所以，所以函数无最小值，所以此时实数不存在，综上得：实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立 ( 即可 ) 或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在上方即可 ) ；③ 讨论最值或恒成立 .5、（ 1 ）；；（ 2 ）；证明见解析 .【分析】（ 1 ）直接代入计算和；（ 2 ）根据，都有或，可计算得；然后表示出，分别讨论与两种情况 .（ 1 ）；；（ 2 ）证明：因为，，所以对于任意的，即对，都有或，所以得. 设则，当时，；当时，.所以【点睛】解答该题的关键是需要注意理解并表示出，然后代入化简判断与两种情况 .6、（ 1 ）振幅为 2 ，周期, 初相为；（ 2 ）答案见解析.【分析】（ 1 ）由的解析式直接可得答案；（ 2 ）令，则，令求出相应的 x 及对应的y 值得到五个点的坐标，在坐标系下画出即可.（ 1 ）由得振幅为 2 ，周期, 初相为；（ 2 ）用“ 五点法” 作出在一个周期内的图象，令，则，列表，xy 0 2 0 0图象如下【点睛】本题考查五点作图法画三角函数的图象，关键点是令求出相应的 x 及对应的y 值找到五个点的坐标，考查了学生的对基础知识的掌握情况及作图的能力.7、（Ⅰ ）；；（Ⅱ ）.【分析】根据任意角角的概念，由角的终边上的点的坐标，得到角、的正弦和余弦值；（Ⅰ ）根据同角三角函数基本关系，以及诱导公式，即可求出结果；（Ⅱ ）根据两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】因为锐角、的终边与单位圆的交点分别为，，所以，，；因此（Ⅰ ）；；（Ⅱ ）.8、（ 1 ）；（ 2 ）【分析】（ 1 ）原式可变形，上下同时除以，代入后，计算结果；（ 2 ）利用角的变换，先求，展开后代入三角函数值，化简求值，最后求的值 .【详解】（ 1 ）原式上下同时除以，变形为；（ 2 ），，，，，，，，，【点睛】思路点睛：本题第一问是关于的齐次分式，上下都是一次形式，则上下同时除以，若上下都是二次形式，则上下同时除以，第二问是角的变换，将条件中的角看成一个整体，表示结论中的角，再求三角函数值 .9、（Ⅰ ）最小正周期为；（Ⅱ ）单调递增区间为；单调递减区间为；（Ⅲ ）.【分析】（Ⅰ ）先将函数化简整理，得到，由正弦函数的周期性，即可求出其最小正周期；（Ⅱ ）根据正弦函数的单调区间，列出对应不等式求解，即可求出结果；（Ⅲ ）根据（Ⅱ）中所得单调递增区间，可直接得出结果.【详解】（Ⅰ ），因此 f(x) 的最小正周期为；（Ⅱ ）由可得，即的单调递增区间为；由可得，即的单调递减区间为；（Ⅲ ）因为函数在上单调递增，由（Ⅱ ）可得，的单调递增区间为；则是的子区间，所以只需，即实数的取值范围为.10、选① ：（ 1 ）；（ 2 ）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程为（答案不唯一）；（ 3 ），.选② ：（1 ）；（ 2 ）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程为（答案不唯一）；（ 3 ），.【分析】选① ：化简函数的解析式为.（ 1 ）直接计算的值；（ 2 ）根据正弦型函数的基本性质可求得结果；（ 3 ）由可计算得出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数在上的最大值和最小值；选② ：化简函数的解析式为.（ 1 ）直接计算的值；（ 2 ）利用正弦函数的基本性质可求得结果；（ 3 ）由可得出，再利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值 .【详解】选① ，，，则. （ 1 ）；（ 2 ）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程为（答案不唯一）；（ 3 ）当时，，则，，.选② ，，，. （ 1 ）；（ 2 ）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程为（答案不唯一）；（ 3 ），则，.当时，取最大值，即；当时，取最小值，即.【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或) 的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值） .11、（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）证明见解析；（ 3 ）或.【分析】（ 1 ）求出函数的定义域，计算得出，由此可证得结论成立；（ 2 ）化简函数在上的解析式，任取、且，计算得出，从而可证明出函数是上的增函数；（ 3 ）由已知得出，结合函数的定义域可得出，解此不等式组即可得解 .【详解】（ 1 ）对于函数，，解得，所以，函数的定义域为，，所以，函数为偶函数；（ 2 ）当时，，任取、且，即，，，，，，所以，，即，所以，函数是上的增函数；（ 3 ）由（2 ）可知，函数在上为增函数，又因为函数为偶函数，所以，函数在上为减函数，，，由可得，所以，，即，即，可得且，解得或，因此，满足不等式的的范围是或.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是：（ 1 ）把不等式转化为；（ 2 ）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ ” 脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.12、（ 1 ），（ 2 ）【分析】（ 1 ）由交集和并集运算直接求解即可.（ 2 ）由，则【详解】(1) 由集合，则，（2）若，则，所以。
2020-2021北京市高一数学上期末一模试卷(含答案)
2020-2021 北京市高一数学上期末一模试卷(含答案)一、选择题1． 已知会合 A ｛2， 1, 0，1, 2｝， B x | ( x 1)(x2) 0 ,则 AI B（ ）A ．1,0B ． 0,1C ．1,0,1D ． 0,1,2． 已知奇函数 y f (x) 的图像对于点 ( ,0) 对称，当x [0, ) 时， f ( x)1 cos x，222则当 x5,3 ] 时， f (x) 的分析式为（）(2A ． f ( x) 1 sin xB ． f (x)1 sin xC ． f (x) 1 cosxD ． f ( x)1 cos x3． 设会合 A x |2x 1 1 ， By | ylog 3 x, x A ，则 e B A（） A ． 0,1B ． 0,1C ．0,1D ．0,14． 已知 alog 1 15b11， ， c 6 3 ，则（）3 44A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． b c a5． 已知函数f ( x ) ln x ，若 af (2) ， bf (3) ， cf (5) ，则 a ， b ， c 的大小关x系是（ ）A ． b c aB ． b a cC ． a c bD ． c a b6． 函数fxlog 1 x 2 2x 的单一递加区间为（）2． ,1． 2,． ,0．1,ABCD7． 已知函数 fxlog 2 x 1 xff x 3 的零点个数为（ ）x 4x ，则 yAB C D ． 3． 4． 5 ． 68． 已知函数 f(x)＝log 1 x, x 1,则 f ( f (1)) ) 等于 (2)2 4 x , x 1,2A ． 4B ．－ 2C ． 2D ． 19． 已知 a log 3 2 ， b 20.1 ， c sin 789o ，则 a ， b ， c 的大小关系是A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． b c axxa=m ，若函数 f 10． 已知函数 f （ x ）=x （ e +ae ﹣）（ x ∈ R ），若函数 f （ x ）是偶函数，记 （x ）为奇函数，记 a=n ，则 m+2n 的值为（ ） A ．0B ． 1C ． 2D ．﹣ 1x1, x1,011．若函数f x{4，则 f(log 43) ＝()4x , x0,11B．1C． 3D．4A．4312．函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，在 ( －∞， 0] 上是减函数且f（ 2） =0 ，则使 f（ x）<0 的 x 的取值范围（）A．（－∞， 2）B．（ 2， +∞）∞ - 2 2 +∞D．（－22C．（－，）∪（，），）二、填空题213．已知函数f x x 2 , x0，则对于 x 的方程f2x af x0 a0,3x 3 , x 0的全部实数根的和为_______.14．己知函数f x x22ax1 a 在区间 01，上的最大值是2, 则实数a______. 15．若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在 (－∞， 0]上是减函数，且f(2)＝ 0，则使得 f(x)<0的 x 的取值范围是 ________．16．已知 f (x) ? g( x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f ( x)g( x)2x x ，则f (1)g(1)__________ .17．a 1.10.1， b log 12， c ln 2 ，则a，b，c从小到大的关系是________.2218．已知y f ( x)x2是奇函数，且 f （1） 1，若 g( x) f ( x) 2，则 g( 1)___．19．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）知足函数关系（为自然对数的底数，k、 b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计 192 小时，在 22的保鲜时间是48 小时，则该食品在33的保鲜时间是小时 .20．已知函数f ( x)2x ,0x1,则对于 x 的方程4x f ( x)k 0 的全部根的和1f ( x1),1x 3,2的最大值是 _______.三、解答题21．定义在,00,上的函数 y f x知足 f xy f x f 1，且函数yf x在,0 上是减函数.（1）求f 1 ，并证明函数y f x是偶函数；（2）若f 2 1 ，解不等式 f 24f1 1 .x x22． 已知函数 f ( x) ln( x 2 ax 3) .(1) 若 f (x) 在 (,1] 上单一递减，务实数a 的取值范围；(2) 当 a 3 时，解不等式f (e x ) x .23． 已知函数 f ( x)ax 2 (b 8) xa ab 的零点是 -3 和 2(1) 求函数 f ( x) 的分析式 .(2) 当函数 f ( x) 的定义域是[0,1] 时求函数 f ( x) 的值域 .24． 已知函数 f ( x)2 x , x, m, 此中 0 , m 1.lg x1, xm,（Ⅰ）当 m 0 时，求函数 yf ( x) 2 的零点个数；（Ⅱ）当函数 y f 2( x)3 f ( x) 的零点恰有 3 个时，务实数 m 的取值范围 .25． 已知函数 f ( x)2 x k 2 x ， g ( x) log a f (x)2x （ a 0 且 a 1 ），且f (0) 4 .（1）求 k 的值；（2）求对于 x 的不等式 g ( x) 0 的解集；（3）若 f ( x)t 8 对 x R 恒建立，求 t 的取值范围 .2x26． 设函数 f ( x)3x ，且 f (a 2)18 ，函数 g( x)3ax4x ( x R) ．（1）求 g( x) 的分析式；（2）若方程 g( x) － b=0 在 [－ 2，2] 上有两个不一样的解，务实数b 的取值范围．【参照答案】 *** 试卷办理标志，请不要删除一、选择题1．A 分析： A【分析】【剖析】【详解】由已知得 Bx | 2 x 1 ，因为 A ｛2， 1, 0，1, 2｝，所以 AB 1,0 ，应选 A ．2．C分析： C【分析】【剖析】当 x5,3时， 3x0,2, 联合奇偶性与对称性即可获得结果.2【详解】因为奇函数 y f x 的图像对于点,0对称，所以f x f x0 ，2且 f x f x，所以 f x f x，故 f x 是以为周期的函数 .当 x 5,3时， 3x0,，故 f3x 1 cos 3x1cosx 22因为 f x是周期为的奇函数，所以f3x f x f x故 f x1cosx ，即 f x1cosx ，x5,32应选 C【点睛】此题考察求函数的表达式，考察函数的图象与性质，波及对称性与周期性，属于中档题. 3．B分析： B【分析】【剖析】先化简会合A,B, 再求e B A得解 .【详解】由题得 A x |2x 1 20{ x | x 1} ，B y | y 0 .所以 e B A { x | 0 x1} .应选 B【点睛】此题主要考察会合的化简和补集运算，考察指数函数的单一性和对数函数的值域的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平.4．C分析： C【分析】【剖析】第一将 b 表示为对数的形式，判断出b 0，而后利用中间值以及对数、指数函数的单一性比较3与 a, c 的大小，即可获得a, b, c的大小关系.2【详解】因为 5b1 ，所以 b log 5 1 log 5 1 0 ，4 4又因为 alog 1 1 log 3 3,log 3 3 3 ，所以 a 1,3log 3 4 ，3 423113 313,2 ，又因为 c63,83 ，所以 c22所以 ca b .应选： C. 【点睛】此题考察利用指、对数函数的单一性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单一性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或许负的状况可利用中间值进行比较.5．D分析： D【分析】【剖析】能够得出 a1 ln 32, c 1 ln 25 ，从而得出 ＜ ，相同的方法得出 ＜ ，从而得出 ，10 10c a a b ab ，c 的大小关系． 【详解】af 2ln 2ln 32 , c f 51ln 5 ln 25,依据对数函数的单一性获得a>c,2 105 10bf 3ln 3 ,又因为 a f 2ln 2 ln8， bln 3ln 932 6 f 3，再由对数函数36的单一性获得 a<b,∴ c ＜a ，且 a ＜ b ；∴ c ＜ a ＜ b ．应选 D ． 【点睛】考察对数的运算性质，对数函数的单一性．比较两数的大小常有方法有：做差和 0 比较，做商和 1 比较，或许结构函数利用函数的单一性获得结果.6．C分析： C 【分析】【剖析】求出函数fxlog 1 x 2 2x 的定义域，而后利用复合函数法可求出函数y f x 的2单一递加区间 . 【详解】解不等式 x 2 2x0 ，解得 x 0 或 x 2 ，函数 y f x 的定义域为 ,0 U 2,.内层函数 u x 2 2x 在区间 ,0 上为减函数，在区间2,上为增函数，外层函数ylog 1u在 0,上为减函数，2由复合函数同增异减法可知，函数f x log 1 x 22x 的单一递加区间为 ,0 .2应选： C.【点睛】此题考察对数型复合函数单一区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考察计算能力，属于中等题 .7．C分析： C【分析】【剖析】由题意，函数y f f x3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数，设t f x ，则 f t 3 ，作出 f x 的图象，联合图象可知，方程f t 3 有三个实根，从而可得答案 .【详解】由题意，函数 y f f x 3 的零点个数，即方程 f f x3 的实数根个数，设 tf x ，则 ft3 ，作出 f x 的图象，f t3 有三个实根 t 11 ， t 21 4 ，以下图，联合图象可知，方程， t 34则 fx1 有一个解， f x1 有一个解， f x4 有三个解，4故方程 f fx 3 有 5个解.【点睛】此题主要考察了函数与方程的综合应用，此中解答中合理利用换元法，联合图象，求得方程 ft 3 的根，从而求得方程的零点个数是解答的重点，侧重考察了剖析问题和解答问题的能力，以及数形联合思想的应用.8．B分析： B【分析】1112 4 22 2 4，则 f f4log 1 4 2 ，应选B.f f2229．B分析： B【分析】【剖析】【详解】33 3 ，由对数函数的性质可知a log 3 2log 33442由指数函数的性质b20.11，由三角函数的性质c sin 7890sin(23600690 )sin 690sin 600，所以c (3,1)，2所以 a c b ，应选 B.10．B分析： B【分析】试题剖析：利用函数f（ x） =x（ e x+ae﹣x）是偶函数，获得g（x） =e x+ae﹣x为奇函数，而后利x x x x﹣﹣为偶函用 g（0） =0，能够解得 m．函数 f（ x） =x（ e +ae ）是奇函数，所以g（ x） =e +ae数，可得 n，即可得出结论．x x x x x x解：设 g（ x） =e﹣﹣g（ x） =e﹣为奇函+ae，因为函数f（ x） =x（ e +ae ）是偶函数，所以+ae数．又因为函数 f （ x）的定义域为R，所以 g（ 0） =0，即 g（0） =1+a=0，解得 a=﹣ 1，所以 m=﹣ 1．因为函数x x xxf（ x） =x（ e+ae﹣）是奇函数，所以g（ x） =e +ae﹣为偶函数所以（ e﹣x+ae x） =e x+ae﹣x即（ 1﹣ a）（ e﹣x﹣e x）=0 对随意的x 都建立所以 a=1，所以 n=1，所以 m+2n=1应选 B．考点：函数奇偶性的性质．11．C分析： C【分析】【剖析】依据自变量范围代入对应分析式，化简得结果.【详解】f(log43) ＝4log43 =3,选 C.【点睛】此题考察分段函数求值，考察基本求解能力，属基础题.12．D分析： D【分析】【剖析】依据偶函数的性质,求出函数f x 0在 ( －∞， 0] 上的解集 , 再依据对称性即可得出答案 .【详解】由函数 f,2 f 20,∞ 0]是减函数 ,所x 为偶函数所以 f又因为函数 f x 在(－，以函数 f x0 在(－∞，0]上的解集为2,0, 由偶函数的性质图像对于y 轴对称,可得在(0,+∞x0 的解集为(0,2),综上可得 , f x0 的解集为(-2,2). ) 上f应选 :D.【点睛】此题考察了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题 .二、填空题13．【分析】【剖析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的全部根之和从而可求出原方程全部实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象分析： 3【分析】【剖析】由2f x af x可得出f x 0和 f x a a0,3，作出函数y f x的图0象，由图象可得出方程 f x0 的根，将方程 f x a a0,3 的根视为直线y a 与函数 y f x 图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程根之和，从而可求出原方程全部实根之和.f x a a0,3的全部【详解】Q f 2 x af x 0 0 a 3 ， f x 0 或 f x a 0 a 3 .方程 f x a 0 a 3 的根可视为直线y a 与函数 y f x 图象交点的横坐标，作出函数 y f x 和直线 y a 的图象以下列图：由图象可知，对于x 的方程 f x0 的实数根为2、3.因为函数 y x22x 2 对称，函数 y x 3 的图象对于直线 x 3的图象对于直线对称，对于 x 的方程f x a 0a 3 存在四个实数根x1、 x2、 x3、 x4以下图，且 x1 x22， x3x4 3 ，x1x2x3 x4462，22所以，所求方程的实数根的和为2 3 2 3 .故答案为： 3 .【点睛】此题考察方程的根之和，实质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的重点，考察数形联合思想的应用，属于中等题.14．或【分析】【剖析】由函数对称轴与区间关系分类议论求出最大值且等于2解对于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；立即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】此题考察二次函数的图像与分析：1或 2.【分析】【剖析】由函数对称轴与区间关系，分类议论求出最大值且等于2，解对于a的方程，即可求解 .【详解】函数 f x x22ax1 a( x a)2a2a1，对称轴方程为为 x a；当 a0 时，f ( x)max f(0)1a2, a1；当 0a1, f ( x) max f(a)a2a12，即a2a 1 0, a15（舍去），或 a =1-5（舍去）；22当 a 1 时， f (x)max f(1)a 2 ，综上 a 1 或 a2.故答案为 :1或2.【点睛】此题考察二次函数的图像与最值，考察分类议论思想，属于中档题.15．(－ 22)【分析】【详解】∵函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数且在 (－∞ 0)上是增函数又 f(2) ＝0∴f(x) 在(0＋∞)上是增函数且 f( － 2)＝f(2) ＝0∴当－２＜ x ＜2 时f(x) ＜ 0 即 f(x) ＜分析：(－ 2,2)【分析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在( －∞， 0) 上是增函数，又f(2)＝0，∴ f(x)在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，且f(－2) ＝f(2)＝ 0，∴当－２＜x＜ 2 时， f(x)＜ 0，即f(x)＜ 0的解为 (－ 2,2)，即不等式的解集为(－ 2,2), 故填 (－ 2,2).16．【分析】【剖析】依据函数的奇偶性令即可求解【详解】 ?分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性属于简单题分析：32【分析】【剖析】依据函数的奇偶性，令x1即可求解.【详解】Q f (x) ?g( x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且f (x) g ( x) 2x xf ( 1) g( 1) f (1)g (1) 2 1 13,2故答案为：32【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性，属于简单题.17．【分析】【剖析】依据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解获得答案【详解】由题意依据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以 abc 从小到大的关系是故答案为：【点睛分析： b c a【分析】【剖析】依据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数a,b, c 的取值范围，即可求解，得到答案 .【详解】由题意，依据指数函数的性质，可得a 1.10.1 1.101，由对数函数的运算公式及性质，可得b log212log21(1)211，2221ln 2ln e 1，c ln 2 ln e，且c2所以 a， b， c 从小到大的关系是b c a .故答案为： b c a .【点睛】此题主要考察了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，此中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数a, b, c 的取值范围是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题.18．-1【分析】试题分析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性分析： -1【分析】试题分析：因为 y f (x) x2是奇函数且 f (1)1，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性．19．24【分析】由题意得：所以时考点：函数及其应用分析： 24【分析】由题意得： {e b192e22k48 1 , e11k1，所以 x33 时，e22kb,4819242ye33k b(e11k )3e b119224 .8考点：函数及其应用.20．5【分析】【剖析】将化简为同时设可得的函数分析式可适当k 等于 8 时与的交点的全部根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可适当 k 等于 8 时与的交点的全部根的和的最大此时根分别为：当时分析： 5【分析】【剖析】2x ,0x 1,2x ,0 x1,12x ,1将 f (x)1 f ( x化简为 f ( x)x2, 同时设1),1 x 3,4212x, 2x3,164x f (x) g( x) ，可得g (x)的函数分析式，可适当k 等于 8 时与g (x)的交点的全部根的和的最大，可得答案 .【详解】2x,0x 1,2x ,0 x1,1 2x,1解：由 f ( x)1f ( x1),1 x可得： f ( x)x 2,3,421 2x ,2 x 3,168x ,0 x 1,设 4x f (x)g (x) ， g( x)18x ,1 x 2,41 8x, 2 x 3,16由 g( x) 函数的性质与图像可得，当 k 等于 8 时与 g( x) 的交点的全部根的和的最大，此时根分别为：当 0 x 1 时， 8x 18 ， x 1 1，当 1 x2时，18x 28 ， x 2 5 ，43 当 2 x3时，18x 38 ， x 37 ，163此时全部根的和的最大值为： x 1 x 2x 3 5 ，故答案为： 5.【点睛】此题主要考察分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行议论，属于中档题.三、解答题．（ ）f 1 0，证明看法析；（2） [1,2) (2,3]211【分析】【剖析】（1）依据函数分析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也能够获得 f x 与fx之间的关系，从而证明；（2）利用函数的奇偶性和单一性，合理转变求解不等式即可【详解】.（1）令 y1 0 ，则 f x1f xf 1 ，xx1x 得 f 1f x f x0 ，再令 x 1， y1 ，可得 f 1 f 1 f1 ，得 2 f 1f 1 0 ，所以 f1 0，令 y1，可得 f xfxf1f x ，又该函数定义域对于原点对称， 所以 fx 是偶函数，即证 .（2）因为f 2 1，又该函数为偶函数，所以f 21.因为函数 f x 在,0 上是减函数，且是偶函数所以函数 fx 在 0,上是增函数 . 又f 24f1 f 2x 4 xf 2x 4 ，xxx所以 f2x 4f 2 ，等价于2x 4 0, 2x 4 0,2x4 或2x42,2,解得 2 x 3 或 1 x 2 .所以不等式f2 4f1 1的解集为 [1,2)(2,3] .xx【点睛】此题考察抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单一性求解不等式 .22． (1) 2 a 4 ； (2) x x 0 或 x ln3【分析】 【剖析】（1 ）依据复合函数单一性的性质 ,联合二次函数性质即可求得 a 的取值范围 .（2 ）将 a3 代入函数分析式 ,联合不等式可变形为对于e x 的不等式 ,解不等式即可求解 .【详解】（1）Q f ( x) 在 (,1] 上单一递减,依据复合函数单一性的性质可知y x2 ax 3需单一a1递减则21a30解得2a4.（2）将a 3 代入函数分析式可得 f (x) ln( x23x 3)则由f (ex )x,代入可得ln e2 x3e x3x同取对数可得e2x3e x3e x 即 (e x )24e x30 ,所以 (e x1) e x30即 e x1或e x3x0或 x ln 3 ,所以原不等式的解集为x x 0或x ln 3【点睛】此题考察了对数型复合函数单一性与二次函数单一性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法 ,属于中档题 .23．（ 1）f (x)3x23x18 （2）[12,18]【分析】【剖析】【详解】（1）Q 3 2b 8, 3 2 a ab a3, b 5 , f x3x2 3 x 18 a a（ 2）因为 f x3x23x 18 张口向下，对称轴x1, 在0,1 单一递减，2所以当x 0, f max x 18,当x1, f min x12所以函数 f (x) 的值域为[12,18]【点睛】此题将函数的零点、分析式、最大小值等相关知识与性质有机整合在一同，旨在考察函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依照函数零点与方程的根之间的关系，求出函数分析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形联合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．24．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）0,1 100【分析】【剖析】 （I ）当 m0时，由 f (x)2 0 ，联合分段函数分析式，求得函数的零点，由此判断出yf (x) 2的零点的个数 .（II ）令 f 2 ( x) 3 f (x) 0，解得 f (x) 0 （依据分段函数分析式可知 fx 0 ，故舍去.）或 f ( x)3 .联合分段函数分析式，求得f ( x) 3 的根，联合分段函数f x 的分段点，求得 m 的取值范围 .【详解】x,0,（Ⅰ）当 m 0 时， f (x)2 , xlg x 1, x0.令 yf ( x) 20，得 f (x) 2 ，则 | lg x | 1 2 或 2|x|2.解 | lg x | 12 ，得 x 10 或 1，10解 2|x| 2 ，得 x1 或 x 1（舍） .所以当 m0 时，函数 yf (x)2 的零点为 1，1，10，共 3 个.10（Ⅱ）令 f 2 ( x) 3 f (x) 0 ，得 f ( x) 0 或 f ( x) 3 .由题易知 f ( x) 0恒建立 .所以 f (x)3一定有 3 个实根，即 | lg x |13 和 2|x|3共有 3个根.①解 2|x| 3 ，得 xlog 2 3 或 x log 2 3 1（舍），故有 1 个根 .②解 |lg x | 1 3 ，得 x 100 或 x 1 ，100要使得两根都知足题意，则有 m 1.100又 0, m 1 ，所以 0, m 1.100所以实数 m 的取值范围为0,1.100【点睛】本小题主要考察分段函数零点个数的判断，考察依据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题 .25． (1) k3； (2) 当 a 1 时， x ,log 2 3 ；当 0 a 1时， x log 2 3,；(3), 13【分析】【剖析】（1）由函数过点0,4 ，待定系数求参数值；（2）求出g x 的分析式，解对数不等式，对底数进行分类议论即可.（3）换元，将指数型不等式转变为二次不等式，再转变为最值求解即可.【详解】（1）因为f ( x)2x k 2 x且f (0)4，故： 1k 4 ，解得 k 3 .（2）因为g (x)log a f ( x)2x，由（ 1），将f x代入得：g x log a (3n 2 x ?) ，则log a(3n 2x ?) 0 ，等价于：当 a1时，3n 2x 1 ，解得x,log 2 3当 0 a 1时，3 2 x 1 ，解得x log 2 3,.n（3）f ( x)t8在R上恒建立，等价于：2x2x 28n2x t30 恒建立；令 2x m ，则m0,，则上式等价于：m28m t 30 ，在区间0,恒建立 .即：t m28m 3 ，在区间0,恒建立，又m28m3m4213 ，故：( m28m 3) 的最小值为：-13，故：只要 t13即可 .综上所述， t,13.【点睛】此题考察待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒建立问题求参数范围，属函数综合问题 .26．（ 1）g( x) 2x4x，（2） b 3 , 1164【分析】试题剖析：（ 1）；此题求函数分析式只要利用指数的运算性质求出 a 的值即可，（2）对于同时含有 a x, a2 x的表达式，往常能够令进行换元，但换元的过程中必定要注意新元的取值范围，换元后转变为我们熟习的一元二次的关系，从而解决问题．试题分析：解：（1）∵f ( x)3x，且 f (a 2)18 ∴∵∴（2）法一：方程为令，则1t 4 -4且方程为在有两个不一样的解．设 y t t 2(t 1 )21，y b两函数图象在1, 4 内有两个交点244由图知 b 3 , 1时，方程有两不一样解．164法二：方程为，令，则1t4 4∴方程在1,4上有两个不一样的解．设 f (t )t 2t b,t1, 4 44=1-4b01 b410b 3{ f164f (4)0b12解得 b 3 , 1164考点：求函数的分析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数分析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的种类（如一次函数，二次函数，指数函数等），便可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的分析式时，必定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，防止犯错．。
2020-2021学年北京市顺义区高一上学期期末考试数学试卷及答案
绝密★启用前2020-2021学年北京市顺义区高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,3A =，则UA（）A ．{}1,3B ．{}5,7,9C ．{}1,3,5,7,9D ．∅答案：B【分析】根据集合的运算直接求解即可 解：由全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,3A = 则5,7,9UA故选：B2．设命题:,10P x x ∃∈+≥R ，则P ⌝为（） A ．,10x x ∀∈+≥R B ．,10x x ∃∈+<R C ．,10x x ∀∈+<R D ．,10x x ∃∉+≥R答案：C【分析】特称命题的否定是全称命题，先否定量词，再否定结论. 解：命题:,10P x x ∃∈+≥R ，则P ⌝为：,10x x ∀∈+<R 故选：C3．已知实数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．11b a> B ．22a b > C ．0b a -> D ．b a a b <答案：A【分析】根据图象可得0b a <<，逐一分析选项，即可得答案.解：对于A ：由图象可得0b a <<，所以11b a>，故A 正确； 对于B ：因为0b a <<，所以22a b <，所以B 错误； 对于C ：因为b a <，所以0b a -<，故C 错误；对于D ：当2,1b a =-=-时，满足0b a <<，此时2,1b a ==， 所以2,2a b b a =-=-，即b a a b =，故D 错误， 故选：A4．三个实数0.33a =，0.32b =，lg 0.3c =的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>答案：B【分析】利用对数函数的单调性得出c 与0的大小关系，利用指数函数的单调性得出b 与1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.解：0.30221b =>=，lg 0.3lg10c =<=，0.33a =，因此，b a c >>.故选：B.5．函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的大致区间是（） A ．()1,2 B ．()2,3C ．(3,4)D ．()4,5答案：A【分析】利用零点存在性定理结合(1)(2)0f f <可得解. 解：函数()ln 23f x x x =+-为增函数，且(1)2310f =-=-<，()2ln 2430f =+->，(1)(2)0f f <由零点存在性定理可知函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的一个区间为()1,2. 故选：A.点评：思路点晴：应用零点存在性定理求解.6．“sin 2α=”是“3πα=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案． 解：3sin 2θ=推不出3πθ=，所以“3sin α=”是“3πα=”非充分条件，3πθ=推出3sin θ=，“3sin α=”是“3πα=”必要条件.故选：B ．点评：本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．7．单位圆O 圆周上的点P 以A 为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后OP 从起始位置OA 转过的角是（）A ．245π-B ．125πC ．145πD ．245π答案：D【分析】根据题意可出关于α的等式，即可求得结果.解：设24分钟之后OP 从起始位置OA 转过的角α，由题意可得22410απ=，解得245πα=. 故选：D.8．在平面直角坐标系中，角α、角β的终边关于直线y x =对称，若1cos 3α=-，则sin β=（）A ．13B ．223C ．223±D ．13-答案：D【分析】由题意可知，点()sin ,cos αα在角β的终边上，由此可求得sin β的值.解：由三角函数的定义可知，点()cos ,sin αα在角α的终边上， 由于角α、角β的终边关于直线y x =对称，则点()sin ,cos αα在角β的终边上，所以，221sin 3sin cos βαα==-+.故选：D.9．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至10000，则C 大约增加了（） A ．11% B ．22%C ．33%D ．100%答案：C【分析】根据题意，分别表示出SN等于1000和10000时对应的12,C C ，相比即可求得答案. 解：由题意得SN比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计. 所以21232log log 1000l g 1010o 3W W W C ===，22242log l 10000104g 0l 1o og W W W C ===所以22214104 1.log lo 33g 3310W W C C ==≈， 所以C 大约增加了33%. 故选：C10．如图，已知OPQ 是半径为r ，圆心角为4π的扇形，点A 、B 、C 分别是半径OP 、OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O 、P 、Q 三点），则关于ABC 的周长说法正确的是（）A ．有最大值，有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值答案：C【分析】作出点C 关于OQ 的对称点1C ，作出点C 关于OP 的对称点2C ，利用1C 、B 、A 、2C 四点共线时，ABC 的周长取得最小值可得出结论.解：如下图所示，作出C 关于OQ 的对称点1C ，作出点C 关于OP 的对称点2C ，连接1BC 、2AC ，由对称性可知1BC BC =，2AC AC =， 由于4POQ π∠=，则1222C OC POQ π∠=∠=，12OC OC r ==，则122C C r =，所以，ABC 的周长为21122AC BC AB AC BC AB C C r ++=++≥=， 当且仅当1C 、B 、A 、2C 四点共线时，等号成立，但ABC 的周长无最大值. 因此，ABC 的周长有最小值，无最大值. 故选：C.点评：思路点睛：本题考查三角形周长的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用四点共线时取得最值来求解. 二、填空题 11．sin 4π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________. 答案：22-【分析】根据诱导公式三将角化为正角,再计算对应的三角函数值.解：sin sin 442ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：2-. 12．函数1()ln(1)2f x x x =-+-的定义域是___________. 答案：{1x x >且2}x ≠【分析】根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案.解：由题意得1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，所以定义域为：{1x x >且2}x ≠故答案为：{1x x >且2}x ≠13．已知α是第三象限角，且4cos 5α=-，sin α=___________. 答案：35【分析】由平方关系结合角所在象限可得sin α=，将条件代入可得答案. 解：已知α是第三象限角，4cos 5α=-，则3sin 5α===- 故答案为：3514．若函数()f x 在其定义域上单增，且零点为2，则满足条件的一个()f x 可能是____________.(写出满足条件的一个()f x 即可) 答案：()2f x x =-【分析】根据函数的单调性及零点，写出满足题意的一个函数即可. 解：根据()f x 在其定义域上单增，且零点为2，即(2)0f =， 可写出一个函数()2f x x =-. 故答案为：()2f x x =-15．已知函数()f x 的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数()f x 的说法：①((1))3f f =； ②(2)(0)f f >；③()211,[0,4]f x x x x =--+∈；④0a ∃>，不等式()f x a ≤的解集为123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号) 答案：①③【分析】根据图象，可求得(1)f 的值，即可判断①的正误；根据图中数据及()f x 在[1,4]上的单调性，可判断②的正误；分别讨论14x ≤≤和01x ≤<两种情况，求得()f x 解析式，检验即可判断③的正误；根据不等式()f x a ≤解集，即求()f x a =的根，根据()f x 解析式，即可判断④的正误，即可得答案.解：对于①：由图象可得：(1)0f =，所以((1))(0)3f f f ==，故①正确； 对于②：(0)(4)3f f ==，且()f x 在[1,4]上为单调递增函数，所以(2)(4)3f f <=， 所以(2)(0)f f <，故②错误；对于③：当14x ≤≤时，()2112(1)11f x x x x x x =--+=--+=-，(1)0,(4)3f f ==，满足图象；当01x ≤<时，()2112(1)133f x x x x x x =--+=--+=-，(0)3f =，斜率3k =-，满足图象，故③正确；对于④：由题意得()f x a ≤的解集为123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，即()f x a =的根为1,23， 根据()f x 解析式可得1()23f =，当14x ≤≤时，令12x -=，解得3x =，所以解集为1[,3]3，故④错误. 故答案为：①③三、解答题16．已知集合{}13A x x =<<，{}24B x x =<<，{}0C x x a =<<. （1）求AB ，A B ；（2）若A C ⊆，求实数a 的取值范围.答案：（1）()1,4A B ⋃=，()2,3A B ⋂=（2）3a ≥ 【分析】（1）由交集和并集运算直接求解即可. （2）由A C ⊆，则3a ≥解：(1)由集合{}13A x x =<<，{}24B x x =<< 则()1,4A B ⋃=，()2,3A B ⋂=（2）若A C ⊆，则{}{}130x x x x a <<⊆<<，所以3a ≥ 17．已知不等式2520ax x -+<的解集是M. （1）若1M ∈，求实数a 的取值范围；（2）若122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式()22360ax a x -++-<的解集.答案：（1）(,3)-∞；（2）3{2x x <或2}x > 【分析】（1）根据1M ∈，代入不等式成立，即可求得a 的范围； （2）根据M 可得1,22为方程2520ax x -+=的两根，利用韦达定理，可求得a 的值，代入所求，即可求得答案.解：（1）因为1M ∈，所以215120a ⨯-⨯+<，解得3a <，所以实数a 的取值范围为(,3)-∞（2）因为122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以1,22为方程2520ax x -+=的两根，由韦达定理可得1222a⨯=，解得2a =， 所以不等式()22360ax a x -++-<即为22760x x -+-<，即22760x x -+>，所以(2)(23)0x x -->，解得32x <或2x >， 所以方程的解集为：3{2x x <或2}x >. 18．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R (单位：元)关于月产量x (单位：台)满足函数21400,1400280000,400x x x R x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩. （1）将利润()P x (单位：元)表示为月产量x 的函数；(利润=总收入-总成本) （2）若称()()g x xP x =为月平均单件利润(单位：元)，当月产量x 为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？答案：（1）()2130020000,1400210060000,400x x x P x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩；（2）当月产量为200时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元.【分析】（1）本题可分为1400x ≤≤、400x >两种情况，然后根据“利润=总收入-总成本”即可得出结果；（2）本题首先可根据()()g x x P x =得出()20000300,1400260000100,400xx xg x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，然后分为1400x ≤≤、400x >两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果. 解：（1）当1400x ≤≤时，利润()2220000100300200114000202P x x x x x x --=--=+-；当400x >时，利润()800002000010010060000P x x x =--=-+，故()2130020000,1400210060000,400x x x P x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩.（2）因为()()g x x P x =，所以()20000300,1400260000100,400xx xg x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，当1400x ≤≤时，()200002000030022300x x x x g x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝-⎭+因为220000200x x +≥=，当且仅当200x =时取等号，所以()200003001002x x g x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝+⎭，当200x =时，()g x 取最大值100；当400x >时，()60000100g xx =-+，()g x 为单调递减函数， 此时()()40050g g x <=，综上所述，当月产量为200时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元. 点评：关键点点睛：本题考查分段函数在实际生活中的应用，能否根据题意确定每一段区间内对应的函数解析式是解决本题的关键，考查基本不等式求最值，是中档题. 19．已知函数1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）当x ∈R 时，求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及最小值，并指出相应x 的值. 答案：（1）T π=，单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）12x π=-时函数取得最小值12-，4x π=时函数取得最大值14.【分析】（1）根据周期公式计算，用整体代换法化简222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即可得出单调递增区间；（2）用整体代换法得当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时52636πππ-≤-≤x ，当232x ππ-=-时函数取得最小值12-，当236x ππ-=时函数取得最大值14.解：解：（1）()f x 的最小正周期为22T ππ== 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时52636πππ-≤-≤x所以当232x ππ-=-即12x π=-时函数取得最小值12-， 当236x ππ-=即4x π=时函数取得最大值14. 点评：求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.20．已知函数2()4x mf x x +=-是定义在()2,2-上的奇函数. （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()2,2-上是减函数； （3）解不等式()()10f t f t -+<. 答案：（1）2()4x f x x =-；（2）详见解析；（3）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）本题可根据()()f x f x -=-求出()f x 的解析式；（2）本题可在()2,2-上任取1x 、2x 且12x x >，然后通过转化得出12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，即可证得结论；（3）本题首先可根据奇函数性质将()()10f t f t -+<转化为()()1f t f t -<-，然后根据减函数性质转化为212221t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪->-⎩，最后通过计算即可得出结果.解：（1）因为2()4x mf x x +=-，所以2()4x m f x x -+-=-， 因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 即2244x m x m x x +-+-=--，解得0m =，2()4xf x x =-. （2）在()2,2-上任取1x 、2x ，且12x x >，则()()()()22122112122222121244()()4444x x x x x x f x f x x x x x ----=-=---- ()()()()()()()()()()2212212112211212122222221212124444444444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--===-----+--， 因为2140x -<，2240x -<，1240x x +>，210x x -<，所以12())0(f x f x -<，12()()f x f x <，()f x 在区间()2,2-上是减函数.（3）因为()f x 是定义在()2,2-上的奇函数和减函数，所以()()10f t f t -+<即()()1f t f t -<-，()()1f t f t -<-，则212221t t t t-<-<⎧⎪-<<⎨⎪->-⎩，解得122t <<，不等式()()10f t f t -+<的解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭.点评：关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性求函数解析式、定义法判断函数单调性以及利用函数性质解不等式，偶函数满足()()f x f x =-，奇函数满足()()f x f x -=-，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.21．设集合*S ⊆N ，且S 中至少有两个元素，若集合T 满足以下三个条件：①*T ⊆N ，且T 中至少有两个元素；②对于任意,x y S ∈，当y x ≠，都有xy T ∈；③对于任意,x y T ∈，若y x >，则yS x∈；则称集合T 为集合S 的“耦合集”. （1）若集合{}11,2,4S =，求集合1S 的“耦合集”1T ；（2）若集合2S 存在“耦合集”2T ，集合{}21234,,,S p p p p =，且4321p p p p >>>，求证：对于任意14i j ≤<≤，有2j ip S p ∈；（3）设集合{}1234,,,S p p p p =，且43212p p p p >>>≥，求集合S 的“耦合集”T 中元素的个数.答案：（1）{}12,4,8T =；（2）证明见详解；（3）5个 【分析】（1）根据“耦合集”定义可得.（2）由条件②可知2T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ；由条件③可知13212PP S PP ∈得322P S P ∈同理其它比得证； （3）由（2）知21P S P ∈得211P P P =即221P P =，同理343141,P P P P ==，故{}3456711111,,,,T P P P P P =共5个元素.解：解：（1）由已知条件②得1T 的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以{}12,4,8T =； （2）证明：因为{}21234,,,S p p p p =，由已知条件②得2T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ，由条件③可知13212PP S PP ∈得322P S P ∈，同理得324442222211123,,,,P P P P PS S S S S P P P P P ∈∈∈∈∈，所以对于任意14i j ≤<≤，有2j ip S p ∈； （3）因为43212p p p p >>>≥，由（2）知21P S P ∈得211P P P =即221P P =，同理342311,P P P P P P ==，所以343141,P P P P ==，又因为T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ，所以{}3456711111,,,,T P P P P P =共5个元素.点评：解题关键是正确理解“耦合集”的定义.。
2021-2022学年北京市顺义区高一(上)期末数学模拟试卷
2021-2022学年北京市顺义区高一（上）期末数学模拟试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={2011，2012，2013，2014，2015}，M ={2011，2012，2013}，则∁U M =（ ）A. {2014}B. {2014,2015}C. {2011,2012,2013}D. {2011,2012,2013,2014,2015}2. 命题“∀x ＞0，2x 2+3x -1＜0”的否定是（ ）A. ∀x <0，2x 2+3x −1≥0B. ∀x ≤0，2x 2+3x −1≥0C. ∃x >0，2x 2+3x −1≥0D. ∃x ≥0，2x 2+3x −1≥03. 若a ，b 为非零实数，则下列不等式中成立的是（ ）A. |a +b|>|a −b|B. a+b 2≥√abC. (a+b 2)2≥abD. a b +b a ≥24. 已知实数a ＞1，若函数f （x ）=log a x +x -m 的零点所在区间为（0，1），则m 的取值范围是（ ）A. (1,2)B. (−∞,2)C. (0,1)D. (−∞,1)5. 函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x ∈（0，+∞），f [f （x ）-ln x ]=e +1，则方程f （x ）-f ′（x ）=e （其中e 为自然对数的底数）的解所在的区间是（ ）A. (0,12)B. (12,1)C. (1,2)D. (2,3)6. 下列命题中，真命题是( )A.B.是的充要条件 C.D. 命题的否定是真命题7. 在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =√2，AA 1=2，设四棱柱的外接球的球心为O ，动点P 在正方形ABCD的边上，射线OP 交球O 的表面于点M ，现点P 从点A 出发，沿着A →B →C →D →A 运动一次，则点M 经过的路径长为（ ）A. 4√2π3B. 2√2πC. 8√2π3D. 4√2π 8. 已知点P (sin ， cos )落在角θ的终边上，且θ∈［0，2π),则θ值为()A. B. C. D.9. 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f （m ）=1.06（0.5•{m }+1）（元）决定，其中m ＞0，{m }是大于或等于m 的最小整数，（如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（ ）A. 3.71元B. 3.97元C. 4.24元D. 4.77元 10. 若一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的（ ）A. 12B. 2C. 13D. 3二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 若tanα=-13，则3sinα+2cosα2sinα−cosα= ______ ．12. 设f （x ）={10−x (x ≤0)lgx(x ＞0)，则f [f （110）]= ______ ． 13. 若cosα=17，cos （α+β）=-1114，α∈（0，π2），α+β∈（π2，π），则β= ．14. 已知函数f （x ）在R 上为奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=2x -1，则f （x ）的解析式为______．15. 下列有关命题中，正确命题的序号是______．①命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”；②命题“∃x ∈R ，x 2+x -1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x -1＞0”；③命题“若x =y ，则sin x =sin y ”的逆否命题是假命题．④若“p 或q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题．”三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 已知集合A ={x |-x 2+3x +10≥0}，B ={x |m +1≤x ≤2m -1}，若A ∩B ≠∅，求m 的取值范围．17.求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．18.为推进“十二五”期间环保事业的科学发展，加快资源节约型、环境友好型社会建设，推行清洁生产和发展循环经济，减少造纸行业的污染物排放，宁夏某大型造纸企业拟建一座俯视图为矩形且其面积为81平方米的三级污水处理池（如下图所示），池的高度为3米．如果池的四周围墙建造单价为200元/平方米，中间两道隔墙建造价格为138元/平方米，池底建造单价为70元/平方米，该污水处理池所有的墙的厚度忽略不计．设污水池的宽为x米，总造价为S元．（Ⅰ）写出S关于x的函数表达式，并求出x的取值范围；（Ⅱ）设计污水处理池的长和宽分别为多少时，总造价S最低，求出最低总造价．19.函数f（x）=sin（ωx-π），（ω＞0），已知函数的最小正周期是π．6（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调增区间．≤a≤1，若函数f(x)=ax2−2x+1在区间[1,3] 上的最大值为M(a) ，最小值为N(a) ，令20.已知13g(a)=M(a)-N(a) ．（1）求g(a) 的函数表达式；,1]上的单调性，并求出g(a) 的最小值．（2）判断并证明函数g(a) 在区间[1321. （1）求关于x的方程的解集：n2x-n2=16x-n-12，n∈R．（2）已知集合A={a+5，a2+3，a2+2a+7}，若7∈A，求实数a的值．参考答案1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】D11.【答案】−3512.【答案】1013.【答案】π314.【答案】f （x ）={2x +1，x ＜00，x =02x −1，x ＞015.【答案】④16.【答案】解：∵集合A ={x |-x 2+3x +10≥0}=[-2，5]， 又∵B ={x |m +1≤x ≤2m -1}，A ∩B ≠∅，则m +1≤2m -1，即m ≥2；此时，m +1≤5，解得，m ≤4；故m 的取值范围为[2，4]．17.【答案】解：（1）不等式x 2-3x -4≥0可化为（x +1）（x -4）≥0， 解得x ≤-1或x ≥4，所以不等式的解集为{x |x ≤-1或x ≥4}；（2）不等式-x 2+x -1＜0可化为x 2-x +1＞0，△=（-1）2-4×1×1=-3＜0， 所以不等式的解集为R ；（3）当a ≥0时，解不等式x 2≤a ，得-√a ≤x ≤√a ；当a ＜0时，不等式x 2≤a 无解；所以，a ≥0时，不等式x 2≤a 的解集为-x |-√a ≤x ≤√a }； a ＜0时，不等式x 2≤a 的解集为∅．18.【答案】解：（Ⅰ）S(x)=3x ⋅2⋅138+200(3x ⋅2+3⋅81x ⋅2)+70⋅81=12⋅(169x +8100x )+5670 =2028x +97200x +5670，其中x ＞0…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得∵x ＞0，由基本不等式得S （x ）=12⋅(169x +8100x )+5670≥12⋅2√169x ⋅8100x+5670 =24•13•90+5670=28080+5670=33750…（9分）当且仅当169x =8100x ，即x =9013时，取等号； …（10分） 此时长为81x =11.7…（11分）∴当长为11.7米，宽为9013米时，S （x ）最低，最低总造价为33570元…（12分）19.【答案】解：（1）因为函数f （x ）=sin （ωx -π6），（ω＞0），且函数的最小正周期是π． ∴T =2πω=π⇒ω=2；（2）∵f （x ）=sin （2x -π6）；令2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2，求得k π-π6≤x ≤k π+π3， 可得函数的增区间为[k π-π6，k π+π3]，k ∈Z ．20.【答案】解：（1）当13≤a ≤12时N （a ）=f （1a ），M （a ）=f （1）， 此时g （a ）=f （1）-f （1a ）=a +1a -2， 当12＜a ≤1时N （a ）=f （1a ），M （a ）=f （3）， 此时g （a ）=f （3）-f （1a ）=9a +1a -6；∴g （a ）={a +1a −2,13≤a ≤129a +1a −6,12<a ≤1（2）设13≤a 1<a 2≤12，则g (a 1)−g (a 2)=(a 1−a 2)(1−1a 1a 2)>0 ， ∴g （a 1）＞g （a 2），∴g (a )在[13，12]上是减函数．设12<a 1<a 2≤1，则g (a 1)−g (a 2)=(a 1−a 2)(9−1a 1a 2)<0，∴g （a 1）＜g （a 2），∴g （a ）在（12，1]上是增函数∴当a =12时，g （a ）有最小值12．21.【答案】解：（1）∵n2x-n2=16x-n-12，∴（n2-16）x=n2-n-12=（n-4）（n+3），当n=4时，方程的解集为R，当n=-4时，方程无解，当n≠±4时，化简可得（n+4）x=（n+3），}；故方程的解集为{n+3n+4（2）若a+5=7，则a=2，此时，a2+3=7，不成立，若a2+3=7，则a=2或a=-2，当a=2时不成立，若a=-2，则a+5=3，a2+2a+7=7，不成立，若a2+2a+7=7，则a=-2或a=0，当a=-2时不成立，若a=0，则a+5=5，a2+3=3，成立；综上所述，a=0．。
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题含解析
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如图，在等腰梯形ABCD 中，222CD AB EF a ===，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起使得平面BEFC ⊥平面ADFE .若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）.若12=θθ，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为A.214a B.249a C.214a π D.249a π 2．设1153a =，1315b =，151log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<3．设定义在R 上的函数()f x 满足：当12x x <时，总有()()122122xxf x f x <，且()12f =，则不等式()2xf x >的解集为（） A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.()1,1-D.()(),11,-∞+∞4．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（）2cm .A.4003πB.400πC.800πD.7200π5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（ ） A.{}33x x -<< B.{1x x <-或}5x > C.{3x x <-或}3x > D.{5x x <-或}1x >6．已知()3sin 5απ-=，则cos2=α（） A.－925 B.925C.－725 D.7257．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（）A.3-B.13-C.13D.38．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A.3y x =- B.3y x -= C.32y x =D.31y x =-9．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.1a <- B.13a -<< C.3a >-D.31a -<<10．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3D.()2,4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。