NO7：图

非连通图 (极大连通子图叫做连通分量)
2013-6-28 14
8) 强连通图与强连通分量(strongly connected graph)
• 在有向图中, 若对于每一个顶点 Vi 和 Vj 都存在一条从 Vi 到 Vj 和 Vj 到 Vi 的路径,则称此图是强连通图.
• 非强连通图的极大连通子图叫做强连通分量.
8
w(i, j) 如果ij且< i,j> E或 ( i,j )E ∞ 如果ij且< i,j> E或 ( i,j )E 0 i=j
2
9 3
6
3 A•Edge=
2
5
0 1 ∞0 3 5 ∞∞
∞ 9 0 6
4 2 8 0
0
2013-6-28
4 1
1
20
2.邻接表（adjacency list）
第 7 章 图
• 图的基本概念
• 图的存储表示 • 图的遍历与连通性 • 最小生成树 • 最短路径 (Shortest Path) • 活动网络 (Activity Network)
2013-6-28
1
线性 ------ 表：每个元素有一个直接前趋和一直接后继
数 据 结 构
非线性
树：
每一层元素可能和下层中的多个元素相关， 但只能和上一层中的一个 元素相关
2013-6-28
36
用一开始的例子： 1
51 5 2 4 3 3 6 4 2 6 5 6
6
5
2013-6-28
37
U
V-U
2 3 4 5 6
U
V-U 2 4 5 6
51 5 2 4 3 3 6 4 2 6 5 6
6
1
5
1
1 3
5条中找最小
8条中找最小
51 5 2 4 3 2 3 6 4 6 5 6
V2
V1
V3 V4
G1
V(G1)={V1,V2,V3,V4} E(G1)={(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4)}
2013-6-28 4
(2 )有向图（directed graph）
• 有向图：如果代表一条边的偶对是有序的. <V1, V2>和<V2, V1>代表不同的边（弧）
• 例子：
2013-6-28
7
• n个顶点的有向图，其边数≤n*(n-1).
如果等于，则称为完全有向图.
• 例子：
2013-6-28
8
3) 顶点的度(degree)
• 是与该顶点相关联的边的数目 TD(V) • 有向图中:入度---以顶点V为终点的有向边的条数 ID(V) 出度---以顶点V为始点的有向边的条数 OD(V) TD(V)=ID(V)+OD(V) 度 • 一般而言: 图中有n个顶点, e条边(或弧), 则 n e=1/2( ∑TD(Vi) )
有顶点都被访问过为止.
2013-6-28
24
以有向图为例:
v1
V1V2V4V8V5V3V6V7
v2
v3 v1
v4
v5
v6
v7
v2 v3
v8 v4 v5 v6
v8
v7
深度优先生成树
2013-6-28 25
2.广度优先遍历 （breadth search）
• 思想：从圈中某顶点V0出发，在访问了V0之后依次访 问V0的各个未曾访问过的邻接点，然后分别从这些邻 接点出发广度优先遍历图，直至途中所有顶点都被访 问到为止.
2013-6-28
6
1
5
51 5 2 4 3 3 6 4 2 6 5 6
38
6
1
5
U 1
V-U 2 4
U 1 3 6 4
V-U 2
3 5 6
9条中找最小
5
8条中找最小
51 2 3 3 6 4 5
2013-6-28
6
1 4 2 6
1 51 2 3 3 6 4 5 6 6
39
4 2
6
U 1 3 6 4
V1
V2
V3
V2
A•Edge=
0111 1011 1100 1100
A•Edge=
对称矩阵
2013-6-28
01000 10001 01010 10000 00010
19
• 如果是带权的网络，则1的位置由权来代替，对角线仍 为0，但其它位置（无直接边或弧的）放上∞ ，即 A•Edge[i] [j] = 例子：
前提：每条边有代价
如果用广度优先，则
51 5 2 4 3 3 6 4 2 6 5 6
6
1
5
1 6 1 3 2 3 4 5 6
5 4
=19
2013-6-28
30
最小代价生成树 1 2 3 5 1 5 3
4
2
=15
4 6
书中介绍了两个算法：Prim,Kruskal.它们都采用了 逐步求解（Grandy)的策略。
2013-6-28 28
从同一个结点出发遍历可的不同的树 从不同的结点出发遍历可得不同的树
3) 最小代价生成树（minimun-cost spanning tree） 问题的提出：如何找到一个网络的最小生成树，即各边 权的总和为最小的生成树
2013-6-28
29
实际例子：6个城市已固定，现从一个城市发出信息到每一个城市 如何选择或铺设通信线路，使花费（造价）最低。
• 克服图中边少，从而邻接矩阵浪费存储的缺点
V4
data adj 0 V1 1 V2 2 V3 3 V4 V2 V3 顶点表 NodeTable dest link 1 0 0 0 2 2 1 1
∧ ∧
V1
3 3
∧ ∧
边链接表 Edge Linked List
n 个结点，e条边的无向图需用n+2e个单位.
2013-6-28
17
图的存储
1. 邻接矩阵（adjacency matrix）
• A=(V,E) V={V1, V2, … Vn}
则A的邻接矩阵A•Edge是一个n*n的布尔矩阵
1
A•Edge [i] [j] = 0
如果<i,j>∈E 或 (i,j) ∈E
否则
2013-6-28
18
• 例子：
V0 V0 V3 V4 V1
2013-6-28 23
1.深度优先搜索 (depth-first-search)
思想: 从图中某个顶点V0出发,访问它,然后选择一个
V0 邻接到的未被访问的一个邻接点V1出发深度优先遍
历图,当遇到一个所有邻接于它的结点都被访问过了的
结点U时,回退到前一次刚被访问过的拥有未被访问的
邻接点W,再从W出发深度遍历,……直到连通图中的所
2013-6-28 21
data adj
dest cost link 1 0 0 4 6 3
∧
0 V1 1 V2
V1
2 11 2 2
∧ ∧
2 V3
4
11
顶点表
出边表
3
V3
6
2
V2
邻接表
data adj dest cost link 1 0 6 4
∧
0 1 2
V1 V2 V3
2
3
∧
0 11
1
2
∧
顶点表
T (V,) TE= 即由 n个不同的连通分量组成
2013-6-28
33
3) 在E中选一条代价最小的边（u,v)加入T，一定要 满足（u,v) 不和TE中已有的边构成回路， E
E-{(u,v)}, TE=TE {(u,v)}
4)一直到TE中加满n-1条边为止。
2013-6-28
34
1
2
1
2 3
V-U
最小生成树不是唯 一的，因为权相等 的边不止一条时可 任选一条。
5
5条中找最小
1 2 3 5
2013-6-28
51 3 4 6
4 2 =15
40
最短路径（shortest path)
设G=(V,E)是一个带权图（有向，无向），如果从顶 点v到顶点w的一条路径为（v,v1,v2,…,w)，其路径长度不 大于从v到w的所有其它路径的长度，则该路径为从v到w 的最短路径。
2013-6-28
31
Grandy策略： 设：连通网络N={V,E},V中有n个顶点。 1. 先构造n个顶点，0条边的森林F={T0,T1,…..,Tn-1} • 每次向F中加入一条边。该边是一端在F的某棵树Ti上 而另一端不在Ti上的所有边中具有最小权值的边。 这样使F中两棵树合并为一棵，树的棵数-1
i=1
顶点的度为出度+入
2013-6-28
9
• 例子:
V2
V3
V1
ID(V2)=1 TD(V2)=3
OD(V2)=2
2013-6-28
10
4) 子图(subgraph)
• 图G=(V,E), G=(V ,E ), 若V V, E E, 并且E 中的 边关联的顶点都在V 中, 则称G 是G的子图. • 例如:
1
2
1
1
1
3 1 2
2013-6-28
4
3 1
3 1
4
3 4
2
3
11
5) 路径(path)
• 在图 G=(V,E)中, 若从顶点 Vi 出发, 沿一些边经过一些 顶点Vp1, Vp2, … , Vpm, 到达顶点 Vj, 则称顶点序列(Vi, Vp1,Vp2, … ,Vpm, Vj) 为从顶点 Vi 到 Vj 的路径. • 所经过的边 (Vi,Vp1), (Vp1,Vp2), …, (Vpm,Vj) 是属于E的边.