电工基础教案第三章3

（4）流过电阻的电流的公式： iR(t)=iR ()+[iR(0+)- iR ()]e-t/ 先求iR(0+)：据换路前的电路求出uc(0-)根据换路 定律 uc(0+)=uc(0-)求出uc(0+） 据换路后的电路求出
各电阻上的电压uR(0+） 据欧姆定律求出流过电阻
的电流 iR(0+)
S i C +
-
uC uR i U0 U0 R 0 uC ,uR i t
uC
uR R -
+
解：利用三要素法来求解 （1）求uc(t) 据三要素法有：uc(t)=uc ()+[uc(0+)- uc ()]e-t/
先求uc(0+)：
因为换路前电容上的电压为U0 ，所以uc(0-)= U0 又因为uc(0+)=uc(0-)，故uc(0+)= U0 再求uc ()： 当t= 时，电容相当于开路，所以电路中的电流为0， 则电阻两端电压也为0.所以据KVL得uc ()= uR ()=0
再求iR ()：利用换路后的电路求当t= 时的电阻中的电流[在
此时电容也相当于开路]
再求： =RC
最后把求得的量代入上面公式中即可
说明：在具有电容的一阶电路中在求流过电容的电流ic(t)，电阻上
的电压uR(t)和电流iR(t)时除了用上面的三要素方法来做之外，
还可以用其他的一些方法。
du (1)求ic(t)的另一种方法： i C dt 即先求uc(t)，然后再利用电流与电压的关系式来求解电流
（2）求uR(t)：也是先求出uc(t)，然后据换路后的电路利用 KVL等来求解
（3）求iR(t)：求出uR(t)，利用欧姆定律求出电流的解析式
三.利用三要素法来分析具有电容的一阶电路的过渡过程 （一） 电容的充电过程 已知电路如图所示，且在换路前开关S是打开的，且电容上不 带有电荷。在t=0时刻将开关合上，试求合上后电容电压uc(t)和 电流ic(t)
变，即换路后电容两端的电压值与换路前的相等。用式子 表示：uc(0+)=uc(0-) 说明：但其流过的电流可以跳变，就是说ic(0+)不一定与ic(0-)相等
（1）具有电感的一阶电路：在换路前后流过电感的电流不能跳 变，即换路后电感 中的电流值与换路前的相等。用式子 表示：iL(0+)=iL(0-) 说明：但其两端的电压可以跳变，就是说uL(0+)不一定与uL(0-)相等 二.一阶电路的三要素法 1.一阶电路的三要素法就是由一阶电路的初始值、稳态值、时间常 数三个要素求解一阶动态电路的方法
再求时间常数：
因为 =R总C，而此时的R总= R
故得
(2)求电流ic(t)
uc(t)= 0+(U0 - 0) e-t/RC= U0 e-t/RC
ic(t)=ic ()+[ic(0+)- ic ()]e-t/
先求ic(0+)： uc(0+）= U0 据换路后的电路求出各 电阻上的电压uR(0+)= uc(0+) =U0 iR(0+) =uR(0+)/R =U0/R ic(0+)= iR(0+) = U0 /R 再求ic ()：因为t= 时，电容相当于开路，故ic ()=0 已经求出，即为=RC 故得ic(t)=0+[U0 /R-0] e-t/RC= (U0 /R) e-t/RC
2.一阶电路的三要素法的基本公式：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e

t

式中f（t） ——待求电路变量； f（0+）——相应电路变量的初始值；
f（∞）——相应电路变量的稳态值。
τ——一阶动态电路的时间常数.反应电路过渡过程的快慢
含电容元件电路的时间常数 RC
故得
uc(t)= US+(0- US) e-t/RC= US(1- e-t/RC)
(2)求电流ic(t) ic(t)=ic ()+[ic(0+)- ic ()]e-t/ 先求ic(0+)：uc(0-)=0 uc(0+）=0 据换路后的电路求出各
电阻上的电压uR(0+)=US iR(0+) = uR(0+)/R= US /R
可以认为此时充电过程基本结束。
【例3.7】 在图所示电路中，电容原来未曾带电，已知电源 电压，开关K在t=0时闭合，此时电流值（初始值）为20mA，电 流在0.1s时接近于零。试求（1）电阻R1的值；（2）电容量C的 值；（3）uC、iC的表达式。
S + R1 + uR US C +
-
uC u R i i uC US I0 i uR t uC
ic(0+)= iR(0+) = US /R
再求ic ()：因为t= 时，电容相当于开路，故ic ()=0
已经求出，即为=RC
故得ic(t)=0+[US /R-0] e-t/RC= (US /R) e-t/RC
如图曲线形象的反映了初始电压为零的电容元件充电过程中 充电电流、电容电压及电阻电压随时间的变化规律。
S + R1 + uR US C +
-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
uC u R i i uC US I0 i uR t uC
电容充电过程中，任一时刻电容电压的大小不仅与外加电压有关，
还与电路的时间常数τ有关，即与电路中电阻和电容的大小有关， 如图所示：
u US u1 u2 u3
ττ τ 2 1 3
这里τ1＜τ2＜τ3
t
O
可以看出，时间常数τ 越小，曲线越陡峭，过渡过程进行的越 快；时间常数τ 越大，曲线越平坦，过渡过程进行的越慢。 从理论上讲，充电过程要到t=∞时才结束。实际上经过 3τ ―5τ ，u C就达到了最大值的95%―99.3%，在工程计算中
第四节
一.换路定律
用三要素法来分析一阶电路的过渡过程
1.换路的定义：引起过渡过程的电路变化就叫换路。 2.说明：为了简化问题起见，我们认为换路是瞬间完成的，把换 路瞬间取为计时起点，的将换路前的终了时刻记为t=0-
换路后的初始时刻记为t=0+
3.换路定律的内容
（1）具有电容的一阶电路：在换路前后电容两端的电压不能跳
uC 600ms U0et / 10e600 / 200 10e3 0.5(V)
解：（1）因为电容原来未带电，所以t=0时，有
iC 0
R1
US 0 US 100 e 20(mA) R R R
100 50(K) 20
（2）由于电流在0.1s时接近于零，说明过渡过程基本结束， 而通常认为3τ ―5τ 后过渡过程结束，这里取4τ ，则
4 0.1s
S + R1 + uR US C +
-
uC u R i i uC US I0 i uR t uC
解：利用三要素法来求解 （1）求uc(t)
据三要素法有：uc(t)=uc ()+[uc(0+)- uc ()]e-t/ 先求uc(0+)： 因为换路前电容上没有电荷，所以uc(0-)=0 又因为uc(0+)=uc(0-)，故uc(0+)=0 再求uc ()： 当t= 时，电容相当于开路，所以电路中的电流为0， 则电阻两端电压也为0.所以再求uc ()=US 再求时间常数： 因为 =R总C，而此时的R总= R
S i C +
-
uC uR i U0 U0 R 0 uC ,uR i t
uC
uR R -
+
解： RC R1C 20 103 10 106 200(ms) 当t=0时，放电电流最大
U0 10 imax 0.5(mA) 3 R 20 10
当t=600ms时，电容上的电压为
流ic(0+)
再求ic ()：因为在t= 时，电容相当于开路，所以流过电容 的电流为0，所以ic ()=0 再求： =RC
最后把求得的量代入上面公式中即可
（3）电阻两端电压的公式：uR(t)=uR ()+[uR(0+)- uR()]e-t/ 先求uR(0+)：据换路前的电路求出uc(0-)根据换路 定律 uc(0+)=uc(0-)求出uc(0+） 据换路后的电路求出 电阻上的电压uR(0+） 再求uR ()：利用换路后的电路求当t= 时的电阻两端的电压[在 此时电容也相当于开路] 再求： =RC 最后把求得的量代入上面公式中即可
RC电路的放电电压与电流变化曲线如下图所示：
S i C +
-
uC uR i U0 U0 R 0 uC ,uR i t
uC
uR R -
+
【例3.8】 在图所示电路中，已知，C=10F,R=2OK；
当t=0时， uc(0）= U0=10V.试求：（1）放电时的最大电
流imax；（2）当t=600ms时，电容上的电压uC。
再求uc ()：利用换路后的电路求当t= 时的电容两端的电压[在
此时电容也相当于开路]
再求： =RC
最后把求得的量代入上面公式中即可
（2）流过电容的电流的公式： ic(t)=ic ()+[ic(0+)- ic ()]e-t/ 先求ic(0+)：据换路前的电路求出uc(0-)根据换路 定律 uc(0+)=uc(0-)求出uc(0+） 据换路后的电路求出各 电阻上的电压uR(0+） 据欧姆定律求出流过电阻 的电流 iR(0+) 再利用KCL等来求出流过电容的电
含电感元件电路的时间常数 R 其中R为从储能元件两端看换路后电路，所有电源都不作用 (电压源相当于短路，电流源相当于开路）时的等效电阻，单 位为欧姆（Ω ）。