数学选修4445所有试卷含答案
选修4-4、4-5试题精选
选修4-4、4-5试题精选（1）当0，=兀-时，求在直角坐标系下点M的坐标和直线l的方程;（2）当点M在曲线C上运动且点P在线段OM上时，求点P在极坐标系下的轨迹方程。
2.在平面直角坐标系xOy中，直线l的（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求A，B两点间的距离。
3.已知曲线C的极坐标方程是p=1，以极点为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换（1）设曲线C上任意一点为M（x，y），求x一3y的最小值;（2）求曲线E的直角坐标方程，以及直线l被曲线E截得的弦AB的长。
4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
（1）写出曲线C的普通方程和极坐标方程;（2）M，N为曲線C上两点，若OM上ON，求|MN|的最小值。
5.在平面直角坐标系xOy中，直线l的坐标原点0为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，0），曲线（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围。
6.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2sin0+2acos0（a》0）;直线l的参数方程为交于M，N两点。
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;（2）若点P的极坐标为（2，兀），|PM|+|PN|=52，求a的值。
7.在平面直角坐标系xOy中，曲线C标原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=（1）写出曲线C的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;（2）若点P的直角坐标为（0，-1），曲线C与曲线C，交于A，B 两点，求|PAI+|PB|的值。
8.在直角坐标系xOy中，曲线C的参x=/3+3cosa（a为参数）。
以数方程为y=1+3sina坐标原点0为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为0。
高中数学选修4-4全套同步习题(含答案)
2.1.1 参数方程的概念►预习梳理1．参数方程的定义．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：______________；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）所确定的点P (x ，y )________________，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）叫作曲线C 的__________，变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出__________________的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t 的关系，则所得的⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是参数方程．►预习思考以下表示x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1，y ＝0(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3t ＋1(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝0(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1，y ＝0(t 为参数), 预习梳理1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ） 都在曲线C 上 参数方程 点的坐标间关系 预习思考 D一层练习1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )A ．(2，3)B ．(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．(2，0)1．D2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 2.C3．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上其中一个点的坐标是( )A ．(2，7) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D ．(1，－1) 3.D4．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是____________.4．(x －1)2＋y 2＝45．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a ，则a ＝____________.5．± 3 二层练习6．若一直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t (t 为参数)，则此直线的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°6．B7．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线 7.C8．(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．8．命题立意：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题．解析：∵直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)，∴直线的普通方程为x ＋y －1＝0， 圆心到直线的距离为d ＝12＝22， 弦长＝24－⎝⎛⎭⎪⎫222＝14. 答案：149．(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．9．解析：圆C ⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)表示的曲线是以点(3，1)为圆心，以3为半径的圆，将直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0的方程化为3x －y ＝0，圆心(3，1)到直线3x －y ＝0的距离d ＝|3×3－1|（3）＋12＝1，故圆C 截直线所得弦长为232－12＝4 2.答案：4 210．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．10．(1，0)三层练习11．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．11．1612．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立即坐标系，则曲线C 的极坐标方程为____________________．12．ρcos 2θ－sin θ＝013．已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos β，y ＝2sin β(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 13．解析：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cosα＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．14．边长为a 的等边三角形ABC 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴两正半轴上移动，顶点C 和原点O 分别在AB 两侧，记∠CAx ＝α，求顶点C 的轨迹的参数方程．14．解析： 如下图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，设点C 的坐标为(x ，y )．则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OA ＋AD ，y ＝DC ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＋a cos α，y ＝a sin α(α为参数)， 即为顶点C 的轨迹方程．1．求曲线参数方程的主要步骤．第一步 设点：画出轨迹草图．设M (x ，y )为轨迹上任意一点的坐标，画图时注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步 选参：选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )与参数的关系比较明显，容易列出方程．二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步 表示、结论：根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．证明可以省略．2．将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方法．(1)代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数，例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn 消参．高中数学 1.2极点坐标练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．极坐标系的建立．在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定____________和______________________(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O 称为极点，射线Ox 称为极轴)．设M 为平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的________，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的________，记为θ，有序实数对________叫作点M 的极坐标，记作________，一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．直角坐标与极坐标的互化．以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ 或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ ，tan θ＝ （x ≠0）. ►预习思考 1．写出下图中各点的极坐标：A ________，B ________，C ________．2．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，则它化成直角坐标为________．,预习梳理1．一个长度单位 一个角度单位及其正方向 极径 极角 (ρ，θ) M (ρ，θ) 2．ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2yx预习思考1．(4，0) ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 ⎝⎛⎭⎪⎫3，π22.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532一层练习1．极坐标系中，和点⎝⎛⎭⎪⎫3，π6表示同一点的是________．1.⎝⎛⎭⎪⎫3，－11π62．极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．2.⎝⎛⎭⎪⎫3，π33．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标可能是________．3.⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4 4．在极坐标系中，已知M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则|M 1M 2|＝________．4．25．以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M ⎝⎛⎭⎪⎫2 014，5π3表示的点在第________象限． 二层练习5．解析：由于x ＝ρcos θ＝2014cos 5π31007，y ＝ρsin θ＝2014sin5π3＝－10073， 故点(1007，－10073)在第四象限． 答案：四6．已知A 、B 两点极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，则线段AB 中点的极坐标为________．6.⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π37．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则△AOB 的面积S ＝________．7．28．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(规定ρ>0，θ∈[0，2π))，则：(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________________．8．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 9．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1，则圆心C 的极坐标为__________(ρ＞0，0≤θ＜2π)．9.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π310．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． (1)(3，3)； (2)(－1，－1)；(3)(－3，0)．10．解析：(1)ρ＝（3）2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3. (2)ρ＝（－1）2＋（－1）2＝2，tan θ＝1. 又因为点在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4. (3)ρ＝（－3）2＋02＝3，画图，可知极角为π，所以点(－3，0)的极坐标为(3，π) 三层练习11．在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和(3，0)，O 为极点，则三角形OAB 的面积＝________．11.33212．在极坐标系中，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，点B 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ρ，116π(ρ>0)，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为________________．12.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11π6＋2k π(k ∈Z)13．以直角坐标系Oxy 的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)，正六边形ABCDEF 的顶点极径都是ρ＝2，且A 、B 、C 、D 、E 、F 依逆时针次序排列．若点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则点B 的直角坐标为________．13．(－1，3)14．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 14．解析：设M (r ，0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以（42）2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以点M 的坐标为(1，0)或(7，0)．答案：(1，0)或(7，0)1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置． 3．极坐标与直角坐标的互化．我们把极轴与平面直角坐标系xOy 的x 轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P (x ，y )是平面上的任意一点，如右图：则有换算公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.② 在换算公式①和②中，一般θ∈[0，2π)就可以了．【习题1.2】1．解析：由题图可知各点的坐标分别为A (3，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫1，5π6，E (2.5，π)，F ⎝⎛⎭⎪⎫5，4π3，G (4，5π3)． 2．解析：以广东省汕尾市为极点，正东方向的射线为极轴(单位长度为1公里)建立极坐标系，如右图所示，则该台风中心所在位置的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫440，7π4.3．解析：因为∠AOB ＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以A ，O ，B 三点共线．所以A ，B 两点间的距离为|AB |＝3＋1＝4.4．解析：直角坐标与极坐标的互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，分别将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π代入上述公式得各点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，322，()－1，3，(0，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0.5．解析：直角坐标与极坐标的互化公式为ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，分别将直角坐标()3，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，()－2，－23代入上述公式得各点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3.高中数学 1.3简单曲线的极点坐标方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理 1．定义．如果曲线C 上的点与方程f (ρ，θ)＝0有如下关系： (1)曲线C 上任一点的坐标__________方程f (ρ，θ)＝0；(2)方程f (ρ，θ)＝0的________为坐标的点______________．则曲线C 的方程是f (ρ，θ)＝0.2．圆的极坐标方程．(1)圆心在(a ，0)(a ＞0)半径为a 的圆的极坐标方程为________________． (2)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标的方程为____________． 3．直线的极坐标方程．(1)直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角为π4，则直线l 的极坐标方程为____________．(2)过点A (a ，0)(a ＞0)且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为________________． (3)直线l 过点P (ρ1，θ1)且与极轴所成的角为α，则直线l 的极坐标方程为____________________________．►预习思考1．几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)圆心位于极点，半径为1的圆的极坐标方程为__________； (2)圆心位于M (1，0)，半径为1的圆的极坐标方程为________；(3)圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，半径为1的圆的极坐标方程为________．2．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点且过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π6的极坐标方程为__________________；(2)直线过点M (1，0)且垂直于极轴的极坐标方程为________；(3)直线过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2且平行于极轴的极坐标方程为________．,预习梳理1．(1)符合 (2)所有解 都在曲线C 上 2．(1)ρ＝2a cos θ (2)ρ＝r 3．(1)θ＝π4，ρ∈R (2)ρcos θ＝a(3)ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1) 预习思考1．(1)ρ＝1 (2)ρ＝2cos θ (3)ρ＝2sin θ 2．(1)θ＝π6，ρ∈R (2)ρcos θ＝1 (3)ρsin θ＝1一层练习1．曲线的极坐标方程ρ＝4cos θ化成直角坐标方程为________． 1．(x －2)2＋y 2＝42．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是________． 2.223．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ所表示的曲线是________． 3．圆4．(2014·湛江高考调研)极坐标系内，点⎝⎛⎭⎪⎫1，π2到直线ρcos θ＝2的距离是________．4．命题立意：本题考查极坐标与直角坐标的转化，难度较小．解析：点⎝⎛⎭⎪⎫1，π2的直角坐标为(0，1)，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，故点(0，1)到直线x ＝2的距离是d ＝2.答案：25．(2014·揭阳二模)在极坐标系中，过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π2引圆ρ＝4sin θ的一条切线，则切线长________．二层练习5．命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互相转化，难度中等． 解析：先将圆的极坐标方程转化为普通方程，将点的极坐标转化为直角坐标，再利用解直角三角形求其切线长．圆的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点A 的直角坐标为(0，－4)，点A 与圆心的距离为|－4－2|＝6，所以切线长为62－22＝4 2.答案：4 26．过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3且平行于极轴的直线的极坐标方程是________．6．ρsin θ＝ 37．(2014·湛江二模拟)极坐标系中，圆O ：ρ2＋2ρcos θ－3＝0的圆心到直线ρcosθ＋ρsin θ－7＝0的距离是________．7．命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，难度中等．解析：先将圆与直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式求距离大小．圆的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心为(－1，0)，直线的直角坐标方程为x ＋y －7＝0，所以圆心到直线的距离为|－1＋0－7|2＝4 2.答案：4 28．(2014·汕头质量检测)如图所示的极坐标系中，以M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6为圆心，半径r ＝1的圆M 的极坐标方程是________．8．命题立意：本题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程间的转化，难度中等． 解析：依题意，题中的圆M 的圆心的直角坐标是(23，2)，因此圆M 的直角坐标方程是(x －23)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－43x －4y ＋15＝0，相应的极坐标方程是ρ2－43ρcos θ－4ρsin θ＋15＝0，即ρ2－8ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋15＝0.答案：ρ2－8ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋15＝09．(2014·佛山一模)在极坐标系中，设曲线C 1：ρcos θ＝1与C 2：ρ＝4cos θ的交点分别为A ，B ，则|AB |＝________．9．命题立意：本题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程的转化，难度中等． 解析：依题意，两条曲线相应的直角坐标方程分别是x ＝1与x 2＋y 2＝4x ，而圆x 2＋y 2＝4x 的圆心坐标是C 2(2，0)、半径是2，圆心C 2(2，0)到直线x ＝1的距离为1，因此|AB |＝222－12＝2 3.答案：2 310．在极坐标系中，直线l ：ρcos θ＝t (常数t ＞0)与曲线C ：ρ＝2sin θ相切，则t ＝________．10．111．在极坐标系中，已知直线l ：ρ(sin θ－cos θ)＝a 把曲线C ：ρ＝2cos θ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是________．11．－112．(2014·深圳第二次调研)在极坐标系中，A ，B 分别是直线3ρcos θ－4ρsin θ＋5＝0和圆ρ＝2cos θ上的动点，则A ，B 两点之间距离的最小值是________．12．命题立意：本题考查直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离，难度中等． 解析：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3x －4y ＋5＝0，圆的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1，0)到直线的距离d ＝|3×1－4×0＋5|32＋42＝85，所以A ，B 两点之间距离的最小值为d －r ＝85－1＝35.答案：35三层练习13．(2014·陕西高考文科·T 15)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．13．解题提示：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，从而求得此点到直线的距离．解析：由于直线的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的直角坐标为(3，1)．故该点到直线的距离d ＝3－3·1＋21＋3＝1.答案：114．(2014·上海高考理科·T 7)已知曲线C 的极坐标方程为ρ(3cos θ－4sin θ)＝1，则C 与极轴的交点到极点的距离是________．14．解题提示：首先将极坐标方程化为直角坐标方程为3x －4y ＝1，则C 与极轴的交点即为直线，与x 轴的交点，即得结论．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为3x －4y ＝1，则C 与极轴的交点即为直线与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，极点即为原点，故距离为13.答案：1315．(2014·广东高考文科·T 14)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________． 15．解析：2ρcos 2θ＝sin θ即2ρ2cos 2θ＝ρsin θ，则2x 2＝y ，ρcos θ＝1即x ＝1. 联合解得，x ＝1，y ＝2.曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2)． 答案：(1，2)误区警示：曲线C 1的方程化为直角方程看不出思路，可通过等式变形找关系． 16．(2014·天津高考理科·T 13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝α相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则α的值为________．16．解析：圆的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线为y ＝α.因为△AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫α3，α，代入圆的方程可得α＝3.答案：3 17.6217．(2015·韶关市高三模拟考试)在极坐标中，已知直线l 方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则点Q 到l 的距离d 为________． 18．(2015·全国卷Ⅰ，数学文理23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．18．解析：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．建立曲线的极坐标方程的方法步骤： (1)在曲线上任取一点P (ρ，θ)；(2)建立起直角三角形(或斜三角形)，利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起ρ、θ的方程；(3)验证求得的方程为曲线的方程．2．利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题．求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致．如定义法、直接法、参数法等．3．不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单的极坐标方程．反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线在直角坐标系内的方程．这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系，使解题过程大为简化．如果对极坐标方程不熟悉，可转化为直角坐标方程解答．4．处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路： (1)化极坐标方程为直角坐标方程再处理； (2)根据ρ、θ的几何意义进行旋转或伸缩变换．【习题1.3】1．解析：(1)表示圆心在极点，半径为5的圆(图略)． (2)表示过极点，倾斜角为5π6的直线(图略)．(3)表示过极点，圆心在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2半径为1的圆(图略)．2．解析：(1)θ＝π3(ρ∈R)．(2)如图所示，设过点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3且与极轴垂直的直线与极轴交于点B ，点P (ρ，θ)是直线上任意一点．因为∠AOB ＝π3，OA ＝2，所以OB ＝2cos π3＝1，从而cos θ＝OB OP ，即cos θ＝1ρ，所以所求的极坐标方程为ρcos θ＝1.(3)如图所示，设P (ρ，θ)是圆上任意一点．当O ，A ，P 三点不共线时，在△OPA 中利用余弦定理得到|OA |2＋|OP |2－2|OA |·|OP |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝|AP |2，所以1＋ρ2－2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1，即ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.①当O ，A ，P 三点共线时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，这两点的坐标满足①，所以①就是所求的圆的极坐标方程．(4)如图所示，设P (ρ，θ)是圆上任意一点，当O ，A ，P 三点不共线时，在△OPA 中利用余弦定理得|OA |2＋|OP |2－2|OA |·|OP |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AP |2，所以a 2＋ρ2－2a ρsin θ＝a 2，即ρ＝2a sin θ.②当O ，A ，P 三点共线时，点P 的坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，π2，这两点的坐标满足②，所以②就是所求的圆的极坐标方程．3．(1)ρcos θ＝4. (2)ρsin θ＝－2.(3)2ρcos θ－3ρsin θ－1＝0. (4)ρ2cos 2θ＝16. 4．(1)y ＝2. (2)2x ＋5y －4＝0. (3)(x ＋5)2＋y 2＝25. (4)(x －1)2＋(y ＋2)2＝5.5．解析：以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，把直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22化为直角坐标方程得x ＋y ＝1，把点A 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4化为直角坐标得(2，－2)．在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式得A (2，－2)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝22.所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22.6．(1)证明：以椭圆中心O 为原点，长轴所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得（ρcos θ）2a 2＋（ρsin θ）2b 2＝1，即ρ2＝a 2b 2b 2cos 2θ＋a 2cos 2 θ，由于OA ⊥OB ，可设A (ρ1，θ1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ1＋π2，则ρ21＝a 2b 2b 2cos 2 θ1＋a 2sin 2 θ1，ρ22＝a 2b 2b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1.于是1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝b 2cos 2θ1＋a 2sin 2 θ1＋b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1a 2b 2＝a 2＋b 2a 2b 2.所以1|OA |2＋1|OB |2为定值．(2)解析：依题意得到S△AOB＝12|OA ||OB |＝12ρ1ρ2＝12·a 2b 2（b 2cos 2θ1＋a 2sin 2θ1）（b 2sin 2θ1＋a 2cos 2θ1）＝12·a 2b 2（a 2－b 2）2sin 22θ14＋a 2b2，当且仅当sin 22θ1＝1，S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2；当sin 22θ1＝0，S △AOB 有最大值为ab 2.2．4 渐开线与摆线►预习梳理1．以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：________________________________________________________________________(其中r 为基圆的半径)．2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为：______________________________________________________． ►预习思考半径为8的圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos φ＋8φsin φ，y ＝8sin φ－8φcos φ(φ为参数)，摆线参数方程为______________．,预习梳理1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数) 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－8sin φ，y ＝8－8cos φ(φ为参数)一层练习1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 1．C2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ－sin θ，y ＝1－cos θ(θ为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin θ，y ＝θ－cos θ(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－θsin θ，y ＝sin θ＋θcos θ 2.C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④ 3.C4．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) 二层练习5．如下图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH ，…的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 5．C6．已知摆线的生成圆的直径为80 mm ，则摆线的参数方程为____________________________________，其一拱的宽为________，拱高为________．6.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40（φ－sin φ），y ＝40（1－cos φ）(φ为参数) 80π mm 80 mm7．已知参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，摆线参数方程为____________________________．7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数) 8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．8．(63，0)和(－63，0)9．当φ＝π2，π时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上的对应点A ，B ，并求出A ，B 间的距离．9．解析：将φ＝π2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ.得x ＝cos π2＋π2sin π2＝1，y ＝sin π2－π2cos π2＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π.∴B (－1，π)． 故A ，B 间的距离为|AB |＝（1－π）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＝45π2－π＋2. 三层练习10．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A ，B 对应的参数分别为π3和π2，求点A 、B 的直角坐标． 10．解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)． 将φ＝π3代入得x ＝cos π3＋π3sin π3＝12＋36π， y ＝sin π3－π3cos π3＝32－π6. ∴A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6.当φ＝π2时，同理可求得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.11．求摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数且0≤φ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．11．解析：当y ＝2时，有2(1－cos φ)＝2， ∴cos φ＝0.又0≤φ≤2π， ∴φ＝π2或φ＝3π2.当φ＝π2时，x ＝π－2；当φ＝3π2时，x ＝3π＋2.∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2，2)，(3π＋2，2)．12．设圆的半径为4，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值．12．解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（φ－sin φ），y ＝4（1－cos φ）(φ为参数)．且0≤φ≤2π.其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π)，如下图所示：易知，当x ＝4π时，y 有最大值8.13．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．13．分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程．解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．14．已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．14．分析：根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，只需把点(2，0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解析：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π. 又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（φ－sin φ），y ＝1π（1－cos φ）(φ为参数)；圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（cos φ＋φsin φ），y ＝1π（sin φ－φcos φ）(φ为参数)．1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．2．渐开线上任一点M 的坐标由圆心角φ(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M 的位置也可以由圆心角φ唯一确定．3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义． 4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代入摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，可求出φ，进一步求的r ，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．【习题2.4】1．解析：因为基圆的直径是225 mm ，所以基圆的半径是112.5 mm ，齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112.5（cos φ＋φsin φ），y ＝112.5（sin φ－φcos φ）(φ是参数)．2．解析：将φ＝π2，3π2分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得到A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1，由两点间的距离公式得|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋（1＋1）2＝2π2＋1.3．解析：设轮子的圆心为B ，以BM 的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O 为原点，直线轨道为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．设圆滚动使点M 绕圆心B 转过φ角后点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝OD ＝OA －DA ＝OA －MC ＝aφ－b sin φ，y ＝DM ＝AC ＝AB －CB ＝a －b cosφ，所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝aφ－b sin φ，y ＝a －b cos φ(φ是参数)．4．解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点M 的坐标为(x ，y )，此时∠BOA ＝φ.因为OB ＝4CB ，所以∠BCM ＝4φ，∠MCD ＝π2－3φ.由于x ＝OF ＝OE ＋EF ＝3r cos φ＋r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为________，准线方程是________； 抛物线x 2＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在______________上的抛物线参数方程．►预习思考抛物线y 2＝x 的一个参数方程为____________________．, 预习梳理1．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 y ＝－18 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 y ＝－12 2．x 轴正半轴 预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t (t 为参数)一层练习1．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．1．(1，0)2．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2 2.B 3．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2 C.1t 1＋t 2 D.1t 1－t 23.A4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________．4. 25．连接原点O 和抛物线x 2＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线．5．解析：设抛物线x 2＝2y 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)．∵点M 在抛物线上， ∴M 的坐标为(2t ，2t 2)．设P 的坐标为(x 0，y 0)，由|OM |＝|MP |知，M 为OP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.消去参数t ，得 y 0＝14x 20，即点P 的轨迹方程是x 2＝4y ，表示的曲线为抛物线．二层练习6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)表示的曲线为( )6．C7．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且t 1＋t 2＝0，则|AB |为 ( )A ．|2p (t 1－t 2)|B ．2p (t 1－t 2)C ．2p (t 21＋t 22) D ．2p (t 1－t 2)27.A 8．设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．8.ρcos 2θ－sin θ＝09．(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．9．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)10．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．10．16三层练习11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．11．解析：∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t .∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x .②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．12．解析：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21。
高中数学选修44经典综合试卷试题
高中数学选修 4-4 经典综合试题（含详尽答案）一、选择题：本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项切合题目要求的 ．1．曲线 x 2 5t (t 为参数 ) 与坐标轴的交点是（ ）．y 1 2tA ． (0, 2 、1B ．(0, 1 、1,0) C ． (0, 4)、(8,0) D ．5 、 ) (,0)) ((0,) (8,0)5 25 292．把方程 xy1 化为以 t 参数的参数方程是（）．1x sin tx costx tantx t 2A ．1B ．y1 C ．y 1 D ．1y t 2sintcostytan t3．若直线的参数方程为x1 2t，则直线的斜率为（）．y 2(t )3tA ．2B．2C．3D ．333224．点 (1,2) 在圆x 1 8cos的（ ）．y 8sinA ．内部B ．外面C ．圆上D．与 θ的值相关5．参数方程为 xt1t (t 为参数 ) 表示的曲线是（）．y 2A ．一条直线 B．两条直线C ．一条射线D．两条射线6．两圆x3 2cosx3cosy4 2sin与y3sin的地点关系是（）．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含7．与参数方程为22yA ． x22yC ． xx t(t 为参数 ) 等价的一般方程为（ ）．y 2 1 t1B． x 2 y 21(0 x1)41(0y 2)2y 21(0 x1,0 y 2)D ． x4x 5cos8．曲线y 5sin (3) 的长度是（）．A ． 5B ．10C ．5D． 10339．点 P( x, y) 是椭圆 2x 23 y 212 上的一个动点，则x 2 y 的最大值为（）．A ．2 2B ．23C ．11D． 22x 11t10．直线2为参数 和圆 2 2(t) xy16 交于 A, B 两点，y3 33 t2则 AB 的中点坐标为（ ）．A ． (3, 3)B． (3,3)C． ( 3, 3) D ．(3, 3)11．若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线x 4t 2）．y(t 为参数 ) 上，则 | PF |等于（4tA ． 2B． 3 C ． 4D． 512．直线x 2 t(t 为参数 ) 被圆( x 3)2 ( y 1)2 25 所截得的弦长为（）．y 1 tA ． 98B．401C． 82D．93 434二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．13．参数方程x e t e t y2(e t (t 为参数 ) 的一般方程为 __________________ ．e t )14．直线x 2 2t2 的点的坐标是 _______． y3(t 为参数 ) 上与点 A( 2,3) 的距离等于2t15．直线xt cos 与圆x 4 2cos_______________．yt siny2sin相切，则16．设 ytx (t 为参数 ) ，则圆 x 2 y 2 4 y 0 的参数方程为 ____________________ ．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10 分）求直线 l 1 :x 1 t (t 为参数 ) 和直线 l 2 : xy 2 3 0 的交点 P 的坐标，及点 Py53t与 Q (1, 5) 的距离．18．（本小题满分 12 分）过点 P(10,0) 作倾斜角为的直线与曲线 x 2 12 y 21交于点 M ,N ，2求|PM | | PN | 的值及相应的的值．19．（本小题满分 12 分）已知 ABC 中， A( 2,0), B(0,2), C (cos , 1 sin )( 为变数)，求ABC 面积的最大值．20．（本小题满分 12 分）已知直线 l 经过点 P(1,1), 倾斜角，（ 1）写出直线 l 的参数方程．6（ 2）设 l 与圆 x 2y 24 订交与两点 A, B ，求点 P 到 A, B 两点的距离之积．21．（本小题满分 12 分）x 1 (e t e t ) cos 分别在以下两种状况下，把参数方程2 化为一般方程： 1 (e tye t )sin2（ 1）为参数， t 为常数；（ 2） t 为参数，为常数．22．（本小题满分 12 分）已知直线 l 过定点 P(x 5cos( 为参数 ) 订交于 A 、 B 两点．3, 3)与圆 C ：5sin2y求：（ 1）若 | AB | 8 ，求直线 l 的方程；（2）若点 P(3,3) 为弦 AB 的中点，求弦 AB 的方程．2答案与分析：1． B 当 x0时， t 2 ，而 y1 2t ，即 y1 ，得与 y 轴的交点为 (0, 1) ；55 5当 y0时， t 1 ，而 x2 5t ，即 x 1 ，得与 x 轴的交点为 ( 1,0) ．222 2． D xy 1， x 取非零实数，而 A ， B ，C 中的 x 的范围有各自的限制．3． Dky 23t 3 ．x 1 2t24． A∵点 (1,2) 到圆心 ( 1,0) 的距离为 (1 1)2 22 2 2 8(圆半径 )∴点 (1,2) 在圆的内部．5． Dy 2 表示一条平行于 x 轴的直线，而 x 2,或 x 2，所以表示两条射线．6． B 两圆的圆心距为( 3 0)2 (40)25 ，两圆半径的和也是 5 ，所以两圆外切．7． Dx 2y 21t 1 2 2 y 2 0,0 1 t 1,得0 y2 ．t,x , x1,而 t448． D曲线是圆 x 2y 225 的一段圆弧，它所对圆心角为3 2 ．103所以曲线的长度为．39． D椭圆为x 2y 21，设 P( 6 cos,2sin ) ，64x 2 y6 cos 4sin 22 sin() 22 ．10． D(1 1t )2( 3 33 t )2 16 ，得 t 28t 80 ， t 1t 28, t1t 2 4 ，222x 1 1 4x 3中点为2．y3 33 4y3211． C 抛物线为 y 24x ，准线为 x1 ， | PF |为 P(3, m) 到准线 x1 的距离，即为 4 ．x2 2t2x 2 tx 2 t212． C，把直线y1 ty12t2y 1 t2代入 ( x 3)2 ( y 1)225，得 ( 5 t )2 (2 t) 2 25,t 2 7t 2 0 ，| t 1 t 2 |(t 1 t 2 ) 2 4t 1t 241 ，弦长为2 | t 1 t 2 |82 ．13． x 2 y 2 1,( x 2) x e t e 4 16y e t e2 ttxy2e ty y2 (x．)( x) 4 xy 2e t22214． ( 3,4),或(1,2)( 2t)2( 2t )2( 2) 2 , t 21,t2 ．2215．，或5直线为 y x tan ，圆为 ( x4) 2 y 24 ，作出图形，相切时，6 6易知倾斜角为，或5．66x4t 2t4t16．1 x2 (tx ) 24tx 0 ，当 x 0 时， y 0 ，或 x；4t 2t 21yt214t4t 2x2而 ytx ，即 y，得1 t1t2．4t 2yt 21 17．解：将x1 t，代入 xy2 3 0 ，得 t2 3 ，y 5 3t得 P(1 2 3,1) ，而 Q(1, 5) ，得|PQ| (2 3)262 4 3 ．18．解：设直线为x10 t cos(t 为参数 ) ，代入曲线2yt sin并整理得 (1sin 2 )t 2( 10 cos )t 30 ，23则 | PM | | PN | |t 1t 2 |2，1 sin23，此时所以当 sin 21 时，即，|PM | | PN | 的最小值为．242x cos19．解：设 C 点的坐标为 ( x, y) ，则1，ysin即 x 2( y1)2 1为以 (0, 1) 为圆心，以 1为半径的圆．∵ A( 2,0), B(0,2) ，∴|AB| 4 4 2 2 ，且 AB 的方程为x y1，2 2即 x y 2 0 ，则圆心 (0, 1) 到直线 AB 的距离为|( 1) 2 | 3 2 ．12 ( 1)2 2∴点 C 到直线 AB 的最大距离为 1 3 2 ，∴ S ABC 的最大值是13 22 2 (1 2)3 2 ．2 2x 1 t cos6，即x13 t20．解：（ 1）直线的参数方程为2 ，y 1 t sin6y1 1 t2x 13 t（ 2）把直线2 ，代入 x 2y 24 ，y 1 1 t2得 (13 t) 2 (1 1t )2 4, t 2 ( 3 1)t2 0 ，22t 1t 2 2 ，则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 ．21．解：（ 1）当 t 0 时， y0, x cos ，即 x1,且 y 0 ；当 t 0 时， cosx,siny，1 (e t1 ( e te t )e t )22而 x 2y 2 1，即x 2y 21；1 (e te t) 21 (e t e t )244（2）当k , k Z 时， y0 ， x1 (e t e t ) ，即 x1, 且y 0 ；21 (e t当k2,k Z 时， x 0 ， ye t ) ，即 x 0 ；2ke t e t2x当,k Z 时，得cos ，2 y 2t e tesin2e t2x 2 y2x2 y 2x 2 y 即cossin t2e t，得 2e()() ，2e t2x 2 y cossincossincossin即x 2 y 2 1 ．cos2sin2x5cos x2y225 ，22．解：（ 1）由圆 C 的参数方程5sinyx 3 t cos设直线 l 的参数方程为①y 3 (t 为参数 ) ，t sin2将参数方程①代入圆的方程 x 2 y 2 25得 4t 2 12(2cos sin )t 55 0 ，∴△16[9(2cossin )255] 0 ，所以方程有两相异实数根 t 1 、 t 2 ，∴ | AB | |t 1 t 2 | 9(2cossin )2 558 ，化简有 3cos 2 4sin cos0 ，解之 cos0 或 tan3，4进而求出直线 l 的方程为 x3 0 或 3x4 y 15 0．（ 2）若 P 为 AB 的中点，所以 t 1t 2 0 ，由（ 1）知 2cossin 0 ，得 tan2 ，故所求弦 AB 的方程为 4 x2 y 150( x 2y 225) ．备用题：1．已知点 P( x 0 x 3 8cos , y 0 ) 在圆2 上，则 x 0 、 y 0 的取值范围是（）．y8sinA ． 3 x 0 3, 2 y 02B ． 3 x 0 8, 2 y 0 8C ． 5x 0 11, 10 y 0 6D ．以上都不对1． C 由正弦函数、余弦函数的值域知选 C ．2．直线x 1 2t (t 为参数 ) 被圆 x 2 y 2 9 截得的弦长为（ ）．y2 tA ．12B．125C ．95 D ．9105555x 15t2x1 2t5，把直线x1 2t2． B代入y2 ty 15t 1y 2 t5x 2 y 2 9得 (1 2t )2 (2 t )2 9,5 t 2 8t 4 0 ，| t 1 t 2 |(t 1 t 2 ) 2 4t 1t 2( 8)2 1612 ，弦长为 5 | t 1 t 2 | 12 5 ．5 5 55 3 ．已知曲线x 2 pt 2M , N 对应的参数分别为t 1和 t 2, ，y(t 为参数 , p 为正常数 ) 上的两点2 pt且 t 1 t 20，那么 | MN |_______________ ．3． 4 p | t 1 |明显线段 MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴， | MN | 2 p |t 1t 2 | 2 p | 2t 1 |．4．参数方程x cos (sincos ) 为参数 ) 表示什么曲线？y sin (sin cos()4．解：明显ytan，则 y211 ,cos 21 ，xx 2cos 2y 2 1x2x cos 2sin cos1 sin2 cos 2 1 1 2tancos 2 ，22 tan 21 2 y 1 y 1 y 2 y即 xxx ， x(1) 1，2 1 y2y 2y 2x2x1 1x 2x 2 x 2得 xy 2 y 1，xx即 x2 y2 x y 0 ．5．已知点P( x, y) 是圆 x2y2 2 y 上的动点，（1）求2x y 的取值范围；（2）若x y a 0 恒建立，务实数 a 的取值范围．5．解：（ 1）设圆的参数方程为x cos，y1sin2x y2cos sin1 5 sin()1，∴5 1 2x y51．（ 2）x y a cos sin1 a 0 ，∴ a(cos sin )1 2 sin()1恒建立，4即 a21．。
【人教A版】高中数学选修4-5全册配套试卷(21份打包,含答案)单元质量评估(四)
单元质量评估(四)(第四讲)(90分钟 120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. (2019·金华高二检测)用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6整除时,由归纳假设推证n=k+1时命题成立,需将n=k+1时的原式表示成 ( )A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)B.6k(k+1)(2k+1)C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2D.以上都不对【解析】选C.因为假设当n=k时命题成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,当n=k+1时,(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(2k2+7k+6)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2.2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2·(2n-1)(n∈N+)”时,从“n=k 到n=k+1”时,左边应增加的式子是 ( )A.2k+1B.2k+3C.2(2k+1)D.2(2k+3)【解析】选C.当n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k).当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1).可见从“n=k到n=k+1”,左边增加了2(2k+1).3. (2019·广州高二检测)如果命题P(n)对n=k成立,那么它对n=k+2成立,又若P(n)对n=2成立,则P(n)对所有 ( )A.正整数n成立B.正偶数n成立C.正奇数n成立D.大于1的自然数n成立【解析】选B.根据数学归纳法的意义可知,命题P(n)对所有正偶数n都成立.4.(2019·大连高二检测)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于 ( )A.1B.2C.3D.0【解析】选C.因为凸n边形中,边数最少的是三角形,边数为3.5.在数列{a n}中,a n=1-+-+…+-,则a k+1= ( )A.a k+B.a k+-C.a k+D.a k+-【解析】选 D.a1=1-,a2=1-+-,…,a n=1-+-+…+-,a k=1-+-+…+-,所以a k+1=a k+-.6.已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,a n+1=2a n+a n-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明( )A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除【解析】选D.由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.7.(2019·烟台高二检测)设f(n)=1++++…+,则f(k+1)-f(k)等于( )A. B.++C.+D.+【解析】选D.当n=k时,f(k)=1+++…+.当n=k+1时,f(k+1)=1+++…+++….所以f(k+1)-f(k)=+.8.已知n为正偶数,用数学归纳法证明:1-+-+…+=2时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时,等式成立,则还需要利用归纳假设再证( ) A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.偶数k的后继偶数为k+2,故应再证n=k+2时等式成立.【误区警示】解答本题易忽视k的限制条件:k≥2且为偶数,而错选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,推测第n个等式应该是 .【解析】观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72知,第n个等式左端是2n-1个连续自然数的和,其中最小的自然数是n,右端是(2n-1)2.即第n 个等式应该是n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)210.(2019·大连高一检测)用数学归纳法证明cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N+),在验证n=1时,等式右边的式子是 .【解析】当n=1时,右边===cosα.答案:cosα11.设f(n)=…,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)· _________.【解析】当n=k时,f(k)=…;当n=k+1时,f(k+1)=…,所以f(k)应乘·.答案:·12.已知数列{a n},其中a2=6,且满足=n,则a1= ,a3= ,a4= ,猜想a n= .【解析】由已知可得=1,=2,=3,将a2=6代入以上三式,解得:a1=1,a3=15,a4=28.由于a1=1,a2=2×3,a3=3×5,a4=4×7,猜想得a n=n(2n-1).答案:1 15 28 n(2n-1)三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)(2019·石家庄高二检测)用数学归纳法证明:当n∈N+时,++…+=.【证明】(1)当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立. (2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即++…+=.则当n=k+1时,++…++=+====.即当n=k+1时,等式也成立.由(1),(2)可知对一切n∈N+等式都成立.14.(10分)对于n∈N+,用数学归纳法证明:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1=n(n+1)(n+2).【证明】设f(n)=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;(2)设当n=k(k≥1)时,等式成立,即1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-1)·2+k·1=k(k+1)(k+2),则当n=k+1时, f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)·1=f(k)+1+2+3+…+k+(k+1)=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)(k+3).所以由(1)(2)可知当n∈N+时,等式都成立.15.(10分)(2019·南京高二检测)用数学归纳法证明:f(n)=(2n+7)·3n+9(n∈N*)能被36整除.【证明】(1)当n=1时,f(1)=(2×1+7)×31+9=36,能被36整除.(2)假设n=k(k≥1,k∈N*),f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1)=3f(k)+18(3k-1-1)又因为3k-1-1是偶数,所以f(k+1)能被36整除,即当n=k+1时,f(n)=(2n+7)·3n+9也能被36整除. 由(1)(2)知,对n∈N*,f(n)=(2n+7)·3n+9都能被36整除.16.(10分)(2019·苏州高二检测)已知正项数列{a n}和{b n}中,a1=a(0<a<1),b1=1-a.当n≥2时,a n=a n-1b n,b n=.(1)证明:对任意n∈N+,有a n+b n=1.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)用数学归纳法证明.①当n=1时,a1+b1=a+(1-a)=1,命题成立;②假设n=k(k≥1)时命题成立,即a k+b k=1,则当n=k+1时,a k+1+b k+1=a k b k+1+b k+1=(a k+1)·b k+1=(a k+1)·===1.所以当n=k+1时,命题也成立.由①②可知,a n+b n=1对n∈N+恒成立.(2)因为a n+1=a n b n+1===,所以==+1,即-=1.数列是公差为1的等差数列,其首项为=,=+(n-1)×1,从而a n=(0<a<1).17.(10分)(2019·太原高二检测)求证:用数学归纳法证明2n+2>n2(n∈N+).【证明】(1)当n=1时,21+2>12,不等式成立;当n=2时,22+2>22,不等式成立;当n=3时,23+2>32,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥3)时不等式成立,即2k+2>k2.则当n=k+1时,2k+1+2=2(2k+2)-2>2k2-2=(k+1)2+k2-2k-3因为k≥3,所以k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,(*)从而2k+1+2>(k+1)2+k2-2k-3≥(k+1)2,所以2k+1+2>(k+1)2.即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,2n+2>n2对一切n∈N+都成立.18.(10分)(2019·广州高二检测)在数列{a n},{b n}中,a1=2,b1=4,且a n,b n,a n+1成等差数列,b n,a n+1,b n+1成等比数列(n∈N+).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{a n},{b n}的通项公式,并证明你的结论.(2)证明:++…+<.【解析】(1)由条件得2b n=a n+a n+1,=b n b n+1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜测a n=n(n+1),b n=(n+1)2.用数学归纳法证明:①当n=1时,由上可得结论成立.②假设当n=k(k≥1)时,结论成立,即a k=k(k+1),b k=(k+1)2.那么当n=k+1时,a k+1=2b k-a k=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),b k+1==(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.由①②,可知a n=n(n+1),b n=(n+1)2对一切正整数都成立.(2)=<.当n≥2时,由(1)知a n+b n=(n+1)·(2n+1)>2(n+1)·n. 故++…+<+=+=+<+=.。
高中数学选修4-4与4-5与测试题附有答案
玉林市一中高二理科数学月考试题一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.不等式X (12)0X ->的解集是（ ）.A )21,(-∞.B )21,0()0,( -∞.C ),21(+∞ .D )21,0(2．若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +> B ．2a b ab +≥C ．112a b ab+> D ．2b a a b +≥3．若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）.A8.B2 .C 4- .D 8-4.直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧ 20cos ＝－3＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)，则直线的倾斜角为（ ）A.20B.70C.110D.1605．已知点M 的极坐标是26π⎛⎫ ⎪⎝⎭-，-，它关于直线=2πθ的对称点坐标是 ( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.726π⎛⎫ ⎪⎝⎭-， C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π66．若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a = （ ） A.21+B ．31+C ．3D ．47．对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） (A)k<3 (B)k<-3 (C)k ≤3 (D) k ≤-38.已知22,,4a b R a b ∈+=，则3a+2b 的最大值为( ) A ．4 B ．213 C ．8 D ．139．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3 D ．－π6或－5π610．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为( )． A ．2B ．1C ．3D ．011．若直线y ＝x －b与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，θ∈[0,π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)12．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( ) A ．4＋ 3 B ．2(2＋3) C ．4(2＋3) D ．8＋ 3二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 14．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .15. 已知直线l 过点(4,8)P ，倾斜角为3π，则直线l 上到点P 的距离为5的点的坐标是16. 极坐标方程分别为2cos ρθ=和 sin ρθ= 的两个圆的圆心距为三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17.(本题满分10分) 已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围．18.(本题满分12分) 直线l 过点(4,0)P -，倾斜角为6π，且与曲线C ：7=ρ相交于A 、B 两点。
【人教A版】高中数学选修4-5全册配套试卷(21份打包,含答案)单元质量评估(一)(20200621172310)
因为 x+2y+xy=30, 所以 y= ,
所以 xy=x· =
=
=-x+32- =-(x+2)- +34,
又因为 x>0,
所以 (x+2)+ ≥2
=16,
当且仅当 x+2= , 即 x=6 时, 等号成立 , 所以 xy≤-16+34=18, 当且仅当 x=6,y=3 时等号成立 . 所以 xy 的取值范围是 (0,18]. 14.(10 分)(2016 ·郑州高二检测 ) 设函数 f(x)=|x-a|+3x, 其中 a>0. (1) 求当 a=1 时, 不等式 f(x) ≥3x+2 的解集 . (2) 若不等式 f(x) ≤0 的解集为 {x|x ≤-1}, 求 a 的值 .
【解析】 因为 x>0,y>0, 所以 30=x+2y+xy
≥2 所以 (
+xy=2 ) 2+2
+xy, -30 ≤0,
所以 ( -3 )( +5 ) ≤0,
所以 0< ≤3 , 即 0<xy≤18,
当且仅当 x=2y, 即 x=6,y=3 时等号成立 .
所以 xy 的取值范围为 (0,18].
【一题多解】 本题还可用消元的方法 :
又 f(x) 是偶函数 ,
所以由 f(2 |a-1| )>f(-
)=f(
) 知 ,2 |a-1| < ,
即|a-1|< , 解得 <a< .
答案 :
12.(2016 ·连云港高二检测 ) 已知关于 x 的方程 x2+x+
+ =0 有实根 , 则实
【人教A版】高中数学选修4-5全册配套试卷(21份打包,含答案)考前过关训练(二)
考前过关训练(二)证明不等式的基本方法(35分钟 60分)一、选择题(每小题3分,共18分)1. 求证:-<-.证明:欲证-<-,只需证+<2,只需证(+)2<(2)2,只需证10+2<20,只需证<5,只需证21<25,这显然成立.所以-<-.上述证明过程应用了 ( )A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法【解析】选B.根据分析法的特点可知,上述证明过程是分析法.2. 已知m≠n,若x=m4-m3n,y=mn3-n4,则x,y的大小关系为 ( )A.x>yB.x=yC.x<yD.与m,n的取值有关【解析】选A.x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)=(m-n)2,因为m≠n,所以x-y>0,即x>y.3.若1<x<10,下面不等式中正确的是 ( )A.(lgx)2<lgx2<lg(lgx)B.lgx2<(lgx)2<lg(lgx)C.(lgx)2<lg(lgx)<lgx2D.lg(lgx)<(lgx)2<lgx2【解析】选D.因为1<x<10,所以0<lgx<1,0<(lgx)2<1,0<lgx2<2,lg(lgx)<0.又(lgx)2-lgx2=(lgx)2-2lgx=lgx(lgx-2)<0,所以(lgx)2<lgx2.所以lg(lgx)<(lgx)2<lgx2.【一题多解】选D.因为1<x<10,所以0<lgx<1,lg(lgx)<0,结合选项知A,B,C错误.4.若a,b,c为△ABC的三条边,S=a2+b2+c2,p=ab+bc+ac,则 ( )A.S≥2pB.p<S<2pC.S>pD.p≤S<2p【解析】选D.S-p=a2+b2+c2-(ab+bc+ac)=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0,所以S≥p.又因为|a-b|<c,|b-c|<a,|a-c|<b;所以a2-2ab+b2<c2,b2-2bc+c2<a2,a2-2ac+c2<b2.所以a2+b2+c2<2(ab+bc+ac),所以S<2p.5.已知x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则M与N的大小关系是 ( )A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定【解析】选A.M-N=x2+y2+1-(x+y+xy)=[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)]=[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0.故M≥N.6.(2019·合肥高二检测)已知a,b,c是△ABC的三边长,A=+,B=,则( ) A.A>B B.A<BC.A≥BD.A≤B【解析】选A.因为a,b,c是△ABC的三边长,所以c<a+b,所以B==<==+<+=A,所以B<A.【补偿训练】设a,b,x,y均为正数,且a,b为常数,x,y为变量,若x+y=1,则+的最大值为 ( )A. B.C. D.【解析】选C.本题可利用换元的方法处理:由x+y=1且x>0,y>0,可设x=sin2α,y=cos2α,故+=sinα+cosα=sin(α+φ)≤.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2019·沈阳高二检测)设α,β为锐角,P=sin(α+β),Q=sinα+sinβ,则P与Q的大小关系为________.【解析】因为α,β为锐角,P-Q=sin(α+β)-(sinα+sinβ)=sinα(cosβ-1)+sinβ(cosα-1)<0,所以P<Q.答案:P<Q8.(2019·郑州高二检测)A=1+++…+与(n∈N+)的大小关系是________. 【解析】A=+++…+≥==.答案:A≥9.若a,b∈R+,且a≠b,M=+,N=+,则M,N的大小关系为________.【解析】因为a≠b,所以+>2,+>2,所以+++>2+2.所以+>+.即M>N.答案:M>N三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知0<a<1,求证:+≥9.【证明】因为(3a-1)2≥0,所以9a2-6a+1≥0.所以1+3a≥9a(1-a).因为0<a<1,所以≥9,即≥9,所以+≥9.11.已知a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明:ax+by≤1.【证明】要证ax+by≤1成立,只需证1-(ax+by)≥0,只需证2-2ax-2by≥0,因为a2+b2=1,x2+y2=1,只需证a2+b2+x2+y2-2ax-2by≥0,即证(a-x)2+(b-y)2≥0,显然成立.所以ax+by≤1.12.设数列{a n}的前n项和S n满足:S n=na n-2n(n-1).等比数列{b n}的前n项和为T n,公比为a1,且T5=T3+2b5.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设数列的前n项和为M n,求证:≤M n<.【解析】(1)因为等比数列{b n}的前n项和为T n,公比为a1,且T5=T3+2b5,所以b4+b5=2b5,所以b4=b5,所以公比a1==1,故等比数列{b n}是常数数列.数列{a n}的前n项和S n满足:S n=na n-2n(n-1),当n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2n(n-1)-[(n-1)a n-1-2(n-1)(n-2)],所以a n-a n-1=4(n≥2),所以数列{a n}是以1为首项,以4为公差的等差数列,a n=4n-3.(2)因为数列的前n项和为M n,===,所以M n==<.再由数列{M n}是增数列,所以M n≥M1=. 综上可得,≤M n<.。
数学选修4_44_5所有试卷含答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数.则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32-2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A．1(,2 B ．31(,)42- C． D．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y = 5．点M的直角坐标是(-.则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题 1．直线34()45x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
3．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B .又点(1,2)A .则AB =_______________。
4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。
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数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32-2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2)2-B ．31(,)42- C ．(2,3) D ．(1,3)3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题 1．直线34()45x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
3．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。
4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。
三、解答题1．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点， （1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2．求直线11:()53x tl t y t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:230l x y --=的交点P 的坐标，及点P与(1,5)Q -的距离。
3．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离取最小值。
数学选修4-4 坐标系与参数方程[综合训练B 组]一、选择题1．直线l 的参数方程为()x a tt y b t =+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）A ．1tB ．12tC ．12tD ．122t 2．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线3．直线112()3332x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(3,3)- 4．圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心坐标是（ ）A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 5．与参数方程为()21x tt y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 6．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）A ．98B ．1404C ．82D ．9343+二、填空题1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩为参数,t 0，则它的普通方程为__________________。
2．直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________。
3．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。
4．曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ=⋅，则曲线的直角坐标方程为________________。
5．设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。
三、解答题 1．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数表示什么曲线？2．点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。
3．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
数学选修4-4 坐标系与参数方程.[提高训练C 组]一、选择题1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、3．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 B ．1255 C ．955 D ．91054．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上， 则PF 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-二、填空题1．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN =_______________。
2．直线22()32x tt y t⎧=--⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于2的点的坐标是_______。
3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为_______________。
4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________。
三、解答题1．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t tt t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；2．过点10(,0)2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求PM PN ⋅的最值及相应的α的值。
新课程高中数学训练题组参考答案数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组]一、选择题 1．D 233122y t k x t --===-- 2．B 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，12y = 3．C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈ 4． C22(cos 1)0,0,cos 1x y x ρρθρρθ-==+===或5．C 2(2,2),()3k k Z ππ+∈都是极坐标 6．C 2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即 则,2k πθπ=+或224x y y +=二、填空题 1．54-455344y t k x t --===-- 2．221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222t t tt tty x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩ 3．52 将1324x t y t=+⎧⎨=-⎩代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得52AB = 4．14 直线为10x y +-=，圆心到直线的距离1222d ==，弦长的一半为222142()22-=，得弦长为14 5．2πθα=+ cos cos sin sin 0,cos()0ρθαρθαθα+=-=，取2πθα-=三、解答题1．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，22cos sin 15sin()1x y θθθϕ+=++=++ 51251x y ∴-+≤+≤+（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥(cos sin )12sin()1421a a πθθθ∴≥-+-=-+-∴≥-- 2．解：将153x ty t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩代入230x y --=得23t =，得(123,1)P +，而(1,5)Q -，得22(23)643PQ =+=3．解：设椭圆的参数方程为4cos 23sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，4cos 43sin 125d θθ--=4545cos 3sin 32cos()3553θθθθ=--=+- 当cos()13πθ+=时，min 455d =，此时所求点为(2,3)-。
新课程高中数学训练题组参考答案数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B 组]一、选择题 1．C 距离为221112t t t +=2．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线3． D 2213(1)(33)1622t t ++-+=，得2880t t --=，12128,42t t t t ++== 中点为11432333342x x y y ⎧=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎩⎪=-+⨯⎪⎩ 4．A 圆心为553(,)22-5．D 22222,11,1,0,011,0244y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得 6． C 2222212122x t x t y t y t ⎧=-+⨯⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⨯⎪⎩，把直线21x t y t =-+⎧⎨=-⎩代入22(3)(1)25x y -++=得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=2121212()441t t t t t t -=+-=，弦长为12282t t -=二、填空题 1．2(2)(1)(1)x x y x x -=≠- 111,,1x t t x-==-而21y t =-， 即221(2)1()(1)1(1)x x y x x x -=-=≠-- 2．(3,1)-143y x a+=-，(1)4120y a x -++-=对于任何a 都成立，则3,1x y ==-且 3．22 椭圆为22164x y +=，设(6cos ,2sin )P θθ， 26cos 4sin 22sin()22x y θθθϕ+=+=+≤4．2x y = 22221sin tan ,cos sin ,cos sin ,cos cos θρθρθθρθρθθθ=⋅===即2x y = 5．2224141t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 22()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =；当0x ≠时，241t x t =+； 而y tx =，即2241t y t =+，得2224141t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩三、解答题1．解：显然tan y xθ=，则222222111,cos cos 1y y x xθθ+==+2222112tan cossin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=+=⨯++ 即222222222111,(1)12111y yy y x x x x y y y x x x x x+=⨯+=+=++++得21y yx x x+=+，即220x y x y +--= 2．解：设(4cos ,3sin )P θθ，则12cos 12sin 245d θθ--=即122cos()2445d πθ+-=，当cos()14πθ+=-时，max 12(22)5d =+； 当cos()14πθ+=时，min12(22)5d =-。