1.2空间几何体的三视图和直观图
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新人教版必修二高中数学 1.2 空间几何体的三视图和直观图课件
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y
F A M E D
x
y
A
B
O
F
N
M
E
O
D
C
x
B
N
C
~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~
斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点. 画直观图时，把它画成对应的 x’轴、y’轴，两轴交于O’，使 ' ' x Oy 45 (或135 ) ，它们确定的平面表示水平平面．
在中心投影中，水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直)，但 斜的平行线则会相交，交点称为消点．
中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复 杂，又不易度量． 立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图， 这种画法叫斜二测画法． 投影规律 1.平行性不变，但形状、长度、 夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变；
3.在太阳光下，平行于地面的 直线在地面上的投影长不变．
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为 X轴，对称轴 MN ' ' X ,Y 所在直线为 Y 轴，两轴交于点 O ．画对应的 轴，两轴相交 ' ' O X ' OY 45 于点 ，使 y
在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影．其 中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的 平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影
1.2空间几何体的三视图和直观图
Z
y
Q
M
D
P
O
C
N
A
x
B
长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm
3 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
D
Z
B
O
C
Q
A
y
M
D
P
C
N
A
x
B
长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
y
F
M
E D
C
y
A
B
O
x
O
x
N
2以O为中心,在X上取AD=AD，在y轴上取
1 MN= MN .以点N 为中心,画BC平行于x轴, 2 并且等于BC;再以M 为中心,画EF平行于x轴, 并且等于EF.
y
F
M
E D
C
A
y
F M E
N C
A
B
O
回顾与思考4
正视图 侧视图
高
长 对 正 高 平 齐 宽 相 等
长 宽 宽
正 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 长 度
侧 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 宽 度
俯 视 图 反 映 了 物 体 的 长 度 和 宽 度
俯视图
宽
根据长方体的模型，请您画出它们的三视图，并 观察三种图形之间的关系． 一个几何体的正视图和侧视图的高度一样，俯视图和正 视图的的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样．
侧视图
俯视图
1.2.3空间几何体的直观图
【数学】1.2 空间几何体的三视图和直观图课件(人教A版必修2)2
y
F A
M
E D
x
y
A
B
O
F M E
N
O
D
C
x
B
N C
~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~
斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点. 画直观图时，把它画成对应的x’轴、y’轴，两轴交于O’，使 x'Oy' 45 (或135 ) ，它们确定的平面表示水平平面． (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画 成平行于x’轴或y’轴的线段．
问题提出
1.把一本书正面放置，其视觉效果 是一个矩形；把一本书水平放置，其视 觉效果还是一个矩形吗？这涉及水平放 置的平面图形的画法问题.
2.对于柱体、锥体、台体及简单的组 合体，在平面上应怎样作图才具有强烈 的立体感？这涉及空间几何体的直观图 的画法问题.
知识探究（一）:水平放置的平面图形的画法
z
y′
正视图
侧视图
A′ o′
B′ y B x′
俯视图
A
o
x
理论迁移
例 如图，一个平面图形的水平放 置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它 的底角为45°，两腰和上底边长均为1， 求这个平面图形的面积.
D D C C
A
B
A
S 2 2
B
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN 所在直线为Y轴，两轴交于点O．画对应的 X ' , Y ' 轴，两轴相交 于点 O ' ，使 X ' OY ' 45
Z
F A
M
E D
x
y
A
B
O
F M E
N
O
D
C
x
B
N C
~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~
斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点. 画直观图时，把它画成对应的x’轴、y’轴，两轴交于O’，使 x'Oy' 45 (或135 ) ，它们确定的平面表示水平平面． (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画 成平行于x’轴或y’轴的线段．
问题提出
1.把一本书正面放置，其视觉效果 是一个矩形；把一本书水平放置，其视 觉效果还是一个矩形吗？这涉及水平放 置的平面图形的画法问题.
2.对于柱体、锥体、台体及简单的组 合体，在平面上应怎样作图才具有强烈 的立体感？这涉及空间几何体的直观图 的画法问题.
知识探究（一）:水平放置的平面图形的画法
z
y′
正视图
侧视图
A′ o′
B′ y B x′
俯视图
A
o
x
理论迁移
例 如图，一个平面图形的水平放 置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它 的底角为45°，两腰和上底边长均为1， 求这个平面图形的面积.
D D C C
A
B
A
S 2 2
B
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN 所在直线为Y轴，两轴交于点O．画对应的 X ' , Y ' 轴，两轴相交 于点 O ' ，使 X ' OY ' 45
Z
高中数学必修2空间几何体的三视图和直观图
正视图 侧视图
俯视图
圆锥的三视图
正视图 侧视图
俯视图
思考：下列两组三视图分别是什么几何体？
正视图
侧视图
正视图
侧视图
俯视图
俯视图
圆台
三棱锥
一个几何体的三视图如下，则这个几 六棱锥 何体是______
正视图
主视图
左视图
俯视图
俯视图
画法说明
1、同一张图样中，同类图线的宽度应基本一致。 2、虚线、点划线相交时，应使两小段相交。
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E D
A
B
O
x
N
C
斜二测画法的步骤:(平面图形)
(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴,两轴 相交于O点．画直观图时，把它画成对应的 x 轴、 轴,使 xOy=45 或135 ,它确定的平面表示水平 y 平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． (3)已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中保 持原长度不变;平行于y 轴的线段,长度为原来的一 半．
y
F
M
E D
A
y
F M E
N
A
B
O
x
N
B
O
D
C
x
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E D
y
A
B
O
俯视图
圆锥的三视图
正视图 侧视图
俯视图
思考：下列两组三视图分别是什么几何体？
正视图
侧视图
正视图
侧视图
俯视图
俯视图
圆台
三棱锥
一个几何体的三视图如下，则这个几 六棱锥 何体是______
正视图
主视图
左视图
俯视图
俯视图
画法说明
1、同一张图样中，同类图线的宽度应基本一致。 2、虚线、点划线相交时，应使两小段相交。
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
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A
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C
斜二测画法的步骤:(平面图形)
(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴,两轴 相交于O点．画直观图时，把它画成对应的 x 轴、 轴,使 xOy=45 或135 ,它确定的平面表示水平 y 平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． (3)已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中保 持原长度不变;平行于y 轴的线段,长度为原来的一 半．
y
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A
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F M E
N
A
B
O
x
N
B
O
D
C
x
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
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O
1.2空间几何体的三视图和直观图
正、俯视图长对正 正、侧视图高平齐 俯、侧视图宽相等
上述正、俯、侧三个视图之间的关系，通常称为 “长对正、高平齐、宽相等”的三等关系，不 仅适用于整个物体的投影，也适用于物体上每个局 部结构的投影。
思考1:圆柱、圆锥、圆台的三视图分别 是什么？
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯பைடு நூலகம்图
1.2
空间几何体的三视图和直观图
第一课时
投影与三视图
物体在阳光或灯光照射下,就会在地面或墙壁 上产生影子,这就是投影,如图所示:
投射中心
投射线 投影 投影面
• 投影法分类
1. 中心投影法
光由一点向外散射形成的投影。如图，投射 线汇交于投影中心，此时三角板的投影不反映 其真实形状和大小。
2. 平行投影法如图
正 视 图 长对正 俯 视 图
高 平 齐
侧 视 图
三视图 展开图
在侧视图、俯视图上都体现形体的宽度，且是同 一形体的宽度，是相等的，我们称之为宽相等。
三视图的投影规律
物体有长、宽、高三个方向的尺寸。如果把物体 左右方向的尺寸称为长，前后方向的尺寸称为宽， 上下方向的尺寸称为高，则正、俯视图都反映了物 体的长，正、侧视图都反映了物体的高度，俯、侧 视图反映了物体的宽度。因此，三视图存在着以下 投影关系：
思考2:球的三视图是什么？下列三视图 表示一个什么几何体？
正视图
侧视图
俯视图
例1 如图是一个倒置的四棱柱的两种 摆放，试分别画出其三视图，并比较它 们的异同.
正视
正视
正视图
侧视图
正视
俯视图
A
B
高中数学必修二1.2空间几何体的三视图和直观图
正视图
侧视图
高
长
宽
俯视图
宽
画三视图必须遵循的法则：
高平齐
正视图 侧视图
从上面看 从 左 面 看 从正面看 长对正
高
宽
长
宽
俯视图
宽相等
理一理:
画三视图必须 遵循的法则：“长 对正，高平齐，宽 相等”
三视图表达的意义 从前面正对着物体观察，画出正视图，主视 图反映了物体的长和高及前后两个面的实形． 从上向下正对着物体观察，画出俯视图，布 置在主视图的正下方，俯视图反映了物体的长和 宽及上下两个面的实形． 从左向右正对着物体观察，画出侧视图，布 置在主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和 高及左右两个面的实形.
正视 图
侧视图
宽相等
长对正
俯视图
小结
反馈
三视图
三视图
正视图——从正面看到的图
侧视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置： 正视图 侧视图
俯视图 大小：长对正,高平齐,宽相等. 挑战“自我”,提高画三视图的能力.
练一练
请同学画出下列物体的三视图
1：
主视图
左视图 俯视图
2：
主视图
左视图
俯视图
例4. 给出物体的三视图，作出该物体的实物形状图
主视图
左视图
俯视图
练习：给出物体的三视图，作出该物体的实物形状图
主视图
左视图
俯视图
例3 根据三视图判断几何体
圆台
正视图
侧视图
俯
侧
俯视图
圆 台
正
例4 根据三视图判断几何体
1.2空间几何体的三视图和直观图
——苏轼
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。 不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
1.三视图有关概念
“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所 得到的投影图．
光线从几何体的前面向后面正投影，所得的投 影图称为“正视图” ，自左向右投影所得的投影 图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称 为“俯视图”．
ADD1A1 和面 BCC1B1 上的正投影是图乙(2)；在面 ABB1A1 和面
DCC1D1 上的正投影是图乙(3)．
答案 (1)、(2)、(3)
A
O
Bx
D FH
y′
C' E'
A'
O′
D' F'
B' x ′
练习1、判断下列结论是否正确
（1）角的水平放置的直观图一定是角．
（√ ）
（2）相等的角在直观图中仍然相等．
（× ）
（3）相等的线段在直观图中仍然相等．
（× ）
√ （4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段
仍然平行．
（）
练习2、利用斜二测画法得到的
观察下列投影图,并将它们进行比较
结论： 我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影 .
知识点一：平行投影
当把投影中心移到无穷远，在一束平 行光线照射下形成的投影，叫做平行 投影。
平行投影：
正投影：投影方向垂直于投影面 的投影。
平行投影：
斜投影：投影方向与投影面倾斜 的投影。
平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平
行投影具有下列性质.
（1） 直线或线段的平行投影仍是直线或线段.
（2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。 不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
1.三视图有关概念
“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所 得到的投影图．
光线从几何体的前面向后面正投影，所得的投 影图称为“正视图” ，自左向右投影所得的投影 图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称 为“俯视图”．
ADD1A1 和面 BCC1B1 上的正投影是图乙(2)；在面 ABB1A1 和面
DCC1D1 上的正投影是图乙(3)．
答案 (1)、(2)、(3)
A
O
Bx
D FH
y′
C' E'
A'
O′
D' F'
B' x ′
练习1、判断下列结论是否正确
（1）角的水平放置的直观图一定是角．
（√ ）
（2）相等的角在直观图中仍然相等．
（× ）
（3）相等的线段在直观图中仍然相等．
（× ）
√ （4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段
仍然平行．
（）
练习2、利用斜二测画法得到的
观察下列投影图,并将它们进行比较
结论： 我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影 .
知识点一：平行投影
当把投影中心移到无穷远，在一束平 行光线照射下形成的投影，叫做平行 投影。
平行投影：
正投影：投影方向垂直于投影面 的投影。
平行投影：
斜投影：投影方向与投影面倾斜 的投影。
平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平
行投影具有下列性质.
（1） 直线或线段的平行投影仍是直线或线段.
（2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
1.2空间几何体的三视图和直观图
平行光线
皮影戏表演
手影表演
中心投影:投射线交于一点 投影的分类 斜投影 平行投影 投射线平行 正投影(本节主要学习利用正投影绘制 空间图形的三视图,并能根据所给的三 视图了解该空间图形的基本特征)
猜 猜 他 们 是 什 么 关 系 ？
看 事 物 不 能 只 看 单 方 面
在中心投影中，水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直)，但 斜的平行线则会相交，交点称为消点．
中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复 杂，又不易度量．
立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图， 这种画法叫斜二测画法． 投影规律 1.平行性不变，但形状、长度、 夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变； 3.在太阳光下，平行于地面的 直线在地面上的投影长不变．
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方 便，在作图中应用最广泛． 斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，但作图 比较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一 种辅助图样．
三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果
S
投 射 方 向
物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则 为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．
俯
正视图
左
侧视图
俯视图
请你画出球的三视图
俯
主视图
左视图
左
俯视图
理论迁移
2.如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试分 别画出其三视图，并比较它们的异同.
正视
正视
正视图
侧视图
正视 俯视图
正视图
侧视图
正视 俯视图
能看见的轮廓线和棱用实线表示， 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.
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请您画出正六棱锥的三视图
俯
侧
读好书，做好人
数学
请您画出四棱台的三视图
俯
侧
读好书，做好人
数学
请您画出球的三视图
俯
侧
读好书，做好人
数学
三通水管
图2
图1
如果要做一个水管的三叉接头，工人事先看到的不是图1， 而是图2，然后根据这三个图形制造出水管接头.
读好书，做好人
数学 画出下面这个组合图形的三视图．
读好书，做好人
数学
1.正视图
光线从几何体的前面向后面正投影所得到的投影 图 叫做几何体的正视图.
2.侧(左）视图
光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影 图叫做几何体侧视图.
3.俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投 影图叫做几何体的俯视图.
读好书，做好人
数学 根据长方体的模型，请您画出它们的三视 图，并观察三种图形之间的关系． 一个几何体的正视图和侧视图的高度一样，俯 视图和正视图的长度一样，侧视图和俯视图的宽度 一样．
在中心投影中，如果改变物体与投影中心或投影面之间的 距离、位置，则其投影的大小也随之改变．
读好书，做好人
数学
在一束平行光线下的投影叫做平行投影．
正投影：投影 线正对着投影 面（即垂直于 投影面）
斜投影：投影 线不垂直于投 影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小， 作图比较方便，在作图中应用最广泛．
读好书，做好人
数学
三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果
S
投 射 方 向
读好书，做好人
数学
读好书，做好人
数学
把一个空间几何体投影到一个平面上，可以 获得一个平面图形．视图是指将物体按正投影 向投影面投射所得到的平面图形. 但只有一个平面图形难以把握几何体的全 貌，因此我们需要从多个角度进行投影．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中 分别画成平行于x轴或y轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长 度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
读好书，做好人
数学
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画法．在 实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．
D
Z
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A
y
D
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x
A
D
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B
A
读好书，做好人
B
数学
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画 法画出它的直观图
· O · O
正视图
· O
· O
侧视图
·
俯视图
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数学
Z ·
O
y
y
x
O
x
读好书，做好人
投影规律 1.平行性不变，但形状、长度、 夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变；
3.在太阳光下，平行于地面的 直线在地面上的投影长不变．
读好书，做好人
数学
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
画法： (1)如图，在正六边形ABCDEF中, 取AD所在直线为x轴， 对称轴MN 所在直线为y轴，两轴相交于点O.画对应的x轴与 y轴，两轴相交于点O, 使xOy 45。
读好书，做好人
数学
例2．用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm 的长方体的直观图
联想水平放置的平 面图形的画法，并注意 到高的处理
读好书，做好人
数学
1 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 , xOz 90 .
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ=1.5 cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
遮挡住看不见的线用虚线
读好书，做好人
数学
读好书，做好人
数学 (1) 四棱柱 (2) 圆锥与半球组成的简单组合体 (3) 四棱柱与球组成的简单组合体 (4) 两个圆台组成的简单组合体
读好书，做好人
数学
如图，已知几何体的三视图，想象对应的几何体 的结构特征
圆锥与四棱柱组合的简单 几何体
读好书，做好人
Z
y
O
Z
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Q
x
M
D
P
C
O
A
N
x
B
读好书，做好人
数学
3 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分
改为虚线), 就可得到长方体的直观图.
数学
读好书，做好人
数学
读好书，做好人
数学
在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影．其 中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的 平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影
读好书，做好人
数学
光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．其投影线 交于一点(投影中心)．
读好书，做好人
数学
y
F A
M
E D
x
y'
O
O
x'
B
N C
注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶 点的位置．
读好书，做好人
数学
1 (2) 在图中，以O为中点，在x轴上取AD AD, 在y轴上取M N MN . 2 以点N 为中心，画BC平行于x轴，并且等于BC; 再以M 为中点，画EF 平行于x轴，并且等于EF .
正视图 侧 视 图
俯视图
读好书，做好人
数学
高平齐
正视图
侧视图
高度
长对正
长度
宽相等
宽度
俯视图
读好书，做好人
数学
请画出圆柱的三视图
俯
侧
圆柱
读好书，做好人
数学
请你画出圆锥的三视图
俯
侧
读好书，做好人
数学 请你画出圆台的三视图
俯
左 侧
读好书，做好人
数学
请你画出六棱柱的三视图
俯
侧
读好书，做好人
数学
数学
读好书，做好人
数学 图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片 的研究可以了解空间图形的一些性质和特征． 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法， 但三视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的 直观图．一般采用平行投影．
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数学 立体几何中常用平行投影来画空间图形的直观图， 这种画法叫斜二测画法．
y
F A
M
E D
x
y
A
B
O
F M E
N
O
D
C
x
B
N C
注意：与x轴平行的线段长不变，与y轴平行的线段长变为 原来的一半．
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(3) 连接AB, C D, DE , F A, 并擦去辅助线x轴和y轴，便 获得正六边形ABCDEF 水平放置的直观图ABCDEF .
y
F A
M
E D
x
y
A
B
O
F M E
N
O
D
C
x
B
N C
~请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~
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斜二测画法的步骤
(1) 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O,
。 且使xOy 45 （或 135。 ）,它们确定的平面表示水平面.