平面向量的坐标运算

图 2－3－17 → → → 【提示】 当 ABCD 为平行四边形时，则AC＝AB＋AD＝(2，0)＋(1，1)＝
(3，1)，故满足条件的顶点 C 的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．
→ → → 已知点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试 求 λ 为何值时， (1)点 P 在一、三象限角平分线上； (2)点 P 在第三象限内．
x－2＝3＋5λ， x＝5＋5λ， ∴ 则 y－3＝1＋7λ， y＝4＋7λ.
(1)若 P 在一、三象限角平分线上， 1 则 5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝2， 1 ∴λ＝2时，点 P 在一、三象限角平分线上． (2)若 P
5＋5λ<0， 在第三象限内，则 ∴λ<－1. 4 ＋ 7 λ <0 ，
x＝－1.
【答案】 －1
[小组合作型]
平面向量的坐标表示
→ (1)已知AB＝(1，3)，且点 A(－2，5)，则点 B 的坐 标为( ) B．(－1，8) D．(－3，2) A．(1，8) C．(3，2)
→ (2)如图 2－3－15， 在正方形 ABCD 中， O 为中心， 且OA＝ → → → (－1，－1)，则OB＝________；OC＝________；OD________.
[探究共研型]
向量坐标运算的综合应用
→ → → 探究 1 已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及OP＝OA＋tAB. 当 t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ → → → 【提示】 ∵OP＝OA＋tAB＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) ) ) ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(
【解析】 于终点坐标．
(1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，向量 1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝_______________
和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(x1－x2，y1－y2) ，即两个向量 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝_______________
差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(λx，λy) 3．若 a＝(x，y)，λ ∈R，则 λa＝________________ ，即实数与向量的积
的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
4．向量坐标的几何意义： → (x，y)，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，则OA＝______ → (x －x ，y －y ) 则AB＝__________________ ．如图 2－3－14 所示． 2 1 2 1
【提示】 → → ∵OA＝(1，2)，PB＝(3－3t，3－3t)．
若四边形 OABP 为平行四边形， → → 则OA＝PB，
3－3t＝1， ∴ 该方程组无解． 3－3t＝2，
故四边形不能成为平行四边形．
探究 3
已知在非平行四边形 ABCD 中，AB∥DC，且 A，B，D 三点的坐
标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点 C 的横坐标的取值范围是什么？
【解】 (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)． (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)． 1 1 1 1 (3)2a－3b＝2(－1，2)－3(2，1)
1 2 1 7 2 ＝－2，1－3，3＝－6，3.
[再练一题] 1．已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上， → → → → C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD的坐标.
【解】
如图，正三角形 ABC 的边长为 2，
则顶点 A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， ∴C(1，
(2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等 (3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
教材整理 2 平面向量的坐标运算 阅读教材 P96“思考”以下至 P97 例 4 以上内容，完成下列问题．
当 λ<－1 时，点 P 在第三象限内．
1．解答本题可用待定系数法．此法是最基本的数学方法之一，实质是先将 未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也 是方程思想的一种基本应用． 2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等 的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
垂直 把一个向量分解为两个互相_________的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示：
单位 向量 i、 相同 的两个______ 在平面直角坐标系中， 分别取与 x 轴、 y 轴方向______ 基底 ． 有且只有 j 作为______ 对于平面内的一个向量 a， 由平面向量基本定理知， ____________
1→ → → (2)已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量2AB的坐标是(
1 A．－4，2 1 B．4，－2 3 C．－1，－2
D．(8，1)
→ → (3)若 A、B、C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求AB＋2BC， → 1→ BC－ AC的坐标． 2
阶 段 一
阶 段 三
2.3.2
阶 段 二
平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
学 业 分 层 测 评
1．掌握平面向量的坐标表示及其坐标运算．(重点) 2．理解平面向量坐标的概念．(难点) 3．向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)
[基础· 初探] 教材整理 1 平面向量的正交分解及坐标表示 阅读教材 P94～P95 内容，完成下列问题． 1．平面向量的正交分解：
1 3)，D 2，
3 ， 2
→ → ∴AB＝(2，0)，AC＝(1， 3)， → BC＝(1－2， 3－0)＝(－1， 3)，
3 3 → 1 3 BD＝ －2， －0＝－ ， . 2 2 2 2
平面向量的坐标运算
→ → → → (1)设AB＝(2，3)，BC＝(m，n)，CD＝(－1，4)，则DA等于( A．(1＋m，7＋n) C．(1－m，7－n) B．(－1－m，－7－n) D．(－1＋m ，－7＋n) ) )
2 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，∴t＝－ . 3 1 若点 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，∴t＝－3. 若点 P
1＋3t<0， 2 1 在第二象限，则 ∴－ <t<－ . 3 3 2＋3t>0，
探究 2 对于探究 1 条件不变，四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能， 求出 t 的值；若不能，请说明理由．
x＋2＝1， x＝－1， －5)＝(1，3)，所以 解得 y－5＝3， y＝8，
所以点 B 的坐标为(－1，8)． → → (2)如题干图，OC＝－OA＝－(－1，－1)＝(1，1)， → 由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以OB＝(1，－1)， → 同理OD＝(－1，1)．
【答案】
(1)B (2)(1，－1) (1，1) (－1，1)
(3)由题意知 B, D 分别是 30° ，120°角的终边与以点 O 为圆心的单位圆的 交点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 3 1 得 x1＝cos30°＝ ，y1＝sin30°＝ ， 2 2 所以
B
图 2－3－15
(3)如图 2－3－16，已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴 → → 成 30° 角，求点 B 和点 D 的坐标和AB与AD的坐标．
图 2－3－16
【精彩点拨】 得相应向量的坐标
表示出各点的坐标 → 用终点坐标减去起点坐标 →
【自主解答】
→ (1)设 B 的坐标为(x，y)，AB＝(x，y)－(－2，5)＝(x＋2，y
平面向量坐标的线性运算的方法： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则 进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向 量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[再练一题] 2．已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： 1 1 (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3) a－ b. 2 3
3 1 ， . 2 2
1 x2＝cos120°＝－2， 3 y2＝sin120°＝ ， 2 所以
1 D －2，
3 . 2
3 → → 3 1 1 所以AB＝ ， ，AD＝－ ， . 2 2 2 2
求点、向量坐标的常用方法： (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置 向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点 坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
【精彩点拨】 方程或不等式求解． 解答本题可先用 λ 表示点 P 的横、纵坐标，再根据条件列
【自主解答】
设点 P 的坐标为(x，y)，
→ 则AP＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， → → AB＋λ· AC＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)] ＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． → → → ∵AP＝AB＋λAC，