湖北省武汉市2012届高三四月调考理科数学试题及答案
2012届武汉市高中毕业生四月调研测试(定稿)
武汉市2012届高中毕业生四月调研测试理科综合试卷（物理部分）二、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14． 19世纪40年代前后，科学界已形成了一种思想氛围，即用联系的观点去观察自然，这种思想促进了能量转化与守恒定律的建立。
在能量转化与守恒定律建立的过程中，下列说法不．符合史实的是：CA ．焦耳测定了热功当量的数值，建立了力和热的联系B ．焦耳发现了电流的热效应，建立了电和热的联系C ．法拉第发现电流的磁效应，建立了电和磁的联系D ．法拉第发现电磁感应现象，建立了磁和电的联系15．置于水平地面上的一门大炮，斜向上发射一枚炮弹。
假设空气阻力可以忽略，炮弹可以视为质点，则：ADA ．炮弹在上升阶段，重力势能一直增大B ．炮弹在空中运动的过程中，动能一直增大C ．炮弹在空中运动的过程中，重力的功率一直增大D ．炮弹在空中运动的过程中，机械能守恒16．甲乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向作直线运动，t = 0时刻同时经过公路旁的同一路标。
如图是描述两车运动的v —t 图线，折线ABC 和折线OBD 分别描述了甲乙两车在0~20 s 内的运动情况。
关于甲乙两车的运动，下列说法正确是：CDA ．在0~10 s 内，两车逐渐靠近B ．在t =10 s 时，两车相遇C ．在10~ 20 s 内，两车逐渐远离D ．在0~ 20 s 内，两车最远距离为100 m17．如图所示， D 1、D 2是两个理想二极管（正向电阻为零，反向电阻无穷大），电阻R 1=R 2=R 3=R ，当A 、B 两端接正弦交流电时，A 、B 间的等效电阻是：BA ．3R B ．32R C ．2RD ．3R18．如图所示，在两等量同种点电荷的电场中，MN 为两电荷连线的中垂线，b 是直线ac 与MN 的交点，且a 与c 关于MN 对称，d 点是两电荷连线上的一点。
2012年高考理数真题试卷(湖北卷)及解析
○…………装…………○………学校:___________姓名：___________班级：_____○…………装…………○………2012年高考理数真题试卷（湖北卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题） A.﹣3+2i B.3+2i C.﹣2+3i D.2+3i2.命题“∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q”的否定是（ ） A.∃x 0∉∁R Q ，x 03∈Q B.∃x 0∈∁R Q ，x 03∉Q C.∀x 0∉∁R Q ，x 03∈Q D.∀x 0∈∁R Q ，x 03∉Q3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.8π3 B.3π C.10π3D.6π4.设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10，x 2+y 2+z 2=40，ax+by+cz=20，则 a+b+cx+y+z =（ ） A.14 B.13 C.12 D.345.定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，答案第2页，总8页○…………外…………○…………※※请※※不※○…………内…………○…………（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x 2；②f （x ）=2x ；③f （x ）= √|x| ；④f （x ）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④6.函数f （x ）=xcosx 2在区间[0，4]上的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.77.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d≈ √169V 3 ．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ） A.d≈ √169V 3 B.d≈ √2V 3 C.d≈ √300157V 3 D.d≈ √2111V 3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=…○…………订…………○…………线…………○…___班级：___________考号：___________…○…………订…………○…………线…………○…9.如图，双曲线 x 2a 2−y 2b2 =1（a ，b ＞0）的两顶点为A 1 ， A 2 ， 虚轴两端点为B 1 ， B 2 ， 两焦点为F 1 ， F 2 ． 若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ， 切点分别为A ，B ，C ，D ．则： （Ⅰ）双曲线的离心率e= ；（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值 S1S 2= ．10.如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为 ．三、解答题（题型注释）11.已知向量 a →=（cosωx﹣sinωx，sinωx）， b →=（﹣cosωx﹣sinωx，2 √3 cosωx），设函数f （x ）= a →• b →+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（ 12 ，1） （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若y=f （x ）的图象经过点（ π4 ，0）求函数f （x ）在区间[0， 3π5 ]上的取值范围．答案第4页，总8页………○…………装…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※………○…………装…………○……参数答案1.A【解析】1.解：∵方程x 2+6x+13=0中， △=36﹣52=﹣16＜0， ∴ x =−6±√16i2=﹣3±2i，故选A ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用复数相等的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 2.D【解析】2.解：∵命题“∃x 0∈C R Q ， x 03 ∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x 0∈C R Q ， x 03 ∈Q”的否定是∀x 0∈C R Q ， x 03 ∉Q故选D 3.B【解析】3.解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为： 12×π×12×6 =3π． 故选B ．【考点精析】通过灵活运用由三视图求面积、体积，掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积即可以解答此题． 4.C【解析】4.解：由柯西不等式得，（a 2+b 2+c 2）（ 14 x 2+ 14 y 2+ 14 z 2）≥（ 12 ax+ 12 by+ 12 cz ）2，当且仅当 a12x=b12y=x12z时等号成立∵a 2+b 2+c 2=10，x 2+y 2+z 2=40，ax+by+cz=20，…………外…………○…………装………○…………订…………○………线…………○…学校:___________姓名：_______班级：___________考号：___________…………内…………○…………装………○…………订…………○………线…………○…∴等号成立 ∴ a 12x=b 12y=x12z∴ a+b+c x+y+z = 12故选C ．【考点精析】认真审题，首先需要了解一般形式的柯西不等式(一般形式的柯西不等式：)．5.C【解析】5.解：由等比数列性质知 a n a n+2=a n+12 ，① =f 2（a n+1），故正确； ② ≠ 22a n+1=f 2（a n+1），故不正确；③= √|a n+1|2 =f 2（a n+1），故正确；④f（a n ）f （a n+2）=ln|a n |ln|a n+2|≠ ln|a n+1|2 =f 2（a n+1），故不正确；故选C【考点精析】认真审题，首先需要了解等比关系的确定(等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n 项和法进行判断)． 6.C【解析】6.解：令f （x ）=0，可得x=0或cosx 2=0 ∴x=0或x 2= kπ+π2 ，k∈Z∵x∈[0，4]，则x 2∈[0，16]， ∴k 可取的值有0，1，2，3，4， ∴方程共有6个解∴函数f （x ）=xcosx 2在区间[0，4]上的零点个数为6个 故选C【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值，以及对函数的零点与方程根的关系的理解，了解二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．答案第6页，总8页7.D【解析】7.解：由V= 43π(d 2)3，解得d= √6V π3 设选项中的常数为 a b ，则π= 6ba选项A 代入得π= 6×916 =3.375；选项B 代入得π= 62 =3； 选项C 代入得π=6×157300=3.14；选项D 代入得π=6×1121=3.142857 由于D 的值最接近π的真实值 故选D ． 8.9【解析】8.解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5， 第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环， 输出S=9．所以答案是：9． 【考点精析】利用算法的循环结构对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，循环结构可细分为两类：当型循环结构和直到型循环结构．9.√5+12；√5+22【解析】9.解：（Ⅰ）直线B 2F 1的方程为bx ﹣cy+bc=0，所以O 到直线的距离为 √b 2+c 2∵以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ， ∴√b 2+c 2=a∴（c 2﹣a 2）c 2=（2c 2﹣a 2）a 2 ∴c 4﹣3a 2c 2+a 4=0 ∴e 4﹣3e 2+1=0 ∵e＞1 ∴e=√5+12（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1=2bc 设矩形ABCD ，BC=2n ，BA=2m ，∴ mn =cd ∵m 2+n 2=a 2 ， ∴ m =√b 2+c2， n =√b 2+c 2∴面积S 2=4mn=4a 2bc b 2+c 2∴ S 1S 2= b 2+c 22a 2= b 2+c 22bc∵bc=a 2=c 2﹣b 2………订…………○…………___________考号：___________………订…………○…………∴ b =−1+√52c∴ S1S 2=√5+22所以答案是：√5+12，√5+2210.2【解析】10.解：由题意可得△OCD 为直角三角形，故有CD 2=OC 2﹣OD 2 ， 故当半径OC 最大且弦心距OD 最小时，CD 取得最大值．故当AB 为直径、且D 为AB 的中点时，CD 取得最大值，为AB 的一半，由于AB=4，故CD 的最大值为2， 所以答案是2．11.（1）解：∵f （x ）= a →• b →+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2 √3 cosωx+λ=﹣（cos 2ωx﹣sin 2ωx）+ √3 sin2ωx+λ = √3 sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣ π6 ）+λ ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣ π6 = π2 +kπ，k∈z ∴ω= k 2 + 13 ，又ω∈（ 12 ，1） ∴k=1时，ω= 56∴函数f （x ）的最小正周期为 2π2×56= 6π5（2）解：∵f（ π4 ）=0∴2sin（2× 56 × π4 ﹣ π6 ）+λ=0 ∴λ=﹣ √2答案第8页，总8页∴f（x ）=2sin （ 53 x ﹣ π6 ）﹣ √2 由x∈[0， 3π5 ]∴ 53 x ﹣ π6 ∈[﹣ π6 ， 5π6 ] ∴sin（ 53 x ﹣ π6 ）∈[﹣ 12 ，1]∴2sin（ 53 x ﹣ π6 ）﹣ √2 =f （x ）∈[﹣1﹣ √2 ，2﹣ √2 ] 故函数f （x ）在区间[0， 3π5 ]上的取值范围为[﹣1﹣ √2，2﹣ √2【解析】11.（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f （x ）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f （x ）化为y=Asin （ωx+φ）+k 型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f （x ）的值域．。
2012年湖北高考理科数学试题(解析版)
由折起前 知，折起后（如图2）， ， ，且 ，
所以 平面 ．又 ，所以 ．于是
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故当 ，即 时,三棱锥 的体积最大．
解法2：
同解法1，得 ．
令 ，由 ，且 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以当 时， 取得最大值．
故当 时,三棱锥 的体积最大．
解析：令 ，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为 ，围成OC为 ，作对称轴OD，则过C点。 即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积， 。在扇形OAD中 为扇形面积减去三角形OAC面积和 ， ， ，扇形OAB面积 ，选A.
9．函数 在区间 上的零点个数为
A．4B．5
C．6D．7
考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.
考点分析：本题考查排列、组合的应用.
难易度：★★
解析：（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有 种。
答案：90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为 .
（Ⅱ）由概率的加法公式，
又 .
由条件概率.
21．（本小题满分13分）
设 是单位圆 上的任意一点， 是过点 与 轴垂直的直线， 是直线 与 轴的交点，点 在直线 上，且满足 .当点 在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线 ．
完整版2012年湖北省高考数学试卷理科答案及解析
2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2+6x+13=0的一个根是（湖北）方程x）1．（2012? A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i，∈Q”的否定是（“?x∈CQ）2．（2012?湖北）命题R0，?CQQQ ∈D．?xQ，?Q C．?x?CQ∈，C A．?x?Q．，∈Q B?x∈C R0R0RR003．（2012?湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）．． C AD．B．4．（2012?湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为（）．D．6π．B．3πAC2012+a能被13整除，则a=（）51Z（2012?湖北）设a∈，且0≤a≤13，若5．A．0 B．1 C．11 D．12222222，则=（）x=10，+y+zax+by+cz=20=40，azyxcba?（6．2012湖北）设，，，，，是正数，且+b+cCBA ．．．．D1}a），{f（f（0，+∞）上的函数（x），如果对于任意给定的等比数列{a}．7（2012?湖北）定义在（﹣∞，0）∪nn）x①f（+．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，∞）上的如下函数：f仍是等比数列，则称（x）为“保等比数列函数”x2）=ln|x|）．则其中是“保等比数列函数”的f（=2；②f（x）x；③f（x））的序号为（=；④f（x=x D．②④B．③④C．①③．A①②内随机为直径作两个半圆．在扇形OAB（2012?湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB8．）取一点，则此点取自阴影部分的概率是（．D﹣A．1C﹣B．．2）在区间[0，4]上的零点个数为（湖北）函数9．（2012?f（x）=xcosx7 ．5 C．6 D．A．4 B曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方2012?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”（10．．人们还用过一≈的一个近似公式，求其直径dd除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ）判断，下列近似公式中最精确的一个是（些类似的近似公式．根据x=3.14159…..≈≈C．d．≈Dd A．d≈B．d分．请将答案5分，共25二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．，则角_________C=．cb所对的边分别是a，，c．若（a+b﹣）（a+b+c）=ab，，△201211．（?湖北）设ABC的内角AB，C_________．（2012?湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=12．位回2等．显然，3443，942492213．（2012?湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如，，11 999，．则：191，202，…，个：，22，，33…99.3位回文数有90101，111121，…，119文数有个：_________位回文数有个；Ⅰ（）4（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有_________个．+2，，两焦点为F．（2012?B湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A，A，虚轴两端点为，B1411122 D为直径的圆内切于菱形F．若以AAFBFB，切点分别为A，B，C，．则：2112221；（Ⅰ）双曲线的离心率_________e=（Ⅱ）菱形FBFB的面积S与矩形ABCD的面积S的比值=_________．212211二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（2012?湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_________．16．（2012?湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线_________．来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（t为参数）相较于A，B75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．三、解答题：本大题共6小题，共λ?+）f（x=，设函数cos，（﹣=cosωx﹣sinωx2ωx）xxx=（17．2012?湖北）已知向量（cos ω﹣sinω，sinω），，1）（λπ∈（xR）的图象关于直线x=对称，其中ω，为常数，且ω∈）的最小正周期；f（1）求函数（x上的取值范围．，）在区间（，）的图象经过点（0）求函数fx[0]xy=f2（）若（18．（2012?湖北）已知等差数列{a}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．n（1）求等差数列{a}的通项公式；n 3项和．|}的前naa，，a成等比数列，求数列{|a（2）若n213，AB上且异于点B，连接⊥BC，垂足D在线段BC1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD（19．2012?湖北）如图，（如图2所示）ABD折起，使∠BDC=90°沿AD将△的体积最大；A﹣BCD（1）当BD的长为多少时，三棱锥，BMEN⊥CD上确定一点N，使得设点E，M分别为棱BC，AC 的中点，试在棱（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，所成角的大小．与平面BMN并求EN20．（2012?湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：X≥900 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900工期延误天数Y 02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．22=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i湖北）设21．（2012?A是单位圆x与+yx轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x=rxf湖北）．22（2012?（I）已知函数（x）﹣x）的最小值；b1b2≤ab+aab；a+b为正有理数，若b≥≥I（II）试用（）的结果证明如下命题：设a0，a0，，bb=1，则222121121112（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求r1﹣αα．α道公式（x）=x42012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2012?湖北）考点：复数相等的充要条件。
湖北省武汉市2012届高三四月调考理科数学试题及答案
武汉市2012届高三四月调研测试数 学（理）2012.4.19一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点，则→EF ＝（A ）12→AB －13→AD （B ）23→AB ＋12→AD（C ）13→AB －12→AD （D ）12→AB －23→AD2．“复数a ＋i2＋i（a ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a ＜－1”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（A ）0.35 （B ）0.25 （C ）0.20 （D ）0.154．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为 （A ）6 3（B ）8（C ）8 3 （D ）125．已知(33x 2－1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是 （A ）－24 （B ）24 （C ）－252 （D ）2526．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m 的取值范围是（A ）(42，56]（B ）(56，72] （C ）(72，90] （D ）(42，90)7．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x （x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为 （A ）ln22（B ）1－ln22（C ）1＋ln22（D ）2－ln228．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不全为0），两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），若(Ax 1＋By 1＋C )( Ax 2＋By 2＋C )＞0，且|Ax 1＋By 1＋C |＜|Ax 2＋By 2＋C |，则直线l （A ）与直线P 1P 2不相交 （B ）与线段P 2P 1的延长线相交 （C ）与线段P 1P 2的延长线相交 （D ）与线段P 1P 2相交9．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A 、B 在此抛物线上，且∠AFB ＝90°，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为M ′，则|MM ′||AB |的最大值为（A ）22 （B ）32（C ）1 （D ） 3 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。
2012年高考数学湖北理解析版
2012年湖北卷(理数)详细解析1.A 【解析】因为判别式26413160∆=-⨯=-<，所以方程26130x x ++=无实数根，只有复数根，且复数根6643222i x i -±-±===-±.【点评】本题考查一元二次方程跟的求解以及复数的有关运算.对于一元二次方程20a x b x c ++=，若240b ac ∆=-<，则方程没有实数根，只有复数根22x aa==.来年需注意复数的概念，如共轭复数，复数的运算，复数的几何意义等，都是复数中的热门考点.2.D 【解析】本命题为特称命题，写其否定的方法是：先改变量词，再否定结论，故D 符合. 【点评】本题考查含有量词的命题的否定.对于特称命题的否定，一般是先改变量词，再否定结论；对于全称命题的否定，也是类似的.千万不要忽略改变量词这一点，否则就是错误的.来年需注意充要条件的判断，这也是逻辑中的一大热门考点.3.B 【解析】根据图象可知，二次函数图象的顶点为()0,1，且开口向下，故可设二次函数的解析式为()()210f x ax a =+<.因为函数()f x 的图象过点()1,0，所以()2111f a =⨯+0=，解得1a =-.所以()21f x x =-+,所以()31211141|33x S x dx x --⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰.【点评】本题考查二次函数的图象，定积分的应用以及数形结合的数学思想方法.本题容易直接把所围成的图形当成半圆去求解面积了.来年需注意直接给出定积分解析式，却要用定积分的几何意义来数形结合去解题的一类型题.4. B 【解析】由三视图可知，该几何体的下方是一个圆柱，上方是圆柱的一半，两圆柱的底面圆半径都为1，高都为2，所以该几何体的体积221121232V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.【点评】本题考查三视图的识别，圆柱的体积求解.对常见几何体：如圆柱，圆锥，正四棱锥，长方体，正方体及它们的组合体等的三视图要了如指掌.来年需注意圆锥与长方体等的三视图考查及体积，表面积的求解. 5.D 【解析】由题意，()20122012122201220125111341C 134C (134)a a a +=-⨯+=+-⨯+⨯++()2012134⨯,显然当()113a k k +=∈Z 时，201251a +的各项都是13的倍数，故能被13整除.故此时()131a k k =-∈Z .又013a <<，所以当1k =时，12a =.【点评】本题考查二项式定理的应用.运用二项式定理判断数a 能被数b 整除，关键是要能将数a 转化分解为含有数b 的因式的乘积.来年需注意利用二项式定理求解常数项，系数等题型.6.C 【解析】已知22222210,40,20a b c x y z ax by cz ++=++=++=， 则()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++=++.由柯西不等式得()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++， 所以上述不等式取等号，一定有,,,a kx b ky c kz === 此时()2222222a b c k x y z ++=++，即21040k =，解得12k =（舍去负值）.所以由等比性质得+1.2a b c a k x y zx +===++【点评】本题考查柯西不等式的应用.柯西不等式是考纲中的了解内容，考查一般难度并不大，但如果不了解柯西不等式的结构，求解也有一定的困难.来年需注意绝对值不等式的求解与应用7. C 【解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n nna a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，1()()n n f a f a +===;对于④,11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等. 8.A 【解析】如下图所示，设O A 的中点为1O ，O B 的中点为2O ，半圆1O 与半圆2O 的交点分别为,O F ，则四边形12O O FO 是正方形.不妨设扇形O A B 的半径为2，记两块白色区域的面积分别为12,S S ，两块阴影部分的面积分别为34,S S .则21234124O A B S S S S S ππ+++==⨯=扇形, ①而22132311111,12222S S S S ππππ+=⨯=+=⨯=，即1232S S S π++=, ②由①-②，得34S S =.又由图象观察可知，12214OO FO OAB OFBO AF S S S S S =---正方形扇形扇形扇形222222111111111114422πππππ=⨯-⨯-⨯-⨯=⨯-=-.故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 3442221O ABO ABS S S P S S πππ+-====-扇形扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.9.C 【解析】由()2cos 0f x x x ==，得0x =或2cos 0x =.又[]0,4x ∈，所以[]20,16x ∈.由于()c o s 02k k ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭Z ,而在()2k k ππ+∈Z 的所有取值中，只有3579,,,,22222πππππ满足在[]0,16内.故零点个数为156+=.【点评】本题考查函数的零点个数的求解.求解函数的零点个数通常有两种方法：一、直接法，即求解出所有的零点；二、数形结合法，即转化为原函数的图象与x 轴的交点个数或分解为两个函数相等，进而判断两个函数图象的交点个数，此法往往更实用.本题是直接求解零点法，来年需注意数形结合法.10.D 【解析】设球的直径为d ,则球的体积为3344332d V r ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭（,r d 分别为圆的半径、直径），所以d =≈,对于A 项,d ≈≈;对于C 项,d ≈≈对于D 项，d ≈≈;比较各选项的被开方数大小可知,选项D 中的d 与d =≈D.【点评】本题考查球的直径与体积的关系，估算法.根据球的直径与体积的关系，即可用体积来表示直径；然后比较各选项中的表示直径的式子，看哪个最接近求出的式子即可.11年考查的是以放射性元素为背景，考查了导数的运算，难度不算大，主要是要读懂题意，本题承接了11年的思想，难度不大，重在考查数学知识在实际生活中的应用.来年需注意一些常见知识的实际应用，比如线性规划，函数的应用，数列的应用等. 11.23π【解析】因为已知()()a b c a b c a b +-++=,所以()22a b c a b +-=，即222a b c a b+-=-,故2221a b cab+-=-，即222122a b cab+-=-，故1c o s 2C =-.所以23C π=.【点评】本题考查余弦定理的应用.正余弦定理是解三角形的有力武器，本题只考查到余弦定理，来年需注意它们的结合考查.12. 9【解析】由程序框图可知：第一次:a=1,s=0,n=1,s=s+a=1,a=a+2=3,满足判断条件3?n <;第二次:n=2,s=4,a=5,满足判断条件3?n <;第三次:n=3,s=9,a=7,此时不满足判断条件3?n <，故终止运行，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.【点评】本题考查程序框图及递推数列等知识.对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果，仔细计算，一般不会出错，属于送分题.来年需注意判断条件的填充型问题.13.（1）90; （2）910n ⨯.【解析】按照回文数的定义，1位回文数有1,2,3，…9等9个，又已知2位回文数有9个，3位回文数有90910=⨯个，4位回文数有1001,1111,……,1991,2002,…,9999,共90910=⨯个，5位回文数有2910⨯个，6位回文数有2910⨯个，…以此类推，故猜想()21n n ++∈N 位回文数与()22n n ++∈N 位回文数个数相等，均为910n ⨯个. 【点评】本题考查归纳推理的应用.对于归纳推理问题，关键是要归纳前几项所共有的性质，这就需要学生有一定的归纳与猜想能力.来年需注意类比推理的创新性问题.14.（1）12；（2）22【解析】（1）由图象可知，O B 即为点O 到直线12F B 的距离,且OB a =，又易知直线12F B 的方程为0bx cy bc -+=， 所以a =,整理得()22222c aa c -=，得22c a ac -=.所以210e e --=，解得12e =（负值舍去）（2）连结O B ，设B C 与x 轴的交点为G，则1BF =.在直角三角形1OBF 中，有11,O B BF BG O F ⊥⊥, 所以1111122O B F S O B B F F O B G ∆==,得11BF O B ab BG F Oc==.所以2aOG c==.所以32242||2||a b S OG GB c=⋅=.而112121||||22S F F B B bc ==,所以331321222S ce S a===【点评】本题考查双曲线的离心率，点到直线的距离，四边形的面积以及运算求解的能力.由直线与圆相切，得到圆心到该直线的距离等于半径，这是求解本题的突破口.来年需注意双曲线的标准方程，轨迹问题，特别是双曲线的定义的应用.15. 2【解析】由勾股定理，得CD ==r 为O 的半径，是定值），所以当O D 取最小值时，C D 取得最大值.显然当O D AB ⊥时，O D 取得最小值，故此时122C D A B ==,故所求的C D 的最大值2.【点评】本题考查直角三角形的性质以及转化与化归的能力.本题将求解C D 的最大值转化为求O D 的最小值，进而转化为点到直线的距离，体现了转化与化归的数学思想的作用之巨大.来年需注意弦切角，切线长定理，相似三角形的性质等题型.16.55,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】曲线()21,1x t y t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩化为直角坐标方程是()22y x =-，射线4πθ=化为直角坐标方程是()0y x x =≥.联立()()22,0,y x y x x ⎧=-⎪⎨=≥⎪⎩消去y 得2540x x -+=，解得121,4x x ==.所以121,4y y ==.故线段A B 的中点的直角坐标为1122,22x y x y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即55,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点评】本题考查极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化，中点坐标公式的应用问题.()()1122,,,A x y B x y 两点的中点坐标公式为1122,22x y x y ++⎛⎫⎪⎝⎭.来年需注意极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化，直线与圆锥曲线的位置关系，交点个数等题型.17. 【解析】【点评】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域，一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查. 18. 【解析】【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：1'n n a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 19. 【解析】【点评】本题考查三棱锥的体积，直线与平面所成的角以及线线垂直的探讨性问题；考查空间想象，逻辑推理，以及运算求解的能力.本题将三棱锥的体积与基本不等式结合考查，实为一种创新.求解最值时注意验证等号成立的条件，因为实际问题要求相关量都为正数；对于线面角的求解，可以用两种方法：向量法与直接法求解.来年需注意二面角的求解，这是高考的考查频度最高的几何考题.20.【解析】【点评】本题考查随机变量的期望，方差，古典概型.本题有两个随机变量，分别是 与Y，两个随机变量之间的关系要理清理顺，不要混淆，各自对应的概率要求解正确；来年需注意频率分布直方图的应用考查，概率与生活热点话题结合考查等题型.21.【解析】【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.22.【解析】【点评】本题考查导数的综合应用，不等式的性质，数学归纳法等；考查分类讨论的数学思想，运算求解，逻辑推理的能力.本题利用导数求函数的最值，利用最值来证明不等式；层层递进，难度一步一步递增，学生若做不出前一问，就很难做出后一问，来年需注意导数判断函数的极值，含有对数函数或指数函数的导数综合应用，导数的实际应用等.。
2012年湖北省高考数学试卷(理科)附送答案
2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i2．（5分）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q3．（5分）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π5．（5分）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．126．（5分）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．7．（5分）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④8．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．9．（5分）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．710．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=．13．（5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有个；）位回文数有个．（Ⅱ）2n+1（n∈N+14．（5分）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD 的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为．16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．19．（12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．20．（12分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥90002610工期延误天数Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．（13分）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2012•湖北）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i【分析】由方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，知=﹣3±2i，由此能求出结果．【解答】解：∵方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，∴=﹣3±2i，故选A．2．（5分）（2012•湖北）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．【解答】解：∵命题“∃x0∈C R Q，∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x0∈C R Q，∈Q”的否定是∀x0∈C R Q，∉Q故选D3．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=故选B．4．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．5．（5分）（2012•湖北）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a=+…++a由于含有因数52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13则可得a+1=13∴a=12故选D6．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．【分析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等号成立∴∴=故选C．7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（a n），故正确；+1），故不正确；②≠=f2（a n+1），故正确；③==f2（a n+1④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C8．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，∴此点取自阴影部分的概率是．故选A．9．（5分）（2012•湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0∴x=0或x2=，k∈Z∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个故选C10．（5分）（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解答】解：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值故选D．二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB 的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：12．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，输出S=9．故答案为：9．13．（5分）（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有90个；（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有9×10n个．+【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N）位+回文数的个数【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；故4位回文数有9×10=90个故答案为90（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n 种选法，）位回文数有9×10n个故2n+1（n∈N+故答案为9×10n14．（5分）（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．【分析】（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，可得，由此可求双曲线的离心率；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn=，由此可得结论．（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为【解答】解：∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2∴c4﹣3a2c2+a4=0∴e4﹣3e2+1=0∵e＞1∴e=（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2=4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：，二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）（2012•湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为2．【分析】由题意可得CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值，故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半．【解答】解：由题意可得△OCD为直角三角形，故有CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值．故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半，由于AB=4，故CD的最大值为2，故答案为2．16．（2012•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）．【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，联立可求线段AB的中点的直角坐标．【解答】解：射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），曲线（t为参数）化为普通方程为y=（x﹣2）2，联立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的两个根分别为1，4∴线段AB的中点的横坐标为2.5，纵坐标为2.5∴线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）故答案为：（2.5，2.5）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖北）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx ﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【分析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx ×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]18．（12分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n ﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n ﹣7（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式综上可得19．（12分）（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．【分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N 点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角【解答】解：（1）设BD=x，则CD=3﹣x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）∴V A﹣BCD设f（x）=（x3﹣6x2+9x）x∈（0，3），∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E （，1，0），且=（﹣1，1，1）设N（0，λ，0），则=（﹣，λ﹣1，0）∵EN⊥BM，∴•=0即（﹣1，1，1）•（﹣，λ﹣1，0）=+λ﹣1=0，∴λ=，∴N（0，，0）∴当DN=时，EN⊥BM设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），由及=（﹣1，，0）得，取=（1，2，﹣1）设EN与平面BMN所成角为θ，则=（﹣，﹣，0）sinθ=|cos＜，＞|=||==∴θ=60°∴EN与平面BMN所成角的大小为60°20．（12分）（2012•湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数02610Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【分析】（I）由题意，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，结合某程施工期间的降水量对工期的影响，可求相应的概率，进而可得期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X ＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6，利用条件概率，即可得到结论【解答】（I）由题意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）﹣P（X ＜300）=0.7﹣0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜700）=0.9﹣0.7=0.2，P（X≥900）=1﹣0.9=0.1Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1∴E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3D（Y）=（0﹣3）2×0.3+（2﹣3）2×0.4+（6﹣3）2×0.2+（10﹣3）2×0.1=9.8∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8；（Ⅱ）P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P （X＜300）=0.9﹣0.3=0.6由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）=．21．（13分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x 轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m 丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）设M（x，y），A（x0，y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|=|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；（Ⅱ）∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得，从而可得可得．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．【解答】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|∴x0=x，|y0|=|y|①∵点A在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线C的方程为∵m∈（0，1）∪（1，+∞），∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），（Ⅱ）如图2、3，∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），∵P，H两点在椭圆C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三点共线，∴k QN=k QH，∴∴k PQ•k PH=∵PQ⊥PH，∴k PQ•k PH=﹣1∴∵m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH22．（14分）（2012•湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r 为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．【分析】（I）求导函数，令f′（x）=0，解得x=1；确定函数在（0，1）上是减函数；在（0，1）上是增函数，从而可求f（x）的最小值；（II）由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r），分类讨论：若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立（III）（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，推广命题成立；（2）假设当n=k时，推广命题成立，证明当n=k+1时，利用a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1，结合归纳假设，即可得到结论．【解答】（I）解：求导函数可得：f′（x）=r（1﹣x r﹣1），令f′（x）=0，解得x=1；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0；（II）解：由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r）①若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，∵b1+b2=1，∴b2=1﹣b1，∴①中令，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；②（III）解：（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；③用数学归纳法证明（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，③成立（2）假设当n=k时，③成立，即a1≥0，a2≥0，…，a k≥0，b1，b2，…，b k为正有理数，若b1+b2+…+b k=1，则a1b1a2b2…a k bk≤a1b1+a2b2+…a k b k．当n=k+1时，a1≥0，a2≥0，…，a k+1≥0，b1，b2，…，b k+1为正有理数，若b1+b2+…+b k+1=1，＞0则1﹣b k+1于是a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1∵++…+=1∴…≤++…+=bk+1≤•（1∴a k+1﹣b k）+a k+1b k+1，+1∴a1b1a2b2…a k b ka k+1bk+1≤a1b1+a2b2+…a k b k+a k+1b k+1．∴当n=k+1时，③成立由（1）（2）可知，对一切正整数，推广的命题成立．。
2012高考湖北理科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试卷共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( ) A ．－3＋2i B ．3＋2i C ．－2＋3i D ．2＋3i2．命题“x 0∈R Q ，30x ∈Q ”的否定是( )A ．x 0R Q ，30x ∈Q B ．x 0∈R Q ，30x QC ．x R Q ，x 3∈QD ．x ∈R Q ，x3Q 3．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A ．2π5 B ．43 C ．32 D ．π24．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8π3 B ．3π C ．10π3D ．6π 5．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．126．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a b cx y z++=++( )A ．14B ．13C ．12D ．347．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．21π-B．112π-C．2πD．1π9．函数f(x)＝x cos x2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4 B．5 C．6 D．710．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是()A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝________.13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．14．如图，双曲线22221x y a b-=(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值12S S =________. 15． (选修4—1：几何证明选讲)如图，点D 在O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交O 于点C ，则CD 的最大值为________．16．(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线π4θ=与曲线21(1)x t y t ⎧⎨⎩＝＋＝－(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx，x ω)，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)． (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围． 18．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 19．如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．图1 图2(1)当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大；(2)当三棱锥A －BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．20求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．22． (1)已知函数f (x )＝rx －x r ＋(1－r )(x ＞0)，其中r 为有理数，且0＜r ＜1，求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数，若b 1＋b 2＝1，则a 1b 1a 2b 2≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.1． A 由题意可得，∆＝62－4×13＝－16，故x ＝64i2-±＝－3±2i ，故A 项正确． 2． D 该特称命题的否定为“x ∈R Q ，x 3Q ”．3． B 由图象可得二次函数的解析式为f (x )＝－x 2＋1，则与x 轴所围图形的面积312114(1)d ()133x S x x x --+=-+=-⎰＝.4． B 由三视图画出几何体，如图所示，该几何体的体积V ＝2π＋π＝3π.5． D ∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为T r ＋1＝2012C r 522012－r·(－1)r .故(52－1)2 012被13除余数为20122012C (－1)2 012＝1，则当a ＝12时，512 012＋12被13整除．6． C ∵由题意可得，22210444x y z ++=， ∴a 2＋b 2＋c 2＋222444x y z ++－ax －by －cz ＝0， 即(a －2x )2＋(b －2y )2＋(c －2z)2＝0.∴2x a =，2y b =，2z c =.∴122x y za b c x y z x y z ++++==++++. 7．C 设等比数列{a n }的公比为q ，则对于f (x )＝x 2，f (a n )＝2n a ，由等比数列得，222211()n n n n a a q a a --==，符合题意；而对于f (x )＝2x和f (x )＝ln|x |，则f (a n )＝2a n 和f (a n )＝ln|a n |.由等比数列定义得，122n n a a -＝2a n －a n －1.1ln ||ln ||n n a a -都不是定值，故不符合题意；而对于f (x )＝则f (a n )，==为定值，符合题意．故选C 项．8． A 设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示．由对称性可得，阴影的面积等于直角扇形拱形的面积，S 阴＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝14π(2R )2＝πR 2，故所求的概率是22(π2)21ππR R -=-.9． C 令f (x )＝x cos x 2＝0可得，x ＝0或cos x 2＝0，故x ＝0或x 2＝k π＋π2，k ∈Z .又x ∈[0,4]，则x 2∈[0,16]，则k ＝0,1,2,3,4符合题意，故在区间[0,4]上的零点个数为6.10． D 由34π3V R =，得34π()32d V =，整理可得d =π＝3.141 59代入，近似得d =. 11．答案：2π3解析：∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，∴2π3C =.12．答案：9解析：由程序框图依次可得， s ＝1，a ＝3；n ＝2，s ＝4，a ＝5； n ＝3，s ＝9，a ＝7； 结束，输出s ＝9.13．答案：(1)90 (2)9×10n解析：(1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种；(2)经归纳可得2n ＋1位回文数有9×10n 个．14．答案：解析：(1)连接OA ．在Rt △B 2OF 2中，∵OA ＝a ，OB 2＝b ，OF 2＝c ，∴22B F =由等面积法可得bc a =，两边平方可得，b 2c 2＝(b ＋c )a .①又由b 2＝c 2－a 2代入①式可得，c 4－3a 2c 2＋a 4＝0.同时除以a 4可得，e 4－3e 2＋1＝0，解得，232e +=，故12e +=. (2)S 1＝S 菱形F 1B 1F 2B 2＝12×2c ×2b ＝2cb ，在Rt △OAF 2中，∵OA ＝a ，OF 2＝c ，∴AF 2＝b .∴A ab x c =.再由△OAB 2∽△F 2AO 得，22AB OAAO F A=，即22a AB b =，故232A a a a b y b b⨯==，因此，S 2＝4x A ·y A ＝34244ab a a c b bc ⨯⨯=，于是222222144222211(1)2224S cb b c b c e e a S a a a bc===⋅⋅=-⋅=. 15．答案：2 解析：连结OC ，则OD ⊥CD 知，OD 2＋CD 2＝OC 2.要使CD 最大，则OD 最小；当OD ⊥AB 时，OD 最小，此时CD ＝2.16．答案：55(,)22解析：由极坐标方程可知，π4θ=表示直线y ＝x ，而21(1)x t y t ⎧⎨⎩＝＋，＝－表示y ＝(x －2)2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)．联立2(2)y x y x ⎧⎨⎩＝＝－可得，x 2－5x ＋4＝0，可得x 1＋x 2＝5.即x 0＝y 0＝12522x x +=，故M 55(,)22． 17．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx＋ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωxωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即123k ω=+(k ∈Z )． 又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以56ω=.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=λ=故5π()2sin()36f x x =--由0≤x ≤3π5，有π5π5π6366x -≤-≤，所以15πsin()1236x -≤-≤，得5π12sin()236x --≤，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[1-．18．解：(1)设等差数列{|a n |}的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得1111333()(2)8.a d a a d a d ⎧⎨⎩＋＝－，＋＋＝解得123a d ⎧⎨⎩＝＝－或14,3.a d -⎧⎨⎩＝＝所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不满足条件； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件． 故|a n |＝|3n －7|＝371,237 3.n n n n ⎧⎨≥⎩－＋，＝，－，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-+=-+.当n ＝2时，满足此式．综上，241,31110 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，，19．解：(1)方法一：在题图1所示的△ABC 中，设BD ＝x (0＜x ＜3)，则CD ＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x . 由折起前AD ⊥BC 知，折起后(如题图2)，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ． 所以AD ⊥平面BCD ． 又∠BDC ＝90°， 所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x )．于是V A －BCD ＝12AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝112·2x (3－x )(3－x ) ≤312(3)(3)2[]1233x x x +-+-=， 当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，故当x ＝1，即BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大．方法二：同方法一，得V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝16(x 3－6x 2＋9x )． 令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )，由f ′(x )＝12(x －1)(x －3)＝0，且0＜x ＜3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )取得最大值．故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大．(2)方法一：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D －xyz . 由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2.于是可得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,0,2)，M (0,1,1)，E (12，1,0)，且BM ＝(－1,1,1)．设N (0，λ，0)，则EN ＝(12-，λ－1,0)，因为EN ⊥BM 等价于0EN BM ⋅= ，即(12-，λ－1,0)·(－1,1,1)＝12＋λ－1＝0，故12λ=，N (0，12，0)．所以当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，及BN ＝(－1，12，0)，得2.y x z x ⎧⎨⎩＝，＝－可取n ＝(1,2，－1)． 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22EN =-- ，n ＝(1,2，－1)，可得sin θ＝cos(90°－θ)＝1|1|||2||||EN EN --⋅==⋅ n n ，即θ＝60°. 故EN 与平面BMN 所成角的大小为60°.图a 图b图c 图d方法二：由(1)知，当三棱锥A－BCD的体积最大时，BD＝1，AD＝CD＝2，如图b，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MF∥AD．由(1)知AD⊥平面BCD，所以MF⊥平面BCD．如图c，延长FE至P点使得FP＝DB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形，所以DP⊥BF.取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则EN∥DP，所以EN⊥BF.因为MF⊥平面BCD，又EN平面BCD，所以MF⊥EN.又MF∩BF＝F，所以EN⊥平面BMF.又BM平面BMF，所以EN⊥BM.因为EN⊥BM当且仅当EN⊥BF，而点F是唯一的，所以点N是唯一的．即当12DN=(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)，EN⊥BM.连结MN，ME，由计算得NB＝NM＝EB＝EM＝2，所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取BM的中点G，连接EG，NG，则BM⊥平面EGN.在平面EGN中，过点E作EH⊥GN于H，则EH⊥平面BMN，故∠ENH是EN与平面BMN所成的角．在△EGN中，易得EG＝GN＝NE＝2，所以△EGN是正三角形，故∠ENH＝60°，即EN与平面BMN所成角的大小为60°.20．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：于是，E(Y)＝0×0.3＋D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(x≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7，又P(300≤x＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝(300900)0.66 (300)0.77 P XP X≤<==≥.故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是6 7 .21．解：(1)如图1，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝1m|y|.①因为A点在单位圆上运动，所以x02＋y02＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋22y m＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0)，，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，)，(0．(2)方法一：如图2,3，k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)， 直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 12－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝212244k x m k -+，即212224m x x m k =+.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝212224km x m k+. 于是PQ ＝(－2x 1，－2kx 1)，PH ＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝(212244k x m k -+，212224km x m k +)．而PQ ⊥PH 等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k-⋅==+ ， 即2－m 2＝0.又m ＞0，所以m =，故存在m =，使得在其对应的椭圆x 2＋22y ＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH.图1 图2(0＜m ＜1) 图3(m ＞1)方法二：如图2,3，x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)． 因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以 222211222222,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减可得 m 2(x 12－x 22)＋(y 12－y 22)＝0.③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合． 故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0，于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+.④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即1121122y y y x x x +=+. 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+.而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即212m -=-. 又m ＞0，得m =.故存在m =，使得在其对应的椭圆x 2＋22y ＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .22．解：(1)f ′(x )＝r －rx x －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r ≤rx ＋(1－r )．①若a 1，a 2中有一个为0，则12121122b b a a a b a b ≤＋成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1, 于是在①中令12a x a =，r ＝b 1，可得1111122()(1)b a ab b a a ≤⋅+-， 即111121121(1)bb a a a b a b ≤－＋－，亦即12121122b b a a a b a b ≤＋.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 1＝1，总有12121122bba a ab a b ≤＋.② (3)(2)中命题的推广形式为：设a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则12121122n bbbn n n a a a a b a b a b ≤…＋＋…＋.③用数学归纳法证明如下：(ⅰ)当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 2，③成立．(ⅱ)假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则12121122kb bbkk k a a a a b a b a b ≤…＋＋…＋.当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即1－b k ＋1＞0，于是()111212121121k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a a a a a ++++=……＝11211111111121k kk k k k b b b b b b b b k k a a a a +++++----+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭…. 因121111111k k k k b b b b b b ++++++=---…，由归纳假设可得 1211111112k k k k b b b b b b kaa a +++---…≤1212111111k k k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅---…＝112211k k k a b a b a b b ++++-…，从而1111211122121111k k k k b bbb bbk k k k k k a b a b a b a a a a a b +++-+++⎛⎫+++≤⋅ ⎪-⎝⎭…….又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得()1111221122111111()111k b b k k k k kk k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b b b +-+++++++++++++≤⋅-+--……＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而121121k b b b k k a a a a ++…≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1.故当n ＝k ＋1时，③成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．。
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武汉市2012届高三四月调研测试数 学（理）2012.4.19一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点，则→EF ＝（A ）12→AB －13→AD （B ）23→AB ＋12→AD（C ）13→AB －12→AD （D ）12→AB －23→AD2．“复数a ＋i2＋i（a ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a ＜－1”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（A ）0.35 （B ）0.25 （C ）0.20 （D ）0.154．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为 （A ）6 3（B ）8（C ）8 3 （D ）125．已知(33x 2－1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是 （A ）－24 （B ）24 （C ）－252 （D ）2526．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m 的取值范围是（A ）(42，56]（B ）(56，72] （C ）(72，90] （D ）(42，90)7．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x （x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为 （A ）ln22（B ）1－ln22（C ）1＋ln22（D ）2－ln228．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不全为0），两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），若(Ax 1＋By 1＋C )( Ax 2＋By 2＋C )＞0，且|Ax 1＋By 1＋C |＜|Ax 2＋By 2＋C |，则直线l （A ）与直线P 1P 2不相交 （B ）与线段P 2P 1的延长线相交 （C ）与线段P 1P 2的延长线相交 （D ）与线段P 1P 2相交9．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A 、B 在此抛物线上，且∠AFB ＝90°，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为M ′，则|MM ′||AB |的最大值为（A ）22 （B ）32（C ）1 （D ） 3 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。
则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是（A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点 （C ）无论a 为何值，均有2个零点 （D ）无论a 为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，则表中t 的值为 ．12．已知α∈[π12，3π8]，点A 在角α的终边上，且|OA |＝4cos α，则点A 的纵坐标y 的取值范围是 ．13．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知三点A （a ，b ），B （b ，c ），C （c ，a ），且直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角互补，则直线AB 的斜率为 ．（结果中不含字母a ，b ，c ） （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的切线P A 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点．已知AB ⊥AC ，P A ＝2，PC ＝1，则圆O 的面积为 ． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l 的方程为ρcos(θ－π3)＝12，则点M （1，π2）到直线l 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°．（Ⅰ）若cos(B ＋C )＝－1114，求cos C 的值；（Ⅱ）若a ＝5，→AC ·→CB ＝5，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和． （Ⅰ）若a 1＞0，当S n 取得最大值时，求n 的值；（Ⅱ）若a 1＝－46，记b n ＝S n －a nn，求b n 的最小值． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，∠ADB ＝90°，AB ＝2AD ．（Ⅰ）证明：P A ⊥BD ；（Ⅱ）若PD ＝AD ，求二面角A -PB -C 的余弦值．20．（本小题满分12分）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的一个动点，满足|→F 1Q |＝2a ．点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点M 在线段F 2Q 上，且满足→PM ·→MF 2＝0，|→MF 2|≠0．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若直线OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，求△OAB 面积的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由） 22．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax 在x ＝－12处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a 的值及f (x )的最大值；（Ⅱ）证明：1＋12＋13＋…＋1n＞ln(n ＋1)（n ∈N *）；（Ⅲ）设g (x )＝b (e x －x )，若f (x )≤g (x )恒成立，求实数b 的取值范围．武汉市2012届高三四月调研测试 数学（理）试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分50分．1．D 2．B 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．A 10．A 二、填空题：每小题5分，满分25分．11．50 12．[1，2] 13．433 14．－1±52 15．9π4 16．3－12三、解答题：本大题共6小题，共75分．17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝1－(－1114)2＝5314，∴cos C ＝cos[(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C ) cos B ＋sin(B ＋C ) sin B＝－1114×12＋5314×32＝17．…………………………………………（6分）（Ⅱ）由→AC ·→CB ＝5，得|→AC |·|→CB |cos(180°－C )＝5，即ab cos C ＝－5，又a ＝5，∴b cos C ＝－1， ①由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin(120°－C )＝bsin60°，∴532cos C ＋12sin C ＝b32， 即3b cos C ＋b sin C ＝53， ② 将①代入②，得b sin C ＝63，故△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×5×63＝153．……………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，则由3a 5＝5a 8，得3(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )，∴d ＝－223a 1．∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×(－223a 1)＝－123a 1n 2＋2423a 1n ＝－123a 1(n －12)2＋14423a 1．∵a 1＞0，∴当n ＝12时，S n 取得最大值．…………………………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）及a 1＝－46，得d ＝－223×(－46)＝4，∴a n ＝－46＋(n －1)×4＝4n －50， S n ＝－46n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－48n ．∴b n ＝S n －a n n ＝2n 2－52n ＋50n ＝2n ＋50n －52≥22n ×50n－52＝－32，当且仅当2n ＝50n，即n ＝5时，等号成立．故b n 的最小值为－32．……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由∠ADB ＝90°，可得BD ⊥AD ．因为PD ⊥底面ABCD ， 所以PD ⊥BD ． 又PD ∩AD ＝D ，所以BD ⊥平面P AD ， 因为P A ⊂平面P AD ， 所以BD ⊥P A ．…………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设AD ＝a ，则A （a ，0，0），B （0，3a ，0），C （－a ，3a ，0），P （0，0，a ）， →AB ＝（－a ，3a ，0），→BC ＝（－a ，0，0），→AP ＝（－a ，0，a ），→PC ＝（－a ，3a ，－a ）． 设平面P AB 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·→AB ＝0，n ·→AP ＝0。