2016年第57届imo中国国家队选拔考试试题(pdf版)

合集下载

2002年IMO中国国家集训队选拔赛试题

2002年IMO中国国家集训队选拔赛试题
利用高斯函数求某些难度大的数列项之和往往能起到常规方法无能为力的作用但有时还要用到一特殊的方法与技巧才能使问题快速获解
40
中 等 数 学
2002 年 IMO 中国国家集训队选拔赛试题
(2002203231 8 :00~12 :30)
一、 设凸四边形 ABCD 的两组对边所在的直线分 别交于 E 、 F 两点 ,两对角线的交点为 P ,过 P 作 PO ⊥EF 于 O . 求证 : ∠BOC = ∠AOD . ( 冷岗松 命题) 肖振纲 1 1 2 (1 + an - 1 ) , n ≥ 二、 设 a1 = , an = 2. 求最小 4 4 实数 λ,使得对任意非负实数 x1 , x2 , …, x2 002 ,都有
=
n- i
10
40・
n- i
3
求函数 g ( r , s , t ) 的最小值 .
( 黄玉民 命题)
( 上接第 20 页) ∴ 数列{ an }的前 n 项之和为 2 n + n +2 Sn = . 4 注 : 运用 “多退少补” 的试算方法 , 把 ① 折 成 ②,即 S n = f ( n ) - f ( i , k ) 的形式 , 使不等 2 i - 3i - 4k +2 式0≤ < 1 成立而符合要求 ,从 4 而使问题获解 . 例9 设数列{ an } 的前十项为 1 ,1 ,2 ,3 , ). 4 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 , 且 an + 10 = a n + 8 ( n = 1 ,2 , … 求 S n ,并计算 S 2 002 之值 . 解 :设待定常数 i ∈ {1 ,2 ,3 , …,10} , m 为 分段顺序数 , k 为非负整数 , 使 n = 10 m + i ,

2009年IMO中国国家队选拔考试.pdf

2009年IMO中国国家队选拔考试.pdf

图1
如图 2,在 A P上取一点 Q ,满足 PQ F = A EF = ADB.
图2
易知 A、E、F、Q 和 F、D、P、Q 分别四点 共圆. 记 O 的半径为 r. 根3; PQ·A P
=A F·AD + PF·PE
= (AO2 - r2 ) + ( PO2 - r2 ) .
即 ( i - j) k3 > 0,显然成立.
现在证明式 ①.
对于 i、j( 1≤ i < j≤n ) , 来估计 ai aj 的 下界.
由前述知 ai ≥ aj ,即
ij
jai - iaj ≥0. 因为 ai - aj ≤0,所以 , ( jai - iaj ) ( aj - ai ) ≥0,

ai
即 al ≥ al + 1 对任意的 l ( l = 1, 2, …, n - 1 ) l l+1
成立.
再证明 :对于 i、j、k { 1, 2, …, n } , 若
i > j,则 2 ik2 > 2 jk2 . i+k j+k
事实上 ,上式等价于
2 ik2 ( j + k) > 2 jk2 ( i + k) ,
假设结论不成立 , 即
≤ 则 l( l + 1)
2
+1
l,
1,
2 , …,
都是 到 l( l +1)
2
+1
1
l中的正整数.
而由式 ②知 , 在 1 ,
2 , …,
中 , l( l + 1)
2
+1
1至多出 现 1 次 , 2 至 多 出 现 2 次 , ……

2009年IMO中国国家队选拔考试试题含答案(第一天,2009年3月31日)

2009年IMO中国国家队选拔考试试题含答案(第一天,2009年3月31日)

2009年IMO 中国国家队选拔考试第1天2009年3月31日8:00-12:30 湖北 武汉1、设D 是三角形ABC 的BC 边上一点,满足ÐCAD =ÐCBA .圆O 经过B ,D 两点,并分别与线段AB ,AD 交于E ,F 两点,BF 、DE 相交于G 点.M 是AG 的中点.求证:CM ⊥AO .2、给定整数2n ³,求具有下述性质的最大常数()n l :若实数序列012,,,...,n a a a a 满足满足0120...n a a a a =££££,及111()2ii i a aa +-³+,1,2,...,1i n =-, 则有则有2211()()nni ii i ia n a l ==³åå.3、求证:对于任意的奇素数p ,满足|!1p n +的正整数n 的个数不超过23cp ,这里c 是一个与p无关的常数.1、设D 是三角形ABC 的BC 边上一点,满足ÐCAD =ÐCBA .圆O 经过B ,D 两点,并分别与线段AB ,AD 交于E ,F 两点,BF 、DE 相交于G 点.M 是AG 的中点.求证:CM ⊥AO .证明 如图,连接EF 并延长交BC 于P ,连接GP 交AD 于K ,并交AC 延长线于L .K LP MGEFDCABO如下图,在AP 上取一点Q ,满足∠PQF =∠AEF =∠ADB .易知A 、E 、F 、Q 及F 、D 、P 、Q 分别四点共圆.记⊙O 的半径为r .根据圆幂定理知:知:AP 2=AQ ×AP +PQ ×AP =AF ×AD +PF ×PE=(AO 2-r 2)+(PO 2-r 2). ①QPGAOB EFD类似地,可得:类似地,可得:AG 2=(AO 2-r 2)+(GO 2-r 2). ② 由①,②得AP 2-AG 2=PO 2-GO 2,于是由平方差原理即知PG ⊥AO .如下图,对△PFD 及截线AEB 应用Menelaus 定理,得定理,得1D A F E P B A FE PB D´´=.③ 对△PFD 及形外一点G 应用Ceva 定理,得定理,得1D KF E P B K F E P B D ´´=.④ ③÷④即得:③÷④即得:D A D K A FK F=. ⑤KPGAOBEFD⑤表明A ,K ;F ,D 构成调和点列,即AF ×KD =AD ×FK . 再代入点列的Euler 公式知:公式知:AK ×FD =AF ×KD +AD ×FK =2AF ×KD . ⑥而由B 、D 、F 、E 四点共圆,得∠DBA =∠EF A .而∠CAD =∠CBA ;故∠CAF =∠EF A ,这就表明AC ∥EP .由此,.由此,C P A F P DF D=. ⑦在△ACD 中,对于截线LPK 应用Menelaus 定理,得定理,得1A L C P D K L CP DK A´´=; ⑧将⑥,⑦代入⑧即得2A L L C=.最后,在△AGL 中,由M 、C 分别是AG 、AL 的中点,故MC 是其中位线,得MC ∥GL .而已证GL ⊥AO ,从而MC ⊥AO .2、给定整数2n ³,求具有下述性质的最大常数()n l :若实数序列012,,,...,n a a a a 满足满足0120...n a a a a =££££,及 111()2i i i a a a +-³+,1,2,...,1i n =-,则有则有2211()()nni i i i ia n a l ==³åå.解:()n l 的最大值为2(1)4n n +.首先,令12...1n a a a ====,得2(1)()4n n n l +£.下面我们证明:对任何满足条件的序列012,,,...,n a a a a ,有不等式,有不等式22211(1)()()4nniii i n n ia a ==+³åå(*) 首先我们证明21...2n a a a n³³³.事实上,由条件有112()i i i ia i a a +-³+对任意1,2,...,1i n =-成立.对于给定的正整数11l n ££-,将此式对1,2,...,i l =求和得1(1)l l l a la ++³,即11l l a a ll +³+对任意1,2,...,1l n =-成立.下面我们证明,对于,,{1,2,...,}i j k n Î,若i j >,则2222ikjki k j k >++. 事实上,上式等价于222()2()ik j k jk i k +>+,即3()0i j k ->,显然成立. 现在我们来证明(*). 首先对于1i j n £<£,来估计i j a a 的下界. 由前述,知j i a a i j³,即0i j ja ia -³. 又因为0i j a a -£,故()()0i j j i ja ia a a --³,即22i j ji i j a a a a i ji j³+++.这样,我们有:这样,我们有:222111()2nni i i j i i i j nia i a ija a ==£<£=+ååå222222112()niji i i j ni j ij ia a a i ji j=£<£³×++++åå22112()n n ii k ik a i k ===×+åå.记212ni k ikb i k==+å,由前面证明可知12...n b b b £££.又22212...n a a a £££,由切比雪夫不等式,有:,由切比雪夫不等式,有:221111()()nn nii i i i i i a b a bn ===³ååå.这样221111()()()nnni ii i i i ia a b n ===³ååå.而22222222111111112(1)2()2()4nnnnn nii i k i i j ni i j ni ik i j ij n n biiij i i k iji j ====£<£=£<£=+==++=+==+++åååååååå因此22211(1)()4n ni i i i n n ia a ==+³åå.故(*)获证.综上所述,可知()n l 的最大值为2(1)4n n +.3、求证:对于任意的奇素数p ,满足|!1p n +的正整数n 的个数不超过23cp ,这里c 是一个与p 无关的常数.证明证明显然,符合要求的n 应满足11n p ££-. 设这样的n 的全体是12...k n n n <<<, 我们只需要证明2312k p £,当12k £时结论是显然成立的,下设12k >. 将1i i n n +-(11)i k ££-重排成不减的数列1211...k m m m -££££. 则显然有则显然有11111()k kii i k i i nn n n p m-+===-=-<åå.① 我们首先证明,对1s ³,有,有|{11:}|ii k s s m ££-=£, ②即等于给定的s 的i m 至多有s 个.事实上,设1i i n n s +-=,则1!1!10(m od )i i n n p ++º+º,由此可知(,!)1i p n =,故,故()(1)...(1)1(mod )i i in s n s n p ++-+º.故i n 是s 次同余方程次同余方程()(1)...(1)1(mod )x s x s x p ++-+º的一个解. 由于p 是素数,由拉格朗日定理知,上述同余方程至多有s 个解,故满足1i i nn s +-=的i n 至多只有s 个值,从而②得证个值,从而②得证.. 现在我们证明,对任意的正整数l ,只要(1)112l l k ++£-,就有(1)121l l lm ++³+.假设结论不成立,即(1)12l l l m++£,那么12(1)12,,...,ll m m m ++都是1到l 中的正整数. 而由②知,在12(1)12,,...,l l m m m ++中,1至多出现1次,2最多出现2次,…,l 至多出现l 次,即从1到l的正整数总共至多出现(1)12 (2)l l l ++++=次,这与(1)12l l ++个数12(1)12,,...,l l m m m ++都是不超过l 的正整数矛盾!的正整数矛盾! 设m 是满足(1)112m m k ++£-的最大正整数,则的最大正整数,则(1)(1)(2)11122m m m m k ++++£-<+③ 我们有我们有11112(1)(1)(1)(2)(1)121122223(...)(1)(1)(1)(21).63k m m m ii i i i i i i i i i i i i i m m m m mmm m m----++++++++====³+++³+³+++=>åååå由于12k >,故4m ³,因此,结合①,③可得,因此,结合①,③可得2212331(1)(2)244(3)4(3)2k i i m m k m p m -=++<+<<<×å.这就证明了结论.。

IMO中国国家队训练题

IMO中国国家队训练题

2008IMO 中国国家队训练题及解答2008年IMO 中国队培训的主要阶段于6月15日至7月5日在上海中学进行,后期在清华附中调整.在培训期间,单墫、陈永高、冷岗松、余红兵、李伟固、熊斌等教授以及叶中豪、冯志刚先生为国家队队员作了讲座.我们从培训题中精选了一部分,配以个别队员们的解答,推荐给各位读者.1. 设G 为△ABC 内的一点,AG 、BG 、CG 分别交对边于点D 、E 、F.设△AEB和△AFC 的外接圆的公共弦所在的直线为l a ,类似定义l b ,l c .证明:直线l a ,l b ,l c 三线共点.证明:设∆AEB 的外接圆和∆AFC 的外接圆交于1,A A ,则a l 即1AA ,易知1A 在角BAC ∠内,1BAEA 共圆,1CAFA 共圆,类似地定义11,B C . 因为BAEA 1共圆,111FBA ABA A EC ∠=∠=∠故(1.1), 111A A C A A E A B E ∠=∠=∠(1.2), 11A AB A EB ∠=∠(1.3)因为CAFA 1共圆,故∠BFA 1=∠ACA 1=∠ECA 1 (1.4) 由(1.1)、(1.4)得:∆BFA 1~∆ECA 1,1BA BFA E CE=1故(1.5) 对∆BA 1E 用正弦定理并结合(1.2)、(1.3)得111111sin sin sin sin BA A EB A ABA E A BE A AC∠∠==∠∠(1.6) 1111,,b c B ABC C ACB l BB l CC ∠∠同理,在内,在内,即即11sin ,sin C CA AE C CB BD ∠=∠且有11sin sin B BC CDB BA AF∠=∠.故BDCDCE AE AF BF AF CD BD AE CE BF BA BC B CB CA C AC AB A ⋅⋅=⋅⋅=∠∠⋅∠∠⋅∠∠111111B sin sin C sin sin A sin sin 111AC BC CC BC CA AB D E F 而由、、分别交对边、、于、、及塞瓦定理得BD CDCE AE AF BF ⋅⋅=1. BA BC B CB CA C AC AB A 111111B sin sin C sin sin A sin sin ∠∠⋅∠∠⋅∠∠=1,这样利用角元形式的塞瓦定理可知直线AA 1,BB 1,CC 1三线共点.,,a b c l l l 即共点,命题得证。

2001年IMO中国国家集训队选拔考试试题

2001年IMO中国国家集训队选拔考试试题

2001年IMO中国国家集训队选拔考试试题
佚名
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2001(000)003
【摘要】(2001-03-31 8∶00~12∶30)一、平面上给定凸四边形ABCD及其内点E和F,适合AE=BE,CE=DE,∠AEB=∠CED,AF=DF,BF=CF,∠AFD =∠BFC.求证:∠AFD+∠AEB=π.(许以超提供)二、对给定的正整数a、b,b>a>1,a不能整除b及给定的正整数数列{bn}∞n=1,满足对所有正整数n 有bn+1≥2bn,是否总存在正整数数列{an}∞n=1使得对所有正整数n,有
an+1-an∈{a,b},且对所有正整数m、l(可以相同),有am+al{bn}∞n=1?(陈永高提供)
【总页数】1页(P38)
【正文语种】中文
【中图分类】O12
【相关文献】
1.2006年IMO中国国家集训队选拔考试 [J], 李胜宏
2.2004年IMO中国国家集训队选拔考试试题 [J],
3.2007年IMO中国国家集训队选拔考试 [J], 朱华伟
4.2005年IMO中国国家集训队选拔考试 [J], 冷岗松; 王建伟; 朱华伟; 熊斌; 余红兵; 陈永高
5.2004年IMO中国国家集训队选拔考试 [J], 2004年IMO中国国家集训队命题组
因版权原因,仅展示原文概要,查看原文内容请购买。

第58届imo预选题(三)

第58届imo预选题(三)

20 8年第期9竞赛 之 窗第5 S届 IMO 预 选 题 (三)中图分类号 〇 8 文献标识码 A文章纗号 005 646 20 00 9 0几 何 部 分外接圆 的两条外公切线交于点证明ZXIY 90 °1已知 凸五边形 灿以呢 满足 AfiBC =CDZEAB = Z BCD Z EDC = Z CBA 证明 过点 五 作 5C 的垂线与 此 历 三线共点2 本届 IMO 第 4 题3 已知非等腰锐角 AAfiC 的外心为 0直线 与 的过点 5 C 的高线 分别交于点 P? 这两 条髙线交 于 点 仗证 明 AP?H 的外接圆 的 圆心在AMC 的 条中线上4已知 A 的顶点 4 所对 的 旁切 圆与併G4狀 分 别切 于点 2M F△ 处F 的外接圆 厂 与直线 SC 交于点线段 的中 点为 M证 明 △ 的 外接圆r与?1相切S已知 凸 六边形 仙CCA岑 满足 仙5C 且 有公共 的 中垂线 设对角线与岑 C交于点 Z)△ABC的外接圆尸与△皂 的外接圆交于点 仏[证明 直线忍仏 与见 的交点在圆 尸 上6设正整数多3 已知在平面上有两个正n 边形^ 方 证 明 在 方 的 内部或边界上的顶点是连续的 即存在 条直线将 ^的顶点分成两部分 其 中 部分的顶点均在i的内部或边界上7 已 知 凸 四 边形 仙⑶ 有 内 切 圆 ?/△ ZM5 AAfiC ABCZ A CiM 的内心分别为m /,△ AVfr △ CVfr 的 外接 圆 的两条外公切线交于点 总 △ 5/乂 △ D/乂 的8已 知黑板 上有 2 01 7个 两两 不交 的圆 且不存在三个 圆有公切线 称两个圆的条切线段为这两个圆 的 条公切线的两个切点之间所连线段 卢西亚诺在黑板上 条条地画切线段 使得切线段与任何其他圆 均不交 也与之前画的切线段不交 他按上述规则画切线段 直到不能再画为止 求卢西亚诺停止画切线段时 他画 的切线段数 目 的所有可能值参 考 答 案1记凸五边形的内角 分别为Z 上ZB ZW E如图 1设 4 CE抑 的 中 垂线交于点由题意 知4CM 的 中 垂 线 分 别过点b c由 仰丄C/图AC丄 BI4 AC与 BD 的交点 f 为A BIC 的垂心=>册 丄 5C因为 ZB/C分别为ZC的平分线IA =IC IB IDa ABBC = CDj; WAIAB ^AICB ^AICD=>Z IAB =ZICB =jZ C =jZ A=>A7平分ZA20类似地//平分Z£这表明凸五边形有内切圆?/^ZE540°2ZA2ZBZBIE360〇ZEABZABfZ爐=360°ZAjZBjZE=360°ZAjZB270°ZAZB=90°+^ZB=90°+Z/BC2=>ElLBC故结论成立2本届MO第4题3不妨设AB<4C如图2=90°Z〇ABZACB类似地Z?P//=Z仙C于是AABC/^\HPQ设的外接圆为?乃由Z^P=90oZ露=ZACBZPQH=^4//与?7切于点//设与5C交于点M过点4作?0的切线与ifC交于点S因为过点丑作?7的切线与P?的交点为七所以对于△ c/^A/叩s与/为对应点贝JZOSMZOSCZZ〇厦中等数学4Sv40M四点共圆由于于是ZOMSm°Z0AS90°这表明M为线段fiC的中点因此点7在A仙C的中线爾上4设直线与?A的第二个交点为r由丄£rF丄fA4为圆r的直径设的中点为v由4V丄£r=?=90。

国国家集训队选拔考试

国国家集训队选拔考试

由 (1) 可知 f (2) ≥1. 下面分两种情况讨论 :
(i) f (2) = 1 ,则可证
f ( n) = 1 ( Π n) .

事实上 ,由 (2) 知
f (6) = f (2) f (3) = f (3) . 记 f (3) = a ,则 a ≥1.
由于 f (3) = f (6) = a ,利用 (1) 可知 f (4) = f (5) = a. 利用 (2) 知 ,对任意奇数 p 有 f (2 p) = f (2) 拔考试
一 、在锐角 △ABC 中 , AD 是 ∠A 的内角平分
线 ,点 D 在边 BC 上 ,过点 D 分别作 DE ⊥AC、DF ⊥ AB ,垂足分别为 E、F ,连结 B E、CF ,它们相交于点
H , △A FH 的外接圆交 B E 于点 G. 求证 :以线段 BG、 GE、B F 组成的三角形是直角三角形.
任取 m ≥3 , k ≥1 ,有 s ≥1 ,使得 2 s ≤mk < 2s + 1 .
于是 ,有 s ≤klog2 m < s + 1 ,
即 klog2 m - 1 < s ≤klog2 m s ) ≤g ( mk ) ≤g (2s + 1 ) .
五 、对 m 、n ∈A ,若 m + n = 1 001 或 2 003 或 3 005 ,则称 m 与 n“有关”.
易知与 1 有关的数仅有 1 000 和 2 002 ,与 1 000 和 2 002 有关的都是 1 和 1 003 ,与 1 003 有关的为 1 000和 2 002.
γ(α,β) = (| a1 - b1 | ,| a2 - b2 | , …,| an - bn | ) ,

2016年世界少年奥数赛七年级海选赛试题及答案解析

2016年世界少年奥数赛七年级海选赛试题及答案解析

世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛(2016年10月)选手须知:1、本卷共三部分,第一部分:填空题,共计50分;第二部分:计算题,共计12分;第三部分:解答题,共计58分。

2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

七年级试题(A卷)(本试卷满分120分,考试时间90分钟)一、填空题。

(每题5分,共计50分)1、用200千克花生可榨油25千克,如此计算,用15吨花生可以榨油吨。

2、把110厘米长的铁丝焊成一个长方体的框架,长是宽的两倍,宽是高的1.5倍。

则这个长方体的长厘米,宽厘米,高厘米。

3、某商品按20﹪的利润定价,然后按八八折出售,实际获得利润84元。

则商品的成本元。

4、某中学学生中83是男生,男生比女生少250人,则该中学有人。

5、若04312y x ,求yx 。

6、一项工程,如果单独做,甲、乙各需10天完成,丙需7.5天完成,现在三人合作,在做的过程中,甲外出1天,丙休息0.5天,结果一共用了天完成。

7、有五张牌,分别写着2、3、4、5、6,其中三张是反着的,从中任意取出一张,若为单数就是甲赢,若为双数就是乙赢,则赢的可能性大。

8、甲、乙两种酒精浓度分别为70﹪和50﹪,现在要配制65﹪的酒精3000克,应当从甲种酒精中取克,乙种酒精中取克。

9、在一个长为4厘米的正方体的前后、上下、左右各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱,则挖去后物体的表面积为。

(圆周率用3.14计算)10、|3-x ||2-x ||1x|的最小值是____。

二、计算题。

(每题6分,共计12分)11、211712111743322174112、102418141211三、解答题。

(第13题6分,第14题8分,第15题10分,第16题10分,第17题12分,第18题12分,共计58分)13、已知在数轴上,点A 与原点之间的距离是点A 与30所对应的点之间的距离的4倍,那么点A 所表示的数是多少?14、a 与b 互为相反数,且1,54|b -a |2ab abab a 求的值。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2016 年第 57 届 IMO 中国国家队选拔考 试
目录
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第一天 2016 年 3 月 15 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第二天 2016 年 3 月 16 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第一天 2016 年 3 月 25 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第二天 2016 年 3 月 26 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第一天 2016 年 3 月 20 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第二天 2016 年 3 月 21 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
������������(������������ + ������) ≡ ������������(������������ + ������′) + ������(mod������)
证明: △������ ������������, △������ ������������, △������ ������ ������ 的外接圆交于除 ������ 外的另一点 ������ .
M
A
N F
E P
B D
C L
2. 求最小的正数 ������, 使得对平面上任意 12 个点 ������1, ������2, ⋯ , ������12(允许重合), 若它们中任意两点之 间的距离不超过 1, 则有 ∑ |������������������������|2 ≤ ������.
我们的教育宗旨: 教会学生怎么学习怎么思考!
6
57
2016 3 21
8:00-12 30
4. 设正整数 ������ = 2������ ⋅ ������, 其中 ������ 为非负整数, ������ 为奇数, 定义 ������ (������) = ������1−������.
������
我们的教育宗旨: 教会学生怎么学习怎么思考!
4
57
2016 3 16
8:00-12 30
4. 设整数 ������, ������ ≥ 2, 数列 {������������} 满足 ������1 = ������, ������������+1 = ������������������ + ������(������ = 1, 2, ⋯). 证明: 对于每个整数 ������ ≥ 2, 存在 ������������ 的素因子 ������, 使得对 ������ = 1, ⋯ , ������ − 1, 有 ������ ∤ ������������.
证明: 若 ������, ������, ������ , ������ 四点共圆, 则 ������, ������ 关于 ������������ 对称.
A
I
X B
J D
Y
C
我们的教育宗旨: 教会学生怎么学习怎么思考!
8
57
2016 3 26
8:00-12 30
4. 设 ������, ������, ������′, ������, ������, ������ 均为正整数, 其中 ������ > 1, ������ > 1, |������ − ������′| ≥ ������. 已知存在一个正整数 ������, 使得
5. 如图所示, 四边形 ������������������������ 内接于圆 ������, ∠������, ∠������ 的内角平分线相交于点 ������, ∠������, ∠������ 的内角平分
线相交于点 ������ , 直线 ������������ 不经过点 ������, 且与边 ������������, ������������ 的延长线分别交于点 ������ , ������, 与边 ������������, ������������
3
57
2016 3 15
8:00-12 30
1. 如图, 在圆内接六边形 ������������������������������������ 中, ������������ = ������������ = ������������ = ������������. 若线段 ������������ 内一点 ������ 满足
1
1

⎞2 ⎛
⎞ ������
������
(������)
=
⎜⎜⎝���∑ ���������⩽������
������������������2������ ⎟⎟ ⎠
+
⎜⎜⎝���∑ ���������>������
������������������������������
⎟ ⎟

.
证明:
若正数
Z
Y D
S
C
P
T
A
B
X
我们的教育宗旨: 教会学生怎么学习怎么思考!
7
57
2016 3 25
8:00-12 30
1. 设 ������ 为大于 1 的整数. ������ 为实数, 0 < ������ < 2, ������1, ⋯ , ������������, ������1, ⋯ , ������������ 均为正数. 对 ������ > 0. 设
∠������������������ = ∠������������ ������, ∠������������������ = ∠������������ ������. 证明: ������������ = ������������ .
B C
A
D K
F
E
2. 求最小的正实数 ������, 使得对任意三个复数 ������1, ������2, ������3 ∈ {������ ∈ ������||������| < 1}, 若 ������1 + ������2 + ������3 = 0, 则 |������1������2 + ������2������3 + ������3������1|2 + |������1������2������3|2 < ������.
我们的教育宗旨: 教会学生怎么学习怎么思考!5 572016 3 20
8:00-12 30
1. 如图所示, ������ 为锐角 △������������������ 内一点, ������, ������, ������ 分别是 ������ 关于 ������������, ������������, ������������ 的对称点, ������������ , ������������ , ������������ 的延长线与 △������������������ 的外接圆分别交于点 ������, ������, ������.
3. 给定整数 ������ ≥ 2, 设集合 ������ = {(������1, ������2, ⋯ , ������������)|������������ ∈ {0, 1, ⋯ , ������}, ������ = 1, 2, ⋯ , ������}.
对任意元素 ������ = {������1, ������2, ⋯ , ������������} ∈ ������, ������ = (������1, ������2, ⋯ , ������������) ∈ ������, 定义 ������ ∨ ������ = (max{������1, ������1}, max{������2, ������2}, ⋯ , max{������������, ������������}),
分别交于点 ������, ������. 线段 ������ ������, ������������ 的中点分别为 ������, ������. 证明:������������⊥������������.
D A
R
SI
O
MN
JQ
B
C
P
6. 设 ������, ������ 为整数, ������ ≥ ������ ≥ 2, ������ 是一个 ������ 元整数集合. 证明: ������ 至少有 2������−������+1 个子集, 每个子 集的元素和均被 ������ 整除. (这里空集的元素和约定为 0.)
1≤������<������≤12
3. 设 ������ 是一个由有限个素数组成的集合, ������ 是一个无限正整数集合, 其中每个元素均有不在 ������ 中的素因子. 证明: 存在 ������ 的无限子集 ������, 使得 ������ 的任意一个有限子集的元素和均有不在 ������ 中 的素因子.
3. 如图, 圆内接四边形 ������������������������ 中, ������������ > ������������, ������������ > ������������, ������, ������ 分别是 △������������������, △������������������ 的内心, 以 ������������ 为直径的圆与线段 ������������ 交于点 ������, 与 ������ ������ 的延长线交于点 ������ .
相关文档
最新文档