专题01 新定义材料阅读类创新题(南京27题、南通28题、镇江26题、常州26题)(解析版)

2020年中考数学大题狂练之中等大题满分夯基练（江苏专用）
专题1新定义材料阅读类创新题
【真题再现】
1．（2019年南京第27题）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝3．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是
（1，2）．
（2）函数y =4x
（x ＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）＝3．
（3）函数y ＝x 2﹣5x +7（x ≥0）的图象如图③所示，D 是图象上一点，求d （O ，D ）的最小值及对应的点D 的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M 为起点，先沿MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【分析】（1）①根据定义可求出d （O ，A ）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由两点间距离：d （A ，B ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|及点B 是函数y ＝﹣2x +4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B 的坐标；
（2）由条件知x ＞0，根据题意得x +4x =3，整理得x 2﹣3x +4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）＝3．
（3）根据条件可得|x |+|x 2﹣5x +7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；
（4）以M 为原点，MN 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，将函数y ＝﹣x 的图象沿y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E ，过点E 作EH ⊥MN ，垂足为H ，修建方案是：先沿MN 方向修建到H 处，再沿HE 方向修建到E 处，可由d （O ，P ）≥d （O ，E ）证明结论即可．
【解析】（1）①由题意得：d （O ，A ）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；
②设B （x ，y ），由定义两点间的距离可得：|0﹣x |+|0﹣y |＝3，
∵0≤x ≤2，
∴x +y ＝3，
∴{x +y =3y =−2x +4
， 解得：{x =1y =2
， ∴B （1，2），
故答案为：3，（1，2）；
（2）假设函数y =4x (x ＞0)的图象上存在点C （x ，y ）使d （O ，C ）＝3，
根据题意，得|x −0|+|4x −0|=3，
∵x ＞0，
∴4
x ＞0，|x−0|+|
4
x
−0|=x+4x，
∴x+4
x
=3，
∴x2+4＝3x，
∴x2﹣3x+4＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，
∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，
∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）设D（x，y），
根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，
∵x2−5x+7=(x−5
2
)2+34＞0，
又x≥0，
∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．
（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥
l1，l2与x轴相交于点G．
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴上述方案修建的道路最短．
点睛：考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程（组），二次函数的性质等．2．（2019年南通第28题）定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点P2是“线点”；
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．
【分析】（1）若x，y满足x2+2y＝t，y2+2x＝t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，由新定义即可得出结论；
（2）由新定义得出m2+2n＝t，n2+2m＝t，得出m2+2n﹣n2﹣2m＝0，m2+2n+n2+2m＝2t，分解因式得出（m﹣n）（m+n﹣2）＝0，得出m+n＝2，mn＝4﹣t，由完全平方公式得出（m+n）2﹣4mn＞0，得出mn ＜1，即可得出结果；
（3）证出△AOB是等腰直角三角形，求出∠POQ＝120°或60°，得出P、Q两点关于y＝x对称，再分两种情况讨论，求出t的值即可．
【解析】（1）∵当M点（x，y），若x，y满足x2﹣2y＝t，y2﹣2x＝t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，
又∵P1（3，1），则32﹣2×1＝7，（1）2﹣2×3＝﹣5，7≠﹣5，
∴点P1不是线点；
∵P2（﹣3，1），则（﹣3）2﹣2×1＝7，12﹣2×（﹣3）＝7，7＝7，
∴点P2是线点，
故答案为：P2；
（2）∵点P（m，n）为“线点”，
则m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，
∴m2﹣2n﹣n2+2m＝0，m2﹣2n+n2﹣2m＝2t，。